2015年同济大学第六版高等数学课后答案详解全集.pdf

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1、同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11.设/=(一8,-5)u(5,+8),8=-10,3),写出 及小(/W)的表达式.解 3)U(5,+8),Nc8=10,-5),/5=(一 叫 一10)。(5,+),小(N5)=10,5).2.设/、8是任意两个集合，证明对偶律:(/C8)C4CU BC证明因为x e(Nc8)C Q x任N c B=x A 或 或 x e B，=x e K 必，所以(ArB)c=Ac uBc.3 .设映射/:XTY,/U,8UY.证明(l)/(u 5)=/()u/(5);Q W c B L B).证明因为ye Jl Av j B B x e AuB,.J(x -

2、yQ(因为 x e /或 x e 8)ye/(N)或 ye/(fi)=y W A L),所以 J(AuB)=/(A)5.(2)因为ye f l Ac 8)=玉eAc 8,使/(x)中(因为 x且 x e 8)yw/且 yw j(B)n yegMB),所以 J(Ac B)5A)e(B).4 .设 映 射 若 存 在 一 个 映 射g:AX,使g/=/x，/*=/y,其中ZY、。分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个x e X,有/XE；对于每一个联匕有。产犬.证明:/是双射，且g是/的逆映射:g=r-证明因为对于任意的ye 丫，有x=g(y)e X,且段)切现)=4，即丫中任意元素都是X中某元素

3、的像，所以/为X到丫的满射.又因为对于任意的 X1H X2,必有7(X)M X2),否则若7(X1 月(X2)=g y(Xi)=g/(X2)=X|=%2.因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：yX,因为对每个ye y,有g(y)=xeX,且满足Xx)=/g(y)=4尸乂按逆映射的定义,g 是/的逆映射.5.设映射证明：(1 尸)R;(2)当/是单射时，有/1(/(4)=4.证明 因为x&A=危)=收/=尸8)=代尸(/(/),所以 尸(/口4(2)由知。1帆/)=)4另一方面，对于任意的xe尸)n存在度/，使尸(y)=x/(x)可.因为ye/且/是单射，所以x e 4这就证明了尸(

4、/(Z)u4.因此尸)=4 .6.求下列函数的自然定义域：(l)y=j3x+2;解 由3x+2K)得x -|.函数的定义域为-东+2.(2)尸l-xz解 由1-2切得丘 1.函数的定义域为(-8,-1)5-1，1)51，+)(3)y=l-V l-x2；X解 由4 0且l-x2 0得函数的定义域D=-l,0)u(0,1.解 由4 T 20得网2,4.(8)y=A/3-X+arctan;x解 由3-X20且/0得函数的定义域 =(-8,0)50,3).(9)尸 ln(x+l);解 由x+l 0得函数的定义域。=(-1,+8).1(10)片 风解 由K 0得函数的定义域 小(-巴0)u(0,+8).

5、7.下列各题中，函数./(X)和g(x)是否相同？为什么？(l)/(x)=lg x 2,g(x)=21g x;(2)/(x)=x,g(x)=&;(3)f(x)-yj X4-X3,g(x)-x y/x-.(4)/(x)=1,g(x)=s e c2x-t a n2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设夕(x)=I s i n X匹3万一3-XX到5)，奴-?)，板-2),并作出函数尸灰x)O的图形.解 奴，闫s i n，|=J,以q)g s i吟|=卓，奴 q)g s i

6、 n(一9|=*，奴-2)=0.6 624 4 2 4 4 29.试证下列函数在指定区间内的单调性：产 片，(一8,1)；l-x(2)y=x+n x,(0,+8).证 明(1)对于任意的孙应(-8,1),有1-工1 0,1 -、2 0.因为当X1 X2时,v_v 巧 一 电 所以函数片盘在区间S D内是单调增加的.(2)对于任意的修,。(0,+8),当X1 X2时,有yty2=(x1+ln x1)-(x2+ln x2)=(x1-x2)+ln 0,x2所以函数尸x+ln x在区间。一)内是单调增加的.10.设/(X)为定义在(-/,/)内的奇函数，若/(x)在(0,7)内单调增加，证明/(X)在

