考点05一元二次方程-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf

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1、考点05 一元二次方程命题趋势本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为1 5 分左右，预计2 0 2 2 年各地中考还将继续考查上述的几个题型，为避免丢分，学生应扎实掌握。知识梳理1、一元二次方程的概念1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2）一般形式：ax2+bx+c=0（其中a,c 为常数，,其中以2,b x,c 分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数.注意：（1）在一元二次

2、方程的一般形式中要注意a因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：必须是整式方程；必须只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是2.2、一元二次方程的解法1）直接开平方法：适合于（x a）2 =伏方2 0）或（or 土切2 =（以。）2 形式的方程.2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成（x a）2 =伙 6 2 0）的形式；（5）运用直接开平方法解方程.3）公式法：（1）把方程化为一般形式，即 2+云+0 =0；（2）确定a,A c

3、 的值；（3）求出。2 一4 双 的值；（4）将 a,4 c 的值代入尤=也 好 二 皿 即 可.2a4）因式分解法：基本思想是把方程化成（+0）（c x+）=O的形式，可得侬+匕=0或 c r+d=0.3、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1）根的判别式：一元二次方程公2+x +c =0（a N 0）是否有实数根，由。2 _ 4 a c 的符号来确定，我们把b2-4 a c叫做一元二次方程根的判别式.2）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当6 4 a c 0时，方程数2+b x +c =0（a声0）有两个不相等的实数根；（2）当。2-4砒=0时，方程，+云+。=03声0）有1个（两个

4、相等的）实数根;（3）当户-4 a c 0)典例引领1.(2021海南中考真题)用配方法解方程/一6工+5 =0,配方后所得的方程是()A.(x +3)2=4 B.(x 3 =_ 4 C.(x +3)2=4 D.(x-3)2=4【答案】D【分析】直接利用配方法进行配方即可.【详解】解：X2-6X+50%2-2X3X+32=-5 +32(x 3 =4 故选：D.【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等.2.(2021浙江嘉兴市中考真题)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框：小敏：两边同除以(x 3),得

5、3 =x 3，则 x =6.小霞：移项，得3(x 3)(x 3)2=0,提取公因式，得(x-3)(3 x 3)=0.则 x-3 =0 或 3%一3 =0,解得 =3,x2=0.你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“守 ；若错误请在框内打“x”，并写出你的解答过程.【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：小霞：两边同除以(3),得移项，得3(x 3)(x 3)2=0,3=x 3,提取公因式,得(x-3)(3 x 3)=O.则 x =6.则x 3 =0 或 3-x-3 =0，（X）解得 =3,x2=0.(x)正确解答:3（x-3）=（

6、x-3）2移项，得3（x3）（x3）2=0,提取公因式，得（x 3）3 （x3）=0,去括号，得（x-3）（3-x+3）=0,贝|J X 3 =。或 6-x =0 .解得 =3,x2=6 .【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键.变式拓展1.（2 0 2 1 四川雅安市中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程必一7x +1 2 =0的两根，则该直角三角形的面积是（）A.6 B.1 2 C.1 2 或之红 D.6 或生22【答案】D【分析】根据题意，先将方程V7x +1 2 =0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得

7、该直角三角形的面积即可.【详解】解方程7x +1 2 =0得玉=3,=4当 3和 4 分别为直角三角形的直角边时，面 积 为 3/4=6；2当4 为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为二=疗，面积 为:x J 7 x 3=乎：则该直角三角形的面积是6 或故选：D.2【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键.2.(2021湖南常德市中考真题)解方程：x2-x-2 =0【答案】=2,/=T【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程.详解：由原方程，得：(x+1)(%-2)=

8、0,解得：乃=2,Xi-1.点睛：本题考查了解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).3.(2021浙江绍兴市中考模拟)小丽在解一个三次方程V 2x+1=0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1,所以原方程可以转化为(苫-1)(r+以+)=0.根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解.【答案】但&或12【分析】由(尤一1)(/+法+=0变形为c=0,根据一一对应的原则求得氏

