专题06 二元一次方程（组）的实际应用（知识串讲）2021-2022学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）（解析版）.pdf

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1、专题0 6二元一次方程(组)的实际应用【考点串讲】【思维导图】实际应用二元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问 题 胃 粘 方 程 嚼 粘 解 答.由 此 可 得 解 决 此 类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答.备注：(1)“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数；(3)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；(4)“解”就是解方程，求出未知数的值.(5)“检验”就是指检验

2、方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.考 点1方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用二元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.（2）用特殊值试探法选择方案，取 小 于（或大于）二元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.例.（2021河南商丘市第一中学一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶,分为蓝色（可回收），绿 色（易腐），红 色（有害垃圾）和 黑 色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有

3、（）A.6种 B.7种 C.8种 D.9种【答案】A【解析】【分析】设购买个蓝色垃圾桶，则购买（100-x）个黑色垃圾桶，利用总价=单价X数量，结合总价不超过5060元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出该校共有6种不同的购买方式.【详解】解：设购买x个蓝色垃圾桶，则 购 买（1 00-x）个黑色垃圾桶，依题意得：6O.r+5O（100-%）5060,解得：启6.又 为 正 整 数，可以为 1,2,3,4,5,6,该校共有6种不同的购买方式.故 选:A.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列不等式，进而求得整数解是解题的关键.专 练

4、L （2022河南郑州外国语中学八年级期末）李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的A和单价为12元的8两种笔记本（购买本数均为正整数）.你认为购买方案共有（）种.A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】设购买A笔记本X 本，购买B笔记本y本，先建立二元一次方程，再 根 据 均 为 正 整 数 进行分析即可得.【详解】解：设购买A笔记本X 本，购买8笔记本y本，由题意得：6 x+12 y =4 2,即 x+2 y =7,因为兑丫均为正整数，所以有以下三种购买方案：当 x=l,，=3 时，l +2 x 3 =7 ,当 x =3,y =2 时，3+2 x 2 =7,当

5、 尤=5,y =l 时，5+2 x I =7,故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键.专练2.（2 0 2 2 山东泰安二模）决定购买A、3两种树苗对某路段道路进行绿化改造，己知购买A种色苗8棵，B种树苗3棵，需要9 5 0 元.若购买A种树苗5 棵，8 种树苗6 棵，则需要80 0 元.求购买4、B两种树苗每棵各需要多少元？（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50 棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7 6 50 元.若购进这两种树苗共1 0 0 棵，若种好一棵A种树苗可获工钱3 0 元，种好一棵8 种树苗可获工钱2 0 元，种好这1 0 0

6、 棵树苗，怎样购买所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？【答案】A 1 0 0 元，850 元购进4种树苗50 棵，8 种树苗50 棵所付工钱最少，最少工钱为2 50 0 元【解析】【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x 元，购买8 种树苗每棵需y 元，根据 购买A种树苗8 棵，B种树苗3棵，需要9 50 元；若购买A种树苗5 棵，B种树苗6棵，则需要80 0 元列二元一次方程组求解可得；（2）设购进A种树苗加棵，则购进8 种树苗（1 0 0-?）棵，根据“4种树苗不能少于4 8棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7 6 50 元 列不等式组求解方案，再分别计算费用即可.（1）设购买A种树苗每

7、棵需x 元，购买，种树苗每棵需y 元,8x+3 y=9 50根据题意，得：50根据题意，得：1 0 0-01 0 0，+50 （1 0 0-机）4 7 6 50解得：50 分长 53,所以购买的方案有:1、购进A种树苗50 棵，8 种树苗50 棵，费用为50 x3 0 +50 x2 0 =2 50 0 元;2、购进A种树苗51 棵，8 种树苗4 9 棵，费用为51 x3 0+4 9 x2 0 =2 51 0 元;3、购进A种树苗52 棵，B种树苗4 8 棵，费用为52 x3 0+4 8x2 0 =2 52 0 元;4、购进A种树苗53 棵，B种树苗4 7 棵，费用为53 x3 0+4 7 x2