7、(-/,0)内也单调增加.证明 对于 Vx i,x2e (-7,0)且%i 口2.因为寅x)在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以,/(-X2)/(-X|),2)/(X1),这就证明了对于Vx i,X2C (-/,0),有加1)g(x).如果/(X)和g(x)都是偶函数，则尸(-X)=/(T)g(-X)y x)g(X)=F(X),所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果寅X)和g(x)都是奇函数，则F(-x)=/(-x)g(-x)=-/(x)-g(x)=/(x)g(x)=E(x),所以2 x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/(X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则尸(T)y

8、-X g(-X)4 x)M x)=M x g(X)=-F(X),所以尸(X)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)y=x2(l-x2);(2)y=3x2-x3;尸1-X2.(4)尸x(x-l)(x+l);(5)y=si n x-cosx+l;心 ax+ax解(1)因为/(-X)=(X)2 l-(4=/(1_/)=/)，所以/(X)是偶函数.由负T)=3(-X)2-(T)3=3 x 2+d可见人X)既非奇函数又非偶函数.(3)因为5=1一 匕=E =/(x),所以火X)是偶函数.1 /-八/I V-(4)因为./(T)

9、=(T)(T-1 X x+l )=T(X+1)(工-1 )=d x),所以)是奇函数.(5)S/(-x)=si n(-x)-cos(-x)+l=-si n x-cos x+l 可见/(x)既非奇函数乂非偶函数.(6)因为/(_)=上 竽 里=二2=/3,所以./)是偶函数.13 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=cos(x-2);解是周期函数，周期为/=2 4(2=cos 4 x;解 是周期函数，周期为/=今.(3万=l+si n 不；解是周期函数，周期为1=2.(4)产x cos x;解不是周期函数.(5)y=si n2x.解是周期函数，周期为1=兀14 .求

10、下列函数的反函数：(1 4=后?错 误！未指定书签。错误！未指定书签。；解 由 尸 也 不 得 书 所 以 产 屈！的反函数为产丫3-1.(2方=户 错 误！未指定书签。；解 由 片 户 得X=?,所 以 产 户 的 反 函 数 为 尸 户.1+x 1+y l+x 1+X(3)(ad-b分0);c x-a解 由 尸 得 了=长 ,所 以 歹=2”的反函数为歹=也她.c x+a c y-a c x-a c x-a(4)y=2 si n 3 x;解 由尸2 si n 3 x得1=3心1吟，所以尸2 si n 3 x的反函数为尸gar csi吟.(5)尸 l+l n(x+2);解 由尸l+l n(x

11、+2)得 x=ey l-29 所以尸l+l n(x+2)的反函数为 y=exl-2.片 岛 解 由片得X=l og2丁L,所 以 尸 的 反 函 数 为 片l og2 7.2V+1-i-y 2X+1 1-x15.设函数/(x)在数集X上有定义，试证：函数./(X)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数寅x)在X上有界，则存在正数M使/U)区M即这就证明了/(x)在X上有下界-A/和上界M再证充分性.设函数x x)在X上有下界K i和上界&,即K x)K2.取止m ax|K|,|&|,则-M K f x)K2 M,即 f x M.这就证明了/(x)在X上有界.

12、16.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值制和X 2的函数值：(l)p=w ,w=si n x,x=-9 x2=;6 3解 p=si n2x,y=si n 2点=(；)2=；/2=si n 2告=()2=_1(2)尸si n u,u=2x,x A:2=；8 4解 尸si n 2 x,yx=si n(2 )=si n=,2=si n(2 )=si n-=l.o 4 2 4 2(3)y=y/u,w=l+x2,X i=l,X2=2;解 y-J+x2,%=J1+12 =拒,y2-l 1+22=y5.(4)尸e”,u X1,X=0,X 2=l ；解 y=ex 2,y

13、=e 02=1,%=丁=0.2 (5)y=u,u=e,X|=l,X 2=1.解 y=e2x,yi=e21=e2,y2=e2(l)=e 2.17.设作)的定义域。=0,1,求下列各函数的定义域：(1)府);解 由0白2 1得恸 0)；解 由0口+。工1得 白4 1-，所以函数y(x+a)的定乂域为-q,1-。.(4)f(x+a)+/(x-a)(a0).解 由0 9+后1且0仝 启1得：当0 a 1时,a;当时，无解.因此2 2当时函数的定义域为3,1-0,当时函数无意义.1|x|1作出这两个函数的图形.1 日。r 1解/g(x)=o|ex|=l,即 y i g(x)=o-1|e*l -1x 0e

