2015年高考数学理真题分类汇编：立体几何.pdf

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1、专题十立体儿何1.12015高考安徽，理5】已知根，是两条不同直线，a ,/?是两个不同平面，则下列命题正确的是()(A)若a,垂直于同一平面，则a与6平行(B)若m ,平行于同一平面，则加与平行(C)若a,4不平行，则在a内不存在与夕平行的直线(D)若7,不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由N,若a,垂直于同一平面，则。，夕可以相交、平行，故工不正确；由8,若 加，n平行于同一平面，则加，可以平行、重合、相交、异面，故8不正确；由C,若a ,，不平行,但。平面内会存在平行于夕的直线，如。平面中平行于a,交线的直线；由。项，其逆否命题 为“若7与垂直于同一平面，则加，平行”是真

2、命题，故。项正确.所以选D.【考点定位】L直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图(尤其是画长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.2.12015高考北京，理4】设a,夕是两个不同的平面，根是直线且，“U。.打力 是 夕 的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a,4是两个不同的平面，是直线且mU a.若则平面a、可能相交也可能

3、平行，不能推出a尸，反过来若a/，加u a,则有机尸，则 加夕 是 a4 的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件.考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.3.【2 0 1 5 高考新课标1,理 6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何？”其意思为：”在屋内

4、墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已 知 1斛米的体积约为1.6 2立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有（）力 百”（A）1 4 斛（B）2 2 斛（0 3 6 斛（D）6 6 斛E 1 1 6【解析】设扇锥底面半径为Z,贝 I j x 2 x 3/=8=尸=,所 以 米 堆 的 体 衍 三 二 二）f =T4 3 4 3 3 9故 堆 放 的 米 约 为 丝+1.6 2 和2 2,故 选 B.9【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以 九章算术中的问题为材料

5、，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是,圆4锥，底面周长是两个底面半径与，圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，4是基础题.4.1 2 0 1 5 高考陕西，理 5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.3 B.4 兀 C.2 +4 D.3 +4主畿图 左视图【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1,母线长为2,所以该几何体的表面积是:x 2 1x l x（l +2）+2 x 2 =3 乃+4,故选D.【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积.【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题.解题

6、时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可.5.1 2 0 1 5 高考新课标1,理 1 1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该儿何体的表面积为1 6 +2 0 万，则 尸()(A)1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2 r,其表面积为;x 4 乃 尸 2+万”2 尸+夕2+2 r x 2 r =5 万/+4/=1 6 +2 0%，解得尸2,

7、故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.6.1 2 0 1 5 高考重庆，理 5】某儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为1A、-F 7T32 1 2B、FTTC、F 2 乃 D、F 2)3 3 3【答案】A【解 析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体,V=x l2x 2 +-x(x x l x 2)x l =-+-,选 A2 3 2 3ZZOI 巫2 H正视图

8、 左观图.(5)图俯视图【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积,关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.7.【2 0 1 5 高考北京,理 5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A.2 +V 5B.4 +V 5 C.2 +26D.5侧(&:)视图【答案】C俯视图【解析】根据三视图恢复成三棱维P-A B C，其 中 居 一 平 面A B C,取A B棱的中点D,连接C D、P D,有P D _ AB,C D _ AB ,底 面A

9、 B C为等腰三角形底边A B上的高C D为2.A D=B D=1J P C=1,P D =y/s,S =x 2 x 2 =2,S_ _=x 2 x .AC =B Cj 2P=卡=S q H =g x 或 x 1=g,三棱锥表面积S表=2 7 5+2.考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱牛关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算.8.12015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）(A)1 +y fi(B)2+A/3(C)1 +2V2 yK(D)2V2【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，A B D A B C L二角形，则 S C D=S

10、M B D =3 X 6 X V2=1,SMBC=SM CD=9必 叵s E 60“=珠,所以四面体的表面积 S =S C D+SM li D+SMBC+SMCD=2 x 1 +2 x 2 +y/3 ,2故选B.【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图；2.空间几何体表面积的求法.9.12015高考新课标2,理9】已知A,B是球。的球面上两点，/AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为3 6,则球0的表面积为（A.36n B.64n C.144n D.256n【答案】C【解析】如图所示，当 点C位于垂直于面.0 8的直径端点时，三棱锥。-4 5 C的体积最大，设球。