8、 0 =2 53 0 元;所以购进A种树苗50 棵，8 种树苗50 棵所付工钱最少，最少工钱为2 50 0 元.【点睛】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到题目蕴含的相等或不等关系得出方程组、不等式组.专练3.（2 0 2 2 河北唐山七年级期末）用 方 程（组）解决下列问题：王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球.他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买，三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮 球 数（个）总 费 用（元）第一次657 0 0第二次377 1 0

9、第三次78693王老师是第 次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售.求足球和篮球的标价.已知王老师打折购买的那一次足球打了七折，请直接写出篮球打了几折？【答案】三 足球的标价为50元，篮球的标价为80元；篮球打了 7 折.【解析】【分析】（1）根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买；（2）设足球的标价为x 元，篮球的标价为），元，根据前两次列出方程组求出x 和），的值；（3）设篮球打了?折，根据从该商场第三次购买足球和篮球的数量求出总费用，列出方程求解即可.解：王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售.理由：团王老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折

10、,其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，团按打折价购买足球和篮球是第三次购买，故答案为：三；解：设足球的标价为x 元，篮球的标价为y 元.根据题意，得6x+5y=7003x+7y=710解得x=50y=80答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元;解：篮球打了 7 折，求解过程如下:设篮球打了机折，根据题意得m50 x7 0%x7 +80 x x8=6 9 31 0解得m=7答：篮球打了 7折.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和方程.考 点 2 行程问题（1）三个基本量间的

11、关系：路程=速度X时间（2）基本类型有：一相逋问瓦，或相向问题I.基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间n.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.追及问题：I .基本量及关系：追及路程=速度差x追及时间n.寻找相等关系：第一,同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.航行问题：i.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度一水流速度，顺水速度一逆水速度=2 X水速；i i.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时

12、间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析.例.（2 0 2 2 江苏七年级专题练习）甲、乙两城相距1 1 2 0 千米，一列快车从甲城出发1 2 0 千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇.若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（）A.3 3 0 千米 B.1 7 0 千米 C.1 6 0 千米 D.1 5 0 千米【答案】C【解析】【分析】设动车平均每小时行驶X千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平

13、均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于X,），的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答.【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，1 =y=x+5依题意得：2,2（x4-）+120=1120fx=33O解得：1 7，=170330-170-160,故选：C.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.专 练1.（2021全国七年级课时练习）某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时30千米的速度行驶，就会迟到30分钟：如果他以每小时50千米的速度行驶，那么可提

14、前30分钟到达乙超.则从甲地到乙地规定的时间为（）A.1小时 B.2小时 C.3小时 D.4小时【答案】B【解析】【分析】设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，根据题意列出方程组求解即可.【详解】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米，由题意得故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.专练2.（2021全国八年级专题练习）某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.【答案】14

15、0千米【解析】【分析】：设规定的时间为X小时.，甲、乙两地的距离为y千米，根据以5 0千米/小时的速度行驶，会迟到2 4分钟；以70千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，列方程组求解.【详解】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米.则由题意可得：12解 得 广 Mj =140答：甲乙两地间的距离为140千米.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.专练3.（2021全国八年级课时练习）一次越野赛跑中，当小明跑了 1600m时，小刚跑了1450m.此后两人分别以am/s和 m/s匀速跑.又过100s时小刚追上小明，200s时小刚到达终点

16、，300s时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少米？【答案】这次越野赛跑的全程为2050米.【解析】【分析】根据两人的全程的距离相同可得出1600+3 0*=14 50+200力，再由当小明跑了 1600m时，小刚跑了1450m.此后两人分别以。m/s和匕m/s匀速跑.又过100s时小刚追上小明，可以得至心600+100“=1450+1 0 0 6,解方程求出八b的值，山此求解即可.【详解】解：根据题意，得(1 6 0 0+100A=1 45 0+1 0 0 Z;1 6 0 0+3 0 0 a =1 45 0 +2 0 0 Z?!解得：f a=1.5jb =3 ,所以 1 6 0 0 +3

