三版）第2章 随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、概率（第三版）第2章 随机变量及其分布电子课件第二章第二章 本章用定量的方法，从整体上来研究本章用定量的方法，从整体上来研究随机现象。随机现象。随机变量随机变量及其分布及其分布211 随机变量随机变量 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了示，由此就产生了随机变量随机变量的概念的概念.1、有些试验结果本身与数值有关、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数本身就是一个数).例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；八月份杭州的八月份杭州的最高温度；最高温度；每天从杭州下火车的人数；每天从杭州下火车的人数；昆虫

2、的产卵数；昆虫的产卵数；一、随机变量的概念和例子一、随机变量的概念和例子32、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.例例1 1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.我们引入记号：我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：显然，该试验有两个可能的结果：于是我们就可以用于是我们就可以用表示出现的是正面，表示出现的是正面，而用而用表示出现的是反面。表示出现的是反面。X 就是一个随机变量。就是一个

3、随机变量。4 定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S，若对于每若对于每一个一个S,有一个实数有一个实数X()与之对应与之对应,即即X=X()是是定义在定义在S上的单值实函数，称它为上的单值实函数，称它为随机变量随机变量(random variable,简记为简记为r.v.)。X()R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？数一样吗？.5（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值预先肯定它

4、将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率值也有一定的概率.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母 等表示等表示.随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。随机变量则是一种动态的观点。6 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的

5、研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。分类：分类：实际中常遇到的随机变量有实际中常遇到的随机变量有两大类型两大类型连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量7二、随机变量二、随机变量的分布函数的分布函数 为为了了对对各各类类随机随机变变量作量作统统一研究，下面一研究，下面给给出既适出既适合于离散型随机合于离散型随机变变量又适合于量又适合于连续连续型随机型随机变

6、变量的概量的概念念随机随机变变量的分布函数。量的分布函数。定义定义 设设X为为随机随机变变量，称量，称实实函数函数 为为X的的分布函数分布函数。xax b8分布函数的基本性质：分布函数的基本性质：证略证略9解解例例10解解例例只有只有(A)相符相符.11第二节第二节12一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律如果随机变量如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，只取有限或可列无穷多个值，则称则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？）所有可能的取值是什么？2）取每个可能值的概率是多少？）取

7、每个可能值的概率是多少？称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量 X 的的分布律分布律或或概率分布概率分布。13或写成如下的表格形式：或写成如下的表格形式：14例例 袋中有袋中有2只蓝球只蓝球3只红球，不放回抽取只红球，不放回抽取3只，记只，记 X为为抽得的蓝球数，求抽得的蓝球数，求 X 的分布律。的分布律。X 可能取的值是可能取的值是 0,1,2，解解所以所以X的分布律为的分布律为 或表示为或表示为15例例 设设一一汽汽车车在在开开往往目目的的地地的的路路上上需需经经过过三三组组信信号号灯灯，每每组组信信号号灯灯以以0.5的的概概率率允允许许或或禁禁止止汽汽车车通通过过。以以X表表示示该该汽

8、汽车车首首次次遇遇到到红红灯灯前前已已通通过过的的路路口口的的个个数数(设设各各盏信号灯的工作是相互独立的盏信号灯的工作是相互独立的)，求，求 X 的概率分布的概率分布.依题意依题意,X 可取值可取值0,1,2,3.设设 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3路口路口3路口路口2路口路口1解解16路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口117路口路口3路口路口2路口路口1不难看出不难看出所以所以 X 的分布列为的分布列为 18例例 在在下下列列情情形形下下，求求其其中中的的未未知知常常数数a，已已知知随随机机变量的概率分布为：变量的概率分布为：解解(1)由规范性

9、由规范性,(2)19离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数设设 X 为为离散型随机离散型随机变变量量，分布律为，分布律为 则则20解解例例 设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：求求 X 的分布函数的分布函数 F(x).21故故下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.22分布函数的图形分布函数的图形一般，离散型随机一般，离散型随机变变量的分布函数呈量的分布函数呈阶梯形阶梯形.23例例 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 解解试求试求 X 的分布律。的分布律。XP-1130.40.40.224二、几种常见的离散型随机变量的分布二、几种常见的离散型随

