考点18图形的相似-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（原卷版）.pdf

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1、考 点 1 8 图形的相似 命题趋势该板块内容主要考查相似的性质和判定，2022年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查，是广大考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分，在解决求线段长问题时和勾股定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了，分值在15分左右，为避免丢分，应扎实掌握，灵活应用。知识梳理一、比例的相关概念及性质1.线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.a b2.比例中项：如果石=即 6=这，我们就把人叫做a,C的比例中项.3.比例的性质性质内容性 质 1a=cad=bc(。,b,c,dW O).b d性质2,m a c m

2、,a士b cd如 果:=一,那么-=-.b d b d性质3,m a c m a+c+/篦 m,丁 、如果一二=,=(b+d+/#O),则-=(不唯一*).b d n 力+1+4.黄金分割:如果点C 把线段4 B 分成两条线段，使 J=那么点C 叫做线段A C 的黄金分割点，A CAB AC是 B C 与 A B 的比例中项，A C 与 A B 的比叫做黄金比.二、相似三角形的判定及性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；3）相似三角形的周长

3、比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3.判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）;2）条件中若有一对等角，可再找一对等角 用 判 定（1）或再找夹边成比例 用 判 定（2）；3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例

4、.三、相似多边形1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.2.性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.四、位似图形1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.2.性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为女,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-%2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之

5、比等于位似比或相似比.3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心.4.画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.重点考向考向1比例线段及其性质1.比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.2.对于四条线段4、b、C、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 4：b=c：d（即 ad=bc）,我们就说这四条线段是成

6、比例线段，简称比例线段.3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.典例引领21.（2021黑龙江大庆市中考真题）已知曰=上=三#0,则一？=2 3 4 yz2.（2021 湖南湘潭中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿二如图口，点C把线段A 8分成两部分，如 果 曰=正二1=0.6 1 8,那么称点C为线段A 3的黄金分割点.A C 2图 图 图（

7、1）特例感知：在图 中，若48=1 0 0,求4 c的长；（2）知识探究：如图,作。的内接正五边形：口作两条相互垂直的直径M N、4：1作ON的中点P,以P为圆心，2为半径画弧交。”于点。；以点/为圆心，A。为半径，在口。上连续截取等弧，使弦A 8=3C =a =r E=A Q,连接A E；则五边形C O E为正五边形.在该正五边形作法中，点。是 否 为 线 段 的 黄 金 分 割 点？请说明理由.（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系.延 长 题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图口，点E是线段

8、P骁的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72。的值.变式拓展1.（2021内江中考真题）已知非负实数，b,c满足等=殍=?，设5=。+2/7+文的最大值为机，最小值为，则4的 值 为.m 一2.（2021 江苏一模）已知线段q,b,c,其中c 是。和 6 的比例中项，。=4,b=9,则 c=（）A.4 B.6 C.9 D.363.（2021 福建南平一模）数学中，把 宽 与 长 之 比 为 与 1（与0.618）的矩形称为黄金矩形，这个比例避二!被称为黄金分割比例.如图，名 画 蒙娜丽莎的微笑的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割2比例，其中矩形力8。是黄金矩形，若 我 们 把 一 个

9、正 方 形 嵌 入 黄 金 矩 形 48CD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这 样 就 创 造 了 一 个 新 的 黄 金 矩 形 如 果 把 这 个 过 程 重 复 数 次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若9=*则图中弧 尸的 长 为（）C.,75-171(丁)2aD.兀22，石-1*考向2 平行线分线段成比例典例引领1.（2021湖南中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中A4,）V/C C|O A，且 AB=BC=CZ）.为使其更稳固，在 A,A 间加绑一条安全绳（线段）,量得AE=0.4 m,则 A。=m.2.（2021

