2023年上海数学高一知识点总结.pdf

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1、集合与函数概念1.1.1 集合 的含义与表达集合的概念集合中的元素具有拟定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表达自然数集,N *或N+表达正整数集，Z表达整数集，。表达有理数集，火表达实数集.(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a e M ,或者。/M ,两者必居其一.(4)集合的表达法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表达集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法:用数轴或韦恩图来表达集合.(5)集合的分类具有有限个元素的集合叫做有限集.具有无限个元素的集合叫做无限集.不具有任何元素的集合叫做空集(

2、0).1.1.2 集合 间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A有(21)个元素，则它有2个子集，它有2 1个真子集，它有2 1个非空子集，它名称记号意义性质示意图子集A B(或5)A中的任一元素都属于B(1)AOAA(3)若24口5且3口(7,则A q C(4)若 且 则 A =30 或真子集AU B(或 BID A)A O 3,且B中至少有一元素不属于A(1)0 u A (A为非空子集)*若A u B且3 u C,则A u CH W H集合相等A=BA中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(l)A C B(2)BO A有2”2非空真子集.1.1.3 1 集合的基本运算

3、(8 )交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集九|工 A且X G B AfM=A(2)A f l 0 =0 A p I B q AGD并集A U BA 或X G B A U A=A(2)AU 0=A(3 )A J B A02)补集x|x e U,月/纪 A 1 AD&A)=0覆A n8)=(“A)UQB)耀 AUB)=(“A)n&B)2AU(Q,A)=UuQ简朴逻辑用语1、命题:用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p,则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、原命题：“若，则逆命题：“若 心 则”否命题：

4、“若.，则 F 逆否命题：”若 F,则 力”4、四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.5,若p=q,则p是q的充足条件，q 是 p的必要条件.若 p=q,则p是 的充要 条 件(充足必要条件).运用集合间的包含关系:例 如:若Aq B,则A是B的充足条件或B是A的必要条件;若人=8,则A是B的充要条件;6、逻辑联结词：且(and)：命题形式p/或(or)：命题形式p v q；非(no t):命题形式一p.Pqp yq-p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、全称量词一一“所有的”、“任意一个”

5、等，用“V”表达；全称命题，：/%闻,(幻；全称命题的否认。存在量词一 一“存在一个”、“至少有一个”等，用“土 表达；特称命题P：3xe M,p(x)；特称命题p的否认-piVxe M，r?(x);【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集I x|0)x-ax a(a 0)I ax+b c(c 0)把a x+h当作一个整体，化 成x a(a 0)型不等式来求解一元二次不等式的解法判别式A=/?2-4acA0 =0A 0)的图象40V.A 1=X2u0一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根-by1b2-4ac%,2=-2a(其中王0(a 0

6、)的解集xx X或%1,b、x|x 2aRax2+fox+c0)的解集xxx x x200Kl.2 2函数及其表达1.2.1 函数的概念(1)函数的概念设A、B是两个非空的数集,假如按照某种相应法则f ,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一拟定的数/(幻 和它相应，那么这样的相应(涉及集合A,B以及A到3的相应法则/)叫做集合A到B的一个函数,记作了:A f 8.函数的三要素:定义域、值域和相应法则.只有定义域相同，且相应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表达法 设 是 两 个 实 数，且满足aW xW h的实数x的集合叫做闭区间，记做 a,回;满足ax6的实数x的集

7、合叫做开区间，记做(a,b)：满足aW x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做 a,+),(a,+o o),(-o o,Z?,(-o o,b).注意：对于集合 x ax6与区间(a,/?),前者a可以大于或等于。，而后者必须a h.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则：/(X)是整式时，定义域是全体实数.f(X)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数./(X)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.JIy =ta n x 中，k7r+(k e Z).零(负)指数曷的底数不能为

8、零.若/(%)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.对于求复合函数定义域问题，一般环节是：若 已 知/(X)的 定 义域为 a,回，其复合函数f g(x)的定义域应由不等式a g(x)(j)x+c(y)=0,则在时，由 于 为 实 数，故必须有=廿(力 一 4a(y)c(y)2 0,从而拟定函数的值域或最值.不等式法:运用基本不等式拟定函数的值域或最值.换元法:通过变量代换达成化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.反函数法：运用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系拟定函数的值域或最值.数形结

9、合法：运用函数图象或几何方法拟定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2 函数的表达法(5)函数的表达方法表达函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表达两个变量之间的相应关系.列表法：就是列出衣格来表达两个变量之间的相应关系.图象法：就是用图象表达两个变量之间的相应关系.(6)映射的概念设A、8 是两个集合，假如按照某种相应法则/,对于集合A 中任何一个元素,在集合3 中都有唯一的元素和它相应，那么这样的相应(涉及集合A,8 以及A 到 8 的相应法则/)叫做集合A 到B的映射,记作了:A-6 .给定一个集合A 到集合8 的映射，且a e A b e 8.