14、1|x|lg f(x)e/(x)e|x|=l,即g/(x)=lKJLA212121e1.e19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜 角 片1 0。(图1-3 7).当过水断面AB CD的 面 积 为 定 值S o时，求湿周L(L=Z 8+8 C+C。)与水深力之间的函数关系式，并指明其定义域.b图 1-3 7解 A B=D C=-,又 从!/伊 C+(6 C+2 c o t 4 0/)=S o 得s i n 4 0 28 C=学-c o t 4 0。/,所以hz=S o+2-coS4 0 h s i n 4 0自变量的取值范围应由不等式组0,学-c o t 4 0 0确定，定义域为0%3 c o

15、t 4 0.2 0.收敛音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过1 0 0 台以上的，每多订购1 台，售价就降低1 分，但最低价为每台7 5 元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1 0 0 0 台，厂方可获利润多少？解(1)当 0 L1 0 0 时,p=90.令 0.0 1(超 一 1 0 0)=90 7 5,得刈=1 6 0 0.因此当众1 6 0 0 时,p=7 5.当 1 0 0 x 1 6 0 0 时，p=90-(x-1 0 0)x 0.0 1=91 0.0

16、 1%.综合上述结果得到90 0 x 1 0 0/?=-91-0.Ol x 1 0 0 x 1 6 0 03 Ox 0 x 1 0 0(2)尸=(p-6 0)x=3 l x-0.0 l x2 1 0 0 x 1 6 0 0(3)尸=3 1 x 1 0 0 0-0.0 l x 1 0 0 02=2 1 0 0 0(元).习题1-21 .观察一般项x”如 下 的 数 列 的变化趋势，写出它们的极限：%=/；解 当 8 时，r =0,l i m =0.2 8 2 /=(-1)/;n解 当78时，r =(-1)1 0,l i m(-l)n-=0.n Z8 n(3)x=2+-y；解 当”-8 时，x=2

17、+4 -2,l i m(2+3)=2.n“-8 n(4)V；解 当 8 时，x =-1=1-0,l i m-1=1.(5)x=(1).解 当78时,x”=(-l)”没有极限.c o s华2 .设数歹I ”的一般项x”=.-.问l i m x=?求出N,使当 N时,x”与其7 7 一 8极限之差的绝对值小于正数,当句.0 0 1时，求出数M解 l i m xw=0.|c o s 4-|1 1!x-0|=-2-.l.V.0,要使h，Z 1 ,只要为 ,也 就 是 吗.取f,则VNN,旬X-0|8 4分析 要使|二一0|=1,即心，.证明 因为WQON=J=,当 N 时，旬-V-0|,所以 lim-

18、V=O.yjE n圾舞H；分 析 要使1 瑞 一 芥 息 而 今 8 n分 析 要使=/尤N时，有|耳 Lg,所以 78(4)lim0.999-9=l./?oo 匕 个分析要使0.99只须而胃l+lg!.证明 因为V 0T N=l+lgJ,当W N时，W|0.99-9-l|8u n=a,证明lim|”7|.并举例说明：如果数列%|有极限，但数列W00&未必有极限.证明因为lim.=a,所以X/0,mNeN,当 N 时，有|-亦,从而un-aun-a8数列*有极限，但数列 x“未必有极限.例如但lim(-l)不 一 8 一 8存在.5.设数列 与 有界，又limy=O,证明：limx/”=O.一

19、 8证 明 因为数列*”有界，所以存在M使V eZ,有区知又limy.=0,所以DQOTNGN,当 又时,有山 令.从而当N时，有 一 8M xnyn-xnyn M yn 8),证明:X”证明因为 X2*-1 T 4(左 一 8),X2k Ta(k T8),所以 WQO,3KX,当 2b l2K i-1 时，旬X2I-水；3K2,当 2 4 2 K 2 时，有|x 2 a|.取 N=max 2K i-l,2K 2,只要N,就有-a|8).习题1-31 .根据函数极限的定义证明：(1)lim(3x-l)=8;x-3分析因为|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,所以要使|(3x-1)-

