考点05函数的应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

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1、考点0 5 函数的应用(核心考点讲与练)，考 点 考 向J1.函数的零点(1)函数零点的概念如果函数尸/V)在实数a 处的值等于雯，即 果 a)=0,则 a 叫做这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(*)=0有实数根=函数y=f(x)的图象与x 轴有交点o函数y=f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间 a,3 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值星号，即则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x w(a,力，使苞)=0.2.二次函数尸a f+8 x+c(a 0)的图象与零点的关系/=3一4ac/0/=02 1 0)的图象V与 x 轴的交点

2、(岗，0),(泾，0)(苟，0)无交点零点个数2103.指数、对数、基函数模型性质比较4.几种常见的函数模型函数性质y=a(a l)y=logax(a l)(/7 0)在(0,+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随X的增大逐渐表现为与y 轴平行随X的增大逐渐表现为与x 轴平行随 A 值变化而各有不同函数模型函数解析式一次函数模型f（x）=ax+6（a、6 为常数，aWO）二次函数模型fx=ax+bx+b,c 为常数，a20）与指数函数相关模型fx=ba+c（a,b,c 为常数，a0 且 a W l,8#0）与对数函数相关模型f（x）=61og“x+

3、c（a,b,c 为常数，a0 且 aWl,6W0）与暴函数相关模型f（对=a+b（a,b,为常数，aWO）1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程兀r)=g(x)的解的个数，求不等式的解集等.3.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.4.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解

4、方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数g(x)的零点个数转化为函数yn/Cx)与 y=g(x)图象公共点的个数来判断.5.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论;(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：芝生W函数与方程一、单选题1.(20 22全国模拟预测)已知函数“X)满 足 力 j=-l,且而是y =/(x)+e 的一个零点，则-%一定是下列函数的零点

5、的是()A.y =e /(A-)-lc.y =/(x)+*【答案】AB.y =e/(-x)-lD.y=f(x)-ex【分析】首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，/(%)+*=0,再经过变形，结合选项判断-与是否是函数的零点./(%)【详解】因为#=-1/I)所以/(-x)=-f(x)所以函数/(X)是奇函数.由已知可得r(M)+e 同=0,即%)=一.所以所以=故-公 定是 产 e (x)-l的零点，故 A正 确,B错误；又由e f R)=1,得 止%)=去，所以)+士 =小+W =告/0,故 C 错误;由e e e e e/(一七)一片心=一/(/)一片*=炉)一修心/0,故 D错误.故选

6、：A.2.(2 0 2 2.河南.模拟预测(文)已知/(x)=2 s i n(a x+?a Q,若 力在区间(0,2 万)上恰有4个零点，则实数。的取值范围是()0),g(x)=x+ex,/(x)=x+lnx的零点分别为 A，*2，*3，则().A.xt x2 x3 B.x2 x,x3C.x2 x3 xl D.x3 xt 0),g(x)=x+e 1 /7(x)=x+lnx(x 0)的零点为 y =x 与 y =&x 0),y =_ e，y =-lnx(x0)的交点，数形结合，即得解.【详解】函数，(x)=x-4(x 0),g(x)=x+ex,/?(x)=x+I nx(x0)的零点，即为 y =

7、x 与 y =(x 0),y=-ex,y =-lnx(x0)的交点，作出 y =x 与 y =J7(x0),y =-e y =-lnx(x0)的图象,如图所示,可知*2%玉故选：C4.（2 0 2 0 河南郑州中学模拟预测（文）函数/（x）=x s i n x+J-g 在区间-2 万,2 句上的大致图像为（）【答案】C【分析】根据奇偶性排除A,D,根据乃）=0,x e（0,/）,函数值的正负可选出选项.【详解】由题可得/（x）=xs i nx+-V-是偶函数，排除A,D 两个选项，X2 7 T/（%）=0,当4 6（0,1）时，/（X）0 ,X 71当 xe （不,2 万）时，xs i nx

8、0,-4 ,f（x）9 K 6Sn=ar+3an+2.若对于任意实数a G -2,2.不 等 式 甘 2/+4-l（e N*）恒成立，则实数f 的取值范围为（）A.(-o o,-2 U 2,+o o)B.(-o o,-2 U 1,+o o)C.(-00,-1 U 2,+00)D.-2,2【答案】A【分析】根据a“与 S”的关系，E（3 6Sn=an2+3an+2,得 6S/j=a j 2+3a”./+2,两式相减整理得a”-a,/=3,由等差数列的定义求得加 的通项公式,然后将不等式器 0,对于任意的以 -2,2,N*恒成立求解.详解】由 6sl=an+3an+2,当=1 时，6ai=aj2+

