江苏省2022中考数学真题分类汇编-07+解答题+提升题知识点分类.pdf

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1、江苏省2022中考数学真题分类汇编-07解答题提升题知识点分类一.一 次函数综合题(共1 小题)1.(2022泰州)定义：对于一次函数yax+b y2cx+d,我们称函数ym(o v+b)+n(c x+d)C ma+ncO)为函数y i、的“组合函数”.(1)若，=3,=1,试判断函数y=5x+2是否为函数y i=x+l、y2=2x-1 的组合函数”，并说明理由；(2)设函数y i=x -0-2 与yi-x+3p的图象相交于点P.若机+1,点 P在函数)、的 组合函数”图象的上方，求 p的取值范围：若/I,函数 1、”的“组合函数”图象经过点尸.是否存在大小确定的加值，对于不等于1 的任意实数

2、p,都 有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出，的值及此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.二.二次函数综合题(共6 小题)2.(2022连云港)已知二次函数y=/+(w?-2)x+m-4,其中m 2.(1)当该函数的图象经过原点0 (0,0),求此时函数图象的顶点A 的坐标；(2)求证：二次函数y=/+C m-2)-4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y 轴的负半轴的交点为B,求A A OB面积的最大值.3.(2022扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘A

3、 B在 x轴上，且 A B=8 力，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为)，轴，高度0 C=8 力.现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘48 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘A B上且周长最大，求此矩形的周长;(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3力的圆，请说明理由.4.(2022泰州)如图，二次函数y i=/+，x+l的图象与y轴相交于点A,与反比例函数中=K(x 0)的图象相交于点8(3,1).x(1)求这两个函数的表达式；(2)当y i随x的 增 大 而 增 大 且 时，直接写出x的取值范围；(3)平行于x轴的直线/与函数y

4、 i的图象相交于点C、。(点C在点。的左边)，与函数”的图象相交于点E.若A A C E与 B D E的面积相等，求点E的坐标.5.(2022常州)已知二次函数 =以2+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:X -10123y430-5-12(1)求 二 次 函 数 的 表 达 式；(2)将二次 函 数y=ax1+bx+3的图像向右平移k(A 0)个单位，得到二次函数y=/+,比+7的图像，使得当-l x 3时，y随x增大而增大；当4 c x 0)的图象与x轴交于A,B两 点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,顶点为Z X其对称轴与线段B C交于点E,与x轴交于点尸.连接A C,B D

5、.(1)求4,B,C三点的坐标(用数字或含，的式子表示)，并求N O 8 C的度数；(2)若/A C O=N C 8 Q,求机的值；(3)若在第四象限内二次函数y=-f+2妹+2%+1(杨是常数，且“0)的图象上，始终存在一点P,使得N 4 C P=7 5,请结合函数的图象，直接写出?的取值范围.备用图7.(2022宿迁)如图，二次函数y u M+f cc+c与x轴交于O (0,0),A (4,0)两点，顶2点为C,连接O C、A C,若点B是线段O A上一动点，连接8C,将A B C沿B C折叠后,点A落在点A 的位置，线段A C与x轴交于点。，且点。与0、A点不重合.(1)求二次函数的表达

6、式；(2)求证：OCQS A A B D；求迈的最小值；BA(3)当SAOCO=8SAA/。时，求直线A B与二次函数的交点横坐标.备用图三.三 角 形 综 合 题（共3小题）8.（2022苏州）（1）如图 1,在A B C 中，Z A C B=2 Z B,C O 平分N A C B,交 A B 于点D E/A C,交 BC 于点 E.若力E=l,B D=。,求B C的长；2试探究坐一些是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.A D DE（2）如图2,/C B G和4 B C尸是 A B C的2个外角，N B C F=2 N C B G,C O平分/B C凡交A B的延长线于

7、点D,DE/AC,交C B的延长线于点E.记A C。的面积为S i,4 C D E的面积为S 2,2Q E的面积为S 3.若SI S 3=A _ 5 2 2,求cos/C B。的值.169.（2022扬州）如 图1,在 A B C中，N B A C=90,ZC=6 0,点。在B C边上由点C向点8运 动（不与点B、C重合），过点。作。E L A O,交射线A B于点E.（1）分别探索以下两种特殊情形时线段A E与B E的数量关系，并说明理由；点E在线段A B的延长线上且B E=B D；点E在线段A B上且EB=ED.（2）若 A B=6.当 迈=近 时，求A E的长；A D 2直接写出运动过程

