吉林省长春市宽城区2022年九年级数学第二次质量检测试题（含答案与解析）.pdf

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1、吉林省长春市宽城区2022年第二次质量检测试题九年级数学派注意事项：1.本试卷共6 页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共8 小题，每小题

2、3 分，共 24分）1 .如图，在数轴上，点 A,B表示的数互为相反数.若点8表示的数到原点的距离为3,则点A表示的数为（）A Q BA.-6 B,-3 C.OD.32.今年以来，随着稳增长政策发力、支持实体经济力度加大，国民经济持续恢复，国际收支继续改善，2月末外汇储备余额约3 21 3 8 亿 美 元.将 3 21 3 8 亿用科学记数法表示为（）A.3.2138X104 B.3.2138xl08 C.3.2138xl012 D.3.2138xl0133.下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）4.已 知 x =l 是不等式3 x /3,-3)C.(3,-2/3

3、)D.(26,一 3)7 .如图，E/AABC中，N A B C =9 0。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）B.AB=AEC./E D C =/BAC D.Z D A C=Z C8 .如图，在平面直角坐标系中，菱形A B C。的边B C 与 x 轴平行，A和 8两点的纵坐标分别为4 和 2,函数 y =A（k 0,x 0）的图象经过A、B 两点.若菱形AB C O的面积为4石，则&的 值 为（）XB.8A.4C.16D.8A/5二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9 .分解因式：9 a2-b2=.1 0.若关于x的一元二次方程N+6 x-0 有两个相等的实数根，则，”

4、的值是1 1 .将一把直尺和一块含30。角的直角三角板4 B C 按如图所示的位置摆放.若NC D E =40，则的大小为 度.1 2.如图，树 AB 在路灯。的照射下形成树影AC.若路灯高O P =5 米，点 C、4、P在同一条直线上,点 A恰为C P的中点，则树A5的高为 米.1 3.如图，在 OO中，弦 8与直径AB 相交于点E，连接OC、A D.BD.若 AO=,N8=20。，则1 4.在平面直角坐标系中，直线丁 =机-1 与函数y =/2 x 1(x 20)的图象有两个公共点.若m为无理数，则 他 的 值 可 以 为.(写 出 一 个 即 可)三、解答题(本大题共10小题，共78分)

5、1 5 .先化简，再求值：(2x+3)2-(2%+5)(2%-5).其中 x =1 6 .某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬币试验，试验数据如下：抛掷次数5 01 002003005 008 001 0001 5 00“正面向上”的频数265 39 41 4224239 549 87 5 3“正面向上”的频率0.5 200.5 300.47 00.47 30.48 40.49 40.49 8 0.5 02(1)根据上表估计抛掷该硬币“正面向上”概 率 约 为(保 留 两 位 小 数).(2)小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图(或列表)的方法，求两次抛掷的

6、硬币都“正面向上”的概率.1 7 .为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球价格都相同，每个篮球的价格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2 倍少4 0 元，用 90 0 元购买足球的数量是用8 0 0 元购买篮球数量的1.5倍，求足球的单价.1 8 .图、图、图均是5 x 5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1,点A、8均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.(1)在图中画一个AABC,使其是轴对称图形且为锐角三角形

7、.(2)在图中画一个四边形AD5E，使其是轴对称图形但不是中心对称图形.(3)在 图 中 画 一 个 四 边 形 使 其 是 中 心 对 称 图 形 但 不 是 轴 对 称 图 形，且四条边长均为无理数.1 9.如图，A8是。的直径，C是 上 一 点，过点C作 O。的切线CM,过点A作 CM的垂线，垂足为点。，交 的 延 长 线 于 点 E.(1)求证：A B =A E.（2）若 0。的半径为3,N E =55。,求 BC的长.（结果保留万）2 0 .国 家“护苗系统工程”确定每年5月 2 0 日为中国学生营养日，为了解甲，乙两校学生对营养知识的掌握情况，对这两所学校的学生进行营养知识测试，并

