2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第23讲特殊平行四边形.pdf

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1、第二十三讲特殊平行四边形一、矩形1.定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形2.性质(1)矩 形 的 四 个 角 都 是;(2)矩形的对角线互相平分并且(3)矩形是一个轴对称图形，它有 条对称轴3.判定(1)根据矩形的定义；(2)有 个角是直角的平行四边形是矩形；(3)对角线 的平行四边形是矩形菱形L定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质(1)菱 形 的 四 条 边;(2)菱形的对角线互相 平分；(3)每条对角线平分(4)菱形是 对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点3.判定(1)根据菱形的定义；(2)四条边 的四边形是菱形：(3)对

2、角线互相 的平行四边形是菱形三.正方形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的 叫做正方形2 .性质正方形对边平行：正 方 形 四 边;正 方 形 四 个 角 都 是;正方形对角线相等，互相垂直平分，每 条 对 角 线 平 分;正方形既是轴对称图形也是 图形，对称轴有 条，对称中心是对角线的交点3 .判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的 是正方形；（3）有一个角是直角的 是正方形1.（2 0 1 7.湖南怀化）如图，在矩形A B C D 中，对角线A C,B D 相交于点0,/A 0 B=6 0 ,A C=6 c m,则 A B 的 长 是（）A.3 c m B.6 c m C

3、.1 0 c m D.1 2 c m2.（2 0 1 7 黑龙江佳木斯）如图，在矩形A B C D 中，A D=4,ND A C=3 0 ,点 P、E 分别在A C、A D 上，则 P E+P D 的最小值是（）A.2 B.2C.4 D.3，3.（2 0 1 7 山东临沂）在4 A B C 中，点 D是边B C 上 的 点（与 B,C两点不重合），过点D作D E A C,D F A B,分别交A B,A C 于 E,F两点，下列说法正确的是（）BDCA.若 A D _ L B C,则四边形A E D F 是矩形B.若 A D 垂直平分B C,则四边形A E D F 是矩形C.若 B D=C D

4、,则四边形A E D F 是菱形D.若 A D 平分/B A C,则四边形A E D F 是菱形4.（2 0 1 7 山东聊城）如图，ZX A B C 中，D E B C,E F A B,要判定四边形D B F E 是菱形，还需要添加的条件是（）A.A B=A C B.A D=B D C.B E A C D.B E 平分NA B C5.（2 0 1 7 四川南充）已知菱形的周长为4 巡，两条对角线的和为6,则菱形的面积为（）A.2 B./5 C.3 D.46.（2 0 1 7 江苏徐州）如图，在n A B C D 中，点 0是边B C 的中点，连接D 0 并延长，交 A B 延长线于点E,连接

5、B D,E C.（1）求证：四边形B E C 1）是平行四边形；（2）若/A=5 0 ,则当/B O D=1 0 0 时，四边形B E C D 是矩形.B7.(2 0 1 7 日照)如图，已知 B A=A E=D C,A D=E C,C E 1 A E,垂足为 E.(1)求证：4 D C A 丝/X E A C；（2）只需添加一个条件，即A D=B C （答 案 不 唯），可使四边形A B C D 为矩形.请加以证明.8.（2 0 1 7 宁夏）在A A B C 中，M 是 A C 边上的一点，连接 B M.将A A B C 沿 A C 翻折，使点B落在点D处，当 D MA B 时，求证：四边

6、形A B MD 是菱形.DB岳 不 析知识点一、矩形的性质及判定的应用【例 1】（2 0 1 7 广西河池）如图，在矩形A B C D 中，A B=J 2 E是 B C 的中点，A E L B D 于点F,则 C F 的 长 是 五.【考点】L B：矩形的性质.【分析】根据四边形A B C D 是矩形，得到NA B E=NB A D=9 0 ,根据余角的性质得到/B A E=/A D B,根据相似三角形的性质得到B E=1,求得B C=2,根据勾股定理得到BVBC2+CD2=V6-根据三角形的面积公式得到B F=警=坐，过 F作 F G _ L B C 于 G,AD J根据相似三角形的性质得到