8、中线段A E长度的最小值.AA10.(2022泰州)已知：A B C 中,H为 BC边上的一点.(1)如图，过 点。作。E A 8交 AC边于点E.若 A B=5,BD=9,D C=6,求 D E的长；(2)在图中，用无刻度的直尺和圆规在AC边 上 作 点 凡 使/。物=/A；(保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图，点 F在 AC边上，连接B F、D F.若/。砌=N A,F 8C 的面积等于2 C O-A B,以 F T)为半径作OF,试判断直线8 c 与Q尸的位置关系，并说明理由.四.圆 的 综 合 题(共 3小题)11.(2022苏州)如图，AB是。的直径，AC是弦，。是定的中点，CQ

9、与 交 于 点 E.F是 A B延长线上的一点，且 C F=EF.(1)求证：C F 为。的切线；(2)连接8 0,取 8。的中点G,连接AG.若 CF=4,B F=2,求 AG的长.cD12.(2022宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、”均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段A B、C D,相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整:解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是 A BC和CCE.在 R t Z X A BC 中，t a n/BA C=工,2在 R t

10、Z CZ)E 中,所以 t a n/B4C=t a n N CE.所以 N BA C=N O C.因为N A CP+N CCE=N A CB=90 ,所以N A CP+N BA C=90,所以N A P C=90,即 ABLCD.【拓展应用】(1)如图是以格点。为圆心，A B为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在窗上找出一点P，使 而=菊，写出作法，并给出证明；(2)如图是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦A 8上找出一点P.使AM2=AP-AB,写出作法，不用证明.是半圆弧上的一点(点C与点A、B不重合)，连接AC、B C.(1)沿AC、8 c剪下 4 B C,贝IJA4BC是 三

11、 角 形(填“锐角”、“直角”或“钝角”)；(2)分别取半圆弧上的点E、尸和 直 径 上 的 点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6 c m的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹，不要求写作法)；(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段A C上的点M、线段B C上的点N和 直 径 上 的 点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4 c的菱形.小明的猜想是否正确？请说明理由.备用图五.几何变换综合题(共1小题)14.(2022连云港)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按

12、照如图1所示的方式摆放.其 中/ACB=/EB=90,NB=30,B E=A C=3.【问题探究】小昕同学将三角板D E B绕点B按顺时针方向旋转.(1)如图2,当点E落在边A B上时，延长D E交8 c于点凡 求B尸的长.(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线B C的距离.(3)连 接。C,取 0 c 的中点G,三角板DEB由初始位置(图1),旋转到点C、B、D首次在同一条直线上(如图3),求点G 所经过的路径长.(4)如 图 4,G 为。C 的中点，则在旋转过程中，点G到 直 线 A B 的距离的最大值是.参考答案与试题解析一次函数综 合 题(共 1 小题)1.(2022泰州)定

13、义：对于一次 函 数y=ax+b yi=cx+d,我们称函数y=m (.ax+b+n(.cx+d)C ma+ncO )为函数y i、”的 组合函数”.(1)若/徵=3,=1,试判断函数y=5x+2是否为函数y i=x+l、y22x-1 的”组合函数”，并说明理由；(2)设函数yi=x-p-2 与yi=-x+3p的图象相交于点P.若?+1,点尸在函数V、”的“组合函数”图象的上方，求 p 的取值范围；若函数y i、的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的，值，对于不等于1 的任意实数p,都 有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出相的值及此时点。的坐标；若不存在，请说明

14、理由.【解答】解：(1)函数y=5x+2是函数yi=x+l、”=2 r-l的“组合函数”，理由如下：V3(x+1)+(2 x-l)=3x+3+2x-l=5x+2,；.y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),函数y=5x+2是函数y i=x+l、y2=2x-I 的 组合函数；(2)由 产X-P-2得 卜=2p+l,|y=-x+3p I y=p-1P (2p+1,p-1),Vyu 的组合函数”为 y=m (x-p-2)+n(-x+3p),；x=2p+l 时，y=m(2/7+1-p-2)+n(-2 p-l+3p)=(p-1)(m+n),点户在函数y i、”的“组合函数”图象的上方，-1 (/?-1

