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1、19.简单有理函数的积分电子课件3.6 3.6 简单有理函数简单有理函数的积分的积分山西职业技术学院山西职业技术学院-1-1-陈希孺院士赠言学好数学重在多做习题陈希孺院士赠言学好数学重在多做习题-2-2-学习物理、化学、生物这类实证科学,离不开实验。数学好像没有实验。其实不然,数学的实验就是习题。如果说学好数学有什么经验,那么多做习题就是最重要的一条。学习数学要多做习题,边做边思索。先知其然,然后知其所以然。苏步青 苏步青苏步青(1902年9月23日-2003年3月17日),浙江温州平阳人,祖籍福建省泉州市,中国科学院院士,中国著名的数学家、教育家,中国微分几何学派创始人,被誉为东方国度上灿烂
2、的数学明星、东方第一几何学家、数学之王。教学目标教学目标知识目标知识目标理解有理函数、真分式、假分式、理解有理函数、真分式、假分式、简单分式、部分分式等概念简单分式、部分分式等概念掌握将真分式分解成若干部分分式掌握将真分式分解成若干部分分式之和的方法之和的方法熟练掌握四类部分分式的积分法熟练掌握四类部分分式的积分法-2-2-技能目标技能目标掌握有理函数积分的计算技能掌握有理函数积分的计算技能素质目标素质目标训练学生严密的逻辑思维能力,培养学训练学生严密的逻辑思维能力,培养学生严谨的学习态度生严谨的学习态度培养学生观察能力和分析能力培养学生观察能力和分析能力培养学生的不怕困难,勇于面对难题的培养
3、学生的不怕困难,勇于面对难题的自信和勇气自信和勇气-3-3-教学重点教学重点教学难点教学难点有理函数、部分分式等概念有理函数、部分分式等概念有理函数的积分的计算方法有理函数的积分的计算方法有理函数化为整式与若干部有理函数化为整式与若干部分分式之和的方法分分式之和的方法-4-4-提提问问与与思思考考:什什么么是是整整式式、真真分分式式、假假分分式式?并并判判断断下下列列分分式式分分别别是是什什么么类类型型的的分分式式?之之间间有何关系:有何关系:一一般般地地:任任何何假假分分式式都都可可以以分分解解为为一一个个整整式式与与一个真分式的和。一个真分式的和。-5-5-观察:观察:观察下列等式观察下列
4、等式-6-6-部分分式:部分分式:形如以下分式的称为部分分式 其中 -7-7-一般地,一般地,(1 1)当真分式的分母含有一次因式)当真分式的分母含有一次因式 时,分时,分解式应有形如解式应有形如 的部分分式;的部分分式;(2 2)当真分式的分母含有)当真分式的分母含有 时,则分解时,则分解后为后为 个部分分式之和:个部分分式之和:-8-8-(3 3)当真分式的分母含有质因子)当真分式的分母含有质因子 时,则分解后为时,则分解后为 个部分分式之和个部分分式之和 -9-9-分式分解为部分分式的方法:分式分解为部分分式的方法:待定系数法例例1 1 将分将分 解为部分分式解为部分分式解解 先将分母分
5、解因式:其中其中 为待定系数为待定系数.设设-10-10-注意:注意:确定待定系数的方法通常有两种:一种方确定待定系数的方法通常有两种:一种方法是将分解式两端消去分母法是将分解式两端消去分母,得到一个得到一个 的恒等的恒等式式,比较恒等式两端比较恒等式两端 同次幂项的系数同次幂项的系数,可得出可得出一组线性方程一组线性方程,解这个方程组解这个方程组,即可得出待定系即可得出待定系数数;另一种方法是将两端消去分母后另一种方法是将两端消去分母后,以适当的值以适当的值代入恒等式代入恒等式,而得出一组线性方程而得出一组线性方程,解此方程组解此方程组,可求出待定常数可求出待定常数.-11-11-按第一种方
6、法求待定系数去分母,两端同乘以 得即比较两边系数得解得因此-12-12-按第二种方法求待定系数在上面的恒等式 中令 得 ;令 得两种解法结果完全一致,以下我们主要采用第二种解法.例例2 2 将将 分解为部分分式分解为部分分式解解 根据分解方法,所给真分式分解后为:-13-13-去分母得令 得 ;令 得 ;令 并将 和 代入得 .从而例例3 3 将将 分解为部分分式分解为部分分式解解 根据分解方法,所给真分式分解后为:-14-14-去分母得令 得 ;令 得 ;所以比较 的系数得 ,得 ,因此 一般地,真分式总可以分解为部分分式之一般地,真分式总可以分解为部分分式之和,且分解唯一和,且分解唯一.部
7、分分式有以下部分分式有以下4 4种类型:种类型:-15-15-前面三种部分分式的积分较易计算,第四种过于繁复,不在这里讨论。例例4 4 求求 .解解 由例由例1 1得得-16-16-例例5 5 求求 .解解 由例由例2 2得得 -17-17-例例6 6 求求 .解解 因为因为 ,分母是质因式,改写被积函,分母是质因式,改写被积函数分子为数分子为(这里(这里 正好是分母的导数)正好是分母的导数)这样就有这样就有 -18-18-例例7 7 求求 .解解 根据真分式分解法,可得根据真分式分解法,可得(其中其中 是待定系数是待定系数)去分母得-19-19-令 得 ;令 得 ;所以 ;比较 的系数得 ,得 ,从而上式第二个积分是例上式第二个积分是例6 6,因此,因此 -20-20-注意:注意:上面介绍的是有理函数积分的一般方法,上面介绍的是有理函数积分的一般方法,实际计算比较麻烦,因此解题时应优先考虑其实际计算比较麻烦,因此解题时应优先考虑其它简便方法它简便方法.如如:求求 时,就不必将分母时,就不必将分母因式分解为因式分解为 ,把,把 化为部分分化为部分分式进行运算式进行运算,而可以直接用凑微分法而可以直接用凑微分法总而言之,有理函数积分的常规办法总而言之,有理函数积分的常规办法,是在其是在其它简单积分法都不适合的情况下才采用的它简单积分法都不适合的情况下才采用的.-21-21-
限制150内