5. 函数的连续性ppt课件.ppt

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1、5.函数的连续性电子课件 1.51.5函数的连续性函数的连续性山西职业技术学院山西职业技术学院-1-1-数学家魏尔斯特拉斯数学家魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯是德国数学家，被誉为“现代分析之父”，给出了严格的极限定义，培养了世界上第一位女博士。理解函数在一点处连续的两个定义；理解函数在一点处连续的两个定义；掌握函数在一点处连续所具备的三个条件；掌握函数在一点处连续所具备的三个条件；会判定函数在一点处是否连续。会判定函数在一点处是否连续。教学目标教学目标知识目标知识目标-2-2-培养学生从培养学生从“特殊特殊一般一般特殊特殊”的认知的认知规律，培养学生从直观到抽象的概括能力；规律，培养学生从直观到抽象

2、的概括能力；使学生在掌握基本知识和技能的同时，培使学生在掌握基本知识和技能的同时，培养学生一种养学生一种严谨、求实、创新严谨、求实、创新的学习态度和学的学习态度和学习精神。习精神。技能目标技能目标-3-3-在揭示函数连续性本质的同时，让学生感悟数在揭示函数连续性本质的同时，让学生感悟数学的魅力，感受数学与现实生活的联系。它源于学的魅力，感受数学与现实生活的联系。它源于生活、高于生活、概括生活、是对生活中的数量生活、高于生活、概括生活、是对生活中的数量关系和空间形式的提炼，具有高度的抽象性。关系和空间形式的提炼，具有高度的抽象性。技能目标技能目标-4-4-从现实生活提炼、概括，形成函数在一点处连

3、续的概念从现实生活提炼、概括，形成函数在一点处连续的概念教学重点教学重点函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后的函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后的学习作铺垫，它是承上启下的。因此，函数在一点处连学习作铺垫，它是承上启下的。因此，函数在一点处连续的两个定义以及连续的三个条件，是教学的重点。续的两个定义以及连续的三个条件，是教学的重点。教学难点教学难点-5-5-课题导入：课题导入：在很多实际问题中，变量的在很多实际问题中，变量的变化常常是变化常常是“连续连续”不断的，如不断的，如“温度温度”随时间而变化，当时间随时间而变化，当时间的改变很微小时，温度的改变也的改变很微小时，温

4、度的改变也很微小很微小，这就是说，温度是，这就是说，温度是“连连续变化续变化”的。再如，植物的生长、的。再如，植物的生长、河水的流动、金属的热胀冷缩等，河水的流动、金属的热胀冷缩等，都是连续变化的。都是连续变化的。-6-6-函数的增量：函数的增量：自变量的增量：自变量的增量：1.9.11.9.1函数的增量（或称函数改变量）函数的增量（或称函数改变量）情境创设：情境创设：“连续变化连续变化”如何用数学的语言刻画？如何用数学的语言刻画？数学中函数是随着自变量的变化而变化，如果函数是数学中函数是随着自变量的变化而变化，如果函数是“连续变化连续变化”的，那么也可以这样理解：自变量的改变很的，那么也可以

5、这样理解：自变量的改变很微小时，函数的改变也很微小微小时，函数的改变也很微小-7-7-增量（改变量）增量（改变量）定义：定义：设变量设变量 从初值从初值 变到终值变到终值 ，终值与初值之，终值与初值之差差 ，称为变量，称为变量 的增量，即的增量，即注注：可正可负可正可负(从小变大或从大变小从小变大或从大变小)例例1 1：设设 ,求适合下列条件的自变量求适合下列条件的自变量的增量的增量 和函数的增量和函数的增量 ：(1)(1)由由1 1变到变到1.51.5；(2)(2)由由1 1变到变到0.50.5；(3)(3)由由1 1变到变到 -8-8-这两张函数图象有什么区别吗？通过创设条件，让学这两张函

