专练09（30题）（简单几何证明题）2022中考数学考点500题（吉林）解析版.pdf

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1、2022中考考点必杀500题专练09(简单几何证明题)(30道)1.(2022吉林长春市第八十七中学一模)如图，在口/BC。中，点。是对角线/C、8。的交点，下过点。且垂直于N/X求证：O E=O F；(2)若 8/3 8=6 3,O E=3.5,求 的 长.【答案】证明见解析(2)9【解析】【分析】(1)先由平行四边形的性质得到NO=C。，A D&B C,则 回OAEMZIOW,W EA OFC,即可证明 回/OE0EICO尸得至IO E=O F；(2)由(1)得OE=O尸=3.5,得到E F=7,再由4M BC,E F A D,得到E F的长即为平行四边形/8 C O中 边 上 的 高，即

2、可利用平行四边形面积公式求解.解：回四边形/BC。是平行四边形，。是4 c与8。的交点，AO=CO,ADBC,m O A E=W C F,WE A=O F C,A O E C O F(44S),SO E=O F,(2)解：由(1)得 O=O尸 =3.5,回 尸=7,ADBC,E F SiAD,回E/的长即为平行四边形4 3 8中/。边上的高，回四边形A B C D的面积为63,SAD E F=6 3,EHD=9.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键.2.（2 0 2 2 吉林省第二实验学校一模）如图，在菱形/8 C D 中，对角线N C,8。

3、交于点。，过点/作于点E,延长8 c 到点尸，使 C F=BE,连接。尸.（1）求证：四边形/E/7）是矩形；（2）连接OE,若 4）=5,E C=2,求 OE的长度.【答案】（1）见解析；（2）亚【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到A D B C且A D=B C,等量代换得到B C=E F,推出四边形A E F D是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得4 X 4 5=8 0=1 0,由勾股定理求出/=4,AC=2 亚,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案.【详解】证明：（1）回四边形458是菱形，E L 4 3 8 c 且/=8 C,0BE=CF,&BC

4、=E F,&AD=E F,SADSE F,回四边形A E F D是平行四边形，0 J E 0 5 C,E E M F=9 0,回四边形/E F D 是矩形;(2)解：回四边形/8 C D 是菱形，4)=5,AD=AB=BC=5,0 E C=2,QBE=5-2=3,在 RtSABE 中，AE=JAB。-BF =,5 2 3 2 =4 在 RtQAEC 中，A C =dAE+E C2=V 42+22=2 后，回四边形4 8 C 是菱形，W A=O C,S0E=AC=45.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到/网C且/O=8

5、C,等量代换得到8 C=E P 是解题的关键.3.(2 0 2 2 吉林东北师大附中明珠学校一模)如图，在QABC。中，过点。作力于点E,点 F 在边C D 上,CF=A E,连接4 尸，B F.(1)求证：四边形3 咏是矩形；(2)已知Z D A B=6 0。，A 尸是N Z M B 的平分线，若 A =3,求平行四边形A B C 的面积.【答案】(1)见解析；(2)生 叵4【解析】【分析】(1)由A B C )是平行四边形，CF =A E,即可证明O F 仍且O F =E8，即证明四边形O E 3 F是平行四边形，再 闻 8,得到8 尸 )为矩形.(2)由 AF 平分NZMB，AB/CD,

6、易证 NZMF=/D E 4,即 AL=F=3.再由含30。角的32 n o直角三角形的性质结合勾股定理即可求出AE=彳，OE=2，AB=,最后利用平行四2 2 2边形面积公式计算即可.【详解】(1)证明：EM8C。是平行四边形，AB/CD HAB=CD,yC F =AE.0DF/EB 旦 DF=E B，回四边形。硝F是平行四边形又回7附相皿 E8=90田四边形8EDE为矩形(2)回 1平分ND43ZD AFZBAFSZD FAZBAFSZDAF=ZDFAAD=FD又 倒 NZMF=60 且 A。=3回AE;AQ=g,DE=-AD=,2 2 2 29AB=AE+DF=-2团 S ABCDABx