10、江苏如皋二模）如图，在AABC中，。在 NC边上，A D:D C =:2,。是 2。的中点，连 接/。并“延长交8C 于 E,记BOE的 面 积 为 四 边 形 C0OE的面积为S ,则.变式拓展1.（2021黑龙江中考真题）如图，在AABC中，D E H BC,A D =2,B D =3,AC=1 O,则A E 的长为（）A.3 B.4 C.5 D.62.（2021山西实验中学模拟预测）阅读下列材料，完成相关任务我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点，四等分点，怎样得到线段的三等分M P 1点呢？如图，已知线段MN,用 尺 规 在 上 求 作 点 P,使操作探究：晓彤的

11、作法是：口作射线 K （点 K 不 在 直 线 上）；在 射 线 上 依 次 截 取 线 段 肪 1,A B,使/8=2/刈，连接B N；口以“为顶点，M A 为一边,如图，作口附尸，使口购P=U W 8N,射线/尸交A/N 于点P.所以点P为求作的点.Q U M A P=D M B N,“尸 8 N （同位角相等，两直线平行）.蛆=妣（依据）.M B M NO A B=2 M A（已知）,M A 1 ，p 八、口 蕨=3 （等里代换）M P M A 1 三 八、m、口 疏 T而=5 （等量代换）.数学思考：晓彤作法理由中所缺的依据是：；拓展应用：如图，已知线段a,b,c,求作：线段 使 a：

12、b=c：d.（要求：保留作图痕迹，不写作法）bM考 向3相似多边形1.如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形.2.相似多边形对应边的比叫做相似比.3.多边形的相似比为1 的相似多边形是全等形.4.相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等.典例引领1.（2021江苏无锡市中考真题）下列命题中，正 确 命 题 的 个 数 为.所有的正方形都相似所有的菱形都相似边长相等的两个菱形都相似对角线相等的两个矩形都相似2.（2021四川德阳中考真题）我们把宽与长的比是近二1 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、2匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视

13、觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形N88是黄金矩形，边 N 8 的长度为6-1,则该矩形的周长为.变式拓展1.（2022福建福州一模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A.2：1 B.1：2 C.3：2 D.V2：12.（2021 江苏鼓楼二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.【初步思考】（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条

14、件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，四边成比例的两个四边形相似”可 以 举 出 反 例.所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.【深入探究】（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.已知：四边形ABC。和四边形A8C。中，第=舞=兴=条，Z A =ZAA D D C C D A D求证：四边形A B C D s 四边形 C D .证

15、明：（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题:“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；口 三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；口 “三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似其中真命题是.（填写所有真命题的序号）（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.考向4 相似三角形性质与判定1 .相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对

16、应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.2 .相似三角形的判定：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.典例引领1.（202卜湖南湘潭中考真题）如图，在AABC中，点。，E 分别为边A8,A C 上的点，试添加一个条件：，使得AADE与AABC相 似.（任意写出一个满足

17、条件的即可）An AF 12.（2021四川巴中中考真题）如图，中，点。、E 分别在4 5、AC ,且 黑=哭=,下 列 结 论DB EC 2正确的是（）A.DE-.BC=：2 B.与 的面积比为 1：3C.O E与8C的周长比为1：2D.DE/BC3.（2 0 2 1 上海中考真题）如图，在梯形A B C Z）中，A 0/B C,N A B C =9 0,A D =C D,0 是对角线AC的中点，联结8。并延长交边C 或边于反（1）当点E在边CO 上时，求证：ADACS BC；Ari若 B E 上C D,求 名 的 值；（2）若 D E =2,OE=3,求 CO 的长.变式拓展1.（2 0

18、2 1 山东淄博市中考真题）如图，A 5,C 相交于点E，且 A C 7/E/DB,点 在 同 一 条 直 线上.已 知 AC=P,M =r,D 8=q,则 P，4,之间满足的数量关系式是（）D1 1 1 1 1 2 1A.一 +=B.C.+-r q P P r q P2.(2 02 1 江苏扬州市中考真题)如图，在5 c中,1 1 1 1 2=D.+=q r q r pA C=B C,矩形QEF G 的顶点。、E在 A3上,点、F、G 分别在BC、AC上，若。尸=4,B F =3,且 D E 二C/K/3.（2 02 1 四川绵阳中考真题）如图，在八4 8 中，A O =6,BC=若 A =