8、从这两所学校中各随机抽取3 0 名学生的成绩（百分制）进行整理和描述，下面给出了部分信息：甲、乙两校3 0 名学生成绩的频数分布统计表如下：h.甲校3 0 名学生的成绩在8 0 4 x 9 0 这一组的数据是：8 2,8 3,8 5,8 6,8 6,8 7,8 8,8 8,8 9,8 9.c.甲、乙两校各抽取的3 0 名学生成绩的平均数、中位数、众数如下:学校成绩X（分）5 0 x 6 06 0 x 7 07 0 x 8 08 0 x 909 0 x C D,Z A B D=9 0 ,E是线段AC的中点.连结QE并延长交A3于点F,连结8E.判断8 E与。石之间的数量关系，并说明理由.问题延伸

9、：如图，在正方形A 8 C O和正方形BE F G中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段D R中点，连结PC PG.(1)判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由.(2)连结C F,若A B =3,PC=C，则C F的长为2 3 .如图，在矩形A 5 C D中，A B =4,AD=6,E为 边 的 中 点.点P从点8出发沿射线3 E以每秒2个单位的速度运动，。为线 段 的 中 点.过 点P作B E的垂线，过点Q作8C的平行线，两线交于点M.设点户运动的时间为/秒 0).(1)直 接 写 出 线 段 的 长.(用 含f的代数式表示)(2)当点M落在边C D上时，求，的值.(3)当与矩

10、形A B C。重合部分图形为四边形时，求r的取值范围.(4)当点。与点M到矩形A B C D的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出r的值.2 4 .如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为人(-2,-2)、8(1,1).抛物线y =G?+bx +c(a 0)交y轴于点C,顶点P在线段AB上运动.当顶点P与点A重合时，点C的坐标为(0,0).设点P的横坐标为m(1)求 a 的值.(2)用含机的代数式表示点C 的纵坐标，并求当，为何值时，点 C 的纵坐标最小，写出最小值.(3)当点C 在 y 轴的负半轴上且点C 的纵坐标随?的增大而增大时，求皿的取值范围.(4)过点P 作 x 轴

11、的垂线交抛物线y=-2 公+g 于点Q,将线段P Q 绕点P顺时针旋转90得到线段P Q ,连接Q Q .当 P Q Q 的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出，”的取值范围.参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.如图，在数轴上，点 A,B 表示的数互为相反数.若点B 表示的数到原点的距离为3,则点A 表示的数为()_ _.-4_ 0 BA.-6 B.-3 C.O D.3【答案】B【解析】【分析】先根据点A 在原点的右边，它到原点的距离为3得出点A 表示的数，再根据相反数的定义可得出点 8 表示的数.【详解】解：.点A 在原点的右边，它到原点的距离为3,.点4 表示的数是

12、3,点A 与点B所表示的数互为相反数，.点8 所表示的数是-3.故选B.【点睛】本题考查的是数轴，熟知在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键.2.今年以来，随着稳增长政策发力、支持实体经济力度加大，国民经济持续恢复，国际收支继续改善，2月末外汇储备余额约32138亿 美 元.将 32138亿用科学记数法表示为()A.3.2138xlO4 B.3.2138xl08 C.3.2138xlO12 D.3.2138xiO13【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a x lO 的形式，其 中 理 同 10,为整数.确定的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少

13、位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数.【详解】32138亿用科学记数法表示为3.2138x10%故 C 正确.故选：C.【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a x l O ,其 中 1|1 0,可以用整数位数减去 1 来确定.用科学记数法表示数，一定要注意。的形式，以及指数的确定方法.3 .下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）【答案】A【解析】【分析】从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图，据此求解.详解】解：从上面看共有1 行，有 3 个正方形，故选：A.【点睛】本题考查了简单组合

14、体的三视图的知识，解题的关键是了解俯视图的定义（从上面看到的平面图形）.4 .已知x =l 是不等式3 x 0的一个解，则的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】将 4 1 代入不等式求出”的取值范围即可得答案.【详解】解：x =l 是不等式3 x-3,故选：D.【点睛】本题考查了一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是解题关键，注意：不等式两边乘（除）以一个负数时，不等号方向要改变.5.如图，在离铁塔2 0（）米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为a ,测倾仪高AO为 1.5 米，则铁塔的高BC 为（）BA.(1.5+200sin。)米 B.(1.5+