10、机变量的分布背景背景:作一次伯努利试验的成功次数作一次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布所服从的分布.分布律为分布律为或用公式表示或用公式表示(一一)0-1)0-1分布分布(两点分布两点分布)25(二二)二项分布二项分布 (Binomial Distribution)若随机若随机变变量量 X 的的分布律为分布律为定义定义则则称称 X 服从参数服从参数为为n,p的的二项分布二项分布，记为记为验证规验证规范性：范性：背景背景:作作 n 次伯努利试验的成功次数次伯努利试验的成功次数 X 所服从的分布所服从的分布.26例例 某人打靶某人打靶,命中率命中率为为 p=0.8,独立重复射独立重复射击击5

11、次次,求：求：(1)恰好命中恰好命中2次的概率；次的概率；(2)至少命中至少命中2次的概率；次的概率；(3)至多命中至多命中4次的概率。次的概率。解解 设设 X 为命中数，为命中数，(1)(2)(3)27解解例例 某经理有七个顾问，对某决策征求意见，经理听取某经理有七个顾问，对某决策征求意见，经理听取多数人的意见。若每位顾问提出正确意见的概率均为多数人的意见。若每位顾问提出正确意见的概率均为0.7，且相互独立，求经理作出正确决策的概率。，且相互独立，求经理作出正确决策的概率。提出正确意见的顾问人数提出正确意见的顾问人数 则经理作出正确决策的概率为则经理作出正确决策的概率为 28解解例例 对某药

12、物的疗效进行研究，假定这种药物对某种对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率疾病的治愈率p=0.8。现在现在10个患者同时服此药，求个患者同时服此药，求至少有至少有6个患者治愈的概率个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立假定患者之间相互独立)。治愈人数治愈人数 则至少有则至少有6个患者治愈的概率为个患者治愈的概率为 这这个概率是很大的，也即，如果治愈率确个概率是很大的，也即，如果治愈率确为为 0.8，则则在在 10 人中治愈人数少于人中治愈人数少于 6 人的情况是很少出人的情况是很少出现现的。的。因此，如果在一次因此，如果在一次实际试验实际试验中，中，发现发现 10 个病人中治个

13、病人中治愈不到愈不到 6 人，那么假定治愈率人，那么假定治愈率为为 0.8 就就值值得得怀怀疑了。疑了。29解解例例 假设有假设有10台设备，每台的可靠性台设备，每台的可靠性(无故障工作的概无故障工作的概率率)为为0.90，每台出现故障时需要由一人进行调整问，每台出现故障时需要由一人进行调整问为保证在为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？到调整，至少需要安排几个人值班？出故障机器台数出故障机器台数 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3个人值班个人值班 30问题：问题：若有若有200台设备呢？台设备呢？需中心极限定理解

14、决。需中心极限定理解决。解解出故障机器台数出故障机器台数 因此，至少需要安排因此，至少需要安排3个人值班个人值班 31解解例例 (保险事业保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为若一年中某类保险者的死亡率为0.005。现有现有1万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，保险者里面，(1)有有40人死亡的概率；人死亡的概率；(2)死亡人数死亡人数不超过不超过70人的概率。人的概率。死亡人数死亡人数 (1)(2)计计算相当复算相当复杂杂，下面介，下面介绍绍一个一个实实用的近似公式。用的近似公式。32证略证略.33解解例例 假如生三胞胎的概率为假如生三