9、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可.【详解】解：V(x l)(x2+/?x+c)=0,/.x3+(/?l)x2+(c-Z?)x c 0,=b=又由题意得：x3-2x+=+(b-)x2+(c-b)x-c,.，-6 =-2解得：J =-c =l 1,=一.,.(x-D(x 2+x 1)=0,1=0,f+x i =o,.由求根公式得：)=.1 !1 +4=_1也,则原方程所有的解为：也5或1,故答案为：叵 或 .2 2【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值.考向3配方的应用与换元法典例引领1.(2020湖北荆州市中考真题)阅读下

10、列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.问题：解方程X2+2X+4 J 7 Z 2X 5 =0（提示：可以用换元法解方程），解：设 J j?+2%=0）,则有2+2%=产，原方程可化为：*+4/-5 =0，续解：【答案】玉=-1+及，=T-夜.（分 析 利用因式分解法解方程t2+4 t-5=0得到h=-5,t 2=l,再解方程J f+2 x =1，然后进行检验确定原方程的解.【详解】续解：。+2）2=9,./+2=3,解得彳=1,弓=一5 （不合题意，舍去），.=6+2%=1，x2+2x =b ：.（X+1）2=2,.芯=1 +0,=一1 0,经检验都是方程的解.【点睛】本题考查了

11、换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法.看懂提示是解决本题的关键.换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元.2.（2020嘉兴中考真题）比较7+1与2%的大小.（1）尝 试（用”或“”填空）：当 x=l 时，J?+1 2x；当 x=0 时，x2+l 2x；当 x=-2 时，+1 2x.（2）归纳：若x取任意实数，/+1与2%有怎样的大小关系？试说明理由.【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）根据完全平方公式，可得答案.【详解】解：（1）当x=l时，f+l=2v；当为=0时，A 1 2X；当x=-2时，?+l 2x；故答案为：；（2）r+1

12、22x,证明：VA+I-2x（x -1）220,变式拓展r 4-1 F X +1.（2020上海中考真题）用 换 元 法 解 方 程=+一=2时，若 设 一 =y,则原方程可化为关于），的方程X X +1 X是（)A.y2-2 y+l=0 B.y2+2 y+l=0 C,y2+y+2-0 D.V+y -2=0【答案】Ax +1 1【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设-=y，则原方程化为y+=2,再转化为整式方程y 2-2 y+l=0%y即可求解.X+1 1【详解】把r=y 代入原方程得：尹 一=2,转化为整式方程为）2-2 尹 1=0.故选：A.【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程

13、时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.2.（2 0 2 1浙江中考模拟）己知实数加，满足 z-2=i,则代数式加+2/+4 L2的 最 小 值 等 于.【答案】-13【分析】由=1可得 2=巾-1,再代 入 布+2“2+4 -2,再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解：:m-n2=,n2=m-1,.,.m2+2 n2+4/n-2=m2+2（m-l）+4 z n-2 =w z2+6 m-4 =（?+3，-13?13,所 以 病+2?+4/n-2 的最小值是-13,故答案为：13【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法

14、的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.3.（2 0 2 1绵阳市中考模拟）已知关于*方程f+（2 m-3）X 一利+1 =0,其中，是实数.（1）求证：不论机取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程有两个实数根为士,三，求代数式x：+（3-2 6）+机的最小值.7【答案】（1）见解析；（2）-4【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使A0恒成立；（2）将将加三代入原方程得到（3-2 根）毛+帆=毛2 +1,再根据方程得到公+七，x,x2,代入代数式，配方可得，的最小值.【详解】解：（1）=（2/?7-3）2-4（-/?z+l）=4 w2-12m+9+41