15、)(m+n),(p-1)(1 -m -n)0,m+n 1,-m -n0,：.p-l=机(x-p-2)+n(-x+3 p)图象经过点P,:p-1 =m(2p+l-p-2)+n(-2p-l+3p),(p-1 )(1 -m-n)=0,p N l,-m-九=0,有 n=1 -m,*.y=m(x-p-2)+(-x+3p)=m(x-p-2)+(1 -w)(-x+3p)=(2m-1)x+3p-(4p+2)m,令 y=0 得(2相-1)x+3p-(4p+2)m=0,变形整理得：(3-4M p+(2/77-1)x-2m=0,当 3-4 m=0,即机=3 时，-=0,4 2 2Ax=3,.根=旦时，组合函数”图象

16、与X轴交点0 的位置不变，Q(3,0).4二.二 次函数综合题(共6 小题)2.(2022连云港)已知二次函数y=/+Cm-2)x+m-4,其中加2.(1)当该函数的图象经过原点O(0,0),求此时函数图象的顶点A 的坐标；(2)求证：二 次 函 数)=/+(%-2)X+L 4 的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y 轴的负半轴的交点为8,求AOB面积的最大值.【解答】(1)解：把 O(0,0)代入)，=/+(,M-2)x+?-4 得:m-4=0,解得机=4,.y=/+2x=(x+1)2-1,函数图像的

17、顶点A的坐标为(-1,-1)；(2)证明：由抛物线顶点坐标公式得y=/+(加-2)x+m-4的 顶 点 为(生 担，29-m+8m-204Vm2,A 2-w 0,2-m0,22-m+8m-20=(，)2 _ w-ivo,4 4.,.二次函数y=/+(m-2)x+加-4的顶点在第三象限；2(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y=f+法+c,其 顶 点 为 ，生 券 _),当 x=0 时，B(0,c),2将(-旦4 c-b)代 入=_ _2得：2 44c-b2 _ b _ 2,-4 2,.-b2+2b-8 C -,4；B(0,c)在y轴的负半轴，：.c2-A/?+l =-A(/?+l)2+

18、,2 2 4 8 4 8 8：-A o,8.当b=-l时，此时c=依2+8,把 8 (4,0)代入得：0=1 6 +8,2抛物线的解析式为：y=-1 2+8,2.四边形E F G H是正方形，:.G H=F G=2 0 G,设，(t,-l?+8)(r 0),2-A?+8=2Z,2解得：八=-2+2后，t2=-2-2匹(舍)，.此正方形的面积=F G 2=(2 f)2=4，=4 (-2+2代)2=(9 6 -3 2遥)dm2；(2)如图 2,由(1)知：设 4(f,-l?+8)(r 0),矩形 E F G H 的周长=2 F G+2 G，=4 f+2 (-1?+8)=-?+4/+1 6=-(/-

19、2)2+2 0,2V -1 0,.当f=2时，矩形EF G”的周长最大，且最大值是2 0力”；(3)若切割成圆，能切得半径为3力的圆，理由如下：如图3,N为 上 一 点，也是抛物线上一点，过N作。例的切线交y轴 于Q,连接过点N作N P J _ y轴 于P,则 M N=O M=3,N Q 1 M N,由勾股定理得：PM2+PN2=-MN2,.*.m2+(-1I2+8-3)2=32,2解得：mi=2&,m l-2-/2(舍)，:.N(2&,4),：.PM=4-1=3,V c o s Z W P=P l=M=A,M N Q M 3:.MQ=3MN=9,：.Q(0,12),设 Q N 的解析式为：y