19、3 A P,点Q是线段A3上的动点，则 P Q 的最小值是（A.且 B.C.更2 2 2=2 E F,则Eb的长为_ _ _ _ _ _ _ _.D45,A C2=AB(AB-i-BC),且 DAB D C A ,)D-1考向5 相似比相关问题1）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例;2）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例引领1.（2021江苏镇江中考真题）如图，点。，E 分另I J 在U/8C 的边/C,N8上，UADEABC,M,N 分别是DE,8 c 的中点，若 驾=；，则*=.AN 2 S“8c2.（2021 四川雅安市中考真题）如图，将沿8 C

20、 边向右平移得到 ）?,D E交A C于点G.若BC:EC=3 A.SAA/X;=1 6.则 5.卬 的 值 为()A.2B.4C.6D.83.（2021 广西玉林市中考真题）如图，在AA5 c 中,。在 AC 上，DE/BC,DF/AB.(1)求证：A D F C s .AED；(2)若 C)=4 A C,3求白q照 的值.变式拓展1.（2021湖北黄冈市中考真题）如图，在 A 3 C 和AOEC中，Z 4=N D，N B C E=Z A C D.（1）求证：A A B C zM）E C；（2）若 工 ：5,。8=4：9,BC=6,求 EC的长.2.（2020湖南湘潭市中考真题）阅读材料：三

21、角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.（1）特例感知：如 图（一），已知功长为2 的等边AM C的重心为点。，求AOBC与AABC的面积.（2）性质探究：如 图（二），已知AABC1的重心为点O,请判断、资照是否都为定值？如果是，OA .ABC分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由.（3）性质应用：如 图（三），在正方形ABCD中，点 E 是 C O 的中点，连接BE交对角线A C 于点若正方形ABC。的边长为4,求 的 长 度；若久.=1,求正方形ABCO的面积.考向6相似三角形的实际应用典例引领1.（202卜辽宁朝阳中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高

22、，在 G 处放置一个小平面镜，当一位同学站在尸点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时测得/G=3 m,这位同学向古树方向前进了 9m后到达点D,在。处安置一高度为1m的测角仪CZ）,此时测得树顶工的仰角为 30。，已知这位同学的眼睛与地面的距离E尸=1.5m,点 8,D,G,尸在同一水平直线上，且C D,斯 均 垂直于8居 求 这 棵 古 树 的 高.（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）2.（2021山西中考真题）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它

23、们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏9度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：E=MC+32得出，当C=1O时，尸=5 0.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法.再看一个例子：设有两只电阻，分别为5 千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？1 1 1我们可以利用公式6=3+方 求得及的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个K A|1 2（）。的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只

24、要把角的两边刻着7.5 和 5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性.任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；1 1 1（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：用公式6=右+方 计算：当 鸟=7.5,A K、4=5时，R的值为多少；如图，在AAOB中，N A O 3 =1 2 0。，0C是 403的角平分线，0 4 =7.5,0 B =5,用你所学的几何知识求线段0C的长.变式拓展1.（2021河北中考真题）图 1

25、 是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2 所示，此2.（2021浙江金华市中考真题）如 图 1 是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条B C 上的点P 处安装一平面镜，8 c 与 刻 度 尺 边 的 交 点 为 O,从工点发出的光束经平面镜尸反射后，在 上 形 成 一 个光点 已知 A B，5 C,M N _ L 8 C,A 5 =6.5,B P =4,PD=8.E D的长为.（2）将木条8 c 绕点8 按顺时针方向旋转一定角度得到B C （如图2）,点P的对应点为P,B C 与 MN的交点为D,从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上的光点为E.若077=5,则

26、 E E 的长为.图1图2考向7位似1.如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.2.位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相 似 比 为 那 么 位 似 图形对应点的坐标的比等于k或典例引领1.（2021山东东营市中考真题）如图，A 8 C 中，A,8两个顶点在x轴的上方，点 C的坐标是（1,0）,以点C 为位似中心，在 x 轴的下方作 4 3 C 的位似图形V A B C，并把5 c 的边长放大到原来的2 倍,设点B的横坐标是m 则点B的对应点B的横坐标是（）A.2a+3 B.