7、C G=4,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：:四边形A B C D 是矩形，/.ZA B E=ZB A D=9 0 ,VA E 1 B D,A ZA F B=9 0 ,/.ZB A F+ZA B D=ZA B D+ZA D B=9 0 ,A ZB A E=ZA D B,A A A B E A A D B,.A D A B 二一一,A B B E是 B C 的中点，A D=2 B E,.2 B E2=A B2=2,.,.B E=1,，B C=2,*-AE=VAB2+BE2=V3 B D=/BC2+CD2=V6.3/坐,AE 3过 F作 F G J _ B C 于 G,；.F G C D,.

8、B F G A B D C,FG=BF=BGCDBD-BC，,F G=坐，B G=V，3 34.C G 可,C F=VFG2+CG2:Z V2.故答案为：V2.【变式】（2 0 1 6 四川眉山 3 分）如图，矩形A B C D 中，0为 A C 中点，过点0的直线分别与A B、C D交于点E、F,连结B F 交 A C 于点M,连结D E、B 0.若NC 0 B=6 0 ,F 0=F C,则下列结论：F B 垂直平分0 C；A E O B 丝ZX C MB；D E=E F；S ：SAM=2：3.其中正确结论的个数是A.4个 B.3 个 C.2个 D.1 个【分析】利用线段垂直平分线的性质的逆

9、定理可得结论；证a O MB 丝O E B 得A E O B 经C MB；先证A B E F 是等边三角形得出B F=E F,再证。D E B F 得出D E=B F,所以得D E=E F；由可知A B C M丝 B E O,则面积相等，A A O E 和B E O 属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即 S 瞰：SA W FA E：B E,由直角三角形3 0角所对的直角边是斜边的一半得出B E=2 0E=2 A E,得出结论 坛硼：SMA E：B E=1：2.【解答】解：矩形A B C D中，0 为 A C 中点，.,.O B=O C,/Z C 0B=60 ,A 0 B C 是等边

10、三角形，；.O B=B C,V FO=FC,；.FB 垂直平分0C,故正确；.!?垂直平分0C,V O A=O C,Z F0C=Z E0A,Z DC 0=Z B A 0,.,.FO C A EO A,；.FO=EO,易得0B 1EF,.,.O MB 也O EB,故正确；由O MB 丝a O EB 丝C MB 得/l=/2=N3=3 0,B F=B E,.B EF是等边三角形，B F=EF,；DFB E 且 DF=B E,.四边形DEB F是平行四边形，；.DE=B F,；.DE=EF,故正确；在直角A B O E 中：/3=3 0,.B E=2 0E,V Z0AE=ZA0E=30，AAE=OE

11、,BE=2AE,SAAOE：SABCM=SAAOB：SZBOE=1：2,故错误；所以其中正确结论的个数为3个;故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型.知识点二、菱形的性质及判定的应用【例2】（2017哈尔滨）四边形ABCD是菱形，ZBAD=60,AB=6,对角线AC与BD相交于点0,点E在AC上，若O E=0,则CE的 长 为4行 或2立 .【考点】L8：菱形的性质.【分析】由菱形的性质证出aABD是等边三角形，得出BD=AB=6,0 B

12、=3,由勾股定理得出OC=OA=VABB36，即可得出答案.【解答】解：四边形ABCD是菱形，AB=AD=6,AC1BD,OB=OD,OA=OC,V ZBAD=60,.ABD是等边三角形，BD=AB=6,.*.0B=BD=3,2 oc=OA=VAB2-OB3 W,.,.AC=20A=6/3，.点 E 在 A C 上，0E=A/3.；.C E=O C+V 或 C E=O C -5/3,.,.C E=4 V 3 C E=2 V 3；故答案为：46 或 2 4 5.【变式】（2 017.湖南怀化）如图，在菱形A B C D中，Z A B C=12 0,A B=10c m,点 P是这个菱形内部或边上的