10、假如元素a 和元素方相应，那么我们把元素b叫做元素a 的象，元素a 叫做元素匕的原象.K1.3 2函数的基本性质1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及鉴定方法函数的性质定义图象鉴定方法函数的单调性假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的 值 Xl、X2,当？4,时，都有f 便,)“独，那么就说f(x)在这个区间上是单申婪y=f(x)/f(X,)(1)运用定义(2)运用己知函数的单调性(3)运用函数图象(在某个区间图象上升为增)(4)运用复合函数x.x,X假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的 值X1、X2,当个2时，都 有f(Xi)f(口，那么就 说f

11、(X)在这个区间上是做学装.yf(x,)y=f(x)(1)运用定义(2)运用已知函数的单调性(3)运 用 函 数 图 象(在某个区间图象下降为减)(4)运用复合函数0X.X;x在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.对 于 复 合 函 数y =/g(x)l,令“=g(x),若y=f(u)为 增，=g(x)为 增，则 存 在 与 /,使 得/(%)=.那么,我们称M是 函 数/(X)的最大值，记作一般地,设函数y=/(x)的定义域为/,假如存在实数W满 足：(1)对于任意的x e/,都有/(X)2加；(2 )存在

12、/e/,使得/(%)=m.那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作(1.3.2奇偶性(4 )函数的奇偶性定义及鉴定方法若函数/(X)为奇函数,且在x =0处有定义，则/(0)=0.函数的性 质定义图象鉴定方法函数的奇偶性假如对于函数f(x)定义域内任意一个X,都 有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇羊犯V-a(a,f(a)厂.(1)运用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)运 用 图 象(图 象(-a,f(-a)关于原点对称)o a x假 如 对 于 函 数f(x)定义域内 任 意 一 个X,都 有f (-X)=打八,那么函数f(X)叫做便邑里y(-a.f(a.f(a)(1

13、)运用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)运用图象(图象关于y轴对称)a oa、奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.K补充知识函数的图象(1)作图运用描点法作图：拟定函数的定义域;化解函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性);画出函数的图象.运用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、显函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.平移变换

14、v f x 0,左 移 九 个 单 位)v-f(x +h)y -J 力 y八+)k/音樗*隘-y=/(、)+及伸缩变换k/需雷y=/w)对称变换y=/(X)=y=f(x)，.轴 y=f(-x)=/(%)及点f =-7(-%)3 =/(X)直线尸x y=/T(x)y=/(x)去掉y轴左边图象保留)，轴右边图象，并作其关于手 轴对称图象)=/(次1)V _ f(x 保留X轴上方图象 _|f(x Iy -J将式轴下方图象翻折上去)t 外 孙(2 )识图对于给定函数的图象，耍能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(

15、3 )用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(I)K2.1 3指数函数【2.1.1】指数与指数幕的运算(D根式的概念假如x=e e 1,且 e N*,那么x叫做”的次方根.当是奇数时，。的次方根用符号箱 表达;当是偶数时，正数a的正的n次方根用符号后表达,负的1次方根用符号一 夜 表达;0的“次方根是0；负数a没有次方根.式子夜叫做根式，这里叫做根指数，。叫做被开方数.当为奇数时，a为任意实数;当为偶数时,a 2().根 式 的 性 质：(%)=。；当 为 奇 数 时

16、，a=a；当 为 偶 数 时，日=|止(-0).-a(a 1).0的正分数指数恭等于0.正 数 的 负 分 数 指 数 幕 的 意 义 是：a =(-)7=J(-)(a0,m,n e N+,且a anl).0的负分数指数某没故意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数基的运算性质 小 a=a+s(a 0,r,s e R)3)=ars(a 0,r,s e R)(abY =db (a 0,/?0,r e/?)L2.1.2指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数y =（a 0且。工1）叫做指数函数/Z 一图象Z/、rJ=I(0,1)。X7 y/J =1(0,1)。X定义域

17、R值域(0,+8)过定点图象过定点（0,1）,即当x =0时，y=l.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在火上是减函数函数值的变化情况优 1 (x 0)ax=l(x =0)ax 1 (x 0)ax 0)ax=1 (x =0)ax 1 (x 0,月4工1),则x叫做认为。底N的对数，记作x =l o g N,其中。叫做底数，N叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：x =l o gu N ax=N(a (),a H 1,N 0).(2)几个重要的对数恒等式l o ga 1 =0,l o g/=1,l o g =。.(3)常用对数与自然对数常用对数：l g N,即l o g i o N；

18、自然对数：I n N,即l o g,N (其中e =2.7 1 8 2 8).(4)对数的运算性质 假如a 0,a w l,M 0,N 0,那么M加法：l o g a M+l o g”N=l o g“(MN)减法：l o g“M -l o g,N=l o gn N数乘：l o g“A/=l o g,w R)n I n n Nl o g “M =l o g“A/(b w 0,w R)换底公式：l o g“N =(/?0,且 b l o gf c a【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数(6)反函数的概念函数名称对数函数定义函数y=l o ga x(a 0且a 71)叫做对数函数图象al0a