9、3ai+2.解 得 卬=2,当 n2 时，6Sn.i=an.i2+3an,i+2,两式相减得 6an=an2+3an-(,an.i23anjyf整 理 得(an+an.i)C an-an.-3)=0,由0,所以 +几/0,所以/=3,所以数列m 是以2为首项，3为公差的等差数列，所以+/=2+3 5+1-1)=3+2,所以刍 也=网 望=3-工0,对于任意的0口-2,2,“WN*恒成立，设/(a)=2t2+at-4,ae-2,2,则42)0 Jl/(-2)0,即有厂 +f 2.0t2-t-2.O 解得仑2或-2,则实数f的取值范围是(-8，-2U2,+oo)故选：A.【点睛】本题主要考查数列与

10、不等式的，“与S的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题.7.(2022江苏 南京市第一中学三模)非空集合&=屏宜|0%3,B=ywN|y2一my+l0,/nwR,4n8=4 U 8,则实数机的取值范围为()(5 10(八 17 101 0【分析】由题知A=5=1,2,进而构造函数 司=1 一m+1,再根据零点存在性定理 得 八2)0,解不/(1)0等式即可得答案.【详解】解：由题知A =x e N|0 x 0 f l0-3m 0/(2)0,即 5 2m 0,解得/(1)0 2-m 1),若a,8分别是方程/(x)=e，x)=ln x 的根，

11、x 1则下列说法：。+4；e a l)的图象关于直线y=x 对称，y=e 与y=ln x 的图象关于直线y=x 对称,在同一坐标系中画出3 个函数的图象，可求得以尸的范围，然后逐个分析判断即可【详解】/、X X 1 +1 1 /f(x)=-=-=1 +-(x l),x-1 x-x-因为xl,所以x-l 0,所以且以X)在(1,+00)上单调递减,a,夕分别是方程 x）=e x）=lnx的根,因为y=e，与y=lnx互为反函数，所 以%e、与 y=ln x 的图象关于直线y=x 对称,y=f%=2由，X-1，得 I c，v=r I1 cr 2,因为当x=3 时，ln3=lnV 9 In=,3 4

12、 1所以 3 v/?4,所以4 a +6,所以正确,对于，由图可得l ln 4 2,所以e 尸e2,因为l a 2,所以e a/?1）的图象关于直线y=x 对称,X-1 X-1 x-1因为y=e 和y=lnx互为反函数，所以与（民 检）关于直线，对称，所以a =或2=，化简得+4=。人所以正确，p-1 a-故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出函数图象，根据图象分析求解a,的范围，考查数学转化思想，属于较难题9.(2020湖 北黄冈模拟 预 测(文)求下列函数的零点，可以采用二分法 的 是()A.f (x)=x4 B.f(x)=tan

13、 x+2(-x y)C./(x)=cosx-l D./(x)=|2-3|【答案】B【详解】不是单调函数，不能用二分法求零点；f(x)=ta n x+2(-x g 是单调函数，y e R,能用二分法求零点；f(x)=co sx-1不是单调函数，y(扪 一 卜；)+1=。A错误；对于 c,Q f(x+6)=/(x+2)=X),即 y(x+6)+/(r)=0,/(x)关于点(3,0)成中心对称,C正确;对于B D,由周期性和对称性可得f(x)图象如下图所示,由 图 象 可 知:在(6,8)上单调递增,B错误;方程x)+lg尤=0的解的个数，等价于/(X)与y=-lg x的交点个数,Q/(12)=/(

14、4)=-/(O)=-l，-lgl2 l上，y=f x)与y=g(x)有相同的零点，即讨论g(x)在区间(1,芹)内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案.【详解】/(x)=xlnx+(l-x)+x=x Inx+-6 7 +1设 g(x)=lnx+-l上,J=/(x)与y=g(x)有相同的零点.故函数“X)在区间。,内)内没有零点，即g(x)在区间(l,y)内没有零点./x 1 a x-ag(外=-2-=r-、/x x x 当a W1 时，g (x)=曰 0 在区间(1,M)上恒成立，则g(x)在区间(1,一)上单调递增.所以g(x)g =1 0,显