13、一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则 P,A （P,A两点不重合）两点间的最短距离为10-1。c m.【考点】L8：菱形的性质；K H：等腰三角形的性质.【分析】分三种情形讨论若以边B C 为底.若以边P B 为底.若以边P C 为底.分别求出 P D的最小值，即可判断.【解答】解：连接B D,在菱形A B C D中，V Z A B C=12 0,A B=B C=A D=C D=10,A Z A=Z C=60,.A B D,a B C D 都是等边三角形，若以边B C 为底，则 B C 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的

14、线段中垂线段最短”，即当点P与 点 D 重合时，P A最小，最小值P A=10；若以边P B 为底，N P C B 为顶角时，以点C为圆心，B C 长为半径作圆，与 A C 相交于一点，则弧B D（除点B外）上的所有点都满足a P B C 是等腰三角形，当点P在 A C 上时，A P 最小，最小值为10近-10；若以边P C 为底，N P B C 为顶角，以点B为圆心，B C 为半径作圆，则弧A C 上的点A与点D均满足A P B C 为等腰三角形，当点P与点A重合时，P A 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，P D的最小值为10。$-10（c m）；故答案为：10仃-1.知识

15、点三、正方形的性质及判定的应用【例 3】（2 017四川南充）如图，正方形A B C D和正方形C EFG边长分别为a 和 b,正方形C EFG绕点C旋转，给出下列结论：B E=DG；B EJ _ DG；DE+B G Z a MA 其中正确结论是（填序号）【考点】R 2：旋转的性质；K D：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.【分析】由四边形A B C D与四边形EFGC 都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用S A S 得到三角形B C E与三角形DC G全等，利用全等三角形对应边相等即可得到B E=DG,利用全等三角形对应角相等得到N 1=N 2,利用等角的余角相等及直角的

16、定义得到N B O D 为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.【解答】解：设 B E,DG交于0,四边形A B C D和 EFGC 都为正方形，；.B C=C D,C E=C G,Z B C D=Z EC G=90,A Z B C E+Z D C E=Z E C G+Z D C E=9 0+Z D C E,即/B C E=N D C G,在A B C E 和4 D C G 中，rBC=DC/BCE=NDCG，O=CG.B C E A D C G (S A S),.B E=D G,.,.Z 1=Z 2,V Z 1+Z 4=Z 3+Z 1=9 O ,.,.Z 2+Z 3=9 0,A Z B 0

17、C=9 0,A B E 1 D G；故正确；连接B D,E G,如图所示，D 02+B 02=B D2=B C2+C D2=2 a2,E 02+0G2=E G2=C G2+C E2=b2,则 B G2+D E2=D 02+B 02+E 02+0G2=2 a2+b2,故正确.故答案为：.【变式】（2 0 1 7内江）如图，正方形A B C D中，B C=2,点M是边AB的中点，连接D M,D M与A C交于点P,点E在D C上，点F在D P上，且N D FE=4 5 .若PF=X5,则CE=工.6【考点】S 9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.【分析】如图，连接EF.首先求出D M、

18、D F的长，证明DEFS/D P C,可 得 辱 空，求出DC DPD E即可解决问题.【解答】解：如图，连接E F.ECDt,四边形ABCD是正方形，,AB=BC=CD=DA=2,ZDAB=90,NDCP=45,AAM=BM=1,在 RtAADM 中，DM=VAD2!V 22+l2=巡,AMCD,.AI_IP_ 1 而 一 而 T.DP二 型 ,VPF=,3 6 DF=DP 二 PF二 返，2ZZEDF=ZPDC,ZDFE=ZDCP,AADEFADPC,.DF_DE*DC-DP，7 C D,V D E=B F,；.A F=C E,A FC E,.四边形A FC E 是平行四边形；（2 ）：四