11、的半径 为R,此 时 下 二 山 八=匕，”=x士汉，x R =士出,=3 6 ,故 夫=6 ,则 球。的 表 面 积 为3 2 6S=4R:=144,T,故选 C.IT1 0.【2 0 1 5 高考山东，理 7】在梯形/B C D 中，Z A B C =-,A D/IB C,B C =2 A D =2 A B =2.将2梯形/6 C。绕4D所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）,*、2 7(A)3【答案】C等 (D)2乃【解析】直角梯形A B C D绕A D所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高 为1的圆

12、锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为:/=%,柱 一%维=万 乂1 2乂2 ；乂7*1 2乂1 =3万学优高考网故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.1 1.1 2 0 1 5高考浙江，理8】如图，已知A 4 8 C,。是Z8的中点，沿直线C。将A 4 c o折成Z U C Z）,所成二面角4 一。一8的平面角为a,则（）A.AAD B a C.A A CB C,垂足分别为N,M,过N作NP/M8,连结H P,.N P _ L Z)C,则Z A N P就是二面角A -CD-B的平面角，.ZANP=a ,在 R/AZND 中，DN=ADcosZADC=cos,AN

13、=ADsin ZADC=sin,同理，BM=PN=sin0,DM=c o s 0,故BP=MN=2CGS0,显然 面 NN。，故 BP AP,在 RtM BP 中，AP2=A B2-BP2=/_(2 cos 8丫=/_ 4 cos2 8,在 A/fM3 中，costz=cos ZANPAN2+NP2-AP2 sir?O+sii?4 cos2 )2ANxNP2sin6xsin。+2 cos*6 r2 sin：8;二 0,2 o,：.c o sa c o s D B(当8=工时取等号)，sin*6 sin*0 2a,ZADB e0:z,而 j =cosx在。,对上为递减函数，二.a WZJDB,故

14、选 B.RM n【考点定位】立体几何中的动态问题【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利中 如 新 工 件 的 体 积、，、I f 卜 T用 条原工件的体积）（）T A AT“8 o 16 广 4（0 以 6 12（3 以 1 4_2.1A.B.C.-D.-,J i-、【答案】A.试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为x,y,k,长方体上底面截圆锥的截面半径为。，则./+/=（2幻2=4片,如下图所示

15、，圆 锥 的 轴 截 面 如 图 所 示，则 可 知=/=2-2 ，而 长 方 体 的 体 积1 22 2V=xyh 土；匕h=2a2 h=2a2(2-2a)4=一时，等号成立，此时利用率为【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.12.12015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位:)A.Sent32B.1 2 d C.cm33D.竺C加3【答案】C.侧视图俯视图13.12015高考福建，理7若/,能 是两条不同的直线，m垂直于平面。,则优”是“/a的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若/1根，因为

16、他垂直于平面a ,则/a或/u a；若/a,又加垂直于平面a,则/_L优，所以”是“/a的必要不充分条件，故选B.学优高考网【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系.14.【2015高考新课标2,理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1-5A1-6U1-7B.1-8A.【答案】D【解析】由三视图得，在正方体44GA中，截去四面体力一444,如图所示，设正方体棱长为a,则 匕AB D 故 剩 余 几 何 体 体 积 为 所 以 截 去 部 分 体 积 ,3 2 6 6 6与剩余部分体积的比值为1,故选D.【考点定位】三视图

17、.2 01 5 高考上海，理 6 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 万，则其母线与轴的夹角的大小为.兀【答案】-3171【解析】由题意得：乃”：（5 2）=2 Tn/=2 n 母线与轴的夹角为三Z3【考点定位】圆锥轴截面【2 01 5 高考上海，理 4】若正三棱柱的所有棱长均为。，且其体积为1 6 4，则。=【答案】4【解析】4 73=64=a=4【考点定位】正三棱柱的体积1 5.1 2 01 5 高考四川，理 1 4 如图，四边形A BCD 和 A D P Q 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M在线段P Q 上，E、F 分别为A B、B C 的中点。设异面直线EM与 A F

18、所成的角为9,则CO S。的最大值为【答案】|B【解析】1 1 1建立坐标系如图所示.设仍=1，则=（1：，0）,（4 凡 0）.设.V（O:y:1 X 0 3 1）,由于异面直线所成角的范围为（0：1，所以8y+l _ 16|,当/=1时取等号.所以t当y=O时，取得最大值.16.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为Q【答案】-713【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱，两端是底面半径为1,高为1的圆锥，所以该几何体的体积,1 ,8V-1 Xi x2+2x x x乃 x 1 =%.3 317.【2015高考浙江