15、胞胎的概率为10-4，求在求在10万次生育中，万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率。恰有两次生三胞胎的概率。10万次生育中生三胞胎的次数万次生育中生三胞胎的次数 直接用伯努利公式计算得直接用伯努利公式计算得 用泊松近似公式，用泊松近似公式，可见，当可见，当 n 非常大时，近似程度令人满意。非常大时，近似程度令人满意。34 在在历历史上史上泊泊松分布是作松分布是作为为二二项项分布的近似分布的近似,于于1837年由法国数学家年由法国数学家泊泊松引入的。近几十年来松引入的。近几十年来，作为描绘，作为描绘“稀有事件稀有事件”计数资料统计规律的概率分布，泊计数资料统计规律的概率分布，泊松分松分布日益布日益

16、显显示其重要性，成了概率示其重要性，成了概率论论中最重要的几个分中最重要的几个分布之一布之一，在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领，在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领域内都有重要应用域内都有重要应用 实实例：例：1）普）普鲁鲁士士骑骑兵每年被兵每年被马马踢死的人数服从踢死的人数服从参数参数为为0.61的泊松分布；的泊松分布；2）1500年到年到1932年之年之间间每年每年发发生生战战争的次数（争的次数（规规模模超超过过50000人）服从参数人）服从参数为为0.69的泊松分布。的泊松分布。(三三)泊松分布泊松分布(Poisson Distribution)35定义定义 若随机若随机变变量量

17、 X 的概率分布的概率分布为为 验证验证规规范性：范性：则则称称X服从服从参数为参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为麦克劳林级数麦克劳林级数36泊松分布的泊松分布的实际实际背景：背景：最简流最简流。例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头断头所形成的随机质点流。所形成的随机质点流。分布参数的概率意义：分布参数的概率意义：是是单位时间出现的随机单位时间出现的随机质点的平均个数质

18、点的平均个数。37例例 通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均5秒钟有秒钟有1辆汽车通过，求辆汽车通过，求10秒钟内通过的汽车不少于秒钟内通过的汽车不少于2辆的概率。辆的概率。解解 设设X为为10秒内通过的汽车数，秒内通过的汽车数，38例例 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，每月销售量服从泊松分布，=4 4，问在月初进货时问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以要库存多少件此种商品，才能以0.95的概率充分满的概率充分满足顾客的需要？足顾客的需要？解解销售量销售量 设设至少至少

19、库库存存 N 件，件，则则 经计算，必须取经计算，必须取 N=8。39(四四)几何分布几何分布 在在伯伯努利努利试验试验中，每次成功的概率中，每次成功的概率为为 p，若若记记 X为为首次成功首次成功时时所做的所做的试验试验数，数，则则 X 服从的概率分布服从的概率分布称称为为 几何分布几何分布：验证验证规规范性：范性：40例例 某人有某人有 n 把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第把试开，开后放回，直至打开为止，求第 s 次才打次才打开门的概率。开门的概率。解解 开门次数开门次数 X 服从几何分布，服从几何分布，41例例 设某

20、批产品共有设某批产品共有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品。按如件次品。按如下两种方式从中任选下两种方式从中任选 n 件产品件产品：(1)每次取出观察每次取出观察后放回；后放回；(2)不放回。设取得的次品数为不放回。设取得的次品数为 X，试分别试分别就所述的两种情形，求就所述的两种情形，求 X 的分布律的分布律.(五五)超几何分布超几何分布 (1)由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为概率均为M/N，所以所以解解即即42(2)若不放回，在若不放回，在N件产品中任选件产品中任选 n 件，其中恰好件，其中恰好有有 k件次品的取法共有件次品的取法共有

21、所以所以称之为称之为超几何分布超几何分布。43练习：练习：P64 习题二习题二1.2.3.4.44第三节第三节45一、概率密度函数一、概率密度函数则则称称X为连续为连续型随机型随机变变量，其中量，其中f(x)称称为为X的的概率密概率密度函数度函数，简简称称概率密度概率密度。由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连续型随机变量的分布函数是续型随机变量的分布函数是连续函数连续函数。46概率密度函数概率密度函数f(x)的基本性的基本性质质：47概率密度函数概率密度函数 f(x)的的其他其他性性质质：48(1)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为连续型随机变量