15、11-4=4m2-8 w +5=（2 m-2）+l 0不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）,玉,三为方程的实数根，.将冬,8 2 代入原方程得：x j+（2 m 3）%,，+1 =0,玉2+（2，3）%2 6+1 =0 ,/.(3 2机)%+m=9 2+1,X j2+(3-2 m)2 4-ZHX,2+x22+1=(x j +x2)2-2x1x2+,bc%+x,=3 2m.,X 犬2 =m+，a a原式=（3-2加）2-2（-?+1）+1 =4-10 7 +8 =（2根-2）故原代数式的最小值为/.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解

16、题是一种经常使用的解题方法.考向4 一元二次方程根的判别式对于方程2+历c+c =O（a O）,/=-4 a c，若/0,方程有两个不相等的实数根；若/=0,方程有两个相等的实数根；若/（）,由此即可得出结论.【详解】解：观察函数图象可知：函数尸丘+6的图象经过第二、三、四象限，./（）,b 0 ,二一元二次方程/+8+上i =o为两个不相等的实数根.故选：C.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出A b的正负是解题的关键.2.（2021山东蒲泽市中考真题）关于x的方程（2-1）2炉+（2左+1）+1=0有实数根，则上的取值范围是（）A.k -

17、S L k B.左2,且左H l C.k -D.k -4 4 4 4【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求人的取值范围即可.【详解】解：当方程为一元二次方程时，.关于X的方程（女仔/+（2左+l）x+l=O有实数根，/.A =（2 Z：4-l）2-4 x（A：-l）2x l 0 ,且 解得，%之；且4关1,当方程为一元一次方程时，:1,方程有实根综上，后2工故选：D.4【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中a。0,熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键.3.（2021四川南充市中考真题）已知关于x的一元二次 方 程/一（2后+1）

18、+女2+=o.（1）求证：无论上取何值，方程都有两个不相等的实数根.（2）如果方程的两个实数根为花，x2,月.”与:都 为 整 数，求A所有可能的值.【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与 五 都为整数，得出”的值；X2【详解】解：（1）%2一（2 2 +1）工+2 2+攵=。；=一 （2 Z +1）-4 x l x（%2+A）=4 A：2+4 Z+l-4 A：2 _ 4 Z=l 0无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.（2）V x2 （2k+l）x+k2+k=0：.（x-

19、k）（x-/c-l）=O x-kO,x-h l=0 xt=k,X 2=4+1 或%=&+1,x2=k,x.k.x,当%=k,=k+1时，,=7 i7 =l-7 T 7：k与 都为整数，：（）或-2x2 k+k+1 x2x,k+1,1 x,当=无+1,2=女时，,=丁=1+7，与 二 都为整数，仁 1或-IX2 K K X2./所有可能的值为0 或-2或 1或-1【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不等的实数根“；（2）利用因式分解法求出方程的解.变式拓展1.（2021湖北黄冈市中考真题）若关于X的 一 元 二 次 方 程 2%+加

20、=0 有两个不相等的实数根，则?的值 可 以 是.（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】根据一元二次方程根的判别式求出加的取值范围，由此即可得出答案.【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式A=（2）24根 0,解得m 1,则用的值可以是0,故答案为：0（答案不唯一）.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键.2.（2021上海中考真题）若一元二次方程2 V 3x+c=O无解，则 c 的 取 值 范 围 为.9【答案】c 一8【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到=（-3-4 x 2 c 0,然后求出c 的取值范围.【详解】解：关

21、于x 的一元二次方程2 1 3+0=0 无解，296 Z =2,/?=3 c=c,；.=？-4QC=（3）4x2c 小,9 9 c 的取值范围是c 6.故答案为：C -.o o【点睛】本题考查了一元二次方程加+bx+c=0（存0）的根的判别式=序4 a：当（）,方程有两个不相等的实数根；当=（）,方程有两个相等的实数根；当=一%+2不经过第一象限，则关于X 的方程2 d+%+i=o 的实数根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2 个 D.1或 2 个【答案】D【分析】直线=一 工+加 不经过第一象限，则，”=o或?o,分这两种情形判断方程的根.【详解】直线y=-x+m不经过第一象限，.=（）