19、，理13如图，三棱锥4 BCD中，A B =A C=B D =C D =3,AD =B C =2,点 分 别 是 力。,8C的中点，则异面直线/N,7【答案】8CM所成的角的余弦值是【解析】试题分析：如下图，连结H V,取 11V中点尸，连结R T/,PC,则可知N H U C即为异面直线 J V,C V 所成角(或其补角)易得P U =W V=J I,PC=7P.V:+ex2=4i+i=J3,CA/=JT C-U/：=%,cosZ P J/C =,即异面直线R V,U U 所成角的余弦值为:2 x 2 7 1 x 0 S S【考点定位】异面直线的夹角.18.12015江苏高考，9 现有橡皮泥

20、制作的底面半径为5、高为4 的圆锥和底面半径为2、高为8 的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆 柱 各 个，则新的底面半径为【答案】77【解析】山体积/目等彳导：x4x-x52+x22x8=xr2x-x4+rx/-2x8=r=V7(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.19.(2015高考新课标2,理 1 9(本题满分12分)如图，长方体/B C D 中，

21、为 3=16,8 0 1 0,/4=8,点E,产分别在工圈，C Q 上,(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);（II）求直线A F与平面a所成角的正弦值.【答案】（I）详见解析；（II）15【解析】（I）交线围成的正方形EHGF如图：（H ）作EM _A B,垂 足 为,则 出/=4 E =4,E.U=区4=S,因 为EHGF为正方形，所以EH=EF =B C=1 0.于是、I H =4EH：E y r=6,所 以.田=1 0.以）为坐标原点，刀的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一耳-z,则,*10.08）,H（10,10,0）,（10s4s8）,-（n-FE =

22、0.F（0:4:8）,F=（10s0:0）,H E=（06.8）.设“=（工；z）是平面EHGf 的法向量，贝卜_ _ _ _ _ 即1-0,10 x=0.-“毋+82=0所 以 可 取 4”又4（一电4 ，故 即 也”、*线A F与平面a所成角的正弦值为运.15【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角.2 0.【2015江苏高考，16（本题满分14分）如 图，在直三 棱 柱NBC 4 4 G中，已知B C =CC,用C D 8 G=E求证：（1）平面A,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ C;（2）B CX L AB,.61设/月 的 中 点 为。，【答案】（1）

23、详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面B8CC为平行四边形，因此点E为8 c的中点，从而由三角形中位线性质得D E A C,再由线面平行判定定理得D E 平面WWGC（2）因为直三棱柱A B C-T：&G中B C=C C1,所以侧面班C C为正方形，因此3C：，囚？，又A C _ B C,A C C C.（可由直三棱柱推导）,因此由线面垂直判定定理得AC-平面，从而AC 1 BC.,再由线面垂直判定定理得3C：一平面H耳。,进而可得试题解析：（1）由题意知，E为B】C的中点,又D为工&的中点，因此DE AC.又因为D E N平面AAQi C,AC u平面AAG C,所以

24、D E平面AAC.（2）因为棱柱ABC-ABC：是直三棱柱，所以CC _平面ABC.因为AC u平面A B C,所以AC CCj（第16期又因为AC_LBC,CC|U平面BCC|BB C u平面BCC|BBCPCC.=C,所以AC_L平面BCC|B1又因为BC|u平面BCC|B1,所以BC|J_AC.因为BC=CG，所以矩形BCC|B1是正方形，因此BC1，B.因为AC,B|C u平面B|AC,ACnB|C=C,所以BC1，平面BAC.又因为AB|u平面B|A C,所以BC|J_AB21.12015高考安徽，理19】如图所示，在多面体44A O C A 4,四边形/Z/R,ADDA,A B C

25、 D均为正方形，E为四口的中点，过的平面交于E（I）证明：（H）求二面角E 4。一片余弦值.E%B|【答案】(T)EFUBC；(IT)I、【解析】BLZ第1。题图试题解析：(I)证明：由正方形的性质可知4 4/B/O C,且4A 所以四边形44。为平行四边形，从而又面4。后，BC0面4D E,于是4。/面AQE,又面 区 皿，而面W DEA面与C2=EF，所以E F 3 c.(I I)因为四边形,一血,.4 5。均为正方形，所 以4*_ W&-4 )一 切_.4 5 ,且，*=J5=HD,以为原点，分 别 以 前,赤:石 为 1轴，J轴，z轴单位正向量建立，如图F示的空间直角坐标系，可得点的坐