27、2a+1C.2。+2D.2a 22.（2021 重庆中考真题）如图，/B C 与位似，点。是它们的位似中心，其中O E=2 O 8,则Z 8 C与 的 周 长 之 比 是（）C.1：3D.1：93.（2021 黑龙江绥化市中考真题）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，。为平面直角坐标系的原点，矩形O A B C的 4 个顶点均在格点上，连接对角线。3 .（1）在平面直角坐标系内，以原点。为位似中心，把 Q 4 5缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与 。钻 的相似比等于;；（2）将AQ A B以。为旋转中心，逆时针旋转9 0 ,得到作出AO

28、A4，并求出线段O B旋转过程中所形成扇形的周长.X变式拓展1.（2 0 2 1 浙江温州市中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,点A ,B的对应点分别为点A,B.若 A B =6,则A B 的 长 为（）/BBA7甲乙A.8 B.9 C.1 0 D.1 52.（2 0 2 1 浙江嘉兴市中考真题）如图，在直角坐标系中，A A fi C 与 AOOE是位似图形，则位似中心的坐标为3.（2 0 2 1 辽宁沈阳中考真题）如图，AABC与 A B C 位似，位似中心是点。，若。4:。4=1：2,则AABC与/X A B C 的周长比是（）山A.1:2B.1:3C.

29、1:4D.1：&考点冲关1.（2 0 2 1安徽肥东二模）如图，ABHC DHEF,下列等式成立的是（A.AC C E=BD DF B.AC AE=BD BF C.AC DF=C EBD.D.C D2=AB EF2.（2 0 2 1河北石家庄外国语学校三模）如 果 四 条 线 段b、c、d构成”0,则下列式子中,b a成立的是（）a-b d-cb db+d d3.（2 0 2 0四川泸州市中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比 问题：点G将 一 线 段 分 为 两 线 段M G,G N,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段G N的比例中项，即 满 足

30、 些=空=垦1,后人把近二1这个数称为“黄金分害数，把点G称为线段MNMN MG 2 2的“黄金分割 点.如图，在 MC中，已知A B =A C =3,B C =4,若。，是 边 的 两 个“黄金分割”点，则石的面 积 为（）D EA.1 0-475B.3A/5-55-275D.2 0-8 754.（2 02 1河北衡水中考模拟）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1,则新菱形与原菱形相似.乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1,则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，

31、下列说法正确的是（）.A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对5.（2020云南昆明市中考真题）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，/18C是格点三角形，在图中的6x6正 方 形 网 格 中 作 出 格 点 三 角 形（不含及43C）,使得（同 一 位 置 的 格 点 三 角 形 只 算 一 个），这样的格点三角形一共有（）A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个46.（2021江苏连云港市中考真题）如图，A B C 中，B D A B,B D、A C 相交于点。，A D =-A C,7A B =2,=150,则

32、D B C 的面积是（）A 30 R 973 3百 n 6 G14 14 7 77.（2021绵阳市中考模拟）如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片.根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）/fEk*zOx8.（2 02 1山东淄博市中考真题）如图，在H hABC中，N A C B =9 0。,CE是斜边AB上的中线，过点E作E R _ L A B交AC于 点 尸.若B C =4,4 A E F的面积为5,则s i n/C EE的 值 为（）cA.-B.叵 C.-D.拽5 5 5 59.（2 02 1黑龙江中考真题）如图，平行四边形A