15、然g(x)在区间(l,+a)内没有零点.当a l 时，令g x)0,得xa,令g x)l),则/z(a)=-1 =-1)所以 在(1,+8)上单调递减，且 g =l n 3-l 0,g(4)=l n 4 -2 0所以la4 e(3,4)综上所述，满足条件的a的范围是。O),若/(x)在(冗，2 n)内单调且有一个零点，则”的取值范围是.【答案】出T 7T 7T 7 T【分析】由己知万2 2%-%，确定。范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到进而化简求解.【详解】/(x)在(兀，2 兀)内单调且。0,可得，322乃-乃，解得又:7 T X 2 7 r，71C O H C DX H 2 加 y H

16、 ,又/(x)在(兀，2 劝上恰有一个零点，所以,-7vco-一万且%2加yH一 ,解之得一 0 4 .2 3 3 2 3 12故答案为：(；,卷13.(2021 宁夏中卫三模(理)已知方程坨彳=3一 的根在区间(2,3)上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为.【答案】(2.5,3)【分析】由题意构造函数/(x)=lg x-3+x,求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可.【详解】解：令/(x)=lg x-3+x,其在定义域上单调递增，且 2)=lg21 0,/(2.5)=1g 2.5 0.5=1g/625-lgV 10 0,由4 2.5)/(3

17、)0知根所在区间为(2.5,3).故答案为:(2.5,3).四、解答题14.(2022 四川雅安二模)已知函数2(x)=alnx+e*-2ew+ae.当a=e时，曲线y=/(x)在点(1 J)处的切线方程；(2)若。为整数，当时，./(行 之。，求。的最小值.【答案】(I)y =e2-e(2)2【分析】(1)求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；(2)由/2 0,可得之1,求导尸(x)=q +e*-2e=至二”留，再令凤x)=w，-2er+。，用导数法得到X X%=1时，取得极小值2(1)=。-e,分a N e和lv a 0,所以)2 0,B pe-2 e+a e 0,所以 a

18、N l,则广(x)=g+e*_ 2 e=xe-2一+。X X令7(%)=屁，-2 e r+a ,贝i J m (x)=(x+l)e X-2 e ,因为?(x)=(x+2)e 0,所以加(x)在；,+8)递增，乂加(1)=0,当工 ；/)时，m(x)0,加(x)递增,所以当x =l时，加(%)取得极小值机二-亳，当a N e时,m(x)0,即/(%)2 0,所以/在 心,+8)上递增，则/(X)/W,乂-4 1n 2 +6一e +e =(-1112”+八一 ,令g(a)=(e-l n 2)a 十 遍一e,在 e,+8)匕递增，所以g()Ng(e)=e?-e l n 2 +V e-e e2-2 e

19、 +V e =(e-l)2 4-V e-1 0,所以,满足题意；当l v a v e时,因 为“为整数，则a =2,此时x)=2 1n x+e*-2 e x+2 e,7 9贝i j r(x)=：+e=2 e,/f fW =-4+e 因为函数y =2，y =e*在xe,+8 都是增函数，k 1_ 2 )所以函数/)=一 蛾+1在x e g,+8)是增函数，又 广 出=G40,所以存在与(；/)，使得尸(%)=0,则当x w 时，故函数尸(x)递减，当x w(%,+o )时,r W 0,故函数广(X)递增，又 r(；)=4 +&-2 e 0,尸=2 一e 0,所以存在再 1,2),使得/(百)=0

20、,则当x w l,5)时，r(x)0,故函数x)递增，所以2 2而/(玉)=0,即一+e _2 e=0,所以炉=2 e,x x2所以/(玉)=2 1n x i +e为-2 e玉 +2 e =2 1n x,+4 e-2ex1,2令(x)=2 1n x +4 e-2 e x,x e(l,2),(li.i,/、2 2 2 e x +2x+2贝IJ (x)=-+-y-2 e =-,令 r(%)=-2 e x2+2 x+2,XG(1,2),则 (%)=Yex+2 V0,X(1,2),所以函数r(x)在(1,2)上递减，所以 r(x)l)=2-2 e /?(2)=2 I n 2 +4 e-4 e =2 1