17、0 0。=1 6 0 0 +3 0 0 x 1.5 =2 0 5 0 m.答：这次越野赛跑的全程为2 0 5 0 米.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解.考 点 3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：(1)总工作量=工作效率X工作时间；(2)总工作量=各单位工作量之和.例.(2 0 2 1 全国七年级专题练习)甲、乙两个工人按计划一个月应生产6 8 0 个零件，结果甲超额完成计划的2 0%,乙超额完成计划的1 5%,两人一共多生产1 1 8 个零件,则原计划甲、乙各生产零件数为()A.3 2 0,3 6

18、 0 B.3 6 0,3 2 0 C.3 0 0,3 8 0 D.3 8 0,3 8 0【答案】A【解析】【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产6 8 0 个零件，实际甲超额2 0%、乙超额1 5%,因此两人一共多生产1 1 8 个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果.【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y 个零件，根据题意得：UfZx+1)5=o6/8o0,=1 1 8 解得：1 即原计划甲生产3 2 0 个零件，乙生产3 6 0 个零件卜=3 6 0故选：A.【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中

19、的等量关系是解答本题的关键.专 练1.（2021全国七年级专题练习）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为。、氏c,若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（）A.甲的工作效率最高B.丙的工作效率最高C.c=3a D.h：c=3：2【答案】D【解析】【分析】将两式相减可得c=2 a,从而判断C；然后求出6=3”，从而判断A、B和D.【详解】a+b=2c解：由题意可得：，ca回乙的工作效率最高，故A、B错误；bi c-3a：2a=3：2,故 D 正确.故选D.【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法

20、是解决此题的关键.专练2.（2022广西富川瑶族自治县第三中学模拟预测）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成乙车间单独完成这批防护服需几天？若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套?【答案】24(2)1 2 5【解析】【分析】(1)根据题意设甲乙每天生产的数量为小y,可得产，x,根据工作效率=工作量+工作时O间，可得乙车间单独完成这批防护服需2 4 天；(2)根据甲乙车间工作效率关系可求.解：设甲每天生产x 套，则总任务为1 5 x 套，乙每天生产y 套，则(1

21、5-5)x+(1 5-2-5)y=15x,整理得 1 0.r+8 y=1 5.r,50 y=-x,5 8团 1 5 x+-x =1 5 x =2 4 ,8 5 x答：乙车间单独完成这批防护服需2 4 天.解：2 0 0 x：=1 2 5 (套)8答：乙车间平均每天生产防护服1 2 5 套.【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键.专练3.(2 0 2 1 云南昆明七年级期末)为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度3 6 千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0 Q 6 千米，乙工程队每天修建0.0 8 千米，两工

22、程队共需修建5 0 0 天.求 甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？【答案】甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为1 2、2 4 千米【解析】【分析】设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为X，千米，根据题意列二元一次方程组，求解即可.【详解】解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为，y 千米，由题意可得：x+y =36x+y =364x+3y=120 x上，化简得-1-D5J0.06 0.08x=12y=24答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为12、24千米.【点 睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键.考 点 4 数字问题已知各数位上的数字

23、，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例 如：若一 个 两 位 数 的 个 位 数 字 为&十 位 数 字 为 瓦 则 这 个 两 位 数可以表示为10b+a.例.（2022重庆十八中七年级期中）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大4 5,这 样 的 两 位 数 共 有（）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【答 案】C【解 析】【分 析】设原两位数的个位为X，H 立为二 则这个两位数为io y+x,所 以 交 换 其 个 位 数 与 H 立数的位 置，所得新两位数为1 0 x+y,再 列 方程1 0 x+y-1 0 y-x=4 5,再求解方