15、200cos二)米C.(1.5+200 tan a)米 D.|1.5+-WV tan a)【答案】C【解析】【分析】过 A 作 B C 的垂线，垂足为E,先利用矩形性质得A E及 C E 的长，再利用三角函数的定义求出8 E 的长度，利用BC=BE+CE即可得答案.【详解】解：过 A 作 2 c 的垂线，垂足为E,如图所示，则四边形AOCE为矩形，A=CE=1.5 米，CD=AE=200 米，AB E在 Rt/ABE 中，tan=-，A E.*.BE=200tana,BC=BE+CE=1.5+200tan a (米)，故选：C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，根据题意作出

16、辅助线，构造直角三角形是解题关键.6.如图，边长为2 的正六边形A B C D E F 放置于平面直角坐标系中，边 A 8 在 x 轴正半轴上，顶点厂在y轴正半轴上，将正六边形A 8 C D E E 绕原点。旋转180。，则旋转后顶点。的坐 标 为()yA.(3,-2 6)B.(-2/3,-3)C.(3,-2 7 3)D.(2 7 3,-3)【答案】A【解析】【分析】如图，连接AD,2 D首先确定点。的坐标，再根据中心对称即可求解.【详解】如图，连接A。，BD.在正六边形 ABCDEF 中，A B=2,则 A=4,ZABD=90,BD=sjAD2-A B2=2A/3，在 R/ZV10F 中，A

17、F=,ZOAF=GO0,：.NO硼=30,OA=AF=1,203=04+45=1+2=3,A D(3,273),将正六边形A B C D E F绕原点O旋转180,则旋转后顶点D的坐标为(-3,-2 7 3),故选A【点睛】本题考查了正多边形与圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中心对称，掌握以上知识是解题的关键.7.如图，中，NABC=9 0 ,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()DA.DB=D E B.AB=A E C./E D C =/B A C D.Z D A C=Z C【答案】D【解析】【分析】由尺规作图可知AD是/C A B 角平分线，D E 1 A C,由此逐一分析

18、即可求解.【详解】解：由尺规作图可知，AD是NCAB角平分线，DEJ_AC,在 A AED WA ABD 中：NAED=ZABD=90ZEAD=ZBAD,；.ZXAED丝ABD(AAS),AD=AD；.DB=DE,AB=AE,选项 A、B 都正确，又在 RtZEDC 中，ZEDC=90-ZC,在 RtA ABC 中，ZBAC=90-ZC,r.Z E D C=Z B A C,选项 C 正确，选项D,题目中缺少条件证明，故选项D 错误.故选：D.【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键.8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的边8 C 与 x 轴平

19、行，A 和 8 两点的纵坐标分别为4 和 2,函数 y=K(/0,x 0)的图象经过A、8 两点.若菱形ABC。的面积为4不，则 女 的 值 为()xB.8A.4【答案】D【解析】C.16D.8亚【分析】过点A 作 A _L x 轴于点M,交 于 点 E,过点3 作 BN _L x 轴于点N,求出AE=2,再由菱形的性质求出AD=2 7 5，可得点A 的坐标，从而可得结论.【详解】过点A作AM _ L x轴于点M,交8C于点E,过点8作B N _ L x轴于点N,如图,B C x轴，A E B C,：.Z B E M =4 E M N =Z M N B=9 0,四边形6EMN是矩形，:.M E

20、 =B N：A 8点的纵坐标分别为4和2,AM =4,B N =2,.M E =2,A E =AM-M=4 2 =2,:四边形A B C。是菱形，:.A D A ES菱形.CD=2 A D =4 7 5 ,A D =2 y/5,.。点在y轴上，A（2技 4）=2 岛 4 =86【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.分解因式：9 a2_=,【答案】（3 a+力）（3 a-力）【解析】【分析】根据平方差公式分解因式即可.【详解】解：9 2-Z?2=（3 +/?）（3 tz-Z 7）.故答案