19、边形 A FC E 是菱形，A E=C E,设 D E=x,贝 I A E=用+力,C E=8-x,贝|用+丁 =8 x ,7 7 25 25解得：x=-,则菱形的边长为：8-=,周长为：4X=2 5,故 菱 形 A FC E 的周长为4 4 4 42 5.【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质以及勾股定理等知识，能正确地分析图形的特点是解决此类问题的关键.【变式】（2 01 6 四川内江）（9分）如图6所示，A A B C 中，D是 B C 边上一点，E是 A D 的中点，过点 A作 B C 的平行线交C E 的延长线于F,且 A F=B D,连接B F.（1）求证：D是

20、 B C 的中点；若 A B=A C,试判断四边形A FB D 的形状，并证明你的结论.图 6 考点 三角形例行，特殊四边形的性质与判定。证 明：点E是 A D 的中点，.A E=D E.V A F/B C,/A FE=N D C E,Z FA E=Z C D E.E A F A E D C.3 分；.A F=D C.V A F=B D,，B D=D C,即 D是 B C 的中点.5分（2）四边形A FB D 是矩形.证明如下：V A F/7 B D,A F=B D,，四边形A FB D 是平行四边形.7 分；A B=A C,又由（1）可知D是 B C 的中点，A A D 1 B C.A FB

21、 D 是矩形.9分知识点五、四边形的研究应用【例 5】（2 01 7 江苏盐城）【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，N B=6 0,小明想从中剪出一个以NB为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线D E、E F剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，如图，在a A B C 中，B C=a,B C 边上的高A D=h,矩形P Q M N 的顶点P、N分别在边A B、A C 上，顶点Q、M在边B C 上，则矩形P Q M N 面积的最大值为 率 .（用含a,h的代数式表示）【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形 A B C D E,A B=3 2,B C=4 0,A E=2 0,C D=

22、1 6,小明从中剪出了一个面积最大的矩形（/B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料A B C D,经 测 量 A B=50 c m,B C=1 0 8c m,C D=6 0 c m,且t an B=t an C=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边B C 上且面积最大的矩形PQM N,求该矩形的面积.【考点】L 0：四边形综合题.11 S 拓 NFEDB EFDE【分析】【探索发现工由中位线知E F=2 B C、E D=3 B、由一 -g 可得；22 SAA B C yAB-BC【拓展应用工由 A PNs/A B C 知 呼 怨，可得P N=

23、a-S P Q,设 PQ=x,|由S矩 彩 明 后 PQ PNDC AD n-C（X-斗据此可得；h 2 4 灵活应用：添加如图1 辅助线，取B F 中点I,F G 的中点K,由矩形性质知A E=E H 2 0、C D=1）H=1 6,分别证A E F gZ H E D、A C D G 丝Z H D E 得 A F=D H=1 6、C G=H E=2 0,从而判断出中位线I K 的两端点在线段A B 和 D E 上，利 用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】:延长B A、C D 交于点E,过点E 作E H L B C 于点H,由t an B=t an C 知E B=E C、B H=C H=5

24、4,E H=-B 1 I=7 2,继而求得B E=C E=9 0,可判断中位线P Q 的两端点在线段A B、C D ,利 用【拓展应用】结论解答可得.【解答】解：【探索发现】V E F.E D 为A A B C 中位线，；.E D A B,E F B C,E F=-B C,ED=-1AB,又NB=9 0 ,四边形F E D B 是矩形，则 随形FED B-；FDE=BCyAB 工SAK 严.BC 5 g.s c 2故答案为：【拓展应用】V PN/B C,/.A PN A A B C,.翁 寿 唔 喂，PN=a-Q,h设 PQ=x,贝|J S 矩）gp M N=PQPN=x （a-含）=-x2+

25、ax=-（x -），当 PQ二 当时，S 矩 形P W最大值为平，故答案为：4【灵活应用】如 图 1,延长B A、D E 交于点F,延长B C、E D 交于点G,延长A E、C D 交于点H,取 B F 中点I,F G 的中点K,由题意知四边形A B C H 是矩形，V A B=3 2,B C=40,A E=2 0,C D=1 6,，E H=2 0、D H=1 6,；.A E=E H、C D=D H,在4 A E F 和A H E D 中，ZFAE=ZDHE AE=AH，ZAEF=ZHED.,.A E F A H E D (A S A),.A F=D H=1 6,同理 4C D G&Z M I