19、 0 (x l)l o ga X =0 (x=l)l o g(1 x 0 (0 xl)l o g a X 1)l o g a x=0 (x=l)l o ga x0 (0 x（）,则黑函数的图象过原点，并且在 0,+8）上为增函数.假如a l时，若0 x 1,其图象在直线y=x上方，当a l时，若（）X l,其图象在直线y=x下方.K补充知识】二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)-a x2+h x +c(a丰0)顶点式：/(x)=a(x-产+女 声0)两根式：f(x)=a(x-xt)(x-x2)(a 0)(2)求二次函数解析式的方法己知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点

20、坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/(x)更方便.(3)二次函数图象的性质二次函数f(x)=ax2+b x+c(a丰0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x=,顶点坐标是2ab 4 a c-b29；-)2a 4。八 b b b当 0时，抛物线开口向上，函数在(一8,J上递减，在 ,+0 0)上递增，当天二2a 2a 2ar/、4 a c-b2 c b、b时，/而(幻=-:当 0时，图象与x轴有两个交点耀(孙0),“2(孙。)加附2|=|再-用|=(4)一元二次方程a x2+b x +c=Q(a*0)根的分布一元二次

21、方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程a x2+b x +c=0(a*0)的两实根为公，/，且 玉4 令bf(x)=办2 +c,从以下四个方面来分析此类问题:开口方向：a对称轴位置：X=2a判别式：端点函数值符号.kVx】Wx2 O *i k X z a f(k)0 AKxiWxzQ有且仅有一个根*i（或I）满 足 匕Vh（或X2）/（k）/（他）0,并同时考虑f（kJ=0或/（他）=0这两种

22、情况是否也符合k x Wk 2 Wp X2p此结论可直接由推出.(5)二次函数/(x)=ax 2+bx +c(aw O)在闭区间 p,g 上的最值设/(X)在区间 p,q 上的最大值为，最小值为m ,令为)=(+0时(开口向上)若一-p q,则2am =f(q)若-q(),方程ax?+bx+c =0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)A=0,方程ax?+灰+。=。有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与X轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)A 0,方程+bx +c=0无实根，二次函数的图象与X轴无交点，二次函数无零点.三角函数 正角:按逆时针方

23、向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角2、角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称。为第几象限角.第一象限角的集合为a卜 3 6 0 a 左 3 6 0 +9 0 ,左e z 第二象限角的集合为 a，3 6 0 +9 0 k-3 6 0 +1 8 0 e z 第三象限角的集合为e卜 3 6 0 +1 8 0 a k-3 6 0 +2 7 0,%wz 第四象限角的集合为 a 3 6 0 +2 7 0 a 0 j,则 s i n ay ,cos a=x,t ana=y (/x w O八)、.X9.三角函数在各象限的符号:第

24、一象限全为正，第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.io、三角函数线：sin a=MP,cos a-OM,tan a-AT.i 1 角 三 角 函 数 的 基 本 关系：sinl+cos2 a =1 (sin2 a=1-cos2 c,cos2 a=1-sin2 a；(2)s m a=tana、7 cos a(,sin a、sina=tan a cos a,cos a=-.tan or J12、函数的诱导公式:(l)sin(2 左；r+a)=sina，cos(2k/r+cr)=cos a，tan(2Z +a)=tana(攵6Z).(2)sin(乃+a)=-sina,cos(乃+a

25、)=-cosa,tan(7r+a)=tana.(3)sin(-a)=-sin a，cos(-a)=cos a,tan(-cr)=一 tan a.(4)sin(7r-a)=sina,cos(-a)=-cosa,tan(万一a)=-ta n a.口诀：函数名称不变，符号看象限.（5）sin-71-a二 cos acos71-crsin a.(6)sin 71+a2=cosa,cos 工+a(2=-sina.口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.13、的图象上所有点向左（右）平移Id个单位长度，得到函数y=sin（x+0）的图象;再将函数y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到 本 来 的

26、 倍（纵坐标不变），得到函数coy=sin（zr+e）的图象；再将函数y=sin（ax+o）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到本来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（5 +0）的图象.数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到本来的 倍（纵坐标不变），得到函数coy =s i n cox的图象：再将函数y=s i n cox的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数0）y =s i n（z x+e）的图象;再将函数y =s i n（z x+）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到本来的A倍（横坐标不变），得到函数丁=八$口（5+0）的图象.1 4、函数 y =A s i

27、 n x+o）（A 0,3 0）的性质：2 振幅:A ；周期：T=巴；频率：/=:相位：+（p 、初相：（p.CD T 271函数y =A s i n（6 J x +0）+B,当x =%时,取得最小值为乂亩：当x =/时，取得最大值为Vmax，1 J 丁则 A =5（Vmax 一心访），B=g（y max +Vmi n），万=%2 -X（%b、c分 别 为 角A、B、。的 对 边，则有q=，=2 Rsin A sin B sin C（R为AAB C的外接圆的半径）2、正弦定理的变形公式:a =2 H s in A,Z?=2 R s in B,c =2/?s in C；s in A =-,s in B=2,s in C=XQ：O：c =s in A:s in B:s in C；2R 2R 2R3、二角形面积公式：5AABr=Z?csin A =absin C=izcsin B,AABC 2 2 24、余弦定理:在A A B C 中，有 =2+。2 2 历 8$人,推论：co sA W2bc