26、标J(0:0。塞Q0。,的(0 4 0)瓦(L 0:1)=Z i(0：LD而 点为员2的中点，所以E点的坐标为(0.5：0.5).设面ADE的法向量兀=(生卬 Q.而该面上向量4=(0 5 0 5 0):罚=(0,1-1),由-0.5 H-O-S i q =0，?1_.3石,勺 _$。得勺百为应满足的方程组1；，(一 L L 1)为其一组解 所以可取.W f=0,=(一 1,1,1).设面4与CD的法向量0=(公”出)，而该面上向量福=(1,0,0),4万=(0,1,1),由此同理可得后=(0,1,1).所以结合图形知二面角E 4。8的余弦值为|!|w2 I 百 X 上 3【考点定位】1.线面

27、平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解.2 2.【2 0 1 5江苏高考，2 2（本小题满分1 0分）如图，在四棱锥尸一/B C D中，已知平面N8CD,且四边形Z 8 C D为直角梯71形，N A B C =N B A D =，P A =A D=2,AB =B C =12（1）求平面48与平面P C。所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段B P上的动点，当直线C Q与D P所成角最小忖，求线段8 Q的长【答案】（1）I （2）撞3 5【解析】试题分析：（1）求二面角，关键求出两个平面的法向量，本题中平面P C D法向量已知，故关键求平面48的法向量，利用向量垂直关系可列出平面P Z 8的法

28、向量两个独立条件，再根据向量数量积求二面角余弦值（2）先建立直线C Q与D P所成角的函数关系式：设 殖=2而，则-1 +2 2cos =（0 6 4 1）,再利用导数求其最值,确定点Q坐标，最后利用向量模求线段B QV 1 0 A2+2的长学优高考网试题解析：以 而，瓶，而 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-kz ,则各点的坐标为 B（l,0,0）,C（1,1,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）.（1）因为所以血是平面P A B的一个法向量，A D =（0,2,0）.因 为 阮=（1,1,-2）,P D =（O,2,-2）.x +y-2 z=02 y-2 z=0设平面P C D

29、的法向量为而=(x j,z),则 前.玩=0，m-P D =0 即，令 V =1,解得 z =1,x =l.所以比=(1,1,1)是平面P C D的一个法向量.从而cos (而，声)=瑞宿=当，所以平面P A B与平面P C D所成二面角的余弦值为与.(2)因 为 丽=(一 1,0,2),设 的=2丽=(4 0,2/l)(0 A l),又 而=(OL O j,则 氏=3+的=(-2-L 2 2),又 加=(02)，从而皿贝鸣二霜 标1cos:/C Q.D P =、上=-设 1 +U=r,r el:3,则 =G B nGB-M62V22所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为6 0解法二：作于点A

30、/,作M7VL G/于点N,连接N 由尸C,平面力8 c,得HM LF C又 FC C MC =C所以M_L 平面4C E D因此G F上N H所以N M N H即为所求的角1 /在 A 5 G C 中，一 田 BG】IH=BG=.,由 XGNSI s SGCF可得A V7cGVGF从而.T/V*6由MH 一平面TC FD J ZV u平面ACFD得 一 1 田_皿l J f因此t a n ZJ AH=三七=力.V-V所以 NW?7=6(r所 以 平 面/与 平 面 ZC E D 所 成 角（锐角）的大小为6 0 .2 6.1 2 0 1 5 高考天津，理 1 7（本 小 题 满 分 13分）

31、如图，在四棱柱N B C。-Z4GA中，侧棱44，底面488,48_14。,2 3 =1,A C=A Ay=2,A D =CD=y/5，且点M和N分 别 为 和R D的中点.（I）求证：MN /平面 4 B C D ；（I I）求二面角D A C-4的正弦值;（川）设为棱4片上的点，若直线NE和平面力88所成角的正弦值为，求线段4E的长31【答案】（I）见解析；（I I）片“；（D V 7-2.【解析】如图，以4为原点建立空间直角坐标系,4(0,0,0),5(0,l,0),C(2,0,0),)(1,-2,0),又 因 为 分 别 为 与。和。的中点，得”1,；,1）川（1,一2,1）.学优高考