24、程的符合条件的正整数解即可.【详 解】解：设原两位数的个位为X，十 位 为，则这个两位数为lOy+x,交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为1 0 x+y,则O x+y-10y-x=45,整理得：x-y =5,为正整数，JE 0 x 9,0 y 3 0 03?+7（5 0-w）2 4 0 解得 2 5 4”2 7，勖为正整数，勖”可以为2 5,2 6,2 7,团共有3种运输方案：方 案 ：安排2 5 辆 A型卡车，2 5 辆 8 型卡车；方案二：安排2 6辆 A型卡车，2 4 辆 8 型卡车；方案三：安排2 7辆 A型卡车，2 3 辆 B型卡车.【点睛】本题考杳实际应用题的求解，解题的关键

25、是读懂题意，列出相应的数学表达式：第一问是找到等量关系列二元一次方程组；第二问是找到不等关系列一元一次不等式组.考点7 销售利润问题回 利 润 率=黑,m（2）标价=成本（或进价）X（1+利润率）（3）实际售价=标价X打折率（4）利润=售价一成本（或进价）=成本X利润率注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.例.（2 0 2 2 陕西宝鸡八年级期末）某商场购进商品后，加价4 0%作为销售价，商场搞优惠促销，分别抽到七折和九折，共付款3 9 9 元，两种商品原销售价之和为4 9 0 元，设两种商品的进价分别为小 y

26、元，根据题意所列方程组为（）1*+=490（x+y=399 f 1.4x+1,4y=490 J 1.4x+1.4y=399A，0.7x 1 Ax+0.9x 1.4y=399-10.7x 1,4.r+0.9x1.4 y=4 9 9 jo.7xl,4+O.9xl.4y=399 D 10.7x 1.4%+0.9x 1.4y=490【答案】C【解析】【分析】设两种商品的进价分别为x、y 元，根据等量关系：两种商品原销售价之和为4 9 0 元，七折f l.4 x+l,4 y =4 9 0和九折，共付款3 9 9 元，列 方 程 组 八”例。即可.0.7 x 1.4 x+0.9 x 1,4 y =3 9

27、9【详解】解：设两种商品的进价分别为x、y 元，两种商品的售价分别为（1+4 0%）x=lAx,（l+4 0%）y=l,4 y,团两种商品原销售价之和为4 9 0 元，0 1.4 x+l,4 y=4 9 O,两种商品优惠促销价分别为0.7x l.4 x,0.9 x 1,4 y,自 0.7x l.4 x+0.9 x l,4 y=3 9 9,f l.4 x+l,4 =4 9 0团列方程组得4 ,0.7x l.4 x +0.9 x l,4 y =3 9 9故选择C.【点睛】本题考查列二元一次方程组解销售问题应用题，掌握列方程组的方法，抓住等量关系是解题关键.专 练1.（2021福建龙岩七年级期末）根

28、据以下对话，可以求得媛媛所买的笔和笔记本的价格分别是（）媛媛，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？哦，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5支笔和10本笔记本共花了 4 2元钱,第二次买了 10支笔和5本笔记本共花了 3 0元钱.A.0.8 元/支，2.6 元/本 B.0.8 元/支，3.6 元/本 C.1.2 元/支，2.6 元/本 D.1.2 元/支，3.6元/本【答案】D【解析】【分析】设1支笔的价格是x元，1本笔记本的价格是y元，根据题意可得，买了 5支比和1 0本笔记本共花4 2元钱，买10支笔和5本笔记本共花3 0元钱，列方程组求解.【详解】解：设1支笔的价格是x元，1本笔记本

29、的价格是y元，,皿 一 f5x+10y=42根据题意得：:廿10 x+5y=30（x=1.2解得：y=3.6即：媛媛所买的笔和笔记本的价格分别是1.2元，3.6元.故选：D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解.专 练2.（2022河北唐山一模）某班开展了环保知识竞赛，学习委员为班级购买奖品后与班长对话如下：区 买了两种钢笔，共loo支:单价分别为6元 和10元，请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么学习委员搞错了;学习委员拿出发票后，发现的确错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价己模糊不清，只能认出单价是小于