22、或m l0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一 元 一 次方程的根，一 元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键.考向5根与系数关系be设一元二次方程依2+Z?x +c =O（a O）的两根分别为匹，x2,则西+工2=,xtx2=.C l Q典例引领1.（2021四川成都市中考真题）若相，是一元二次方程必+2x l =0的两个实数根，则 加+4 m+2”的值是.【答案】-3.【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到桃2+2机一 1 =0,则“2+2帆=1，根据根

23、与系数的关系得出m+n=-2,再将其代入整理后的代数式计算即可.【详解】解：，”，是一元二次方程f+2 x 1 =0的两个实数根，二 m2+2m-l =0，m+n=-2 rn2+2m=1，二加2+4 7%+2 =租2+2m+2z+2=l+2x （-2）=-3 故答案为：-3.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是 一 元 二 次 方程以2+笈+。=0（工0）的h c两根时，%,+%2=,x,x2=-,也考查了一元二次方程的解.a a2.（2021湖北中考真题）关于x的方程f2如+m 2 一机=0有两个实数根a,尸.且J _ +=l.则机=a p【答案】3,1 1 ,分析先根据

24、一元二次方程的根与系数的关系可得a +尸=2九3=加2 一机，再根据一+方=1可 得-a p个关于加的方程，解方程即可得加的值.【详解】解：由题意得：a +p =2m,a/3=m2-m,1 1 a +。2 m=-=1,i-1.化成整式方程 为 3?=0，解得，=0或加=3,a B a（3 m-m经检验，机=0是所列分式方程的增根，加=3是所列分式方程的根，故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键.3.（20 21北京中考真题）已知关于的一元二次方程V 4/n x +3M 2=0.（1）求证：该方程总有两个实数根；（

25、2）若加0,且该方程的两个实数根的差为2,求用的值.【答案】（1）见详解；（2）加=1【分析】（1）山题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于的 一 元 二 次 方 程4 mx +3加2=0的两实数根为x,，w，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得玉+=4机,占 尤2=3加2,进 而 可 得 9）2=4,最后利用完全平方公式代入求解即可.【详解】（1）证明：由题意得：a =1力=-4，,c =3根2,A =廿 4%；=1 6/一4 x 1 x 3/=4根2,?NO，；A=4机22 0，.该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x的一元二次方程一一4尔+3%2=。的两实数根为王,

26、，则有：X+=4九%=3加二,.看一百=2，:.（%）-Xj）2=（x）+Xj）2-4XX2-1 6 m2-1 2苏-4,解得：m =l,m 0,m =l.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键.变式拓展1.（20 21湖北武汉市中考真题）已知”，。是 方 程/一3一5 =0的两根，则代数式2 4 6/+7 1的 值 是（）A.-25 B.-24 C.35 D.36【答案】D【分析】先根据已知可得/一3。-5 =0，匕-3b=5,a+b=3,然后再对2a -6/+/+7 8+1变形,最后代入求解即可.【详解】解：；

27、已知 是方程布一3左一5 =0的 两 根.2一3。一5 =0,b1-3b=5 0）元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的x的值，即可解题售价.【详解】解：设这种水果每千克降价x（x 0）元，则每千克的利润为：（38-22-x）元，销售量为：（16（）+4（）x）千克，（16-%）（160+40 x）=3640 整理得，/一 12x27=0（%-3）（-9）=0.x =3或x=9,.要尽可能让顾客得到奖惠，；.x =9即售价为389=27（元）答：这种水果的销售价为每千克27元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用

28、，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.变式拓展1.（2021黑龙江鹤岗市中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A.14 B.II C.10 D.9【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，由题意可得l+x+x（l+x）=1 4 4,然后求解即可.【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 X个人，由题意可得：l +x+x（l +x）=1 4 4,解得：%=1 1,=一 1 3 （舍去），故选B.【点睛】本题主要考查元二次方程的应用，熟 练 掌 握 一 元二次方程的应用是解题的关键.2.（2021贵