20、8|,只须-3吊.证明 因为当0|x 3|b时，有|(3X-1)-8|,所以 lim(3x-l)=8.x-3(2)lim(5x+2)=1 2;分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5-2|,所以要使|(5x+2)-12|,只须|X-2|/.证明 因为V O b=*,当0|x-2|6时，有|(5x+2)12|2(3)lim =-4;x-2 x+2分析因为|弟 _(_ 4)卜|可 尹 卜 2小一(一2)1，所以要使|蓑卜(-4)|,只须|X-(-2)|.证明 因为7 0,正 ,当 04-(-2)|_ 2x+l2分析因为|是 4 2|+2x 2|=2|x(等所以要使15 备-2|,只须证明

21、因为V 06=g ,当0 6 (J b 时，有1-4 x 3-2|8 2x 2分析因为I l+x3 1 II 1 +3 一 /|1I 2x3 2 2x3 2|x|3所以要使|竽-扑，只 须 蔡 即 曲 卷.证明因为V o,m x=？,当恸x时，有所以limX ooI 2x3 2 尸 1 +X3 12(2)lim 平=0.1 2 y/x分析因为I啜 sinx一 ni1_|sinFx|五1所以要使I詈-0卜 ,只须-U7.y/x ez证明因为V o,m x=4,当xX时，有|牛-。|,1 y/x 1所以 lim =0.-y/X3.当x 7 2 时，片 才 24.问 b 等于多少，使当|x-2|6时

22、,yT2时,一 2|0,故可设,一2|1,即 lx3.要使|X2-4|=|X+2|X-2|5|X-2|0.00 1,只要以-2|”以=0.0002.取足0.0002,贝 U 当 0|x 2|6 时，就 有 4|X时,61|、愿工=厮，故 =回7.1 x2+3 1 x2+3 V0.015.证明函数./)=困当X TO时极限为零.证明因为|/(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|,所以要使a)-0 1 ,只须|x|.因 为 对 星 日 使 当0|x 0|4时有师)一0|=|因 0|0-x-0-X x-0lim f(x)=lim=lim 1=1,1 0+XT0+X x-o+lim f(x)=

23、lim/(x),x-0-X T0+所以极限lim f(x)存在.x-0因为lim 9(x)=lim =lim =-l,x 0-x 0-X x 0-Xlim 奴x)=lim =lim=1,x-0+x-o+x x-0+xlim 姒x)W lim(p(x),x-0-x-o+所以极限lim观x)不存在.X TO7.证明：若X T+8及X T-8时，函数兀0的极限都存在且都等于A,则lim f(x)-A.证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以Vf0,XT-X i)0,使当 x-X 时，有)-*0,使当x E时，有火x)-Z|.取X=max X,%,则当|x|X时，有火x)-Z|o,

24、m启0,使 当O|x-x o|6时,有fix)-AE.因此当x()-%x o和x()rro+b时都有师)一30,使当劭-44配 口 寸，有|/(x)-Z 0,使当的/配+时，有6x)-Z|.取应min 5j,%,则当 0|x-x0|时，有 x o-4 x x()及 x()aao+，从而有Ax)-AN(X Xo).9 .试给出x-8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解X 78时函数极限的局部有界性的定理：如果/(X)当X 78时的极限存在，则存在A 0及M 0,使当仅|X时,fxZ(x-8),则对于=l,3X0,当|x|X时，有所以贝x)|=|Ax)-Z+N 区 火x)-Z|+o及胚0,

25、使当MX时,代明0时,Xx)=2x,x)=3x都是无穷小，但lim缁?=!,缁?不是无穷小.2.根据定义证明：(l)y=x 一?当x-3时为无穷小；(2)y=x s in 当X TO时为无穷小.x证 明(1)当“3时|7|=正?卜 一3.因为Vo O T辰,当0,一3 0东巴 当0|x 0|3时，有X|y|=|x|s i n|x-O|0时的无穷大.问x应满足什么条件,X能使帆 1。4?1证明分析3=|臂H2+|1 2,要使y A/,只须占一2 A 1,即团X/证 明 因为/肪0,三6=弁 二，使当0 A O|6时，有|1 空A 1 +2 1 x所以当x O时，函数歹=1 空是无穷大.X取 代1