30、10的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？【答案】见解析笔记本的单价可能是2元或6元.【解析】【分析】(1)设单价为6元的钢笔买了 x支，则单价为10元的钢笔买了(100-x)支，根据总共的费 用 为(1300-378)元列方程解答即可；(2)设笔记本的单价为。元，根据总共的费用为(1300-378)元列方程解求出方程的解，再根据。的取值范围以及一次函数的性质求出x的值，再把x的值代入方程的解即可求出。的值.(1)解：设单价为6元的钢笔买了 x支，则单价为10元的钢笔买了(1 0 0 j)支，根据题意，得：6x+10(lOO-.r)=1300-378,解得 x=19.5,因为钢笔的数量不可能是

31、小数，所以学习委员搞错了；(2)解：设笔记本的单价为a元，根据题意，得：6x+10(100-x)+a=1300-378,整理，得：1 十3三9，因为0 a 1 0,x随。的增大而增大，所 以19.5x22,取取整数，取=20,21,当 x=20 时，“=4x20-78=2,当 x=21 时，0=4x21-78=6,所以笔记本的单价可能是2元或6元.【点睛】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用、二元一次不定方程解实际问题的运用，理清题意，找出相应的等量关系是解答本题的关键.专练3.(2022山东济南二模)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月0 4日至2022年02月2 0日在中华人民

32、共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会.冬奥会吉祥物 冰墩墩 和 雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种.已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元.求这两种套装的单价分别为多少元？太原市某校计划用不多于1350元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？【答案】（1）小套装单价50元，大套装单价120元；最多可以购买5个大套装【解析】【分析】（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，根据 购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390

33、元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出这两种套装的单价；（2）设该校购买大套装，个，则购买小套装（2 0-布）个，利用总价=单价x 数量，结合总价不多于1350元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买大套装的数量.）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元,依题意得:2x+y=2203x+2y=390解得:x=50y=120答：小套装的单价为5 0元，大套装的单价为120元.（2）设该校购买大套装?个，则购买小套装（2 0-，）个,依题意得：120m+50（20-m）1350-,解得：m5.国的最大值为5.答：该

34、校最多可以购买大套装5个.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.考 点 8 和差倍分（1）基本量及关系：增长量=原有量义增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等.例.（2020河北保定市清苑区北王力中学八年级期末）洋洋在3x3方格中填入了一些表示数的代数式，表格中各行、各列以及对角线上的三个数之和都相等，则x-V的 值 为（）A.4 B.-4 C.6

35、 D.-6【答案】D【解析】【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于-y的一元一次方程或二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论.【详解】解：依题意得：2x+x+0=6+x-2解得x=2把 x=2 代入 6+x-2 =y-2 +O解得y=8所以 x _ y =2-8 =-6故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.专 练 1.(2021全国七年级专题练习)某年级学生共有246人,x 的 2 倍少2 人，则下面所列的方程组中符合题意的有(x+y =246 x+y=24

36、6 x+y-246A.1)B.9 2,解得：a 23.4.答：参赛者至少需答对2 4道题才能被评为“学党史小达人”.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程：（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.专练3.（2 0 2 2陕西榆林一模）北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动,让冰雪运动进入寻常百姓家.某校组建了一个滑雪队,现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有A、B两种滑雪板若购买2副A种滑雪板和1副B种滑雪板共需3 4 0元；若购买3副A种滑雪板和2副B种滑

37、雪板共需5 7 0元.求1副A种滑雪板和1副8种滑雪板各是多少元？【答案】A种滑雪板每副1 1 0元，8种滑雪板每副1 2 0元.【解析】【分析】设A种滑雪板每副x元，8种滑雪板每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可.【详解】解：设4种滑雪板每副x元，8种滑雪板每副），元，依题意得：R J十n，3 x +2 y =5 7 0=1 1 0解得：y =1 2 0答：A种滑雪板每副1 1 0元，8种滑雪板每副1 2 0元.【点睛】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，正确列出二元一次方程组并正确解出方程组是解题的关键.考 点9几何问题例.（2022河南新乡二模）如图，在长为50米.宽为3