21、n 2-l 0.所以/(xJ0,即x)0,满足题意；当 a =l 时，/(x)=l n x+eA-2 e x+e ,贝i j/(x)=，+e*-2 e ,r=-4+e 因为函数 =-4，=0 在X !，+s 都是增函数，X|_ 2 J所以函数尸(x)=-t +e*在x e +8)是增函数，且 1r（x”1r（i）=e i o,所以/,(x)在)上 递 增,又 尸 e0J”)=*.2eH所以存在七 1,2),使得r(w)=o,当x e l，w)时，r(x)0,故函数“X)递减，/(x)0时，/(x)g(x)单调递增，与图像不符，故 C 不符；学 为 奇 函数，当X+8时，；y=e 的增长速度快于

22、y=l nx 的增长速度，故做 0且单调递减，故图g(x)-g(x)像应该在X 轴上方且无限靠近X 轴，与图像相符.故选：D.2.(2 0 2 2 贵州模拟预测(理)生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为2,一年四季均可繁殖，繁殖间隔7为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K（）=/l l n（4为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且。=4+1,在物种入侵初期，基于现有数据得出。=6,7 =5 0.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加1 1 倍

23、所需要的时间为（l n2 0.6 9 ,l n3 1.1 0）（）A.2 2.0 天 B.1 3.8 天 C.2 4.8 天 D.1 7.9 天【答案】C【分析】根据已知数据可求得2,设 初 始 时 间 为 累 计 繁 殖 数 量 增 加 1 1 倍后的时间为勺，利用K2-4,结合对数运算法则可求得结果.T5 0【详解】,-e =-+l,Q =6,7 =50,，6 =丁+1,解得：A=1 0.A A设初始时间为周，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加1 1 倍后的时间为长 2，则=2 1 1 1（1 2 ）znn=/l l nl 2 =1 0（2 1 n2 +l n3 卜 2 4.8 （天）.

24、故选：C.3.（2 0 2 2 广西模拟预测（理）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以黑函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率丫 与其体重x 满足y=代，其中k 和a为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的1 6 倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8 倍,则a为（）A.-B.；C.D.4234【答案】D【分析】初始状态设为（演，,）,变化后为（%,%），根据与W，加%的关系代入后可求解.【详解】设初始状态为（X1,%）,则=1 6%,%=8%,乂 y2=kx,即8y=&,=-TIT-1 6“=8,2，=2 ，4 =3,a=-.y g

25、4故选：D.4.（2 0 2 2.河南新乡.三模（理）中国的5 G 技术领先世界，5 G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2（l+-）.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中当叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面 的 1可以忽略不计.按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽卬增大到原来的2 倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的（，则信息传递速度C 大约增加了（）（参考数据：怆2。0.3）

26、A.87%B.123%C.156%D.213%【答案】D【分析】先求得提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传播速度，由此求得正确答案.【详解】提升前的信息传递速度C=Wlog2 =W10g21000=3Wlog2 io=10W,N Ig2+“山匚1Vl/-曰/土,市曲 C=2Wlog,=2Wlog,%=2Wk）g,5OOOO=2 W-o u/5-lg 2 94W提升后的信息传递速度 2lN 2 N 62 lg2=2 W a94所以信息传递速度C大约增加了 C-=_3 uz-1U0 W 2 13=213%.C 10W.-0故选：D5.（2022天津市第七中学模拟预测）一种药在病人血液中的量

27、不少于1500，咫才有效，而低于500/ng病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500际，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：怆2“。3010,1g3 0.4771,结果精确到 0.1/z）A.2.3小时 B.3.5小时 C.5.6小时 D.8.8小时【答案】A【分析】根据已知关系式可得不等式500 2500 x（1-20%）1500,结合对数运算法则解不等式即可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药，则 500 4 2500 x（1 20%），4 1 5 0

28、 0,整理可得：0.2 4 0.8 0.6,.,.logos0-6Vx V 1 呜,80.2,logos 0 6=lg0.6 lg6-1 Ig2+lg3-llg0.8-lg8-l-31g2-l。2.3,“lg0.2lo6g0 08 S0.2=lg0.8lg2-l31g2-l7.2,-.2.3x10K6.3,E I O1 5-3所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的1 0 1 5 倍，故 B错误；对于C：六级地震即吸=6 时,l g E2=4.8+1.5 x 6 =1 3.8,解得=1 0 汉 8,p 1 n1 6 8所以9=凝=1 1 0 ，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的