20、=kx+b9.J b=1 2 ,1 2 V 2 k+b=4，.k=-2 2l b=1 2 ,；.Q N 的解析式为：y=-2&x+1 2,-1 2+8=-2 a x+12,2.lx2-2&x+4=0,2=0)的图象相交于点8(3,1).x(1)求这两个函数的表达式；(2)当y i随x的 增 大 而 增 大 且 时，直接写出x的取值范围；(3)平行于x轴的直线/与函数的图象相交于点C、。(点C在 点。的左边)，与函数”的图象相交于点E.若AC E与 BD E的面积相等，求点E的坐标.【解答】解：(1)二次函数y i=/+，x+l的图像与y轴相交于点A,与反比例函数”=K(%0)的图像相交于点B(

21、3,1),X32+3W+1 =1,K=1,3解得?=-3,k=3,二次函数的解析式为y i=f-3 x+l,反比例函数的解析式为”=旦(x 0)；x(2).,二次函数的解析式为y i=f-3 x+l,对称轴为直线x=,2由图象知，当y i随x的增大而增大且)“时，(3)由题意作图如下：当 x=0 时，y i=l,1A(0,1),:B(3,1),AACE的C E边上的高与5DE的DE边上的高相等,:ACE与ABDE的面积相等，：C E=D E,即七点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当亢=3 时，*=2,2：.E(2，2).25.(2022常 州)已知二次函数y=a/+饭+3的自变量x 的部

22、分取值和对应函数值y 如下表：x-1 0 1 2 3 y 4 3 0-5-12(1)求二次函数y=a/+fcr+3的表达式；(2)将二次函数y=o?+fcv+3的图像向右平移k(k 0)个单位，得到二次函数y=加？+%+的图像，使得当-l x 随 x 增大而增大；当4Vx 0)个单位得y=-(.x-k+)2+4的图象，新 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 I,.当-1 x 3 时，y 随 x 增大而增大；当 4Vx0）的图象与x轴交于A,3两 点（点A在点2的左侧），与y轴交于点C,顶点为Z）.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点E连接AC,BD.（1）求4,B,C三点的坐标（用数字或含

23、小的式子表示），并求NO 8C的度数；（2）若/A C O=N C B O,求机的值；（3）若在第四象限内二次函数）=-/+2a+2胆+1 （,是常数，且?0）的图象上，始终存在一点P,使得N4CP=75,请结合函数的图象，直接写出?的取值范围.备用图【解答】解：(1)当y=0 时，-7+2校+2相+1 =0,解方程，得 x i=-l,xi=2m+,点A 在点B 的左侧，且加0,A A(-1,0),B(2/w+l,0),当 x=0 时，y=2/72+1,：.C(0,2w+l),OB=OC=2m+,N5OC=90,NOBC=45；y=-/+2 g+2 加+1=-(x-in)2+(/n+1)2:.

24、D(m,(m+1)2),F Cm,0),:.DF=(z+l)2,OF=m,BF=m+,TA,8 关于对称轴对称，：.AE=BE,：.ZEAB=ZOBC=45,:/A C O=/C B D,C B=/O B C,：.NAC0+N0C8=/CBD+/O BC,B P ZACE=/D BF,:EF OC,.lanN AC E=理=更=?+1,CE CE OF.m+1=北+,m：.m=或-1,:m0,m 1 ；当点尸在第四象限时，点。总是在点B 的左侧，此时N C Q A N C B 4,即NCQA45,V ZACQ=75,：.ZCAO60,.加 返 二 1,2.0 u J _O 4时，C D最小，理

25、的值最小,A B当C D=2时，毁 的 最 小 值 为 一 一=近；A B 2 V2 2(3)解：VSAO C D=8 SAA 7?D,A SA O C D：S&4 5O=8,：XOCDSX N BD,.SA Q C D (0 C)2=8,A AZ B D A B：OC=2 近,：.AB=AB=,；.B F=2 -1 =1,如图2,连接A 4，过点A作4 G _L O A于G,延长C B交4 r于H,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,V ZAHB=ZBFC=90,ZABH=ZCBDf：.ZBCF=ZBAH,tan Z BCF=tan Z GAA,B=A JI,*CF AG 2设 AG=m 则 A