38、0米的矩形方地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全相同的小矩形草坪，问：小矩形草坪的长和宽各为多少米？设小矩形草坪的长为x米，宽为y米，则可列方程组为（）卜+2y=50,=50,j2 x+y=50,卜+y=30,A，12x+y=30 B，2x+y=30 仁（2y+x=30 2x+y=50【答案】A【解析】【分析】设小矩形草坪的长为x米，宽为y米，由图中两个宽加一个长为50米，两个长加一个宽为30米列方程即可.【详解】解：设小矩形草坪的长为x米，宽为y米，由题意得k+2y=5012x+y=30故选：A.【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解图形是解题的关键.专 练：L（2022

39、,河北石家庄一模）相同规格（长为1 4,宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：和%.下 列 说 法 正 确 的 是：（）A.%B.%=吃C.%D.无法判断【答 案】A【解 析】【分 析】由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为。，长方体的高为6 ,则4a=S2。+/?=1 4求 出 的 值，然后求体积即可；同理求出乙方案中长方体的体积，比较大小即可.【详 解】解：由图可知，设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为“，长方体的高为b则4 二 82 a +b=1 4解得a=2b=

40、1 0团%i =2 x 2 x 1 0 =40设乙方案中长方体箱了的正方形底面的边长 为。，长方体的高为h则2 a +2 b=1 4a+2b=8解 得 3 6故 选 A.【点 睛】本题考查了长方体的展开图，体 积，二元一次方程组的应用.解题的关键在于求出长方体的高，底面正方形的边长.专 练 2.（2 0 2 2 安徽模拟预测）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三 块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高1 0。，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低4 0。，求每块墙砖的截面面积.【答 案】每块墙彼的截面面积是5 2 5。/.【解 析】【分 析】设每块墙砖的长为x c m,宽为yc m,根据

41、“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高1 0 cm,两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40 cm 列方程组求解可得.【详 解】解：设每块墙砖截面的长为x a”，宽为y c M.根据题意，得9 =2），+：0,%=3 5解得卜=1 5卷块墙砖的截面面积是3 5 x 1 5 =5 2 5 a/.答：每块墙砖的截面积是5 2 5的2.【点 睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键.专 练3.（2 0 2 1湖南张家界市民族中学七年级期中）如图，在长为5团，宽为4机的长方形空地 上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃阴影部分求其中

42、一个小长方形的长和宽.【答 案】长 为2米，宽 为1米【解 析】【分 析】由图形可看出：小 矩 形 的2个长+一个宽=5?,小 矩 形 的2个宽+一个长=4?，设出长和宽,列出方程组即可得答案.【详 解】解：设小长方形的长为x米，宽 为y米，f 2 x+y =5依题意有：J.x+2y=4解 得：x=2,回小长方形的长为2米，宽 为1米.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解.考 点 10表格问题例.（2 0 2 0 浙江七年级期中）为奖励校学养节表现优异的同学，张老师打算买8支单价相同的钢笔和6本单价相同的笔记本作为奖励，

43、她与售货员的对话如下，则买一支钢笔和一本笔记本应付（）老师：您好，我要买8支钢笔和6本笔记本.售货员：好的，那您应付款19 0元.老师：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付16 0元.A.22 元 B.25 元 C.27 元 D.30 元【答案】B【解析】【分析】设购买1 支钢笔应付x 元，1 本笔记本应付y 元，根据题意可得方程组，进而求出x+y 的值.【详解】解：设购买1 支钢笔应付1 元，1 本笔记本应付y 元，,一（8 x +6 y =19 0根据题意得%/g、，6 x +8 y =16 0解得 14x+14y-35 0,即 x+.y=25,所以在单价没有弄反的情况下，购买1 支签字

44、笔和1 本笔记本应付25 元，故 选:B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解.专 练 1.（2022湖北宜昌九年级期中）踩高跷又称为 扎高脚 缚柴脚，如图是一位演员踩着长度为身高一半的高跷，脚踏处距高跷顶端28 c m,演员踩在高跷上时，身高 为224c m.设演员的身高为x c m,高跷的长度为）cm,则下列方程组正确的是（）y=(y=2x y=y=2xA.2 B._ C.V 2 D./(x-2 8)+y=224 J+y =224 x+y =224(x-2 8)+y=224【答案】A【解析】【分析】根据题意可得等量关