29、州毕节市中考真题）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排1 5 场比赛，则八年级班级的个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】设有X个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了 gx（x-l）场比赛，即可列出方程，求解即可.【详解】解：设有X个班级参加比赛，x（x-l）=15,W-x _3 O =O,解得：王=6,=-5 （舍），则共有6个班级参加比赛，故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系.3.（2021重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本

30、地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已 知 3 份“堂食”小面和2 份“生食”小面的总售价为3 1 元，4份“堂食”小面和1 份“生食”小面的总售价为3 3 元.（1）求每份“堂食”小面和生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4 5 0 0 份，“生食”小面2 5 0 0 份，为回馈广大食客，该面馆从5月 1日3起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低；a%.统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加3

31、。,这两种小面的总销售额在4月2的基础上增加（.求。的值.【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元.（2）。的值为8.【分析】（1）设每份“堂食”小面和生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可.【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是尤、y 元,根 据 题 意 列 方 程 组 得，”，4 x+y =3 3x=7解得，答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元.y=55 3 5(2)根据题意得，4500 x7+2500(1+-%)x5(1一一%)=(4500

32、x 7+2500 x5)(1+a%),2 4 11解得，4=0 (舍去)，?=8,答：的 值 为8.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系,列出方程，熟练运用相关知识解方程.热点必刷1.(2 0 2 1贵州黔东南苗族侗族自治州中考真题)若关于8的一元二次方程q x +6=0的一个根是2,则”的 值 为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】根据韦达定理，可知另一个根为3,再根据韦达定理可知。的值为根之和，即可求得【详解】：Y-公+6=0的一个根为2,设另一根为，2%2=6,解得=3又；2+=a,。=5故选D【点睛】本题考查了一元二

33、次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键.2.(20 21浙江丽水市中考真题)用配方法解方程d+4 x +l =0时，配方结果正确的是()A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3 C.(x +2 =5 D.(x +2)2=3【答案】D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可.【详解】解：./+4%+1 =0，X2+4X=-1，/.%2+4 x +4 =-l +4，：.(x+2)2=3,故选：口.【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方.3.(20 21

34、山东临沂市中考真题)方程2一=5 6的 根 是()A.X =7,x2=8 B.%=7,x2=-8 C.x=-7,x2=8 D.%=7,x2=-8【答案】c【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项.【详解】解：犬x =5 6，f x 5 6 =0，.(x +7)(x-8)=0,.*.x+7=0,x-8=0,；.x i=-7,X 2=8.故选：C.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一

35、元一次方程的问题了.4.(2021浙江二模)已知“、匕满足x=a2+/?+21,y=4(26-“)，则 x、y 的大小关 系 是()A.玲 B.xy C.xy D.【答案】C【分析】用 x 减去y,对 x 和 y 分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y的正负，从而问题得解.【详解】J x=d1+b1+2 ,y=4(2b-a).x-ycr+b2+2-4(2b-a)a2+b2+21-8b+4a(a+2)2+(b-4)2+l(a+2)20,(b-4)2N0；.x-y 0；.xy 故选：C.【点睛】本题考查了配方法在代数式比较大小中的应用，掌握求差法及配方法，是解答本题的关键.5.(2021贵州毕

36、节市中考真题)已知关于x 的一元二次方程办2 一4一 1=0 有两个不相等的实数根，则的取值范围是()A.a W B.a T C.aNT且 a o()D.a T 且a 0 0【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a和 且 ()，从而求解.a 7 0【详解】解：根据题意得：存0 且 (),即,八，解得：a T 且a/0,故选D.16+4a 0【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ad+fex+eO(W 0)的根与A%?-4m 有如下关系：当4 0 时.，方程有两个不相等的两个实数根；当=()时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 可知该方程有两个不相等实数根.故选D.【