7、DE=9 3Gx-2 2【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，角平分线的性质，含30角的直角三角形的性质以及勾股定理.掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键.4.(2022吉林长春一模)如 图，矩形ABC。的对角线AC,BO的交于点。.过点。作EA C过点C作CE3D,CE与。E相交于点E.AB求证：四边形DECO是菱形.2(2)连结 OE,B E,若 43=2,tanZOEB-,求 AC 的长.【答案】见解析；(2)AC=y/5【解析】【分析】(1)由题意可证四边形OCE)是平行四边形，由矩形的性质可得O=OC=04=0 6,可得结论；(2)延长EO交AB于点F,根据

8、菱形性质可得AF=B尸=JAB2+B C2=V 22+l2=石【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键5.(2 0 2 1 吉林长春一模)如 图，在酎8C中，49是边8c上的中线，过点/作/0 5 C,过点。作。血8,D E与 A C、4E分别交于点尺E,连接E C.(1)求证：AE=DC.当 CE平分的。时，求证：四边形N D C E 是菱形.【答案】见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)先根据中线的定义得到8。=。，再 证 明 四 边 形 是 平 行 四 边 形，根据平行四边形的 性 质 可 得 进 而 可 证；(2)先 证 得

9、四 边 形(“是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线的定义证即可.(1)证明：B 4。是a 4 8 c 的中线，BD=DC.&AE SBC,DE S1 AB,回四边形/瓦必是平行四边形.BD=AE.AE=DC.(2)E W i a S C,AE=DC,团四边形NO是平行四边形.团。平分豳DC,ADE=CDE.ZAE SBC,A E D C D E,ADE=AE D.AD=AE团四边形49CE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的判定及性质，熟练掌握判定方法是解题的关键.6.（2021吉林三模）如图，在四边形/B C D 中，血C=0JCO=9O。，AB=g c。，点 E 是CO的中点

10、.求证：四边形8C E是平行四边形.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行线的判定定理得到/8I3EC,推出力8=E C,进而可得结论.【详解】证明：W B A C=A C D=9 C,&ABQ E C,回点E 是 CD的中点，0C=-C,2 A B=-C D,2Q AB=E C,团四边形/8C E 是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定定理.7.（202L吉林延边模拟预测）如图，将 口/B C D 的对角线8。向两个方向延长，分别至点和点凡 且使足 求证：四边形/E C/是平行四边形.【解析】【分析】由四边形N 8 C D 是平行四边形易

11、知O 4=0 C,O C=O D,再证得。e=。F，即可得出结论.【详解】证明：连接/C,设 ZC与 8。交于点O.如图所示：回四边形A B C D是平行四边形，OA=OC,OB=OD,又 0BE=DF,SOE=OF.国四边形/E C F 是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法.8.（2 0 2 1 吉林长春市解放大路学校模拟预测）如图，在QA8C）中，点 M、N分别在边4 9、B C 上，点、E、k在对角线8。上，且 M =8 N,B E=D F.（1）求证：四边形EMM是平行四边形.（2）若点/是

12、4。中点，AB=4,M F =,N M F =9 0。，则 EM=【答案】（1）见解析；（2）庭【解析】【分析】(1)只需要证明DW尸名&V E,得到FM=EN,ADFM=ZBEN,从而得到/EFM =4FE N,即可得到用/E N,从而得证；(2)连接由(1)得四边形ENFW是平行四边形，根据蛇“尸 =90。，即可证明四边形ENRI1是矩形，即可得到A/N=ER 在证明四边形48NW为平行四边形，得到EF=MN=AB=4,最后利用勾股定理求解即可.【详解】解：(1)证明：团四边形A 5C0是平行四边形，ADBC,a/ADB=NCBD.DM=BN,B E=D F.国 AD M F乡A B N

13、E.田 FM=E N,NDFM=NBEN.m 800-ZDFM =180-ZBN.NEFM=NFEN.EJMFSEN.国四边形ENEW是平行四边形.(2)如图，连接M N,由(1)得四边形ENFM是平行四边形,回血牛=90,团四边形目VFM是矩形，田 MN=EF,用四边形4 8 8 是平行四边形，AD=BC,ADSBC,幽/为/。的中点，SAM =DM=BN=-A D ,2面 四 边 形 为 平 行 四 边 形，EF=MN=AB=4,国 EM=IEF-M F =而.DA【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识