32、网证明：依题意，可得=由此可得，MN-n-O,又因为直线MNz平面力88,所 以 平 面4 8 C D(II)函=(1,一2,2),就=(2,0,0),设 1 =(x,y,z)为平面 Z C的法向量，则.AD.=04 ，即I 雇 =o Ix-2 y +2 z=0,不妨设z =l,可得=(0,1,1),2 x -0设2 =（x,y,z）为平面N Cg的一个法向量，则 AB.=0 -2 _ ，又/片=(0,1,2),得%-AC =0y +2 z =0 一.,不妨设z =l,可 得%=(0,2,1)2 x=0因此有C05（&）=勺 _ V i o丽=一记于是sin a，=平，所以二面角D,-A C-

33、B,的 正 弦 值 为 噜II。依 题 意,可 设 港 福,其 中 北 0刀，则E Q 2 2）,从 而 豆=（-1/-2），又7=0 J）为平面ABCD的一个法向量，由已知得c o s=-3,整理得笛+4/-3 =0,又因为解得/=#一2,所以线段4 E的 长 为 丁-2.2 7.2 0 1 5 高 考 重 庆，理1 9 如 题（1 9 ）图，三 棱 锥 尸一4 8。中，PC,平面7TN 6 C,P C =3,N/C 8 =万.,分别为线段4 8,8C 上的点,且 CD=DE=y/2,CE=2EB=2.（1）证明：O E J 平面PC D（2）求二面角Z-PD-C 的余弦值。【答案】（1）证

34、明见解析；（2）6【解析】试题解析：证明：由 P C_ L平面A B C,D E u 平面故P CJ.DE由 CE=2,C D=D E=也 得 C OE 为等腰直角三角形，故 CDJ.DE由 P C A C D=C,D E垂直于平面P C D内两条相交直线，故D E I平面P C DTT（2）解：由（1 ）知，C D E为等腰直角三角形，ND C E=-，如（1 9 ）图，过点作D F 垂 直C E4,于尸，易知D F=FC=E F=1 ,又已知EB=1 ,故 FB=2 .,冗 心 D F FB 2 j 3 3由 N A C B=得 D F/AC,-=-=-,故 4 C=-D F=.2,A C

35、 B C 3 2 2以。为坐标原点，分别以而，炉 的 方 程 为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则。3(0,0,0,),mo,3).1(-,0,0),E(0,2,0),Z?(1,1,O),5=(1,-1,0),._ _ 10 P=(-1,-1,3)D 4=(5，T,O)设平面P N。的法 向 量 尸(xp yp Z),由k二-D P=0 ,n i -D A=0 ,j 一项一网-3z i =0 _得1 故可取勺=QL1).|彳 Wf=o由 可 知 一平面FC。，故平面PCD的 法 向 量 无 可 取 为 无 即X=(L-LO人从而法向量 ,，的夹角的余弦值为c o s,=凸2=/|/

36、刈 6故所求二面角A-P D-C的余弦值为V362 8.1 2 0 1 5 高考四川，理 1 8 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 8 c的 中 点 为 G”的中点为N（1）请 将 字 母 标 记 在 正 方 体 相 应 的 顶 点 处（不需说明理由）（2）证明：直线MN/平面BDH（3）求二面角力一EG-河的余弦值.【答案】（1）点 F、G、H的位置如图所示.（2）详见解析.（3）迪3【解析】（1）点 F、G、H的位置如图所示.（2）连 结 3 D,设。为 3口的中点.因 为 7、分 别 是 3C、G 31 的中点,所以O M/C D,且。河=工。，2

37、N H/CD,且 N H=CD,2所以 O M HN H,O M=N H,所以朋N”0是平行四边形，仄而 MN /O H ,又MN仁平面8。，O Hu平面BDH,所以MN/平面BDH.（3）连结AC,过M作M P J.4 C于P.在正方形 A BCD-EF GH 中，A C/E G,所以M PLEG.过P作P K L E G于K,连 结KM,所以EG_L平面P K A/,从而K M，EG.学优高考网所以N PKM是二面角A-EG-M的平面角.设A D=2,则GW=1,PK=2,在应 CMP中，PM=CM sin450=.Rt KMP中,KM=y P K2+PM2=.2 2所以cos4PKM=述