37、点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，i 卜意 0 时仃两个不相等的实数根；A=0 时有一个实数根或两个相等的实数根；J 0 时没有实数根.7.（2021河南中考真题）若方程2x +m =O没有实数根，则加的值可以是（)A.-1 B.0 C.1 D.也【答案】D【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出，的取值范围即可.【详解】解：由题可知：“0”,，（一2）2 4机1,故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握.8.（2021广西玉林市中考真

38、题）已知关于x的一元二次方程：2一2%+1=。有两个不相等的实数根七，马，则（）A.%+%2-1 D.xtx2 0,然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解.【详解】解：关于工的一元二次方程：尤2一2%+加=。有两个不相等的实数根再，h c4 4,7?0,解得：m 0,xx2-=m ,a a，只有D选项正确；故选D.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键.9.（2021四川广安市中考真题）关于x的一元二次方程（a +2）x 2 3 x+l =0有实数根，则。的取值范围是（）A.G 1 且 a w 2 B.t

39、7 1 C.c i .1一 n月.a w 2 D.a （）,然后求出两不等式的公共部分即可.【详解】解：关于x的一元二次方程（a +2）f 3 x+l =0有实数根，.并 且。+2舛，二（-3）2-4 （a+2）x i K）且“+2邦，解得：好,且存-2,故选：A.【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程a/+6 x+c=0（和）的根与=F 4 a c有如下关系：当 0时:方程有两个不相等的两个实数根；当=（）时，方程有两个相等的两个实数根；当 时，方程无实数根.10.（2020新疆中考真题）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A.X2 x +=0 B.x2+2x+4=0 C.x2-

40、x+2=0 D.x2-2x=04【答案】D【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论.【详解】A.此方程判别式A =（-l）-4 x l x-=0,方程有两个相等的实数根，不符合题意：B.此方程判别式 =2?-4 x 1x 4 =-1 2 0,方程没有实数根，不符合题意；C.此方程判别式 =（14 x 1x 2=7 0 ,方程有两个不相等的实数根，符合题意;故答案为：D.【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.H.（2021广西贵港市中考

41、真题）已知关于x的一元二次方程（一日十%3=0的两个实数根分别为公，且X；+X；=5 ,则k的 值 是（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】D【分析】利用根与系数的关系得出玉+%=%，XR=%-3,进而得出关于人的一元二次方程求出即可.【详解】解：.关于X的一元二次方程V一辰+3 =0的两个实数根分别为芭，巧，/.x2=k,xx2=左 一 3,*/x；+4=5 ,，+x2）2-2X（X2=5 ,k2 一2（2 3）=5 ,整理得出：攵2一22+1 =0,解得：尢=&=L故选：D.b【点睛】本题考查了一元二次方程以2+加+。=0（？0,。，A,C为常数）根与系数的关系：%+七=一一，ac

42、xx2=.a12.（2021四川泸州市中考真题）关于x的一元二次方程f+2如+苏 相=。的两实数根菁吃,满足玉=2，贝!l（%：+2）（考+2）的 值 是（）A.8 B.16 C.32 D.16 或 40【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得加=2或加=-1，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可.【详解】解：一元二次方程/+2 3+/一机=0.a=l,3=2根,。=加2-根cxix2=nr-m=2,m2 一机一2=0 （m一2）（/+1）=0,？=2或%=-1a当机=2时，原一元二次方程为/+4犬+2=0 x,+x2=-2m=-4,a（x；+2）

43、（6 +2）=（x,x2）2+2（x；+x；）+4,x；+x；=（x,+x2）2-2xtx2二.（#+2）（考+2）=（再 x2）2+2（X,+X2）2-4X,X2+4=22+2 x（-4）2-4 x 2+4=3 2当m=-1时，原一元二次方程为X2-2X+2=0.=（-2）2-4x1x2=-4 0原方程无解，不符合题意，舍去，故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.13.（2021内蒙古呼伦贝尔市中考真题）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染