29、1 0 0 0 倍，故 c正确；对于 D：由题意得 1 g%=4.8 +1.5（=1,2,9,1 0）,所以 q=1 0 4 M.5 ,所 以 =I O .=1 0 6 m 5 106.3+1.5，？所 以,=言 际 =1 0 匕 即数列“是等比数列，故 D正确；故选：A C D7.（2 0 2 1 福建厦门一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间f （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.1 2 5 微克时，治疗该病有效，则（）A.a=3B.注射一次治疗该病的有效时

30、间长度为6小时C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4 微克O3 1D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5 考时【答案】A D【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决.4 r（0r l）【详解】由函数图象可知y=小 丫:，、，当/=1 时，y =4,即（g）=4,解得。=3,4 f（0 t 1）旧C 丫（司故A正确，药物刚好起效的时间，当4 r=0.125,即r =5，药物刚好失效的时间（；尸=0.125 ,解得r =6,故药物有效时长为6-或1 =5 三3 1小时，药物的有效时间不到6 个小时，故B错误，O正确；注射该药物:小时后每毫升血液含药量为4 x：=

31、0.5 微克，故C错误,O O故选：AD.8.（2021江苏南京二模）某港口一天24 h 内潮水的高度S （单位：m）随时间f （单位：儿 0 Z Q,bl）（参考数据:alg2=0.3010,lg3=0.4771）,以上函数模型（）A.选择模型，函数模型解析式y=4弓 产。珀,近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x 的函数关系B.选择模型，函数模型解析式y=4sin芸+2 0 1 6,近似反映该城市近儿年包装垃圾生产量y（万吨）2。16与年份X的函数关系C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从 2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D.若不加以控制，任由包装垃圾如

32、此增长下去，从 2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨【答案】AD【解析】分别选函数模型：尸叫疝嬴+刈 6,代入数据计算得到近似值，比较即可，根据选择的函数模型，令 y 4 0 计算得出结论.【详解】若选y=4（|广2“6,计算可得对应数据近似为4,6,9,12.5,TTY若选y=4sin部+2 0 1 6,计算可得对应数据近似值都大于2 0 1 2,显然A 正确，B 错误;2016a按照选择函数模型y=4.*3 6,令 y 40,BP4X（|）X-20I640,a.（/2016 I。，.-.x-2016log310 x-2016 鹫=-5.67861 3 Ig3-lg2S2,-.x

33、2021.6786,即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40 万吨，故 C 错误D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：根据给出的函数模型，利用所给数据比较拟合程度即可选出适合的函数模型，根据所选函数模型，解不等式即可求出结论，考查运算能力，属于中档题.三、填空题10.（2022 重庆模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量了（单位：m g）与时间x（单位：h）的关系是:当0 x =绥 2X；当XN2时，y=那么该驾驶员在饮酒后至少要经过_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ h3

34、11 11 3 x才可驾车.【答案】5.5【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】当0 x曰时，=-270,1080-厂+-x=-当x=2时，函数有最大 值 写 2 0,所以当0 x 日 时，饮酒后体内每100ml血液中的酒精含量小于20mg/100ml,当当时，函数丫 =工坦单调递减，令 y=3=20=x=5.5,因此饮酒后5.5小时体内每100ml血液中的酒精含量等于20mg/100ml,故答案为：5.5四、解答题11.（2022 四川泸县五中模拟预测（理）为响应绿色出行，前段时间贵阳市在推出“共享单车 后，又推出“新能源分时租赁汽车“，其中一款新能源分时租赁

35、汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：根据行驶里程按 1 元/公里计费；行驶时间不超过40 分钟时，按 0.12元/分钟计费；超出部分按0.20元/分钟计费，已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红路灯等因素，每次路上开车花费的时间，（分钟）是一个随机变量.现统计了 100次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间，（分钟）(20,30(30,40(40,50(50,60频数4364020将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车的时间，范围为（20,60 分钟.（1）写出张先生一次租车费用）（元）与用车时间f（分钟）的

36、函数关系式；（2）若公司每月给900元的车补，请估计张先生每月（按 24天计算）的车补是否足够上下租用新能源分时租赁汽车？并说明理由；（同一时段，用该区间的中点值作代表）（3）若张先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”,设4 表示3 次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求 J 的分布列和期望.【答案】（i）y=0.12r+15,20?400.2/+ll.8,40r60(2)张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用，理由见解析；(3)分布列见解析，期望为1.2.【分析】(1)分类讨论得到一次租车费用y (元)与用车时间r (分钟)的函数关系式;(2)求出一个月上下班租