14、进行求解.9.(2 0 2 1 吉林长春二模)如 图，在四边形A 8 C D 中，AD/BC,A B=A D,的平分线 A E 交 B C 于点E,连结).(1)求证：四边形ABE。是菱形.(2)连结20.若CE =2 BE,A E =4,B D =6,则AC E 的面积是【答案】(1)见解析;(2)1 2【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等，结合角平分线的性质，进行等量代换，可以证明三角形为等腰三角形，即可得出平行四边形有一组邻边相等，根据菱形的判定定理即可得出；(2)过点。作。尸，5 c 交于尸，取BD,/归的交点为。，利用菱形的面积计算出高小 的长，利用勾股定理求出B E,再

15、间接求出C E,即可求解.【详解】(1)证明：SAD/BC,0 Z Z M =Z 4 B.I 3AE 平分 N R 4D,S Z B A E =ZDAE.S Z BAE=ZAE B.A B =BE.团 AB=A D，a A D=B E.团 AO/BC,E|J AD/BE,团四边形A5ED是平行四边形.团 AB=AD,回四边形ABED是菱形.(2)过点。作。FLBC交于F,取83A E的交点为。，如下图:A DB E F C 四边形ABE。为菱形，4E=4,BD=6,:.BDLAE,OB=-BD=3,OE=-A E =2,2 2RtBOE 中，BE=/OB2+OE2=713-SA B C D=B

16、E DF=A E-BD=12,n r12V1313;EC=2BE,：.EC=25/13,:.S n F r=-EC DF=-x 2 y/i3 x =2,巫 2 2 13故答案是：12.【点睛】本题考查了菱形的判定定理与性质、勾股定理，解题的关键是:掌握菱形的判定定理与性质，利用勾股定理求边长，再结合题中条件求解.10.(2021吉林四平一模)如图，己知。/=0。,08=0。,酎。=回80。.求证：酎0803。0。.【答案】证明见解析【解析】【分析】先证明0 0。=鲂04 再由边角边即可证明0/J O BE BCO D【详解】解：由图可知：？D O C 1 A O C 7 AOD,?BOA?B

17、O D?AOD,Z A O C =ABOD,D O C?BOA,0A=0 C在 M O B 和 ACC 中：-NBOA=Z D O C ,OB=0 D M O B C O D(S A S).【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键.1 1.(2 0 2 1 吉林东北师大附中二模)如图，在/8 C中，AB=AC.A D V B C,垂足为点。，/G是/8 C的外角NM4 c 的平分线，DE/AB,交/G于点E.B D C(1)求证：四边形/O C E 是矩形.(2)若 DE=10,8 c=1 2,则 sin/8/C=.2 4【答案】(1)见

18、解析；(2)【解析】【分析】(1)首先利用外角性质得出勖=0 J C5=0 A I E=M N C,进而得到/比CZ),即可求出四边形A E D B是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形A D C E是平行四边形，即可求出四边形4 D C E 是矩形.(2)过 C 作 CR 34B于尸，由勾股定理求出4。，再由三角形的面积公式求出C F,根据三角函数的定义即可求出s 加 回 8/C.【详解】解：(1)证明：-：AB=ACf：4 B=/A C B,I E 是NM4 C 的平分线，ZM AE=ZEACf,/B+/A C B=NMAE+NEAC,：.ZB=NACB=NMAE=NEAC,：.A

19、E/CDf又：DE AB,四边形AEDB是平行四边形，:AEBD,AE=BD,AD LBC.AB=ACf:BD=DC,：.AE/DCf AE=DC,故四边形4 O C E 是平行四边形，又 /力 O C=9 0 ,，平行四边形力Q C E 是矩形.即四边形4 D C E 是矩形；(2)证明：四边形4 Q C E 是矩形,:AC=DE,JADVBCy AB=AC,:,BD=DC,U：DE=1Q.BC=12f:BD=6,AB=AC=10,*AD=JAB?-BD?=1 02 62=8,过 C 作。凡L 4 8 于 RCFB C A DAB12x8 4810CF,.s i n Z B A C =AC4