44、中平均一个人传染x个人，可到方程为（）A.l+2x=81 B.1 +x2=81 c.1 +X+无2=81 D.l+x+x（l+x）=81【答案】D【分析】平均一人传染了 X人，根据有一人患了流感，第一轮有（X+1）人患流感，第二轮共有X+1+（X+1）X人，即81人患了流感，由此列方程求解.【详解】x+l+（x+1）户81整理得，（1+x）2=81.故 选：D.【点睛】本题考查了 一 元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解.14.（2021辽宁大连市中考真题）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，

45、2020年平均亩产量约800公 斤.若设平均亩产量的年平均增长率为x,根据题意，可列方程为（）A.500(1+%)=800 B.500(1+2x)=800 C.500(1+%2)=800 D.500(1+%)2=800【答案】D【分析】根据题意及一元二次方程增长率问题可直接进行排除选项.【详解】解：由题意得：500(1+x)2=8 00；故选D.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程方程的应用是解题的关键.15.(2020广西中考真题)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是()A.x(x+

46、1)=110 B.x(x-1)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x-1)=1102 2【答案】D【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.【详解】解：设有x 个队参赛，则 x(x-l)=1 1 0.故选：D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键.16.(2020湖南张家界市中考真题)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程V -6x+8=0 的两根,则该等腰三角形的底边长为()A.2 B.4 C.8 D.2 或 4【答案】A【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用

47、三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案.【详解】解：x?6x+8=0(x4)(x2)=0 解得：x=4 或 x=2,当等腰三角形的三边为2,2,4 时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2,4,4 时:符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2,故选：A.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键.17.(2021江苏宿迁市中考真题)若关于x 的一元二次方程%2+以-6=0的一个根是3,则折【答案】-1【分析】把户3 代入一元二次方程即可求出.【详解】

48、解：.关于X的一元二次方程r+ax-6=0的一个根是3,.9+3a-6=0,解得。=-1.故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程方程的解又叫一元二次方程的根，熟知一元二次方程根的意义是解题的关键.X18.（2020四川乐山市中考真题）已知y#0,且 f-3 孙 4 y 2=0.则一的值是.y【答案】4 或【分析】将已知等式两边同除以V 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得.X 3九【详解】将 V 3孙一4 尸=0 两边同除以 2得：（7）2一7一4=0XX令 =一则/一 3/一4=0因式分解得：。-4）+1）=0 解得，=4 或 =一1即一的值是

49、4 或一1故答案为：4 或一 1.【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键.19.（2021吉林中考真题）若关于的一元二次方程x2+3x+c=O有两个相等的实数根，则c 的值为9【答案】-4【分析】根据判别式 =（）求解即可.【详解】解：；一元二次方程/+3%+。=0 有两个相等的实数根，9Q =3-4c=0,解得c=-.故答案为：一.4 4【点睛】本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=0（a/0）的根的判别式 =b?-4ac：当 0,方程有两个不相等的实数根；当=（）,方程有两个相等的实数根；当（）,方程没有实数根.20.（2021江苏泰州市中

50、考真题）关于x 的方程/-x-1 =0 的两根分别为xi、忿则XI+X2-制2的值为 一.【答案】2.【分析】先根据根与系数的关系得到芯+x2=l,xI.x2=-l,然后利用整体代入的方法计算即可.【详解】解：关于X的方程/-X-1=0 的两根分别为k、X2,/.Xf+x2=1,x,%,=1,/.n+x2-xi*X2=l-(-1)=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若AN 为一元二次方程以2+法+c =O（ar O）的两个根，则有h c%+/=一一，%=一，熟记知识点是解题的关键.a a2 1.（2 0 2 1 四川雅安市中考真题）已知一元二次方程f+x 2 0 2 1=0