6、数图象有什么区别吗？通过创设条件，让学生参与活动，形成感性认识。生参与活动，形成感性认识。1.9.2 1.9.2 函数函数 在点在点 的连续性的连续性-9-9-10-10-11-11-定义定义2 2 设函数设函数 在点在点 及其近旁有定义及其近旁有定义,如如果当自变量果当自变量 在点在点 处的增量处的增量 趋于趋于0 0时时,函数相应函数相应的增量的增量 也趋于也趋于0,0,即：即：或或 则称函数则称函数 在点在点 处连续。处连续。-12-12-函数在一点处连续的三个条件函数在一点处连续的三个条件 函数在点函数在点 及其近旁有定义；及其近旁有定义；存在；存在；极限值极限值 等于函数值等于函数值

7、定义定义3 3 设函数设函数 在点在点 及其近旁有定及其近旁有定义，如果函数义，如果函数 当当 时极限存在，且等时极限存在，且等于它在点于它在点 处的函数值，即若：处的函数值，即若：那么，称函数那么，称函数 在点在点 处连续。处连续。-15-15-例例2 2 证明函数证明函数 在点在点 处连续。处连续。例例4 4 讨论函数讨论函数 在点在点 的连的连续性。续性。-16-16-（1 1）左右连续）左右连续 观察观察 函数的图像函数的图像虽然函数在点虽然函数在点 处不连续，但是满处不连续，但是满足足 右极限右极限=函数值函数值右连续右连续同理，左极限同理，左极限=函数值函数值 左连续左连续1.9.

8、3 1.9.3 函数函数 在区间上的连续性在区间上的连续性-17-17-设函数设函数 在区间在区间 内有定义，如果左极限内有定义，如果左极限 存存在且等于在且等于 ，即若，即若 ，那么称函数，那么称函数 在在点点 左连续左连续。设函数设函数 在区间在区间 内有定义，如果右极限内有定义，如果右极限 存存在且等于在且等于 ，即若，即若 ，那么称函数，那么称函数 在在点点 右连续右连续。-18-18-（2 2）区间上的连续）区间上的连续 观察两组函数函数图象，让学生自己总结函数在区观察两组函数函数图象，让学生自己总结函数在区间上的连续间上的连续函数在开区间内连续函数在开区间内连续函数在闭区间内连续函

9、数在闭区间内连续-19-19-首先考察下列函数在点首先考察下列函数在点 的连续性的连续性1.9.4 1.9.4 函数的间断点函数的间断点-20-20-间断点的分类（以极限的角度对间断点进行分类）间断点的分类（以极限的角度对间断点进行分类）第一类第一类第二类第二类无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点间断点间断点-21-21-例例5 5 求下列函数的间断点：求下列函数的间断点：-22-22-1.9.5 1.9.5 初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内每基本初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内每一点处都是连续

10、的一点处都是连续的.连续函数的运算法则：连续函数的运算法则：定理定理1 1 如果函数如果函数 与与 在点在点 处连续，则这两处连续，则这两个函数的和个函数的和 ，差，差 ，积，积 ，商商 （当（当 时），在点时），在点 处也连续处也连续.-23-23-两个重要结论：两个重要结论：（1 1）多项式函数）多项式函数 在在 内连续内连续（2 2）分式函数）分式函数 除分母为除分母为0 0 的点不连续外，在其他点处都连续的点不连续外，在其他点处都连续注意：注意：一般地，一切初等函数在其定义域内每一点都是一般地，一切初等函数在其定义域内每一点都是连续的，在确定分段函数的连续性时要着重讨论分界点连续的，在

11、确定分段函数的连续性时要着重讨论分界点的连续性的连续性-24-24-例例6 6 求求例例7 7 求求例例8 8 求求解：解：解：解：-25-25-最大值与最小值性质最大值与最小值性质1.9.6 1.9.6 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理2 2 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，则它在这上连续，则它在这个区间上一定有最大值与最小值个区间上一定有最大值与最小值-26-26-介值性质介值性质定理定理3 3 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，和和 分别为分别为 在在 上的最大值与最小值，则对介于上的最大值与最小值，则对介于 和和 之间的任一实数之间的任一实数 （即（即 ），至少存在），至少存在一点一点 ，使得，使得-27-27-