22、取任何一个指定值的概率为 0.即即,对于任意常数对于任意常数 c,有有(2)若若 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,则则说明：说明：而而 X=c 并非不可能事件并非不可能事件,称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出49解解例例 已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 确定系数确定系数 A，并求并求 X 的概率分布函数的概率分布函数 F(x).501 151例例 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 解解(1)(2)52所以所以(3)53例例

23、三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的寿命是随机变量寿命是随机变量(小时小时)，假设其概率密度为假设其概率密度为 且三个元件的工作状态相互独立试求，且三个元件的工作状态相互独立试求，(1)该该电电路路在在使使用用了了150小小时时后后，三三个个元元件件仍仍都都能能正正常工作的概率常工作的概率；(2)该该电电路路在在使使用用了了300小小时时后后，至至少少有有一一个个元元件件损损坏的概率坏的概率。54解解(1)该该电电路路在在使使用用了了150小小时时后后，三三个个元元件件仍仍都都能能正正常工作的概率常工作的概率；表示表示“在使用了在使用了150个小

24、时后，第个小时后，第k个元件个元件仍然能正常工作仍然能正常工作”：55解解(2)该该电电路路在在使使用用了了300小小时时后后，至至少少有有一一个个元元件件损损坏的概率坏的概率。56练习：练习：P64 习题二习题二5.6.16.57二、几种常见的连续型随机变量的分布二、几种常见的连续型随机变量的分布定义定义 如果随机如果随机变变量量X的概率的概率密度密度为为 则称则称 X 服从区间服从区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作1 1、均匀分布、均匀分布 (Uniform Distribution)58它的分布函数为它的分布函数为59 这这表明，表明，X 取取值值于于(a,b)内的任一区

25、内的任一区间间的概率与区的概率与区间间的的长长度成正比，而与度成正比，而与该该区区间间的具体位置无关的具体位置无关，这这就是均匀分布的概率意就是均匀分布的概率意义义。60例例 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀之间的均匀随机变量随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率。分钟的概率。解解依题意，依题意，以以7:00为起点为起点0,以分为单位，以分为单位

26、，为使候车时间少于为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.61解解例例所求概率所求概率为为 622 2、指数分布、指数分布(Exponential Distribution)定义定义 如果随机如果随机变变量量 X 的概率的概率密度密度为为 记为记为分布函数为分布函数为规范性：规范性：63 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来

27、作为各种常用它来作为各种“寿命寿命”的分布的近似。例如。的分布的近似。例如。电子电子元件的寿命。电话的通话时间。微生物的寿命。随机服元件的寿命。电话的通话时间。微生物的寿命。随机服务系统中的服务时间务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布。等都可认为是近似服从指数分布。指数分布有一个重要性质：指数分布有一个重要性质：“无后效性无后效性”或或“无记无记忆性忆性”。具体叙述如下：。具体叙述如下：证证64 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命的寿命,则上式表明则上式表明,在该元件已工作了在该元件已工作了s小时的条件下小时的条件下,它还能

28、继续工作它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间小时的概率与已经工作过的时间s无关无关.换句话说换句话说,如果元件在时刻如果元件在时刻s还还“活着活着”,”,则它的剩余寿命则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间而与它已工作了多长的时间无关无关.所以有时又称指数分布是所以有时又称指数分布是“永远年轻永远年轻”的的.值得指出的是值得指出的是,我们可以证明我们可以证明,指数分布是唯一具有指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布无记忆性的连续型分布.65例例 假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数为为0.