26、 D E,.C G=H E=2 0,A B I=嘤2 4,V B I=2 4,:A、P、0、E 四点共圆，/0AP=N0EP=45,.点0 在 AC上，当 P 运动到点B 时，0 为 AC的中点，0A=AC=2B,即点0 经过的路径长为2&；(3)解：设AAPE的外接圆的圆心为M,作 MNLAB于 N,如图2 所示:则 MNAE,VME=MP,；.AN=PN,/.MN=4-A E,2设 A P=x,贝 lB P=4-x,由（1）得：APESABCP,.AE AP,而 童解得：A E=x -x2=-(x-2)2+b4 4，x=2 时，A E 的最大值为1,此时MN的值最大=X l=g2 2即4

27、A P E 的圆心到A B 边的距离的最大值为券.图2图1【典例解析】【例 题 1】(2 0 1 6 贵州毕节3分)如 图，正方形A B C D 的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在B C边上的点E处，折痕为G H.若 B E：E C=2：1,则线段C H 的长是()【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）.【分析】根据折叠的性质可得D H=E H,在直角C E H 中，若设C H=x,则 D H=E H=9 -x,C E=3 cm,可以根据勾股定理列出方程，从而解出C H 的长.【解答】解：由题意设C H=x cm,则 D H=E H=（9 -x）cm,VB E：E C=2：1,.,.C

28、 E=-B C=3 cm.在 Rt/XE C H 中，E H2=E C2+C H 即(9 -x)2=32+X2,解得：x=4,即 C H=4 cm.故 选（B）【例题2】（2 0 1 6 福建龙岩 4分）如图，在周长为1 2 的菱形A B C D 中，A E=1,A F=2,若 P 为对角线A.I B.2 C.3 D.4【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题.【分析】作 F 点关于BD的对称点F ,则 PF=PF,由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得E F 的长度即可.【解答】解：作 F 点关于BD的对称点F ,则 PF=PF,连接E F 交 BD于

29、 点 P.EP+FP=EP+F P.由两点之间线段最短可知：当 E、P、F 在一条直线上时，EP+FP的值最小，此 时 EP+FP=EP+FP=EF.四边形ABCD为菱形,周长为12,；.AB=BC=CD=DA=3,ABCD,VAF=2,AE=1,，DF=AE=1,.四边形AEF D是平行四边形，.EF=AD=3.EP+FP的最小值为3.故选：C.【例题3】（2017湖北宜昌）正方形ABCD的边长为1,点。是 BC边上的一个动点（与 B,C 不重合），以0 为顶点在BC所在直线的上方作NM0N=90.（1）当 OM经过点A时，请直接填空：O N 不可能（可能,不可能）过 D 点；（图 1仅供分

30、析）如图2,在 0N上截取OE=OA,过 E 点 作 EF垂直于直线B C,垂足为点F,作 E1HCD于 II,求证：四边形EFCH为正方形.（2）当 0M不过点A 时，设 0M交边AB于 G,且 OG=1.在 ON上存在点P,过 P 点作PK垂直于直线B C,垂足为点K,使得SSKO=4SA（,连接G P,求四边形PKBG的最大面积.【考点】L 0：四边形综合题.【分析】(1)若ON过点D时，则在OA D 中不满足勾股定理，可知不可能过D点;由条件可先判业四边形E F C H 为矩形，再证明a OF E 丝 A B O,可证得结论；(2)由条件可证明PK0S/0BG,利用相似三角形的性质可求

31、得0 P=2,可求得A P O G 面积为定值及PK O和a O B G 的关系，只要a C G B 的面积有最大值时，则四边形PK B G 的面积就最大,设 0 B=a,B G=b,由勾股定理可用b 表示出a,则可用a表示出4 C B G 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PK B G 面积的最大值.【解答】解:(1)若 ON 过点 D,则 OA A B,OD C D,r.0 A2 A D2,O D2A D2,.OA2+OD2 2 A D V A D2,.,.NA 0 D K 9 0 ,这与NM0 N=9 0 矛盾,A O N 不可能过D点,故答案为：不可能；(2)VE