26、 0 4,则6=溢了当0/-0|1。4.4 .求下列极限并说明理由：M,X X1一1加了.XT。1-X解因为区 1=2+L而当X78时工是无穷小，所以l i m生1=2.x（2）因为X X X XT8 XW=l+X（l）,而当X T 时X为 无 穷 小,所 以 曰=15.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:加）於)8Xx)-+oo/(X)T-ooxfc（）V o,3 0,使当 O|x-xo|XQ解X 8Vo,axo,使当恸x 时，有恒X4-00X T/(x)7/./(x)8/(X)+8/(x)7 8X XoV 0,使当 O|x-x o|描 寸，有恒 l/(x)Z|0,3 0,使当 0 ,-对

27、M/M 0,3 0,使当 O|x-x o|(5 H 寸，有 恒 M M 0,3 0,使当 0 归-刈 树 寸，有恒 Ax)%o+VQO,三苏0,使当 0 x-x()5 n 寸，有恒火X)T|苏0,使当 0 x-x()MX/M 0,3(0,使当 0 -乂()MV M 0,m 0,使当 O x-x o (5 n 寸，有恒加)0,3 0,使当 O r o-x 8 l 寸，有恒l/(x)川Q,3&0,使当 0 x()-x 以/M 0,3 0,使当 0 r()-x 环/M 0,3 0,使当 O r o-x 8 l 寸，有恒/(x)8/0,止0,使当时，有恒HX)-A 0,1 0,使当Mx时，有恒l/(x

28、)|MVQO,少 0,使当h|X 时，有恒V o O,3 A 0,使当国 X时，有恒x 4-00V o O,3 A 0,使当x X 时，有恒 f x)-A 0,3 X 0,使当x X 时，有恒l A x)|MV f 0,环0,使当 x X 时，有恒为 x)M.X/o O,止0,使当 x X 时，有恒X T 8VoO,WO,使当x -X 时，有恒/X)-A 0,使当x MVQO,3 A 0,使当x M./0,止0,使当x M 例如y(2&R=2 左 左 co s 2 女杉2 左)(6 0,1,2,),当左充分大时，就有|M 2 左砌 当X+8时，函数尸X C O S X不是无穷大.这是因为V M

29、 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的 X,都有伏x)|.例如兴2 壮+乡=(2 而+介 0 5(2 碗+9=0(七0,1,2,),对任何大的N,当人充分大时，总有x=2 但(x)|=0 M例如当xk=-(=0,1,2,)2k 兀2时，有M )=2 +y,当人充分大时,当x-0+时，函数尸L in1不是无穷大.这是因为X XP M 0,对所有的苏0,总可以找到这样的点以 使0。式但歹(4)”.例如可取4=(0,1,2,)，2k兀当k充分大时,xkS,但兴x%)=2左;z s i n 2左kO8 x x解 lim(2-+-V)=2-lim-+lim 4r=2.X 8 X XZ X 8 X

30、X 0 X2 lim另三X 8 2xz x-1解_Llim=lim-，=自X 82x2-x-l oZ-1-1 y2X xz7 如2解 lim，=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.xt8 x-3xz-l或lim,=lim%3-0.X 8 x4-3x2-l X oo 2 11 7 4X/(1,x2 6x+8,(9)妈 h H解 l i m-6x+8=lim U-2)(A-4)=lim 2 =4-2=2X4 x2-5x4-4 x74(x-l)(x-4)X T4X-1 4-1 3(10)lim(l+l)(2-4)；XT8 X X解 lim(l+-)(2lim(l+-)-lim(2-)=lx2=2.