29、1的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求通话，试求:解解(1)此人至少需要等此人至少需要等10分钟的概率分钟的概率；(2)此人需要等此人需要等10到到20分钟的概率分钟的概率 66例例 假设某种设备的使用寿命假设某种设备的使用寿命 X(年年)服从参数为服从参数为0.25的的指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备在一年指数分布。制造这种设备的厂家规定，若设备在一年内损坏，则可以调换。如果厂家每售出一台设备可赢内损坏，则可以调换。如果厂家每售出一台设备可赢利利100元，而调换一台设备厂家要花费元，而调换一台设备厂家要花费300元，求每台元，求每

30、台设备所获利润设备所获利润 Y 的分布律。的分布律。解解X 的密度函数为的密度函数为 所以所以 Y 的分布律为的分布律为 YP100-200673 3、正态分布、正态分布 (Normal Distribution)正正态态分布是概率分布中最重要的一种分布，分布是概率分布中最重要的一种分布，这这有有实实践与理践与理论论两方面的原因。两方面的原因。实实践方面的原因是，正践方面的原因是，正态态分布是自然界最分布是自然界最常见常见的一种的一种分布，例如分布，例如测测量的量的误误差、炮差、炮弹弹的落点、人的身高与体重、的落点、人的身高与体重、农农作物的收作物的收获获量、波浪的高度等等都近似服从正量、波浪

31、的高度等等都近似服从正态态分布。分布。一般来一般来说说，如果影响某一随机，如果影响某一随机变变量的因素很多，而每一个量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且因素都不起决定性作用，且这这些影响是可以叠加的，些影响是可以叠加的，则这则这个随机个随机变变量服从正量服从正态态分布，分布，这这点可用下一章的极限定理来点可用下一章的极限定理来加以加以证证明。明。从理从理论论方面来方面来说说，正，正态态分布有分布有许许多良好的性多良好的性质质，如正，如正态态分布可以分布可以导出导出一些其它分布，而某些分布（如二一些其它分布，而某些分布（如二项项分布、分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正泊松分布等）在

32、一定的条件下可用正态态分布来分布来近似近似。68定义定义 如果随机如果随机变变量量X的概率密度的概率密度为为 69正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：(1)对称轴：对称轴：(2)渐近线：渐近线：(3)单调性：单调性：70正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：(4)顶顶点点(最大最大值值)：(5)两个拐点两个拐点：71正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：72正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为73的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：0.51泊泊松松积

33、积分分74书末书末 P195 附有标准正态分布函数数值表附有标准正态分布函数数值表.表中给的是表中给的是 x 0 时时,(x)的值的值.当当 x 0 时，时，75若若 XN(0,1),例例解解76任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。为标准正态分布。定理定理77例例解解78解解例例79例例这在统计学上称作这在统计学上称作“3 原则原则”(三倍标准差原则三倍标准差原则)，生，生产中常作为质量控制的依据。产中常作为质量控制的依据。8068.26%68.26%95.44%95.44%99.74%99.74%81例例 设设某某批批鸡鸡蛋

34、蛋每每只只的的重重量量X(以以克克计计)服服从从正正态态分分布布 XN(50 25)(1)求从该批鸡蛋中任取一只求从该批鸡蛋中任取一只 其重量不足其重量不足45克的概率克的概率；(2)从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取一一只只 其其重重量量介介于于40克克到到60克克之之间的概率间的概率；(3)若若从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取五五只只 试试求求恰恰有有2只只鸡鸡蛋蛋不不足足45克的概率克的概率；(4)从该批鸡蛋中任取一只其重量超过从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率克的概率；(5)求最小的求最小的 n 使从中任选使从中任选 n 只鸡蛋只鸡蛋 其中至少有一只其中至少有一只鸡蛋的重量超过鸡

35、蛋的重量超过60克的概率大于克的概率大于0 99。解解(1)82(3)设设 Y 为为 5 只鸡蛋中重量不足只鸡蛋中重量不足 45 克的鸡蛋数克的鸡蛋数，则则Y B(5 0.1587)故所求概率为故所求概率为(2)2 0.9773 1 0.9546；(2)从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取一一只只 其其重重量量介介于于40克克到到60克克之之间间的的概概率率；(3)若若从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取五五只只 试试求求恰恰有有2只鸡蛋不足只鸡蛋不足45克的概率克的概率 83 设设 Z 表示表示n只鸡蛋中重量大于只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数克的鸡蛋数 则则 Z B(n 0.0228)(4)(5)因