38、.即 二 面 角A-EG-M的余弦值为.KM 3 32 9.【2015高考湖北，理19】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膈.如图，在尸-4 8 8中，侧 棱 底 面48。，且PO=C。，过棱尸C的中点E,作EF_LP8交P8于点尸，连接D E,D F,B D、B E.（I）证明：尸8,平面试判断四面体D8E尸是否为瞥膈，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（II）若面OEF与面/8CO所成二面角的大小为巴，求 生 的 值.3 B C5【答案】（I）详见解析；（II）.2【解析】(解法1)(I)因为

39、PD-底 面 J 3 C D,所以PD，3C,由底面.15CD为长方形，有BC而 PDQCD=D,所以3C平面P C D.而 D E u 平面P8,所以3C _D E.又因为PD=8,点 E 是 R 7的中点，所以DEJ_PC.而 PC，BC=C,所以DE一平面P 3 C.而平面阳。，所以尸3，D.又 P B LE F,D E E F =E,所以 P 5 一平面 DEF.由 D E,平面P5C,P B,平面D E F,可知四面体5D EF的四个面都是直角三角形，即四面体5DEF是一个蜜脾，其四个面的直角分别为NDE5,ZDEF,Z.EFB,ZDFB.(II)如 图 1.在面P3C内，延长5 c

40、 与 庄 交 于 点 G,则 DG是平面DEF与平面.4C D的 交 线.由(I)知，P B,平面D E F,所 以 即 _D G.又因为P D,底面4 5 C D,所 以 即 _ D G.而PDRP5=P,所以D G _平面P5Z).故 ZBZ)厂是面O E F与面力8 8 所成二面角的平面角，设PD=DC=1,BC=A,有BD=J1+父,在 Rt 加 中，山得 NDPF=NFDBJ,则 tan-=tan ZDPF=/1+22=73,解3 3 PD得 2=血.所 以 生=工=正.故 当 面 与 面/8C。所成二面角的大小为二时，=.BC A 2 3 BC 2(解法2)(I)如图2,以。为原点

41、，射线。4。,。尸分别为羽为2 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设 PO=Z)C=1,BC=A,则 0(0,0,0),尸(0,0,1),8(2,1,0)C(0,1,0),PB=(2,1,-1),点E 是 PC 的中点，I 1 _ 1 1所以 E(),)DE=(0,)于是 PB DE=0,即 P8 _ L.又已知M1 P 8,而。口 跖=,所以.平 面/,/、/因 PC=(O,1,-1),DE-PC=Q,则 E 1 P C,所以 4 B由。E_L平面尸8C,PB1,平面DEF,可知四面体 外 题 解 答 图】即 四 面 体 是 一 个 瞥 膈，其四个面的直角分别为NAE8,NDEF,NEFB,第

42、19题 解 答 图2ZDFB.(II)由尸。J 平 面 所 以 方=(0,0,1)是平面45C Q 的一个法向量；由(I)知，尸 8,平面。E F,所 以 丽=(-九-1,1)是平面。E尸的一个法向量.若面DEF与面/8 C O 所成二面角的大小为T，学优高考网则 cos=3BP DPBPDP1 _ _J_？+2 29解得2=VL 所 以 空=L=Z.故当面DEF与面48co所成二面角的大小为时，生=立BC A 2 3 8c 2TT30.12015高考陕西，理18(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中，AD BC,NBAD=,2AB=BC=1,AD=2E是AD的中点，O是AC与BE的

43、交点.将2ABE沿BE折起到AABE的位置，如图2.(I)证明：CDJ_平面AQC：(II)若平面A|BEJ平面BCDE,求平面A|BC与平面A,CD夹角的余弦值.【答案】(I)证明见解析；(I I).3(II)由已知，平面4 8 E L平面BCDE,又 由(I)知，BE 1 OA,BE IOC所以N A QC为二面角A.-B E-C的平面角,TT所以N 4oc=5如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为4B=&E=BC=ED=1,BC/ED5 6 万 B所以 5(-,0,0),E(,0,0),A1(0,0,-),C(0,0),-J2 A/2-J?J?t-得 BC(-,-,0),A,C(0,

44、-,-)CD=BE=(-v2,0,0).设平面4B C的法向量 =(X,如Z),平 面/CD的法向量2 4马 必 心)，平 面4B C与平面&CD夹角为氏H,-BC=0-X,+V,=0 一则 _,，得 八，取生=(1,1,1)，4C=o y,zI =-CD=0 f x,=0 2一，得-八，取，=(o,i,i),H2-4C=0 y2-z2=0从而 cos 0=|cos 4,%1:2 V6V 3 x V 2 -3 /7即平面4 BC与平面ACD夹角的余弦值为.1 33 1.【2 0 1 5 高考新课标1,理 1 8 如图，四边形A 8 C D 为菱形，ZAB C=12 O,E,F 是平面A 8 C