20、8T _ 2 4,10 25故答案为：.【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，三角函数，灵活利用平行四边形的判定得出四边形A E D B是平行四边形是解题关键.1 2.（2 0 2 1 吉林长春一模）如图，8。是QABCQ的对角线，且D E、防 分别是边 A B、C。的中线.（1）求证：四边形。破厂是菱形.2（2）若A B =9,s i n A=,则点E、尸之 间 的 距 离 为.【答案】（1）见解析；（2）3A/5【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及中点的性质，可得。/与既平行又相等，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形D E F B是平行四边形,再根据直角三

21、角形斜边上的中线的性质可得平行四边形的一组邻边相等，从而得要证的结论；（2）由 旭 5C,AB=9,得 BD=4Bxsi”4=6,从 而 由 勾 股 定 理 可 得,根据中点性质可证四边形Z O E E 是平行四边形，故 有 从 而 得 结 论.【详解】（1）蛇、尸分别为边A B、以的中点，0 D F =-D C,BE=-A B .2 2回四边形4 88是平行四边形，SAB/CD,AB=CD.0DFHBE,D F =B E.回四边形O E B F 为平行四边形.国D B上BC,0 Z D B C =9 O .团 O 8 C为直角三角形.BF=、D C =D F .2团四边形。E 8 Q 是菱形

22、.（2）如图，0 E、/分别为边4 8、8 的中点，D F =-D C ,AF=-A B .2 2回四边形ABC。是平行四边形，AB/CD AB=CD,A D B C .l a DF/AE,D F =A E .团四边形A D E E 为平行四边形.EF=AD.鲂Q 勖 C,ADBD.在 R/E W 8 O 中，s i n A=-,AB=9,AB 32 B D =A B x-=6.3自由勾股定理得：A D 7A B BEP=。8 1-36=3石，S EF=345.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质等知识，求 E 尸的长关键是证

23、明四边形Z O F E 是平行四边形，转化为求的长.1 3.(2021 吉林长春一模)如图，四边形/8 C。是平行四边形，/EMC 于 E,/R 3 c o 于尸，且 BE=DF.(1)求证：四边形N 8 C D 是菱形.(2)连结E F,若E 1 CE R=3O,A E=2 6 ,直接写出四边形/8 C O 的周长.【答案】见解析；(2)1 6【解析】【分析】(1)由题意易证AA8E0AAO F(ASA),即得出4 8=4),即证明口/WC。是菱形.(2)由菱形的性质可知8 C =8,即证明C=W,再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出N E C F =1 20。，即求出N B =6

24、 0。，最后利用含30 角的直角三角形的性质即可求出,48 的长，即求出菱形的周长.【详解】(1)在QABCD中，回 8=皿E M E 1 8 C,AFCD,配尸 =9 0.BE=DF,S A B E A D F(A S A).AB=AD.回 A B C。是菱豚(2)如图，由(1)可知3 C =C),0BE=DF,gCE=CF,0 N E C F=1 8 0-2Z CE F =1 20,0 Z B =1 8 O-N E C F=6 0 ,U lA B =-7 3A =-x2 =4.3 3团菱形A B C D的周长为4x 4=1 6 .【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角

25、形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含30。角的直角三角形的性质等知识.利用数形结合的思想是解答本题的关键.14.（2021吉林吉林一模）如图，在菱形ABC。中，点 E,尸分别在8C,C。上，连接AE,AF,且=求证：CE=C F.B E C【答案】证明见解析【解析】【分析】根据菱形的性质可得Nfi=N。，AB=A D，B C =C D ,再根据ASA证明AABE也4 4）尸得BE=D F,进一步可得结论.【详解】证明：回四边形ABCZ）是菱形，0ZB=Z AB=AD.B C =CD.Z B A E =ZDAF,A B E A D F ,S B E=D F.B C-B E=C D-D F