36、为因为欲使欲使即即解得解得(4)从该批鸡蛋中任取一只其重量超过从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率克的概率；(5)求最小的求最小的 n 使从中任选使从中任选 n 只鸡蛋只鸡蛋 其中至少有一其中至少有一只鸡蛋的重量超过只鸡蛋的重量超过60克的概率大于克的概率大于 0 99。84例例 若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间过市区，路程短但拥挤，所需时间(分分)服从正态分布服从正态分布N(50,100)；第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间所需时间(分分)服从正态分布

37、服从正态分布N(60,16)。问：问：(1)假如有假如有70分钟可用，应选哪条路？分钟可用，应选哪条路？(2)若只有若只有65分钟，又应分钟，又应走哪条路？走哪条路？解解 记行走时间为记行走时间为 t，(1)若有若有70分钟可用，分钟可用，走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 85走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 因此，若有因此，若有70分钟可用，应选第二条路线。分钟可用，应选第二条路线。解解记行走时间为记行走时间为 t，(1)若有若有70分钟可用分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 86走第二条路线能及时赶

38、到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 因此，若有因此，若有65分钟可用，应选第一条路线。分钟可用，应选第一条路线。(2)若有若有65分钟可用分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 解解记行走时间为记行走时间为 t，87解解例例 若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N(400,1002)，共有共有2000人参加考试，假定只录取前人参加考试，假定只录取前300名，求分数线名，求分数线 a，使考生总分超过使考生总分超过 a 的概率等于的概率等于升学率。升学率。设设X表示考试总分，则表示考试总分，则 88练习：练习：P64

39、 习题二习题二7.8.9.10.11.12.89第四节第四节 90 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是由命中点的位置是由一对随机变量一对随机变量(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量(三个坐标）来确定三个坐标）来确定的等等的等等.91 一一般般地地，我我们们称称n个个随随机机变变量量的的整整体体

40、X=(X1,X2,，Xn)为为 n 维维随随机机变变量量或或随机向量随机向量.由于从二维推广到多维一般无实质性由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.92一、二维离散型随机变量及其分布律一、二维离散型随机变量及其分布律则则称二称二维维表表 为为(X,Y)的的联合分布律联合分布律。1 1、联合分布、联合分布9394例例 袋中有袋中有2只白球只白球3只黑球，有放回摸球两次，定只黑球，有放回摸球两次，定义义 X 为第一次摸得的白球数，为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的

41、白为第二次摸得的白球数，求球数，求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。解解95解解例例 袋中有袋中有2只白球只白球3只黑球，有放回摸球两次，定只黑球，有放回摸球两次，定义义 X 为第一次摸得的白球数，为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白为第二次摸得的白球数，求球数，求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。96例例解解由于由于 所以所以 97故故(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为 982 2、边缘分布、边缘分布设设(X,Y)是离散型二维随机变量，联合分布律为是离散型二维随机变量，联合分布律为则边缘分布为则边缘分布为99例例 袋中有袋中有2只白球只白球3只黑只黑球，有放回摸球两次，

42、定球，有放回摸球两次，定义义 X 为第一次摸得的白球为第一次摸得的白球数，数，Y 为第二次摸得的白为第二次摸得的白球数，则球数，则(X,Y)的联合分的联合分布律为布律为 所以所以 X,Y 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为100若改为无放回摸球，则若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为边缘分布为边缘分布为101边缘分布为边缘分布为与有放回的情况比较，与有放回的情况比较，但边缘分布却完全相同。但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，两者的联合分布完全不同，若改为无放回摸球，则若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为102例例 设随机变量设随机变量(X