21、为：(3 a+b)(3a-b).【点睛】本题主要考查了因式分解，熟 练 掌 握 平 方 差 公 式 =(a +0)(a 与，是解题的关键.1 0.若关于x 的一元二次方程/+6/?=0 有两个相等的实数根，则根的值是.【答案】-9【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程/+6X M=0有两个相等的实数根，则有=(),得到关于加的方程，解方程即可.【详解】解：关于x 的一元二次方程/+6 心机=0 有两个相等的实数根，A=0,即 62-4 xl x(-/n)=0,解得m=-9.故答案为：-9.【点睛】本题考查了一元二次方程以2+c=0 (存0)的根的判别式A=6-4 a c：当 (

22、),方程有两个不相等的实数根；当 =()，方程有两个相等的实数根；当,N3=20。，则【答案】100【解析】【分析】由直径所对的圆周角是直角求出NA的度数，由等腰三角形的性质可求得/A D C，从而得到NBOC的度数，再由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍求出N3OC的度数.【详解】解：,A6是直径，ZADB=90,ZA=90 NB=70,AD=DE，ZA )C =1 8 0-2 Z A =4 0 ,N B D C=9 0 -Z A D C=5 0，-Z B O C =2 Z B D C=1 0 0 .故答案为：1 0().【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，

23、等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆相关性质.1 4.在平面直角坐标系中，直线y =z-l与函数丁 =好 一2%1(x 2 0)的图象有两个公共点.若“为无理数，则，的 值 可 以 为.(写 出 一 个 即 可)【答案】也(答案不唯一)2【解析】【分析】联立两个函数解析式，消掉y后的一元二次方程有两不等根，求出机的取值范围即可.y =m-1【详解】联立 2 C 整理得2工 加=0y=x 2 xi.直线丁 =根-1与函数y =/-2尤-1(x 2 0)的图象有两个公共点.,.一元二次方程2%加=0有两不相等非负根 =4+4团0，八 ，解得一1 相0-m 0 ,根为无理数.加 可以为-变，

24、(答案不唯一)2【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，把函数问题转换成一元二次方程问题时解题的关键.三、解答题(本大题共10小题，共 78分)1 5.先化简，再求值：(2 x+3)2-(2%+5)(2%-5).其中 x =.【答案】1 2 x+3 4,3 0【解析】【分析】先根据乘法公式展开，再合并同类项，最后代入求值即可.【详解】原式=4炉+1 2+9-(4/一2 5)=12 x+3 4,当尤=g时，原式=1 2 x(g)+3 4 =3 0.【点睛】本题考查整式的乘法运算，熟记完全平方公式和平方差公式是解题的关键，需要注意符号.1 6.某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均匀的硬

25、币试验，试验数据如下:抛掷次数5 01 0 02 0 03 0 05 0 08 0 01 0 0 01 5 0 0“正面向上”的频数2 65 39 41 4 22 4 23 9 54 9 87 5 3“正面向上”的频率0.5 2 0 0.5 3 0 0.4 7 0 0.4 7 3 0.4 8 4 0.4 9 4 0.4 9 8 0.5 0 2（1）根据上表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为（保留两位小数）.（2）小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率.【答案】（1）0.5 0-4【解析】【分析】（1）观察表格发现随着

26、实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，用这个常数表示概率即可；（2）画出树状图，得出所有等可能出现的情况数和两次抛掷的硬币都 正面向上”的次数，再根据概率公式求解即可.【小 问 1 详解】观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到0.5 0 附近，故硬币出现“正面朝上”的概率为0.5 0,故答案为:0.5 0；【小问2详解】画树状图如下：开始Z第一次 正 反 第二次 正 反正反共有4 种等可能的情况，其中两次抛掷的硬币都“正面向上”的有1 种情况，所以，两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率为：4【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现

27、随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率.同时也考查了运用画树状图法求概率.1 7.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2倍少4 0元，用9 0 0元购买足球的数量是用8 0 0元购买篮球数量的1.5倍，求足球的单价.【答案】足球的单价为6 0元【解析】【分析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为(2 X-4 0)元，再根据“用9 0 0元购买足球的数量是用8 0 0元购买篮球数量的1.5倍”建立方