32、 H 1 C D,E F 1 B C,.,.ZE H C=ZE F C=9 0 ,K ZH C F=9 0 ,四边形E F C H 为矩形，：NM0 N=9 0 ，：.ZE 0 F=9 0 0 -ZA OB,在正方形 A B C D 中，ZB A 0=9 0 -ZA OB,，ZE 0 F=ZB A 0,在OF E 和a A B O 中rZEOF=ZBAO-ZEFO=ZB,01=A O.,.OF E A A B O(A A S),J E F 二 OB,OF=A B,又 OF=C F+OOA B=B OB O+OOE F+OC,/.C F=E F,四边形E F C H 为正方形；(2)V ZP0

33、K=Z0 G B,ZPK 0=Z0 B G,/.PK OA OB G,SA PK()=4 SA OB G.SP K O(0 P)OB G 8 4,.0 P=2,设 0 B=a,B G=b,P J i J a2+b2=0 G2=l,b=Yi-a.s A OB C=-|b=V l-a2=7-a4+a.当1=4 时，O B G 有最大值士，此时SAPK=4 S 羸=1,.,.四边形PKBG 的最大面积为1+1 +-=-.4 4【热 点 1】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如 图 1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,Z ABC=9 0 ,若AB=CD=

34、1,AB CD,求对角线BD的长.若 AC_L BD,求 证:AD=CD,(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,点 P 是对角线BD上一点，且 BP=2 PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABF E是等腰直角四边形，求 A E 的长.【考点】L 0：四边形综合题.【分析】(1)只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；只要证明ABD丝，!,即可解决问题：(2)若 EF 1.BC,则 AEWEF,BF WEF,推出四边形ABF E表示等腰直角四边形，不符合条件.若EF 与 BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABF E是等腰直角四边形，当BF=A

35、B时，如图3中，此时四边形ABF E是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：(1)；AB=AC=1,ABCD,A S 四边形ABCD是平行四边形，V AB=BC,.四边形ABCD是菱形，V Z ABC=9 0 ,.四边形ABCD是正方形，；.BD=AC=IF+12=(2)如 图 1 中，连接AC、BD.V AB=BC,ACBD,Z ABD=Z CBD,V BD=BD,AAABD ACBD,A D=CD(2)若 EF _L BC,则 AEKEF,BF REF,.四边形ABF E表示等腰直角四边形，不符合条件.若 EF 与 BC不垂直，当 AE=AB时，如图2中，此时四边形ABF E是等腰直角

36、四边形,AAE=AB=5.当BF=AB时;如图3中，此时四边形ABF E是等腰直角四边形,，BF=AB=5,V DE/7 BF,ADE：BF=PD：PB=1：2,.DE=2.5,AAE=9 -2.5=6.5,综上所述，满足条件的A E 的长为5 或 6.5.【热点2】(2 0 1 7 玉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，Z ACB=9 0 ,AC=BC=4,D 是 AB的中点，E,F分别是AC,BC上 的 点(点 E 不与端点A,C 重合)，且 AE=CF,连 接 EF 并 取 EF 的中点0,连接D0 并延长至点G,使 G O=OD,连接DE,DF,G E,G F.(1)求证：四边形EDF

37、 G 是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形EDF G 的面积最小？并求四边形EDF G 面积的最小值.c【考点】L G：正方形的判定与性质；H 7：二次函数的最值；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形.【分析】(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出/A=N DCF=4 5 、AD=CD,结合AE=CF可证出4 ADE丝ACDF (SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=Z CDF,通过角的计算可得出/EDF=9 0 ,再根据0为 E F 的中点、G O=OD,即可得出G DJ _EF,且 G D=2 0 D=EF,由此即可证出四边形EDF G 是正