26、G=2。，BG=2a-I,在RtZAGB中，由勾股定理得：BG2+AG2AB2,.,.2+(2 -1)2=I2,/.ai=O(舍)，a2=,5BG=2a-1 =-1 =,5 5：AG/OQ,：.H G 8S/QOB,A 3_.A G=BG 即 5=5OQ 丽，、诙丁.。=4,：.Q(0,4),设直线4 5 的解析式为：y=kx+m,.（m=4I 3 k+m=0解得：I K 3.m=4，直线A,B的解析式为：y=-&+4,3-+4=A x2-lx,3 23 7-4 x-2 4=0,解得：x=23_直线A 8与二次函数的交点横坐标是些空叵.3三.三角形综合题（共3小题）8.（2 02 2苏州）（1

27、）如图 1,在A B C 中，Z A C B=2 Z B,C O 平分N 4 C 8,交 4 8 于点。，D E/AC,交 BC 于点、E.若力E=l,B D=3,求B C的长；2试探究地一些是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.A D D E（2）如图 2,N C B G 和/B C尸是A B C 的 2 个外角，N B C F=2 N C B G,CD 平分NBCF,交A B的延长线于点D,DE/AC,交C B的延长线于点E.记A C。的面积为Si,A C D E的面积为S 2,8 O E的面积为S 3.若SIS 3=&2 2,求co s/C B 的值.16图1图2【解

28、答】解：（1）；C 0平分/A C B,Z A C D=Z D C B=Z A C B,2.*/ACB=2/B,：.NACD=NDCB=NB,:.CD=BD=3,2,:DE/SC,：./ACD=/ED C,：.ZEDC=NDCB=ZB,：.CE=D E=f:.ACEDsCD B,一CE-二 CD,CD CB3,1 _-2 3_ CB2;.B C=2；4：DE/AC,AB BCAD=CE同可得，CE=DE,.AB BCAD=DE AB BE _BC BE _CE=而而而而而，.迪一些是定值，定值为1；AD DE(2)U：DE/AC,.S1 AC BC 二 ，s2 DE BE.s3 BE-=-，s

29、2 CE.S1 S3.BCs2-C E1又S1 S3=-S22,16 B C 9CE le设 8c=9 x,则 CE=16x,.CD 平分 NBCF,NECD=NFCD=、NBCF,:/BCF=2NCBG,：.NECD=NFCD=NCBD,：.BD=CD,：DE/AC,:.NEDC=NFCD,：.NEDC=NCBD=NECD,：.CE=DE,ZDCB=ZECD,.CD8s CEO,C D C BC E =C D C2=cm CE=144/,：.CD=i2x,过点 作。H L 8c于点H,H卜 V G：BDCD=2x,ACOSZCBD=TS-92X 312 x 89.（2022扬州）如 图1,在

30、ABC中，ZBAC=90,ZC=60,点。在BC边上由点C向点B运动(不与 点8、C重合)，过点。作。E_LAD,交射线AB于点E.(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与 的 数 量 关 系，并说明理由;点E在线段AB的延长线上且BE=BDx 点E在线段AB上且EB=ED.(2)若 AB=6.当 班=近 时，求AE的长；A D 2直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.：DEVAD,：.ZAED+ZEAD=90=ZADE=Z BDE+Z BDA,;BE=BD,：.NAED=NBDE,：.ZEAD=ZBDA,：.AB=BD,/.BE=BD=AB,：.AE=2BE；AE=2EB,理由如下：如图

31、：VZBAC=90,ZC=60,：.ZB=30,*：EB=ED,：.ZED B=ZB=30,A ZAED=ZEDB+ZB=60,.OE_LAO,：.ZEDA=90,ZEAD=30,：.AE=2ED,：.AE=2EB；(2)过。作 OELA8于凡 如图:I.AAFDAADE,A F，-D-F9 L H|J-n-D-E DF，,AD DE AD AF.D E=V3*AD-T.D F_V 3 ,AF 2设 D F=m,则 A尸=2m,在 RtZXSO/中，B F=D F=3m,：AB=6,：.B F+A F 6,即 3m+2机=6,5尸=9，D F=,5 5 _,AD=YAF2+DFD空 而.逆=也