33、B F C的对角线A/、BC相交于点E,点。为AC的中点，连接3。并延长，交”1的延长线于点。，交A 6于点G,连接A。、O E,若平行四边形A B E C的面积为48,则S 4E0G的面积为（）A.4 B.5 C.2 D.31 0.（2 02 1广西百色中考真题）如图，口Z B C中，AB=AC,05=72,口4。8的平分线C O交 于 点 ,则点。是线段力8的黄金分割点.若Z C=2,则1 1.（2 02 1辽宁营口市中考真题）如图，矩形A 8 C O中，A B =5,8 C =4,点E是AB边上一点，A E =3,连接。E，点尸是8C延长线上一点，连接AE，且N F =NE OC,则C

34、b=2A DEBC12.（2021江苏无锡市中考真题）如图，在 R taA B C 中，NB4C=90,A B =2 g，AC=6,点 E在线段A C 上，且 AE=1，。是线段B C 上的一点，连接。E，将四边形ABDE沿直线O E 翻折，得到四边形F G D E,当点G 恰好落在线段A C 上时，AF=.13.（2021浙江台州市中考真题）如图，点 E,F,G 分别在正方形/8C。的边BC,A D .,A F L E G.若A B 5,A E=D G=,则 8F=.14.（2021山东东营市中考真题）如图，正方形纸片/8 C D 的边长为1 2,点尸是ZO上一点，将/沿C/7折叠，点。落在

35、点G 处，连接。G 并延长交 8 于点瓦 若 AE=5,则 GE的长为.15.（2021呐蒙古中考真题）如图，在中，NAC3=90。，过点8 作 8。，C B,垂足为8,且 BD=3,连接CZ）,与 N 8相交于点M,过点”作垂足为N.若 AC=2,则 MN的长为.NBAT）16.（2021江苏徐州市中考真题）如图，在 AABC中，点。,E 分别在边BA,BC上，且万一=CE 3E fi-2 D B E与四边形A D E C的面积的比为17.（2021山东荷泽市中考真题）如图，在 A B C 中，A D 1 B C,垂足为 ,4）=5,8C =1 0,四边形E F G H和四边形H G N M

36、均为正方形，且点E、尸、G、N、M 都在AABC的边上，那么AM与四边形B C M E的面积比为.18.（2021辽宁阜新中考真题）如图，已知每个小方格的边长均为1,则与4 C D E的周长比为.19.（2021贵州毕节市中考真题）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身 高 1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子D E长是 2 m,则路灯灯泡A离地面的高度A B为 m.20.（2021江苏南通中考真题）如图，利 用 标 杆 测 量 楼 高,点 4。,8 在同一直线上，D E 1 A C,B C L A C,垂足分别为E,

37、C.若 测 得 钻=Im,D E =1.5m,CE=5 m,楼高BC是多少？21.（2021广东黄埔一模）如 图 1 所示，点 C 把线段A B 分成A C 与C 8,若 不=三;，则称线段A 3 被点AB ACC 黄金分割（goldensection）,点 C 叫做线段A 3的黄金分割点，AC与 A 3的比叫做黄金比.（1）根据上述定义求黄金比；（2）在图2 中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹.作线段A 8的垂直平分线，得线段A 3的中点M；口过点8 作 A 3垂线/;以点8 为圆心，以8M为半径作圆交/于M 连接AN、BN,以N 为圆心，以NB为半径作圆交AN于P；以点4 为圆心，

38、以AP为半径作圆交A 8于 C.（3）证明你按以上步骤作出的C 点就是线段AB的黄金分割点.A C A U图1图222.（2021江苏玄武二模）【问题情境】如图，小区A、B位于一条笔直的道路/的同侧，为了方便A,B两个小区居民投放垃圾，现在/上建一个垃圾分类站C,使得C 与A,B的距离之比为2:1.AB【初步研究】（1）在线段A 3上作出点C,使C胃A=2.CD如图，做法如下:第一步：过点A 作射线A M,以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM 于点以片为圆心，A片长为半径画弧，交 AM于点6；以巴为圆心，A片氏为半径画弧，交 AM于点八.第二步：连接8鸟，作 NAC=N A A B,交 A 3