28、程，解方程即可得.【详解】解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为(2 x-4 0)元，由题意得：x1.5 x 8 0 02 x-4 0解得x =6 0 ，经检验，x =6 0是所列分式方程的解，答：足球的单价为6 0元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确建立方程是解题关键.1 8.图、图、图均是5 x 5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1,点A、8均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.(1)在图中画一个AABC，使其是轴对称图形且为锐角三角形.(2)在图中画一个四边形AD3E,使其是轴对称图形但不是中心对称图形.(

29、3)在 图 中 画 一 个 四 边 形 使 其 是 中 心 对 称 图 形 但 不 是 轴 对 称 图 形，且四条边长均为无理数.【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的轴对称性质及锐角三角形的性质画图即可；(2)可画一个等腰梯形或筝形即可；(3)利用勾股定理及平行四边形性质画图即可.【小 问1详解】解：如图所示，等腰三角形4 B C为所求.(答案不唯一)【小问2 详解】SLB解：根据题意，可以画一个筝形或等腰梯形，如图所示.（答案不唯一）解：如图所示，平行四边形AM 8N,边长为：小、屈.（答案不唯一）【点睛】本题考查了作图，应用与设计作图.掌

30、握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键.19.如图，是 的 直 径，C是 上 一 点，过点C作。的切线C M,过点A 作 C M 的垂线，垂足为点。，交 6 C 的延长线于点E.(1)求证：AB=AE.（2）若。的半径为3,Z=5 5 ,求 的 长.（结果保留乃）7【答案】（1）见解析（2）一 不12【解析】【分析】（1）连接0 C,根据切线的性质得到O C,C D,根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明即可；（2）连接4 C,根据同角的余角相等可得/C B O=/E,进而求得N C 4B,根据弧长公式计算，得到答案.【小 问1详解】证明：连接0C,是。的切线，0C为半径，O

31、CCD,：AEA-CD,J.AE/OC,：.NOCB=NE,：OB=OC,：.NOCB=/B,：.NE=NB,；.AE=AB：【小问2详解】连接AC,：CO是。的切线，:.NDCO=90。,NE=55,ZOCB=90-/E C D =/E =55,/OC=OD,：.ZOCB=ZOBC=55,为。的直径，ZACB=ZACE=9Q,：.Z C A B=9 0 -Z CBA=35./.BC的长为 三3 5 万 x 3 =7-万.1 8 0 1 2【点睛】本题考查了切线的性质，弧长公式，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键.2 0.国 家“护苗系统工程”确定每年5 月 2 0 日为中国

32、学生营养日，为了解甲，乙两校学生对营养知识的掌握情况，对这两所学校的学生进行营养知识测试，并从这两所学校中各随机抽取3 0 名学生的成绩(百分制)进行整理和描述，下面给出了部分信息：甲、乙两校3 0 名学生成绩的频数分布统计表如下：b.甲校3 0 名学生的成绩在8 0 4 x 9 0 这一组的数据是：8 2,8 3,8 5,8 6,8 6,8 7,8 8,8 8,8 9,8 9.学校成绩X(分)50 x 6 06 0 x 7 07 0 x 8 08 0 x 9 09 0 x =3 0 0,解得：=3 0 0 -1 80 0；【小问3详解】设小刚从甲地到丙地y 与 x 之间的函数关系式为：尸及，

33、；小刚第1 6 分钟到达丙地，路程为2 4 0 0 米,.1 6 片2 4 0 0,解得：U1 5 0,.小刚从甲地到丙地y 与x 之间的函数关系式为：y=l 5 0 x,设小亮从乙地到甲地y 与 x 之间的函数关系式为：y=mx+m,:小亮从乙地到甲地时，从图像可以看出，此线段过（4,0）,（0,80 0）两点，4 m +n-0 f m -2 0 0 ，解得：，0 机+=80 0 =80 0小亮从乙地到甲地），与 x 之间函数关系式为：y=-2 0 0 x+80 0,0 姿 4 时，1 5 0 x=-2 0 0 x+80 0,解得：x=3;76 V 烂 1 4 时，1 5 0 x=3 0 0