38、方形；(2)过点D 作 DE L A C 于 E,根据等腰直角三角形的性质可得出D E 的长度，从而得出2 W D E V 2 五,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDF G 的面积的最小值.【解答】(1)证明：连接C D,如 图 1 所示.ABC为等腰直角三角形，Z ACB=9 0 ,D 是 AB的中点，A Z A=Z DCF=4 5 ,AD=CD.AE=CF Z Z=Z D C F在4 ADE 和a CDF 中，AD=CD,.ADE ACDF (SAS),；.DE=DF,Z ADE=Z CDF.V Z ADE+Z EDC=9 0 ,Z EDC+Z CDF=Z EDF=9 0 ,/.ED

39、F 为等腰直角三角形.为 EF 的中点,G O=OD,A G D I E F,且 G D=2 0 D=EF,四边形EDF G 是正方形：(2)解：过点D 作 DE J _AC于 I,如图2所示.ABC 为等腰直角三角形，Z ACB=9 0 ,AC=BC=4,.DE =4 8 C=2,A B=41,点 E 为 AC 的中点，.2 DE 2 行（点 E 与点E 重合时取等号）.，4 WS n a EDF G=DE2 8.当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDF G 的面积最小，该最小值为4.【点评】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出G

40、 DL EF 且 G D=EF；（2）根据正方形的面积公式找出4 S 四.咖/2a-a4-V2-Vi=-a解得a=&，K D=Q=2过点G作 G I L KD于点I由(2)可知KD=AF=2；.G I=AB=&.,SADKG=2X2X V2=V2V PD=m.*.PK=2-m：PM DG,PN KG/.四边形PM G N 是平行四边形，DKGS PKMS/X DPNSADPN=(n)2 见S/1DKG 2，即 S 聊=(5)2 匹2m同理S =(2)2 .我返:SAPMN-4返S 平行四边形 P M G N=2SZPMN=2 X 4X *S 平行四边形 P M G N二S zD K G -SA

41、DP N -SAPK.M返 期 2-mA 2 X 4=V2-(2)2夫-(2)2*72,即 m2-2m+l=0解得 mi=m2=l返.当%皿=4时，m 的值为1图I【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质.解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解，难度较大，具有一定的综合性.一.选 择 题（每小题4分，满分4 0 分）1.（2 0 1 7 贵州安顺）如图，矩形纸片A B C D 中，A D=4 c m,把纸片沿直线A C 折叠，点 B落在E处，A E 交 D C 于点0,若 A

42、0=5 c m,则 A B 的 长 为（)2.（2 0 1 7 山东泰安）如图，正方形A B C D 中，M为 B C 上一点，M E 1 A M,M B 交 A D 的延长线于点E.若 A B=1 2,B M=5,则 D E 的 长 为（）25T,边长为4的正方形A B C D,点 P是对角线B D 上一动点，点 E在边C D 上，E C-1,则 P C+P E 的 最 小 值 是 5 .4.（2 0 1 7 贵州）如图，正方形A B C D 中，E为 A B 中点，F E 1 A B,A F=2 A E,F C 交 B D 于 0,则A.6 0 B.6 7.5 C.7 5 D.5 4 5.

43、（2 0 1 6 四 川 泸 州）如 图，矩 形 A B C D 的 边 长 A D=3,A B=2,E为 AB的 中 点，F在 边 B C 上，且 B F=2 F C,AF分 别 与 D E、D B 相 交 于 点 M,N,则 MN的 长 为（)2班6.（2 0 1 7 黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形A B C D 中，E、F是 A D 边上的两个动点,且 A E=F D,连接B E、C F、B D,C F 与 B D 交于点G,连接A G 交 B E 于点H,连 接 D H,下列结论正确的个数是（）A B GS/F D G 1 I D 平分N E H G A G L B E SA

44、H D C：S t a n Z D A G 线段 D H 的最小值是2 加-2.D.5填空题7.（2 0 1 7 乌鲁木齐）如图，在菱形A B C D 中，N D A B=6 0 ,A B=2,则菱形A B C D 的面积为.8.（2 0 1 7 江苏徐州）如 图,矩 形 A B C D 中,A B=4,A D=3,点 Q 在对角线A C 上,且 A Q=A D,则线段A P=9.（2 0 1 7 新疆）如图，在边长为6 c m的正方形A B C D 中，点 E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均 以 lc m/s 的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运