39、于点C.则点C 即为所求.请证明所作的点C 满 足 胃=2.Cor）A r【深入思考】（2）如图，点C 在线段A 3上，点。在直线AB外，且y=三=2.DD CO求证：0 c 是 的 平 分 线.【问题解决】（3）如图，已知点A,3 和直线/,点C在线段A 3上，且 三=2.用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）。（）在直线A 3上作出点E（异于点C）,使 笠=2；（）在直线/上作23.（2021广东中考真题）如图，边长为1 的 正 方 形 中，点 E 为 A O 的中点.连接8 E,将 A W E沿B E折叠得到AEBE,B F交A C于点G,求C G的长.24.（2020四川

40、眉山市中考真题）如图，M C 和 CD E都是等边三角形，点8、C、E 三点在同一直线上，连接 BO,A D，3。交 AC 于点 F.（1）若 4）2 =。口.。8,求证：4）=5 产；（2）若 NB4Z）=9O,B E =6.求tan N）3 E 的值；求。咒的长.25.(2020上海中考真题)已知：如图，在菱形N8C。中，点E、尸分别在边/8、A D .,BE=DF,C E 的延长线交D A的延长线于点G,CF的延长线交B A的延长线于点H.(1)求证：A B E C s 2 B C H；(2)如果 求证：AG=DF.An An26.(2020江苏南京市中考真题)如图，在AABC和VA8C

41、中，D、以 分别是A B、A 3 上一点，=AB AB请填写其中的空格 E(2)当时，判断AABC与VABC是否相似，并说明理由CD ACBC直通中考1.(2 0 2 1 巴中中考真题)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点 P是线段RP AP4 B 上一点、(APBP),若满足不=不?，则称点尸是4 8的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长2 0 米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x 满足的方程是()A P BA.(2 0 -x)2=20X B.

42、7=2 0 (2 0 -x)C.x(2 0 -x)=2 0?D.以上都不对2.(2 0 2 1 重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，将AQW以原点。为位似中心放大后得到O C。，若 6(0,1),0(0,3),则与AOCD的相似比是()3.(2 0 2 1 湖南湘西土家族苗族自治州中考真题)已知点(x,y)在第一象限，且 x+y =1 2,点A(1 0,0)在x轴上，当AQM4为直角三角形时，点M 的坐标为()A.(1 0,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)C.(8,4),(9,3)或(1 0,2)D.(1 0,2),(9,3)或(7,5)4.(2 0 2

43、0 黑龙江哈尔滨市中考真题)如图，在AABC中，点 D 在 BC 上，连接AD,点 E在 AC 上，过点E 作 E F/B C,交 AD 于点E 过点E作 EG/AB,交 BC 于点G,则下列式子一定正确的是()A E E F E G E F A F B G CG A FA _ _ B _=_ C _ _ _=_ _ _ _ D _ _ _=_ _ _ _E C C D .A B CD F D G C B C A DA T 25.(2 0 2 0 湖南永州市中考真题)如图，在 A B C 中，E F H B C,=-,四边形3C EE的面积为2 1,则E B 3 A B C 的面积是()A.9

44、1TB.2 5C.3 5 D.6 36.(2 0 2 1 黑龙江鹤岗市中考真题)如图，平行四边形A 5 9 C 的对角线A 尸、3C 相交于点 点。为 AC的中点，连接3。并延长，交 FC的延长线于点。，交 A F 于点G,连接A。、O E,若平行四边形ABR7的面积为4 8,则 S o。的面积为（）7.（2021浙江绍兴市中考真题）如图，R/AABC中，4 4 c =90，cosB=-,点。是边8 c 的中点,4C E以/。为底边在其右侧作等腰三角形4 O E,使 N A D E =/B,连结C E,则的 值 为（）A DA.-B.73 C.巫 D.22 2 8.（2021四川资阳市中考真题