31、XT8 X XZ X-8 X XT8 X2(11)lim(l+8 2 4 2r +2 +3 d-F(w 1)(12)l i m-5-；一)8 4(一 1)An 1+2 +3+(-l).?1 i-/7 1 1W l i m-z-=l i m%=+l i m -二 支.一 8 w oo 2 /7 0 n 2(13)l i m(+D(+2)(+3)-5/解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为T0 0 5/7 5最高次项系数之比).或 U m(+I)(+?(+3)=_ H m(l+b(l+2)(i+3)=l.一 8 5疗 5 7 7 n Y l 5(14)啊年L

32、-3)；X T 1 l-x l-x解！呼占一3)_ Um l+x+，2-3l-x3 XT 1(l-x)(14-x+x2)J i m(I)(x+2)(l-x)(l+x+x2)=-!吧2.计算下列极限：则 淳解 因 为 则 黑/老 也 所 以!喘 缪=8r2(2)1 8 2 x 4-1y2解l i m=8 (因为分子次数高于分母次数).1 8 2 x 4-1(3)l i m(2 x3-x+l).解l i m(2 x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).X 003.计算下列极限：(1)limx2 sin-;X TO x解 limx2sin1=0(当x7O 时,f 是无穷小，而sin是有界变量).1

33、 0 x x(2)lim 电 皿.X 8 X解 Hm argtan%=(jm-L.arctanx=0 x 8时，1 是无穷小，x g x x-8 x x而 arctan x 是有界变量).4.证 明本节定理3 中的(2).习题1-51.计算下列极限：呵 笆；x-2 X-3解 1 加 当=奖=-9.X T2 x-3 2-3v2 _鼻解x辱 常=翳3=.解lim 叱 2x+lX T X2-l=lim 上 丫=lim-=0 x i(x l)(x+l)XT1X+1 2(4)lim4x3-2x2+x:so 3X2+2X解 im生 土 沁 宝i o 3X24-2X4X2-2X+1 1=lim.0i o 3

34、X4-22h想解 lim(x+?2一 厂=HmX2+2/?X：/?2 X2=Hm(2x+/?)=2x.方 TO h hr。h 力 70(6)lim(2+上);x-8 x x解 lim(2-+-)=2-lim-+lim-=2.x78 X X2 XT8 x XT8 XZ(7)lim f-1;x 8 2xi-x-解 叱 冬 丁2解 lim,=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.xTg x-3x-I或J_+J_lim J +j-=lim A-A=0.X 8x-3xz-K78 i 2 11 7 Txz 6x+8.-5x4-4?解 iimX；_6x+8=im(x _2)d)=iim=2.X4 x2-5x

35、+4 1 4 (x-l)(x-4)XT4X-1 4-1 3(10)lim(l+l)(2-4)；XT8 X X解 lim(l+-)(2)=iim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.XT8 X XZ x 8 X x-8 x2(11)lim(l+J+/)；2 4 2解 lim(l+?+H -)=lim 一 8 2 4 2 w 81+2+3+-+(-1)./(n-X)n布丑.1+2+3 H-F(w 1).2 1 v 1 1用 车 l i m-z -=l i m A-=l i m-=.w oo 几 z w oo 2 w 0 n 2(13)l i m(+D(+2)(+3)；解l i m(n+l)(

36、n+2)(n+3)=|(分子与分母的次数相同，极限为最高次项系数之比).或 l i m(+l)(+?(+3)=j _ H m(l+U(l+2)(1+3)=1.5 T 8 n n n 5(14)啊年L-3)；XT 1 1 -X 1解！呼 士-31-x3)=l i m 1+1+-3=一1加(I)(x+2),.s i (l-x)(l+x+x2)H (l-x)(l+x+x2)=_lim 2=_lXTll+X+%22.计算下列极限:则 在解 因 为*5=方 ，所以!吧1等=8r2(2)l i m .；x-82 x 4-1v2解l i m产7=8 (因为分子次数高于分母次数).is 2 x 4-1(3)l

37、 i m(2 x3-x+l).解l i m(2 x 3 x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).X 83.计 算下列极限：(1)l i m x2 s i n ;x-0 X解l i m/s i n L。(当x7 O时,/是无穷小，而s i n 1是有界变量).1 0 x x l i m陋 吗XT8 X解lim理里尤=limLarctanx=O(当x 8时，!是无穷小,XT8 X XT8 X X而arctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习 题1-71.当X TO时,2 x-f与f-d相比，哪一个是高阶无穷小？解 因为lim壬二4二lim葺 工=0,2x-x1 2 i o 2-