26、.0CE=CF.【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.15.(2021吉林长春一模)如图，四边形A8C。中，AD/BC,AD=CD,E是 对 角 线 上一点，且E4=EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形.(2)若tanNBC=；,DE=EC=2,则C的长为.【答案】(1)见解析；(2)巡.5【解析】【分析】(1)首先证得酎山全等三角形的性质可得由可得ELWE=aCBD,易得回8 8=团。8。，可得BC=CD,易得AD=BC,利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；(2)作E/H3C。

27、于尸，由等腰三角形的性质及勾股定理求得相关线段的长度即可.【详解】(1)证明：0AD=C,EA=EC,DE=DE,ADEACDE.QZADE=ZCDE.ADII BC,国 NADB=NDBC.SZDBC=ZBDC.BC=CD.QAD=BC.X0AD/BC,回四边形A 8 8是平行四边形.&AD=CD,团四边形4 8 8是菱形.(2)解：如图，过点E作 出 8 于点片DB团 D E =E C,D F =F C、CD,21 EF团 tan 2 B D C =-=,2 D F DF=2 EF,在 7?同 DE尸中，D E =2,由勾股定理得：D E2=E F2+D F2.即 2。=E F2+(2 E

28、F)2,解得EF=拽，5回。F=逋，50CD=.5故答案为：.5【点睛】本题考查了菱形的判定及解直角三角形的应用，熟练掌握菱形的判定方法及利用锐角三角形函数求线段的长度是解题的关键.16.(2021吉林长春一模)如图，是 A B C的中线，过点A作AE/BC,过点D作DE/AB,O E与 A C、AE分别交于点F,E,连接EC.(1)求证：A E =DC.(2)当DE平分/A Q C 时，求证：四边形AOCE是菱形.BD【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用AE BC，DE/A8判定出四边形A8ZJE为平行四边形，由中点的性质和线段的等量关系证出3 C=A ,判定

29、出四边形ADCE是平行四边形即可求解；（2）利用角平分线的定义和平行线的性质，经过角的等量代换可得到ZME=NAE。，由等腰三角形的性质可得到4）=AE,即可证出四边形ADCE是菱形.【详解】解：（1）0AE/BC,DE/AB回 四 边 形 为 平 行 四 边 形AE=BD又回AO是AABC的中线gBD=DC团 DC=AE（2）由 A 8C 可得：AE/DC,H A E=DC团四边形4DCE是平行四边形，团 平 分 N4OC ZADE=/C D EAEUDCZCDE=ZAEDZADE=ZAEDAD=AE回四边形ADCE是菱形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的

30、性质和判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.17.（2021吉林省实验中学一模）如图，四边形ABC。为矩形，G 是 对 角 线 的 中 点.连接GC并延长至尸，使 CF=G C,以。C、CE为邻边作QO C F E,连接CE.DE7尸(1)若四边形。C FE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论.(2)在(1)条件下，连接。尸，若8 c =&，求。尸的长.【答案】(1)菱形，见解析；(2)6【解析】【分析】(1)证出GB=GC=GD=CF,由菱形的性质的CD=CF=DE,DE0CG,则DE=GC,证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；(2)证出

31、ACDG是等边三角形，得 回GCD=60,证明BGO30DCF,即可得DF.【详解】解：(1)四边形CEDG是菱形，理由如下：回四边形4 8 8为矩形，G是对角线8。的中点，0GB=GC=GD,0CF=GC,RGB=GC=GD=CF,回四边形。C FE是菱形，BCD=CF=DE,DE/CG,0 DE=GC,回四边形CEDG是平行四边形，0GD=GC,回四边形CEDG是菱形；(2)解：&CD=CF,GB=GD=GC=CF,团ACDG是等边三角形，团 CD=BG,GCD=ZDGC=60,BZDCF=ZBGC=20,08GCgZ)C7(Si4S)fODF=BC=6.D【点睛】本题考查了矩形的性质、菱

32、形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键.18.（2021吉林吉林一模）如图，点 8,E,C,尸在同一条直线上，AB=DE,BE=CF,A B I I D E.求证：ABCWfE F.【答案】见解析【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论.【详解】证明：Q BE CF,S B E+E C C F+E C.即 0BC=E F.yABH DE,025=131.在蜘8C 和 跖 中,AB=D E,4=/IB C=E F0a4 8 c00OE尸(SAS).A D【点睛】本题考查了全等三角形的判