32、即与=工A D A E 6 V7 A E5.4 =驾5,NAZ)E=90,Q G是斜边上的中线，：.AE=2DG,DG=AG=EG,当AE最小时，OG最小，此时。G1.8C,V ZB=30,：.BG=2DG,：.AE=2DG=BG,：.BE=AG,:.AG=EG=BE,此时 AE=2A8=4,3答：线段AE长度的最小值为4,法2：过A做AG_LBC于G,过E做EH_LBC于H,如图:ZEDH=90-ZADG=ZDAG,:NEHZ)=/AG=90,A G =D G*,D H E H，：.AGEH=DH，DG,V ZBAC=90,ZC=60,；./B=30,：.AG=AB=3,E H=LBE=L(

33、6-AE),2 2 2:.DHDG=3EH,AE1=AD2+DE2 AG2+DG2+DH2+EH29+DG2+DH2+EH2,:D0+D丘 2DH-DG,：.AE2 9+1DH-DG+EH2,即 AE+GEH+EH2,r.AE1 (3+E/7)2,VA0,EH0,：.AE3+EH,：EH=1.(6-AE),2，4E23+上(6-AE),：.AE4.答：线段AE长度的最小值为4,10.(2022泰州)已知：ABC中，。为BC边上的一点.(1)如图，过点。作。EA8交AC边于点E.若AB=5,BD=9,D C=6,求。E的长；(2)在图中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点尸，使=(保留作图痕迹，

34、不要求写作法)(3)如图，点F在AC边上，连接8尸、D F.若NZ)以=/A,F8C的面积等于2 C)A B,以ED为半径作O F,试判断直线BC与。尸的位置关系，并说明理由.【解答】解：(1)如图中，.D E =C DAB CB D E=65 词，：.DE=2；(3)结论：直线8 c与以尸D为半径作。尸相切.理由：作 印?CF交ED的延长线于点R,连接CR.JAF/BR,Z A Z A F R,二四边形4BR尸是等腰梯形，J.ABFR,:CF/BR,.SCFB=SCFR=,AB,CD=,FR*CD,2 2：.CDDF,：.直线BC与以F D为半径作。尸相切.四.圆 的 综 合 题(共3小题)

35、11.(2022苏州)如图，A 8是。0的直径，AC是弦，。是篇的中点，CD与AB交于点E.F是A 3延长线上的一点，且CF=EF.(1)求证：C F为 的 切 线；(2)连接B D,取8。的中点G,连接A G.若CF=4,B F=2,求AG的长.【解答】（1）证明：如图，连接OC,0D.,:OC=OD,：.ZOCD=ZODC,：FC=FE,：.4FCE=ZFEC,；NOED=NFEC,:.NOED=NFCE,：AB是直径，。是众的中点，：.ZDOE=90,：.ZOED+AODC=90Q,A ZFCE+ZOCD=90 ,即/OCF=90,O力是半径，；.CF是。的切线.（2）解：过点G作GaJ

36、_A8于点从设 0A=0 O=0C=0B=r,则 0尸=什2,在 RtZXCOF 中，4 2+/=（计2）2,*r=3,A ZGHB=90,VZ D 6)=90,：.ZGHBZDOE,J.GH/DO,B H =B GBO BD，；G为 8。的中点，:.BG=1BD,2.3，=耳0=旦，GH=O O=g,2 2 2 2：.AH=AB-8 H=6 -3=2,12.（2 02 2 宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点 A、B、C、D、M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段 A B、C D,相交于点

37、尸并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是 A 8 C 和C D E.在 RtZX A B C 中，t a n/8 A C=2，2在 RtZX C O E 中，tan NDCE=L,2-所以 tanZ 5 4 c=tan N O C E.所以 N B A C=/O C E.因为N A C P+N C E=N A C B=9 0 ,所以N A C P+/8 A C=9 0 ,所以 N A P C=9 0 ,即 A B LC D.【拓展应用】(1)如图是以格点。为圆心，A 8为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在窗上找出一点P，使 官=谕，写出作法，并给出证

38、明;(2)如图是以格点。为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦A B上找出一点P.使C D E.在 RtZA 2 C 中，tan/B A C=工，2在 Rtz C D E 中，tan ZZ)C E=A,2所以 tanZB A C=tanZD C E.所以 N B A C=N C E.因为N A C P+/O C E=N A C B=9 0 ,所以N A C P+N B A C=9 0 ,所以 N A P C=9 0 ,B|J A B LC D.故答案为：tan/)C E=2【拓展应用】（1）如图中，点 P即为所求.图 作法：取格点7,连接A T 交于点P,点 P即为所求;证明：由作图可知，O