37、车的费用即得解；(3)由题得J 可取0,1,2,3,再求出对应的概率即得解.(1)解：当2 0 f 4 4 0 时,y =0.+1 5当 4 0 f V 6 0 时，y =0.1 2 x 4 0 +0.1 2 x(-4 0)+1 5 =02+1 1.8_ 0.1 2 f +1 5,2 0 r 4 0所以y=4 .0.2 r +1 1.8,4 0 Z 9 0 0,估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源分时租赁汽车费用.(3)解：张先生租赁分时汽车为“路段畅通”的概率=，1 0 0 54 可取 0,1,2,3./尸 八、2 7 -5 4 /匹-3 6 /尸 48 =0)=,=1)=-=2)=,=

38、3)=,4的分布列为：i1 5 4 c 3 6 c 8所以 E=x-+2 x-+3 x-1 2 5 1 2 5 1 2 5g0123P2 7T 2 55 4T 2 53 61 2 58?2 51 2.(2 0 2 1.全国.模拟预测)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为30 0 万元，最大产能为1 0 0 台.每生产x 台,-2X2+80X,0X40,需另投入成本G(x)万元，且G(x)=360 0 由市场调

39、研知，该产品每台的售价为2 0 1%+-2 1 0 0,4 0%1 0 0,X2 0 0 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润W（x）万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？-2 丁+1 2 0 x _ 30 0,0 c x 4 4 0,【答案】（1）卬（耳=（360 0、1 o n n;（2）该产品的年产量为6 0 台时，公司所获利润最-l x+-1+1 8 0 0,4 0 x1 0 0.大，最大利润是1 68 0 万元.【分析】（1）根据年利润卬（力等于总收入2 0 0 x减去固定成

40、本30 0 万再减去另投入成本G（x）,写成分段函数的形式即可；（2）分别由二次函数的性质以及基本不等式求出分段函数各段的最大值，再比较取最大值即可求解.【详解】（1）由题意可得：当0 x W 4 0 时，W（x）=2 0 0 x-（2X2+8 0X）-30 0 =-2 x2+1 2 0 x-30 0 ：当40 E00时，W（x）=2 0 0 x-（2 0 1 x+-2 1 0 0）-30 0 =-x+）+1 8 0 0,-2X2+1 2 0X-30 0,0 X4 0,所 以 小”|-卜+第卜8 0 0,4 0 E 0 0.（2）若0 x4 4 0,W（x）=-2（x-30）2+1 5 0 0

41、,所以当x=30 时，W（x）a=1 5 0 0 万元.若4 0 E 0 0,W（x）=-）+1 8 0 0 4+1 8 0 0 =-1 2 0+1 8 0 0 =1 68 0,当且仅当x=Y时，即x=&）时，卬（无 L=1 68 0 万元.所以该产品的年产量为6 0 台时，公司所获利润最大，最大利润是1 68 0 万元.1 3.（2 0 1 8 全国三模（理）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为-种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为30 0 吨，最多为60 0 吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=；x2-2 0 0 x+8 0 0

42、（）0,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为1 0 0 元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为上，利用基本不等式求解即得最低成本；X(2)写出该单位每月的获利./U)关于x 的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.由题意可知：y=|x2-200 x+80000(300 x1,不等式“力之(。一 l)x恒成立,所以/_ x+a|+|x-_N

43、(Q l)x,即 14 2 x+-l +x+-4 恒成立，X X令g(x)=x+q，则 屋(%)=1一千，x e(l,6)时，g 0,g(x)递增，所以g(x)最小值为：g(6)=&+恭=2G t令/=X+2&Q+1)(a l),所以工+色1x令h(t)2 x+-+x+-4=2|r-l|+|f-4|=2 f-2 +|r-4|(1)当a 2 4时，住4,h(t)=3t-6,所以力的最小值为：6&-6，所以 a-1 W 6Ja-6，即 _2 6“+2 54 0,解得：1 4 a4 2 5,所以4 4 a 4 2 5(3 1 6,4 1 +1 _(2)当1 V 0 V 4时，所以，h(t)=,力的最