33、定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.1 9.（2021 吉林吉林一模）如图，已知在酎8c中，点。，E,尸分别为48,BC,/C 的中点，连接DR E F,BF.（1）求证：四边形8 E F D 是平行四边形；（2）若B 4F B=9 0,求证：四 边 形 是 菱 形；8 c=6,则四边形8 E F D 的周长为.【答案】（1）见解析；（2）见解析；0 1 2【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到。/8 C,E F/AB,根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的判定解答即可；根据直角三角形的中位线可得Z F=g 8 C=3,丁是得到结论.【详解】

34、.证明：（1）团点。，E,厂分别为45,BC,ZC 的中点,0DF”BC,E F/AB,1 3四边形B E F D是平行四边形.(2)函 m 8=9 0,点。为 4 5的中点,S D F=B D=A B.又1 3四边形B E F D是平行四边形.团四边形3E F Z）是菱形；回点力，尸分别为48,/C 的中点，8 c=6,DF=BC=3,回四边形B E F D是菱形,回四边形B E F D的周长为3x4=12,故答案为：12.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边中线的性质,以及三角形的中位线，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.20.（2021吉林延吉

35、市第七中学一模）已知：如图，A.C、F、。在同一条直线上，且 4 8 DE,AF=DC,A B=D E,求证：SABCDE F.【答案】见解析【解析】【分析】根据S4S证明三角形全等即可.【详解】证明：ABSDE,能历=酊，EL4F=C,SAD+CF=CF+DF,A C=D Ff在EW8C和配怙/中，A C =D F/3,.,.矩形 ABCD 的面积是 ABxAD=273x3=673.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30。角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.23.（2021吉林延边二模）如图，A B/C D,

36、延长BZ）到 E,Z1+Z：=Z2,Z1+Z2=Z3,求证：BE=CD.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可.【详解】证明：如图，AB/CD,0Z4=Z5,2Z1+Z：=Z2,Z1+ZE=Z6,0Z2=Z6,AB=BD,0Z1+Z2=Z3,回 NB4E=N3,0/SABE=BDC(ASA),0 BE=DC.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答.24.(2021吉林长春一模)如 图，在四边形ABCD中，AD0BC,AB=B C,对角线AC、BD交于点O,BD平分回A B C,过点D作DE配C,交

37、BC的延长线于点E,连接0E.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若 DC=26，A C=4,求 0E 的长.八-KD【答案】(1)证明见解析；(2)4.【解析】【分析】(1)由ADS1BC,BD平分0A B C,可得A D=A B,结合AD0BC,可得四边形ABCD是平行四边形，进而，可证明四边形ABCD是菱形，(2)由四边形ABCD是菱形，可得0 c=g A C=2,在RM0CD中，由勾股定理得：OD=4,根据 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.【详解】(1)证明：0AD0BC,H3ADB=(aCBD,0BD平分团ABC,EBABD=I3CBD,00ADB=0AB

38、D,0AD=AB,OAB=BC,0AD=BC,0AD0BC,回四边形ABCD是平行四边形，又 13AB=BC,回四边形ABCD是菱形；（2）解：回四边形ABCD是菱形，10ACEBD,OB=OD,0 A=0 C=-A C=2,2在Rt/kOCD中，山勾股定理得：0 D=d C D，-OC?=%0BD=2OD=8,0DE0BC,03DEB=9O,I3OB=OD,0 O E=-B D=4.2【点睛】本题主要考查菱形的判定定理及性质定理，题目中的“双平等腰 模型是证明四边形是菱形的关键，掌握直角三角形的性质和勾股定理，是求0 E长的关键.25.（2021吉林松原一模）如图，在 矩 形ABCD中，点E