45、系：长木跷长度恰好是其身高一半；身高-28。+长木跷的长度=224。”，然后再列出方程组即可.【详解】解：由题意得：xy=-2,(x-28)+y=224故选：A.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.专练2.(2021云南昆明八中七年级期中)如图，九宫格中填写了一些代数式和数，在图中各行、各列及对角线上三个数之和都相等.Xy32 y-x-32(1)请你求出x,丁的值；(2)填写九宫格中的另外三个数字.【答案】x=-2,y=l；(2)见解析【解 析】【分 析】（1）根 据 每 行3个 数、每 列3个 数 和 斜对角的3个数之和均相等，可得

46、出方程组，解出即可；（2）根 据（1）的结果，填写表格即可.【详解】解：（1）由题意得:2y x 3+2=x+3+2x+y+(2y-x)=2+(-3)+(2y-x)(x=-解 得：1l.y=i（2）根据题意填表如下:05X-1y32 y-x-32【点 睛】此题考查了有理数的加法，理解题意中 各行、各列及对角线上三个数之和相等”，从而列出关 于x、y的二元一次方程组，使问题得解.专 练3.（2022内蒙古科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A,8两种规格的自行车，A型车的利润为。元/辆，B型 车 的 利 润 为b元/辆，该专卖店十月份前两周

47、销售情况如表：(1)求a,b的值;A型 车 销 售 量（辆）B型 车 销 售 量（辆）总 利 润（元）第一周10122240第二周20153400（2）若第三周售出4 B两 种 规 格 自 行 车共25辆，其 中B型车的销售量大于A型车的售量，且 不 超 过A型 车 销 售 量 的1.5倍，该专卖店售出A型、8型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？【答 案】（1）。的 值 为80,6的 值 为120；（2）售 出4型 车10辆、8型 车15辆时才能使第三周利润最大，最 大 利 润 是2600元【解 析】【分 析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于m匕的

48、二元一次方程组，解 之 即 可 得 出。，人的值；（2）设 第 三周售出A种 规格自行车x辆，则 售 出B种 规 格 自 行 车（25-x）辆，根据8型车的销售量大于A型车的售量，且 不 超 过A型 车 销 售 量 的1.5倍，即可得出关于x的一元一 次不等式组，解 之即可得出x的取值范围，结 合x为整数即可得出各销售方案，再利用总利 润=每辆的利润x 销售数量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售 出A型 车10辆、3型 车15辆时才能使第三周利润最大，最 大 利 润 是2600元.【详 解】解：（1）依题意得:1 0 4 +=2 2 4 02 0 a+1 5 6 =3 4

49、 0。解得:a=8 0/?=1 2 0答：的值为80,6的 值 为120；（2）设 第 三周售出A种 规格自行车x辆，则 售 出B种 规 格 自 行 车（25-X）辆,依题意得:25-x x2 5-x 1.5 x解 得：10A25602520,回该专卖店售出A型 车10辆、8型 车15辆时才能使第三周利润最大，最 大 利 润 是2600元.【点 睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键.考 点H古代问题例.（2022贵州遵义 一 模）在 九章算术中，一 次 方 程 组 是 由 算 筹 布 置 而 成 的.图1所示的算筹图表示的是关于

50、X,y的方 程 组（+鬲9 则 图2所小的算筹图表示的方程组是（）【答 案】A2 x+8 y =2 73 x+2 y =1 9【解 析】【分 析】由 图1前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1 .横 的 表 示5,据 此 类 比 图1所示的算筹的表示方法解答即可.【详 解】根 据 图1所示的算筹的表示方法，可 推 出 图2所示的算筹表本的方程组：J 2 x+8 y =1 2（3 x+2 y =2 3 故 选A【点 睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法.专 练1.（2 0 2 2广西河池一模）孙子算经