45、）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFG”组成，恰好拼成一个大正方形A 8 C D.连结E G 并延长交8C于点若 A B =屈,E F =T，则G M 有 长 为（）3724D.竽10.（2020湖南娄底市中考真题）若2 =4 =_L（a x c）,则&=_ _ _ _ _ _ _.a c 2 a-c11.（2021吉林中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿A C 斜靠在石坝旁,量出竿上A D 长为1m时，它离地面的高度 为0.6 m,则坝高C F 为 m.12.（2021贵州黔东南苗族侗族自治州中

46、考真题）已知在平面直角坐标系中，/。8 的顶点分别为点4（2,1）、点 B（2,0）、点 0（0,0）,若以原点。为位似中心，相似比为2,将/O B 放大，则点4 的对应点的坐标为13.（2021辽宁沈阳中考真题）如图，AABC中，A C =3,B C =4,AB=5.四边形A8E尸是正方形，点。2是直线BC上一点，且 CD=1.P 是线段DE上一点，且=过点P 作直线/于 8C 平行，分别交AB,于点G,H,则G 的长是.14.（2021湖北随州市中考真题）如图，在 R hA B C 中，Z A C B =90,。为 A B 的中点，。平分4 O C交 A C 于点G,O D =OA,3 0

47、 分别与A C,0 c 交于点E,尸，连接A。，C D,则 空 的值为B CC F若 C E =C F,则的值为O FCDA O B315.（2021湖南中考真题）如图，R A 8 C 中，A B A C=90,ta nZ A B C =-,将AABC绕 4点顺时针2方向旋转角（0 AC.（1）在 边 上 求 作 点。，使D B=D C；（2）在Z C边上求作点E,AAD EACB.19.（2021辽宁中考真题）已知，在正方形A B C D中，点 欣N为对角线AC上的两个动点，且NMBN=4 5 ,过点M、N分别作AB、B C的垂线相交于点耳垂足分别为尸、G,设X A F M的面积为S g N

48、 G C的面积为邑,M E N 的面积为S 3.（1）如 图（1）,当四边形E F B G为正方形时，求证:AAFM ACGN:求证:S,=S1+S2；（2）如 图（2），当四边形瓦8G为矩形时，写出面，与，S 3三者之间的数量关系，并说明理由;（3）在（2）的条件下港3 6:6。=，：（加）,请直接写出4尸：所的值.20.（2020江苏徐州市中考真题）我们知道：如图，点5 把线段A C 分成两部分，如 果 生=3 .那A B A C么称点B为线段A C的黄金分割点.它们的比值为避二12(2)如图，用边长为2 0 cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形A B C D得折痕历，连接C E,将C

49、 B折叠到C E上，点8对应点H,得折痕CG.试说明G是 的 黄 金 分 割 点；(3)如图，小明进一步探究：在边长为a的正方形A 8 C O的边AD上任取点E(A E 0 ),连接8 E,作 C F L B E,交AB于点F，延长EE、CB交于点尸.他发现当尸3与3c满足某种关系时E、尸恰好分别是A。、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.2 1.(2 0 2 1山东济南中考真题)在A/IBC中，Z B A C =90,钻=AC,点。在边8 c上，B D =；BC,将线 段 绕 点。顺时针旋转至QE,记旋转角为。，连接B E,C E,以C E为斜边在其一侧制作等腰直角三角形C E F.连接4尸.(1)如 图1,当 =1 8 0。时，请直谈写出线段从 与线段B E的数量关系；(2)当0。&1 8 0。时,如图2,(1)中线段 与线段B E的数量关系是否仍然成立？请说明理由；口如图3,当8,E,F三点共线时，连接AE,判断四边形A E C F的形状，并说明理由.