34、 x-1 80 0,解得：x=1 2,综上，小刚到达丙地前两人距乙地的路程相等时x的值为3 和 1 2.7【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意设未知数，学会结合方程解决问题，此类题有难度，注意利用数形结合的思想解答问题.2 2.问题引入：如图，A B/CD,A B C D,Z A B D =9 0 ,E是线段AC的中点.连结DE并延长交AB于点凡 连结8 E.判断3E与 OE之间的数量关系，并说明理由.问题延伸：如图，在正方形ABCD和正方形B E F G 中，点 4、B、E在同一条直线上，点 G在上，P是线段。厂的中点，连结P C、PG.(1)判断PC与PG之间的数量关系，并

35、说明理由.(2)连结C F,若AB=3,PC=6,则C/的长为.【答案】(1)问题引入：BE=DE；理由见解析；问题延伸：PC=PG；理由见解析(2)也【解析】【分析】(1)问题引入：根据题意证明AA砂 丝ACED,得出 庄=。根据直角三角形的性质，即可得出结论；问题延伸：根据正方形的性质，结合已知条件，证明/)用 AFG/5,得出Z)P=E P,根据直角三角形的性质，即可得出结论；(2)根据正方形的性质和三角形全等的性质，得出CM=CG,利用等腰三角形的性质，得出CP_LMG,根据勾股定理即可求出CG,即可求出结果.【小 问1详解】问题引入：BE=DE；理由如下：ABCD,：.ZA=ZC,Z

36、AFE=NCDE,.E为AC的中点，:.AE=CE,：.M F C E D (AAS),:.FE=DE,：ZABD=90,：.A。班 为直角三角形，；BE=DE；问题延伸：PC=PG；理由如下：延长GP交CZ)于点M,如图所示：,/四边形ABCD和BEFG为正方形，A DC/AB,GF BE,ZMCG=90,又A、B、E在同一直线上，DC GF,：.ZDMP=ZFGP,ZMDP=ZGFP,P为。F的中点，：.DP=FP，：.A D W P A F G P(A A S),;.DP=FP，A/C G为直角三角形，：.PC=PG.【小问2详解】,Z四边形A B C D和B E F G为正方形,:.Z

37、DCB=NBGF=90,DCBC=AB=3,BG=GF,：/DMPAFGP,.GF=DM,：.DM=BG，：.DC-DM =CB-BG,即 C M=C G，MP=PG,:.CPGM,:PG=PC=41:.CG=JPC2+PG2=,（可+（可=2，.GF=GB=CB-CG=,:.CF=yCG2+GF2=物+白=6.故答案为：亚.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.23.如图，在矩形A8Q9中，A5=4,AQ=6,E为边A的 中 点.点P从点B出发沿射 线 班 以每秒2

38、个单位的速度运动，。为线 段 的 中 点.过 点 尸 作 跖 的 垂 线，过点。作8 C的平行线，两线交于点M.设点尸运动的时间为t秒。0).(1)直接写出线段Q 的长.(用含f的代数式表示)(2)当点M落在边C O上时，求f的值.(3)当APQM与矩形A3CO重合部分图形为四边形时，求，的取值范围.(4)当点。与点M到矩形A3CQ的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出，的值.【答案】(1).2M=gf；竺；1745(3)当 一 4/5时，重合部分为四边形17(4)/=图 或 右 处 或 六 国 时，点Q与点用到到矩形ABCQ的一个内角的角平分线距离相等.67 19 67【解析】AP 3【分

39、析】(1)根据题意及正弦函数与余弦函数得出cos/A E 8=-,ZPQM=ZAEB,利用余弦函BE 5数继续求解即可得出结果；3(2)当点M落在C。上时，延长MQ交4B于点M利用对顶角相等及等角的余弦相等得出NQ=,利用矩形的判定和性质得出四边形BCMN为矩形，NQ+QM=6,代入求解即可得出结果；(3)考虑几个临界点情况：当尸与E重合时；当。在PM上时；当M在C。上时；当。与E重合时；利用锐角三角函数及结合图形求出临界值即可得出结果；(4)分三种情况进行讨论：当 与 角 平 分 线 的 交 点。在NBA力的角平分线上时；当。M与角平分线的交点在/BC。的平分线上时；当QM与角平分线的交点/