43、,Y)的联合分布为的联合分布为解解求：求：(1)c；(1)120010.1c0.10.10.20.2103解解(1)0.3(2)边缘分布边缘分布0.30.40.30.50.5100.50.5120010.10.10.10.20.21200.30.40.3求：求：(1)c；例例 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布为的联合分布为104解解(1)0.30.40.30.50.50.3120010.10.10.10.20.2求：求：(1)c；例例 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布为的联合分布为105二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二维随机变量二维随机变量(X,Y)X 和

44、和 Y 的联合分布函数的联合分布函数X 的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量 Xxx106二维随机变量分布函数的基本性质二维随机变量分布函数的基本性质107边缘分布函数与联合分布函数的关系边缘分布函数与联合分布函数的关系即即同理同理,二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,用联合分用联合分布来刻画布来刻画.而而 X 和和 Y 都是一维随机变量都是一维随机变量,各有自己各有自己的分布的分布,称为称为边缘分布边缘分布.108例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为则边缘分布函数为则边缘分布函数为其中参数其中参数109说明说明：联联合分

45、布可以唯一确定合分布可以唯一确定边缘边缘分布，但是分布，但是边缘边缘分分布一般不能唯一确定布一般不能唯一确定联联合分布。也即，二合分布。也即，二维维随机向量随机向量的性的性质质一般不能由它的分量的个一般不能由它的分量的个别别性性质质来确定，来确定，还还要要考考虑虑分量之分量之间间的的联联系，系，这这也也说说明了研究多明了研究多维维随机向量随机向量的作用。的作用。边缘分布与参数边缘分布与参数无关。无关。110三、二维连续型随机变量及其密度函数三、二维连续型随机变量及其密度函数1 1、联合分布、联合分布111平面平面上的一个区域上的一个区域.112例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合

46、密度函数为的联合密度函数为解解(1)由规范性由规范性1131141152 2、边缘分布、边缘分布设设(X,Y)是连续型二维随机变量，联合密度函数为是连续型二维随机变量，联合密度函数为由于由于所以所以(X,Y)关于关于 X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为同理同理,关于关于 Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为116求：求：(1)c 的值；的值；(2)两个边缘密度；两个边缘密度；解解 (1)xy01例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为117xy01(2)所以所以118xy01所以所以(2)119xy01120 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域,其

47、其面面积积为为A.若若二二维维随机变量随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.若若(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布,则对于则对于G中中任一子区域任一子区域D,有有二维均匀分布二维均匀分布121 于是于是(X,Y)落在落在G中任一子区域中任一子区域D的概率与的概率与D的面的面积成正比积成正比,而与而与D的形状和位置无关的形状和位置无关.在这个意义上在这个意义上我们说我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是区域内是“等可能等可能”的。的。122例例解解 随机向量随机向量(

48、X,Y)的密度概率为的密度概率为 xyO21D其他其他123解解 随机向量随机向量(X,Y)的密度概率为的密度概率为 其他其他xyO21D例例124若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度记作记作则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且二维正态分布二维正态分布125可以证明可以证明,若若则则 这就是说，这就是说，二维正态分布的两个边缘分布仍然为二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数而且其边缘分布不依赖于参数 。因此可。因此可以断定参数以断定参数 描述了描述了X与与Y之间的某种

49、关系之间的某种关系!由联合分布可以确定边缘分布；由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.再次说明联合分布和边缘分布的关系：再次说明联合分布和边缘分布的关系：126四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量，若对任意的若对任意的 x,y,则称则称 X,Y 相互相互独立独立.127上式用分布函数表示，即上式用分布函

50、数表示，即情形情形1 1 (X,Y)是是离散型离散型随机变量，则随机变量，则 X,Y 相互独立相互独立的定义等价于的定义等价于128例例 袋中有袋中有2只白球只白球3只黑球，摸球两次，定义只黑球，摸球两次，定义 X 为第为第一次摸得的白球数，一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，则有为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为的联合分布和边缘分布分别为 经验证，放回经验证，放回时时，X与与Y相互独立；相互独立；不放回不放回时时，不独立。，不独立。129例例 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 且且 X 与与 Y 相互独立，试求相互独立