38、x1 1 2sin2M 2sin 吏(2)因为 lims e尸-1=2lim.8s x=lim 3=lim(=xxrO _ 2 xrOx2 cos X x-0 X2 X22 2Y2所以当 x 0 时，secx 1.所以当x70 口 寸,x2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2.当x1时，无穷小1-x和l-j Q)/。-/)是否同阶？是否等价？解(1)因为 lim I =Hm(l-x),+x+x)=1加(1+工+/)=3,x f 1-x 1 1-x x-l所以当X T 1时，1-X和1-是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为 lim-=glim(l+x)=l,x 1 1

39、X 2 X 1所以当X T 1时，1 T和g(l-x2)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3,证明：当X T 0时，有：(1)arctan 工 工；v-2(2)s e c x-.证明 因为lim a a n=加 一 =1(提示:令尸arctanx,则当x-0时,i o x yTOtanyy。)，所以当x 0时，arctanxx.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:蚂 等;形（心加为正整数）;tanx-sinxsin3xC Sinx-nx 一1。(Vl+x2-l)(/l+sinx-l)解 tan2x=li m3x=32x x o 2X 2 啊 需 =!叫 蓄 10oon-mnm.nm.sinx

40、(-1).(3)hmtanx;sinx=im一埠=lim上平=lim ocosxsin2x xo xz cosx 2(4)因为sinx-tanx=tanx(cosx-l)=-2tanxsin2-2 x-()2=-x3(x 0),折W-l=-j=77=仃(XT0),/(1+X2)2+yl+X2+1 3y/l+s i nx-sinxx(x 0),vl+sinx+1_lx3所以 朗 a sinx-nx 一 一;m 2 一_3(Vl+x2-l)(Vl+sinx-l)X0LX2.X5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:（1）a a（自反性）；若 a 以则止以对称性）；若 a ,止则公乂传递性）.证 明（

41、l）lim 2=l,所以a a;a(2)若a则l i m 4=1,从而因此小a;p a 若 2,小%5尸i吟崂=L因此”习题1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:(l)/(x)=x2 0 x l2-x x2解已知多项式函数是连续函数，所以函数段)在 0,1)和(1,2内是连续的.在x=l处，因为/(1)=1,并且然 /(加 蜂 N T，聊 /(，)=%(2-x)=L所以l i m/(x)=l,从而函数4 x)在ml处是连续的.XT1综上所述，函数./(x)在 0,2上是连续函数./。)=X -1 X l解 只 需考察函数在4-1和4 1处的连续性.在4-1处，因为人-1)二 一1,

42、并且l i m /(x)=l i m 1=1/(-1),x-r x-i-l i m /(x)=l i m x=-l=/(-I),x e i+X T-I+所以函数在x=-1处间断，但右连续.在x=l处，因为川)=1,并且l i m /(x)=l i m x=l=/(l),l i m f(x)=l i m 1=1 刁(1),X-l-XT1+XT1+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-8,-1)和(-1,+8)内连续，在 处 间 断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪 类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：v2 _ i(1)=-/-,x=l,x=

43、2;x -3x 4-2解片急因为函数在A2和 I处 无 定 义，所以一和X=1是函数的间断点.因 为 蚂 产 物 急1=8,所以Z是函数的第二类间断点;因为四产 崛 鹄 二 一2,所以A1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x=l处，令尸-2,则函数在ml处成为连续的.（2）y=,x=k,x=k兀+2（6 0,1,2,）;t a n x 2解 函 数 在 点（住Z）和工=以+等（住Z）处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因lim=8（麻0）,故六北攻后0）是第二类间断点;L t a n x因为l i m-=l,l i m =0（住Z）,所以4 0和*=左+V（A e Z）是第一x 7

44、0 t a n x x Tk兀 也 匕n x 22类间断点且是可去间断点.令加=0=1,则函数在，V=O处成为连续的；令X=ATT+等时，产0,则函数在X=ATT+等处成为连续的.（3）j =c o s2,x=0;x解因为函数卜=。0$2!在1=0处无定义，所以=0是函数y=c o s2的间断点.XX又因为l i m c o s21不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.x-0 x(4)产x-l X l =,解因为 l i m/(x)=l i m(x-1)=0.l i m /(x)=l i m(3-x)=2,所以曰是函数的第X T r X-1+X T 1+一类不可去间断点.3.讨论函数/（xA