45、 D 同一侧的两点，B E _ L 平面A8 C D,D F_ L 平面 A8 C D,B E=2 D F,AE E C.(I )证明：平面AE C _ L 平面AFC；(I I)求直线A E与直线C F所成角的余弦值.【答案】(I)见 解 析(I I)匚3又：AE _ L E C,/.E G=V 3 ,E G L AC,在 Rt AFB G 中，可得8 E=近，故。F=J .在Rt AFD G 中，可得FG=/2 2在直角梯形B D FE 中，山 B D=2,B E=Q ,D F=可得 E F=，,EG2+F G2=E F1,2 2；.E G _ L FG,AC n FG=G,，E G _

46、L 平面AFC,E G u 面 A E C,二平面 AFC 1.平面 AE C.6 分(H)如图，以 G为坐标原点，分别以3 瓦 面 的 方 向 为 x 轴，y 轴正方向，1 3 回为单位长度，建立/y空间直角坐标系 G-xyz,由(I )可得 A(0,一 百，0),(1,0,夜)，F(-1,0,),C(0,6,2_ _ _ /y0),/.A E =(1,y fi ,V 2 ),C F=(-1,-V 3 ,-).1 0 分2痂 A E C F V3故 cos -_ _ _ _ _ _-=-.|Z E|S 3所以直线A E 与 C F所成的角的余弦值为立.1 2 分33 2.2 0 1 5 高考

47、北京，理 1 7】如图，在四棱锥A-E F C B中，4A EF为等边三角形，平面Z E F，平面E FC B ,E F/B C ,8 C =4,E F =2 a,N E B C =NFC B =60 ,。为 E F 的中点.(I )求证：A O I BE；(I I)求二面角F-A E-B的余弦值;A(I l l)若8 E _ L平面N O C,求。的值.J 5 4【答案】(I)证明见解析：(I I)-；(I I I)a=-.5 3试题解析：(I )由于平面H E F.平 面E FC B,J E F为等边三角形f /o /福 中 点，则 加 _ 即 ，根B据面面垂直性质定理，所以力。_平 面E

48、 FC B,又B E U 平面 F C 5,则(I I)取C B的中点D,连 接0 D,以。为原点，分别以。及0D、3 为l y、z轴建立空间直角坐标系,RS,O&a),E(a,0,0),3(2,2 6-&0),益=3 0,-3 a),砺=(2 a,2花 一品 0),由于平面见尸与y轴垂直，则设平面如厂的法向量为旦=(0,1,0)，设 平 面 如 的 法 向 量 名=(x,y,1).n.AE,ax 3 a=0,x =诉 n._ E B,(2 a)x+(2石y/3 a)y -0._K=1 则n.=(J 5,-1,1),二面角 F-A E-3 的余弦值 cos(凡 n.)=会 一 吐 一郎EF-A

49、 E-3为钝二面角，所以二面角F-A E-3的余弦值为.5由二面角(I I I)由(I)知 40 J _ 平面 E FC B,则 ZOJ.8 E,若 8 E,平面/O C,只需 B E 1 0C ,砺=(2 -a,2囱-#a,0),又 祢=(-2,2 7 3 -邪 a,0),丽 无=-2(2 一 a)+(2 7 3 -儡 =0,解得a=2或a=由于a 2,则a=3 33 3.【2 0 1 5高考广东，理1 8 如图2,三角形尸。C所 在 的 平 面 与 长 方 形 所 在 的 平 面 垂 直，P D =P C =4,4 B =6,3 C =3.点E是CD边的中点，点/、G分别在线段4 8、8C

50、上，且/b =2尸8 ,C G =2 G B.(1)证明：P E 上FG ；(2)求二面角尸-AD -C的正切值；(3)求直线P 4与直线F G所成角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)-；(3)*亚.3 2 5【解析】(1)证明：；PD =P。且点为。的中点,P E V D C,又平面PDC _L平面NBC。，且平面尸。CD平面=CO,/匚 平 面2。,P E A B C D ,又歹G u 平面/8C O,P E 工 F G ；(2)V/3CO 是矩形，,A DI D C,又平面P D C _L平面A B C D ,且平面POC fl平面A B C D =C D ,月O u平面/BCD,：