有理函数的积分 教学课件教学课件高等数学.pptx

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1、有理函数的积分 教学课件教学课件高等数学有理函数的积分有理函数的积分0101三角有理函数的积分三角有理函数的积分0202目录04:50:094.4.1 有理函数的积分3有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，也称为有理分式.有理分式的一般表达式为其中 为自然数；及 都是实数，并且 .在有理分式中，当 时，称之为真分式；当 时，称之为假分式任意一个假分式都可以化为一个多项式和一个真分式的和例如因此有理函数的积分可以转化为多项式或真分式的积分，多项式的积分比较简单，所以只需要讨论真分式的积分.04:50:094.4.1 有理函数的积分4要求解真分式 的积分，需要用到代数学中的两个结论：（1）

2、任一多项式在实数范围内都可分解为一次因式和二次质因式的乘积；（2）分母 在实数范围内能分解成如下形式：其中 ，则真分式 可以被分解为如下最简分式（分母只含一个一次因式或一个二次质因式的真分式）的和.04:50:094.4.1 有理函数的积分5其中等为待定常数，利用待定系数法可以将所有的系数确定.04:50:094.4.1 有理函数的积分6真分式的积分最终归结为如下面两种部分分式的积分：对于第(1)种部分分式的积分，将 凑成 ，然后利用换元和基本积分公式直接可以积出.下面我们重点讨论第（2）种部分分式的积分.若 ，则第(2)种部分分式变为 ，将被积函数的分母配方得04:50:094.4.1 有理

3、函数的积分7令 ，将 代入到被积函数，则被积函数变形为此时记 ，则有，04:50:104.4.1 有理函数的积分8若 ，借助于上述记法，则04:50:104.4.1 有理函数的积分9例1 求解 被积函数 是真分式，可分解为最简分式之和其中 为待定系数，可以按照如下的方法求出待定系数.在分解式两端消去分母得比较 的各次幂的系数得04:50:104.4.1 有理函数的积分10解得 ，.从而 所以04:50:104.4.1 有理函数的积分11解得 ，.从而 所以04:50:104.4.1 有理函数的积分12例2 求解 被积函数的分母含有 和二次质因式 ，按照式（4.3）等式的两端去分母得：比较 的各

4、次幂的系数得的分解公式，得04:50:104.4.1 有理函数的积分13解得 ，.所以04:50:104.4.1 有理函数的积分14例3 求通分得 .解 先将被积函数分解成最简分式之和，分别取 ，可求得 ，.于是04:50:104.4.1 有理函数的积分15例4 求两端去分母，得 .解 先将被积函数分解成最简分式之和,取分别取 ，可求得 ，.于是04:50:104.4.1 有理函数的积分16 以上将有理真分式函数分解为简单分式之和求其积分的方法称为待定系数法.确定简单分式分子中的待定常数，例1和例2所用的方法称为比较系数法；例3和例4 采用了对x取特殊值的方法，称为特殊值法.例5 求解04:5

5、0:104.4.1 有理函数的积分17例6 求解有理函数的积分有理函数的积分0101三角有理函数的积分三角有理函数的积分0202目录04:50:114.4.2 三角有理函数的积分19由 ，及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于 ，的有理式，并用 来表示.其中 称为三角有理函数.万能公式04:50:114.4.2 三角有理函数的积分20可以看出，在此组公式中，都是关于 的有理函数，所以在三角有理函数的积分中，如果令 ，则 ，就可以将三角有理函数转化为关于变量 的有理函数.即04:50:114.4.2 三角有理函数的积分21例7求解 取令 ，则 ，于是04:50:114.4.2 三角有理函数的积分22例8求解 取令 ，则 ，于是04:50:114.4.2 三角有理函数的积分23例9求解 由于故令 ，就有在此例中，如果仍令 ，则不如上法简单.通常当被积函数是，及 的有理式时，采用变换 往往较为简便.