45、limpx的连续性，若有间断点，判别其类型.W 1+力”111111XXXXOX-解/(呷 则 备 在分段点 x=l 处，因为 l i m /(x)=l i m (-x)=l,l i m /(x)=l i m x=-l,所以X-r X-l+X-l+X=-1为函数的第一类不可去间断点.在分段分x=l 处，因为 l i m/(x)=l i m x=l,l i m/(x)=l i m(-x)=-l,所以x=lX-1+X-1+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数x)在点X。连续且处M，则存在x()的某一邻域U(x o),当X G%o)时,同。0.证明不妨设於0)0.因为X x)在x o连续，所

46、以l i m f(x)-f(xo)O,由极限的局部保号性定理，存在x o的某一去心邻域)(x o),使当x w O(x o)时大刈0,从而当x e伏劭)时,/(x)0.这就是说，则存在x o的某一邻域伏刈)，当x e U(x o)时,/(x)H 0.5.试分别举出具有以下性质的函数作)的例子：(10,1,2,4，,土 ，士1，一是左)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=c sc C r)+c sc三在点x=0,1,2,1，-，切，工，一处是间断的x2 n且这些点是函数的无穷间断点.(2)/(x)在R上处处不连续，但/(x)|在R上处处连续；解函数/(x)=；在R上处处不连

47、续，但次x)|=l在R上处处连续.(3)/(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解函数/(x)=(*在R上处处有定义，它只在4 0处连续.习题1-91.求函数/(乃=史登 亘的连续区间，并求极限!嚼/(x)，蚂/(X)及解/(x)=x3+3x2 X 3=(x+3)(x-l)(x+l)x2+x-6(x+3)(x-2),函 数 在+)内除点x=2和x=-3外是连续的，所以函数,/(x)的连续区间为(-8,-3)、(-3,2)、(2,+oo).在函数的连续点=0处，lim f x)=八0)=5.x-0 2在函数的间断点m 2和m-3处，lim/(x)=l i mCv3)(x-lXx+l)=o o,

48、Hm/()=l i m(匕1 睁 1)=_6x-2 x-2(X+3)(X-2)-3 x-3 X 2 52.设函数段)与g(x)在点xo连续，证明函数奴x)=max/(x),g(x),x)=min/(x),g(x)在点xo也连续.证明已知 lim/(力/齿)，lim g(x)=g(xo).X xo X-可以验证1./(x)+g(x)+1 f(x)-g(x)I ,(x)=；/(x)+g(x)T/(x)g(x)|.因此(p(xn)=|./(XO)+g(x0)+|/(x0)-g(x0)|,(Xo)=；/(Xo)+g(Xo)-|/(Xo)-g(Xo)|.因为lim 叭x)=lim-/(x)+g(x)+|

49、/(x)-g(x)|X xo X TX o 2=lim/(x)+lim g(x)+|lim/(x)-lim g(x)|2 X X0 X xo XT/X TX o=g/(X o)+g(Xo)+|Xo)-g(Xo)|=於0),所以ax)在点Xo也连续.同理可证明欣X)在点xo也连续.3.求下列极限：(1)lim Vx2-2x4-5;x-0(2)lim(sin 2 x ;r(3)lim ln(2cos2x);X T与6d x+1-1.哂Xy/5 x4-yjX,(6)limx-ax-sinx-sinQ .x-a(7)lim(ylx2+x-y/x2-x).解(1)因为函数/a)=J、2 2 x+5是初等

50、函数,/)在点x=0有定义,所以lim Vx2-2x4-5=f(0)=Vo2-2-O+5=y/5.(2)因为函数x)=(sin 2x)3是初等函数，人x)在 点 有 定 义，所以Iim(sin2x)3=/()=(s in 2 )3=l.(3)因为函数/(x)=ln(2cos2x)是初等函数,/(x)在点x=J有定义，所以Olim ln(2cos2x)=/()=ln(2cos2)=0.T 6 66(4)1面 近 迫 =lim正耳匹画 0 X 10 X(Vx+1 4-l)二1加 1 =1 J.X-。Jx+1+1 J o+l+1 2X=lim?X TOX(VX工f+1)x-l X-1 x T(x-l