45、动，在运动过程中，当运动时间为.s时，四边形E F G H 的面积最小，其最小1 0.（2 0 1 7 湖南岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程.己知：如图，在Q A B C D 中，时角线A C,B D 交于点0,求证:1 1 .如图，正方形A B C D 的边长为a,在 A B、B C、C D、D A 边上分别取点由、B i、G、。，使A A F B B pC C F D D F-a,在边 AB、B、CD、D A 上分别取点儿、B2 C2 D”使 AIA2=BIB2=C1C2=DID2=3-

46、A.B2,依次规律继续下去，则正方形A,B C D,的面积为3解答题1 2 .如图，在平行四边形A B C D 中，边 A B 的垂直平分线交A D 于点E,交 C B 的延长线于点F,连接A F,B E.(1)求证：A A G E A B C F；(2)试判断四边形A F B E 的形状，并说明理由.ADB1 3.(2 0 1 7 甘肃张掖)如图，矩形A B C D 中，A B=6,B C=4,过对角线B D 中点0的直线分别交 A B,C D 边于点E,F.(1)求证：四边形B E D F 是平行四边形；(2)当四边形B E D F 是菱形时，求 E F 的长.1 4.(2 0 1 7 浙

47、江衢州)在直角坐标系中，过原点0及点A (8,0),C (0,6)作矩形0 A B C、连结O B,点 D为 O B 的中点，点 E是线段A B 上的动点，连结D E,作 D F J _ D E,交 O A 于点F,连结E F.已知点E 从 A点出发，以每秒1 个单位长度的速度在线段A B 上移动，设移动时间为 t 秒.(1)如 图 1,当 t=3 时，求 D F 的长.(2)如图2,当点E在线段A B 上移动的过程中，N D E F 的大小是否发生变化？如果变化,请说明理由；如果不变，请求出t a n N D E F 的值.(3)连结A D,当 A D 将a D E F 分成的两部分的面积之

48、比为1：2 时，求相应的t 的值.【知 识 归 纳】一、矩形1 .定义有 一 个 角 是 直角 的平行四边形叫做矩形2 .性质(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分并且相等(3)矩形是一个轴对称图形，它 有 二 条对称轴3 .判定(1)根据矩形的定义；(2)有 1 个角是直角的平行四边形是矩形;(3)对 角 线 相等 的平行四边形是矩形二.菱形1 .定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形2 .性质(1)菱 形 的 四 条 边 相等；(2)菱形的对角线互相垂直 平分:(3)每 条 对 角 线 平 分 一组对角(4)菱 形 是 轴 对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中

49、心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点3 .判定(1)根据菱形的定义；(2)四 条 边 相等 的四边形是菱形;(3)对 角 线 互 相 垂直 的平行四边形是菱形三.正方形1.定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形2 .性质正方形对边平行：正 方 形 四 边 相等；正方形四个角都是直角；正方形对角线相等，互相垂直平分，每 条 对角 线 平 分 一组对角；正方形既是轴对称图形也是中心 图 形,对 称 轴 有 四 条,对称中心是对角线的交点3 .判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;(3)有一个角是直角的菱形 是正方形【基础检测答案】1.(2 0

50、1 7.湖南怀化)如图，在矩形A B C D 中，对角线A G B D 相交于点0,N A O B=6 0 ,A C=6 cm,则 A B 的 长 是()A.3 cm B.6 cm C.1 0 cm D.1 2 cm【考点】LB：矩形的性质.【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得0 A=0 B=0 D=0 C,由N A 0 B=6 0 ,判断出 A O B是等边三角形，根据等边三角形的性质求出A B 即可.【解答】解：,四边形A B C D 是矩形,A 0 A=0 C=0 B=0 D=3,V Z A 0 B=6 0 ,/.A A 0 B 是等边三角形，A A B=0 A=3,故选A.2.（