39、M L A P,0M是半径,图作法：取格点J,K,连接J K 交 A8于点尸，点 P即为所求.1 3.（2 0 2 2 常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直径A8的长是12cm,C是半圆弧上的一点（点 C与点A、B不重合），连接A C、B C.（1）沿 A C、BC剪下 A B C,则AABC是 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）;（2）分别取半圆弧上的点E、尸和直径A B上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6 c m的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱 形（保留作图痕迹，不要求写作法）;（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧

40、上的任意一点C,一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4c机的菱形.小 明的猜想是否正确？请说明理由.备用图【解答】解：（1）是直径，直径所对的圆周角是直角，.A B C是直角三角形，故答案为：直角；（2）如图，四边形EFH G或四边形E F G，即为所求.图1（3）小明的猜想正确.理由：如图2中，设CM=CA,C N=、C B,取AP=BQ=4,3 3则.里=要=工C A C B 3J.MN/A B,.MN=CM=2A B C A 3:.MN=P Q=4,：.四边形M NQP是平行四边形，.AM=AP=_2,CM AO

41、 TJ.MP/C O,里=迎=2*C0 AC T:.P M=4,：.MN=4,四边形MNQ尸是菱形，边长为4,小明的猜想正确.五.几何变换综合题(共1小题)14.(2022连云港)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1 所示的方式摆放.其 中/4C B=/O E B=90,ZB=30,BE=AC=3.【问题探究】小昕同学将三角板D E B绕点B按顺时针方向旋转.(1)如图2,当点E 落在边AB上时，延长DE交 BC于点、F,求 8 F 的长.(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线BC的距离.(3)连 接。C,取 D C 的中点G,三角 板。EB由

42、初始位置(图1),旋转到点C、B、D首次在同一条直线上(如图3),求点G 所经过的路径长.(4)如 图 4,G为 DC的中点，则在旋转过程中，点 G 到直线AB的距离的最大值是773（图3）（图4）（图1）（图2）（备用图）【解答】解：（1）由题意得，NBEF=NBED=90,在 中，ZA B C=3 0 ,BE=3,：.BF=3 =2我；co sN A B C C O S3 0 0(2)当点E在B C 上方时，如图1,过点D 作DHLBC于H,在 RtZ 4 B C 中，AC=3,tan/A B C=蚂，B CBC=?=3 M，tan/A B C tan3 0 0在 RtZ 8 E O 中，

43、N E 8 O=N A B C=3 0 ,BE=3,：.DE=BEtan Z DBE=如,:SABCD=LCDBE=LBC DH,2 2.D H=C D B E _=&+1,B C当点E在B C 下方时，如图2,在 RtZB C E 中，BE=3,B C=3 禽，根据勾股定理得，CE=VBC2-B E2=3A/2-：.CD=CE-DE=3f2-M，过点。作。M _L B C 于M,:S&BDC=LBCDM=、CD BE,2 2；.r）M=C D.B E =娓-1,B C即点。到直线B C 的距离为&1；(3)如图3-1,连 接 C,取 CQ的中点G,图3-1 图3-2取 BC的中点O,连接G。

44、，则。GAB,，N C O G=/B=30,；.NBOE=150,.点G 为 CD的中点，点 O 为 BC的中点，GO=LBD=M，2.点G 是以点。为圆心，窝为半径的圆上，如图3-2,.三角板。EB由初始位置(图1),旋转到点C、B、。首次在同一条直线上时，点 G 所经过的轨迹为150所对的圆弧，点 G 所经过的路径长为150兀=旦 应 田180 6(4)如图4,过点。作 OK_LAB于 K,:点。为 BC的中点，B C=3A/E，?B=jV3_,2_，OK=OBsin30 巨，4由(3)知，点 G 是以点。为圆心，窝为半径的圆上，.点G到直线AB的距离的最大值是向+主应=口应,_ 4 4故答案为：工叵.4图2图1