44、小值为：2 6+2,t+2,2Ja 4 f 4所以a-1 4 2a+2.即-0+9 4 0，解得：l a 9所以lVa 4恒成立.综 合(1)(2)可知：1 e t+lx,0 x2 x3,其中,w e R,e =2.7 1 8 2 8 为自然对数的底数，则.r2+(m+l)r+(w+l)=0,由韦达定理可得4+力,=_(，+1),4 =加+1,3 +1 3 +1 =(4 +1)&+1)=3+(4+，3)+1=(加+1)+机+1+1=1，【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其

45、在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练学握并应用于解题当中.本题中，利用换元法，将问题转化为他+(4+4)+1=1，%+/+1=1是解题的关键.3.(20 22贵州 镇远县文德民族中学校模拟预测(文)设函数/(X)的定义域为R,满足2/(x+D =/(x),且Q当x e(0,l 时，f(x)=r(x-l).若对任意都有/(幻4,则用的取值范围是97 5 5 4A.-,+)B.-,+0 时，求出 2)-1),/(e)-/(2

46、),比较变化情况排除选项A,即可得出结果.【详解】因为/(x)=ln|x|-x +LX由 f(e)=l-e+g 0 时,f(x)=nx-x+-,x1 3/(2)=l n 2-2+-=l n 2-,又 l n 2 0.6 931 0.7,3则八2)=l n 2 彳 之-0.8,e)=l -e+L-1.35,/(e)-八 2 卜-0.55,选项A在(L+8)减的越来越快，不符合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查函数图象的识别，此 类 问 题 一 般利用特殊值代入，根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别.5.(20 21 安徽 池州市第一中学模拟预测(理)设函数f(x)

47、=F(2x-l)-o r+a,其中,若存在唯一的整数厮，使得不)0,则的取值范围是()AH B.将 C 考 D；)L 2e J L 2e 4)L2e 4)_2e)【答案】D【分析】设g(x)=e(2x-l),y =a(x-l),问题转化为存在唯一的整数与使得满足g($)g(O)=l 且g(-l)=-2 2-2 a,由此可得出实数。的取值e范围.【详解】设g(x)=e，(2x-l),y=a(x-l),由题意知，函数y =g(x)在直线丁 =以-。下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，又g(O)=T，g(l)=e 0.直线y=恒过定点(1,0)且斜率为，故一a g(O)=-l 且 g(-l)=-a

48、-a,解得故选 D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.(2021四川仁寿一中 二 模(文)关于函数/(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：Ax)是偶函数/伏)在 区 间(,乃)单调递增 Ax)在-工兀 有4 个零点 刨 x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.【答案】C【分析】化简函数 x)=sm|H+卜 in x|,研究它的性质从而得出正确答案.【详解】./(-力=$皿卜耳+向(一到=5皿M+卜出闻=/3，/(可为偶函数，故正确.当5 c x 1 时，x)=2 sin x,它在区间仁，兀)单调递减，故错误.当0 4 x 6%时，f

49、(x)=2 sin x,它有两个零点；0,兀；当T T4X 0,b0,a b,则a b =lC.函数/(-d+2 x)在(1,3)上为单调递增函数D.若0 a 0,b0,a h,所以 a)=|/(酬=一/0)，-lo g2a =lo g2Z ,Bp lo g2a +lo g,=lo g,=0 ,得到原=1,故8正确；对于C,/(-x2+2 x)=lo g,(-x2+2 x),由一丁+2 尤 0,解得0 x l l-6 J O,O l-2 1 ,+故|/(1 4-a)|-|/(l-t 7)|=|-lo g2(1 4-(z)|-|-lo g2(l-a)|=lo g2(l+6 7)+lo g2(l-

50、a)=lo g2(l-a2)0,故)正确.故选：AB D.【点睛】本题主要考查的是函数的性质以及对数函数性质的应用，作差法的应用，考查学生的分析问题的能力，和计算能力，是中档题.三、填空题8.(2 0 2 1 北京八十中模拟预测)已知集合历=(x,y)ly =/*),若对于任意隙八)eM,存在(孙当已时,使得不+乂必=0 成立，则称集合M 是“好集合.给出下列4个集合：M=(x,y)|y =；M=(x,y)|y =e，-2 ；M=(x,y)|y =c o s x ；(4)M=(x,y)|y =ln x .其中所有“好集合”的序号是【答案】【解析】根据题意设M(士,%),|*2，%)，由中2+X