39、,F在对角线B D.请添加一个条件，使得结论AE=CF”成立，并加以证明.【答案】添加条件：砥=）尸 或 小=8/或4后/6或/4殖=/。只7或/0 4后=/5或Z A E D-Z C F B 或 Z B A E-Z D C F 或 Z D C F +A D A E=90 等.若选择 B E=D F.证明见解析.【解析】【分析】由矩形的性质知，A B C D,:.ZABE=Z C D F,再结合全等三角形的判定方法添加即可.【详解】添加条件：BE=D F 或 D E=B F 或 A E U C F 或 Z A E B =N D F C 或 N D A E =Z B C F 或Z A E D -

40、N C F B 或 Z BAE-Z D C F 或 Z D C F +N D A E=90 等.若选择证明：在矩形 ABCD 中，AB/CD,AB=CD,:.ZABE=NCDF,;BE=D F；qABEmCDF(SAS)AE=CF【点睛】本题考查了矩形的性质：矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分.也考查了全等三角形的判定与性质.2 6.（2 0 1 9 北京通州中考模拟）如图，在中，酎 C B=9 0。，。是 8 c 边上的一点，分别过点/、B 作 B D、的平行线交于点E,且 48 平分幽4 D（1）求证：四 边 形 是 菱 形；（2）连接 EC,当&5 N

41、 C=6 0。，8c=26时，求%的面积.【答案】（1）见解析；（2）SCB=2 x/3 .【解析】【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质解答即可.【详解】（1）证明：I 3 A ）回 BE,AEBD,回四边形E A D B是平行四边形.平分 E I E W,Z E A B =ZDAB.SAESBD,Z E A B =ZDBA.田 N D A B =NDBA.S A D=B D.团 四 边 形 及 是 菱 形.（2）解：的 4 c 2=9 0。，QB A C=60,BC=2 6,0 t a n 6 0 =A CE I A C =2.SSC B=

42、AC-BC=x2 x2 y/3=2 y/3.AEBC.回 S、ECB=ScB=2 6 -【点睛】此题主要考查了菱形的性质和判定，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.27.（2018福建泉州中考模拟）如图，点 E、F 在 BC上，BE=CF,AB=DC,0 B=0 C.求证:【解析】【分析】山 BE=CF可得BF=C E,再结合AB=DC,13B=EIC可证得（3ABF03DCE,问题得证.【详解】解 回 BE=CF,BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.在I3ABF 和EIDCE 中，AB=DC,*=EIC.求证：BE=FC.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：根据已知条件，利

43、用ASA证明回ABF03DCE,根据全等三角形的性质可得BF=CE再由 BF-E F=CE-E F,即可得 BE=CF.试题解析：在郎 济 与ADCE中,NA=NOAB=D CN B =N CEI048 用E IDCE(ASA)Q BF=CEQ BF-E F=CE-E F,0Bf=CF点睛：全等三角形的判定和性质是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.29.(2021吉林松原三模)如图，已知：AB0BC于B,EF回AC于G,DF0BC于D,BC=DF.求证：AC=EF.F【答案】证明见解析.【解析】【分析】通过全等三角形的判定定理AAS证得EIABCEBEDF,则其对应边相等，即A

44、C=EF.【详解】I3AB回BC 于 B,ER3AC 于 G,00B=0CGE=9O,00A=01X0DF0BC T D,00B=0EDF=9O,团 在13ABe与mEDF中，Z=N1 N B =N E D F ,BC=D FEEABCBBEDF(AAS),0AC=EF.考点：全等三角形的判定与性质.30.(2021吉林九年级专题练习)如图，在A 4B C中，Z ACB=9 0,。是A C上的一点,且AD =8 C,O E _LAC于。，ZA B=9O；求证：A E A D S M B C.【答案】见解析【解析】【分析】根据 N E4B=90。，得 N E 4C+N C 48=90。，根据 N E 4C+N E =90。，得到 NC4B=N E,再根据 =8 C,NEZM=ZAC 8=90 即可求证.【详解】解：.ZE4B=90。，:.E AC+ACAB=3Q,.DE L A C ,.-.ZE AC+Z E =9 0,Z C A B =ZE,在A E 4O和AABC中，Z.EDA=ZACB=90,AD=BC:.EADABC(AAS).【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.