40、ADC的平分线上时；利 用(1)与(2)中的证明过程及三角函数，结合图形求解即可得出结果.【小 问1详解】解：为 中 点，1：.AE=-AD=3,2；AB=4,ZBAE=90,；.BE=5,sin NAEBABBE45AP 3 cos NAEB=BE 5,:BP=2t,。为 8P 中点，：.PQ=t=BQ99：QM/ADf；NPQM=NAEB,NQPM=90。，/.cos NPQM=cos NAEB=丝=-,QM 55【小问2 详解】当点M 落在CO上时，延长M。交 AB于点N,由（1）得：NBQN=NPQM,3:.cos/BQN=cos/PQM=,3在 RtBNQ 中，NQ=BQ-cosNB

41、QN=,四边形ABC。为矩形，AD/MN,：./MNB=N A=/NMC=N D=90,.四边形B C M N 为矩形，:.MN=BC=6,即 NQ+QM=6,5 345解得：/=一；17【小问3 详解】考虑几个临界点，当 P 与 E 重合时，2r=5,t=-,此时点M 未到达C D 边上，重合图形为三角形;2当。在 上 时，如图所示，：.PE=2t-5,ZPED=ZAEB,DE=3,在 RtPDE 中,PE 3cos N PED=-,DE 5.,.2t-5=x3,517t=-;45当 M 在 C上时，由(2)知，t=；当。与 E 重合时，如图所示:pPB=2BE=1。,t=5；45综上，结合

42、图形可得：当一4 f 0)交y轴于点C,顶点P在线段A3上运动.当顶点尸与点A重合时，点C的坐标为(0,0).设点P的横坐标为近(2)用含机的代数式表示点C的纵坐标，并求当，为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值.(3)当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随，的增大而增大时，求，的取值范围.(4)过点尸作x轴的垂线交抛物线y =-2 d +；于点Q,将线段P Q绕点p顺时针旋转9 0 得到线段P Q ,连接Q Q .当 PQQ的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出?的取值范围.【答案】(1)!21 ,1(2)yc=-nr+m,当?=一1时，点C的纵坐标最小，最小值为 2 2(3)-l m0(4)

43、机0且m力 -或一 机4 1且加：/：1 +24 2 4【解析】【分析】(1)先设抛物线的顶点式，再用待定系数法求出。值即可；(2)先求出直线4 B的解析式，再用m表示出抛物线解析式，得 到C点纵坐标的函数关系式，配方求出最值即可；(3)根据二次函数的增减性，求出加的取值范围即可；(4)分两种情况讨论，点尸在第一象限或第三象限，借助函数图形找到 PQ。的边与坐标轴交点个数的临界位置，分别求出m的范围即可.【小 问1详解】解：由题意，设抛物线解析式为：y=a(x +2)2-2,将C(0,0)代入上式，得：4 a -2 =0,解得：a =.2【小问2详解】解：；A(2,-2)、8(1,1),-.A

44、B所在直线的函数表达式为N=%,.点P的坐标为（加，加），-2 w l.，抛物线解析式为：y=g（x 2）2+机.当 x =()时，yr=-w2+/n =(/?i +1)2-.2 2 2.当2 =-1时，点C的纵坐标最小，最小值为一！.2【小问3详解】1 ,解：当 先=0时，耳 加 +根=0,解得：叫=-2,m2=0.抛物线上=；（?+1-；的对称轴为直线m =-,.当先。，且点C的纵坐标随机的增大而增大时，-l m 0.【小问4详解】解：分两种情况讨论：尸在第三象限时，如图所示，当。在x轴上时，有2个交点，此时，0 =-2/+；,解得：k g（舍）或 广 一；,此时-0 ,2当Q。过原点时，此时有3个交点，一x =-2/+_ l,2解得：户 上 芭（舍）或 卡 上 史，4 4即一,根0,且加工上座.24 P在第一象限时，如图所示,同理可得：加4 1且?力11店，2 4综上所述，的取值范围是：一，m0且s r 上 诙 或,加W1且加#11店.2 4 2 4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、配方法求二次函数最值、二次函数增减性及二次函数与一元二次方程的关系等的知识点.解题关键是利用函数图象解决问题，本题综合性较强，体现了数形结合的数学思想.