2019年数学真题及解析_2019年北京市高考数学试卷（理科）.pdf

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1、2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共4（）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.（5 分）已知复数z=2+i,则 zz=（）A.如 B.依 C.3 D.52.（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值 为（）3.（5 分）己 知 直 线/的 参 数 方 程 为，为参数），则 点（1,o）到直线/的距y=2+4t离 是（）A.L B.25 52 24.（5 分）已知椭圆三+、=12.2a bA.2=2庐 B.3a2c.A5的离心率为工，则（2C.a=2bD.旦5）D.3a=4b5.（5 分）若 x,y 满足|x|Wl-y,且 y 2-1，

2、则 3x+y的最大值为（）A.-7 B.1 C.5 D.76.（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足2 2-M=*U其中星等为他的星的亮度为以（=1,2）.已知太阳的星等是-2 6.7,天狼星的星等是-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.1 OI O J B.1 0.1 C.IglO.l D.1 0-1 0 17.（5分）设点4,B,C不共线，则“A B 与A C 的夹角为锐角”是“l A B+A C R I B C I”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.（5分）数学中有许多形状

3、优美、寓意美好的曲线，曲线C：/+y2=l+k|），就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲 线 C恰好经过6个 整 点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲 线 C上任意一点到原点的距离都不超过加；曲 线 C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30分。9.（5分）函数=si r2 2 x的 最 小 正 周 期 是.1 0.（5分）设等差数列 a”的前项和为S”若“2=-3,S 5=-1 0,则“5=,S的 最 小 值 为.1 1.（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正

4、方形的边长为1,那么该几何体的体积为(T)/m；m/a；/J _ a.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.1 3.(5 分)设函数/G)=，+“一，(a 为常数).若f (x)为奇函数，则 a=；若f(x)是R上的增函数，则a的 取 值 范 围 是.1 4.(5 分)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草猿、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0 元/盒、6 5 元/盒、8 0 元/盒、9 0 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到1 2 0 元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的8 0%.

5、当 x=1 0 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为.三、解答题共6 小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1 5.(1 3 分)在 A BC 中，a=3,b-c=2,c o s 8=-2(I )求 6,c 的值；(I I )求 s i n (B-C)的值.1 6.(1 4 分)如 图，在四棱锥尸-A BC。中，出，平面 A BC Q,A D L C D,A D/BC,P A=A D=CD=2,BC=3.E为产力的中点，点厂在PC上，且旦_=工.PC 3(I )求证：C Z)_

6、 L 平面 PA D-,(I I )求二面角F-AE-P的余弦值；(I I I)设点G在 P B 上，且 里=2.判断直线AG是否在平面A E F 内，说明理由.PB 31 7.(1 3 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月4,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 1 0 0 人，发现样本中4 B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(元)支 付 嬴(0,1 0 0 0(1 0 0 0,2 0 0 0 大于2 0 0 0仅使用A1 8 人9人3人仅使用B1

7、 0 人1 4 人1 人(I )从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,8两种支付方式都使用的概率；(I I)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1 0 0 0 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；(I I I)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 0 0 0 元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 0 0 0 元的人数有变化？说明理由.1 8.(1 4 分)已知抛物线C：/=-2 外 经 过 点(2,-1).(I)求抛物线C的方程

8、及其准线方程；(H)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0 的直线/交抛物线C于两点M,N,直线y=-1 分别交直线O M,CW于点A和 点&求 证：以AB为直径的圆经过)，轴上的两个定点.19.(13 分)已知函数/(x)=L?-/+北4(I )求曲线y=/(x)的斜率为1 的切线方程；(I I )当 x -2,4 时，求证：x-6 于(x)W x；(I I I)设 b(x)=|/(x)-(x+a)|(t/GR),记 尸(x)在区间-2,4 上的最大值为M().当 M(a)最小时，求 的值.20.(13 分)已知数列仅,从中选取第八项、第”项、第 二 项 5 较 加),若ai ai-ai，

9、则称新数列a ,，a i为 如 的长度为?的递增子列.规定：数列 的任意一项都是“的长度为1 的递增子列.(I )写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4 的递增子列；(I I )已知数列.的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m：,长度为q的递增子列的 末 项 的 最 小 值 为 叫.若 P q，求证：叫-3 X 0+2|工4 4 2+（一3 产 5故选：D.【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题.2 24.（5分）已知椭圆工_+2=1 （a6 0）的离心率为工，则（）2 ,2 9a b zA.a2=2 b2 B.3 a2=4/?2 C.a=2 b

10、 D.3 a=4b【考点】K 4：椭圆的性质.【分析】由椭圆离心率及隐含条件。2 =启+0 2得答案.1 2 1 2 k 2 1【解答】解：由题意，得 二=工，则过 半=工,a 2 /4 /4a a:.4。2 -4b2=,g p 3 a2=4 8 2.故选：B.【点评】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题.5.（5分）若x,y满足|x|W l -y,且2 -I,则3 x+y的最大值为（）A.-7 B.1 C.5 D.7【考点】7 C：简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，令 z=3 x+)，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答

11、】解：由I，：1 力作出可行域如图，由图可知，当直线y=-3 x+z 过点A时，z 有最大值为3X2-1=5.故选：C.【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.6.(5 分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足机2-如=!依?-,其中星等为磔的星的亮度为&(A=l,2).已知太阳的星等是-2 6.7,天狼星的星等是-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1 0“),B.1 0.1 C./g l O.l D.1 0-1 0 1【考点】4 H：对数的运算性质.【分析】把已知熟记代入m2-，尸|依 ,化简后利用对数的运算性质

12、求解.【解答】解：设太阳的星等是“=-2 6.7,天狼星的星等是加2=-1.4 5,r E 1由题意可得：一 1.4 5-(-2 6.7)=7 1 Z E 2故 选:A.【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.7.（5分）设点A,B,C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是lAB+ACRIBCT的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“AB与AC的夹角为锐角”=IABAdIBCT，IABAC1IBCr今AB与AC的夹角为锐角”，由此能求出结果.【解答】解：点A,B,C不共线，“AB与A

13、C的夹角为锐角”=IAB+AdIBCT，IAB+AaIBaw=初 正 的 夹 角 为 锐 角”，.设点A,B,C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“IAB+AC1IBCI”的充分必要条件.故选：C.【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.8.（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：/+）?=1+因），就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲 线C恰好经过6个 整 点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲 线C上任意一点到原点的距离都不超过加；曲 线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）

14、A.B.C.D.【考点】2K：命题的真假判断与应用；KE：曲线与方程.【分析】将 X 换成-X 方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得.【解答】解：将 x 换 成-x 方程不变，所以图形关于y 轴对称，当x=0 时，代 入 得 产=1,即曲线经过（0,1）,（0,-I ）；当x 0 时，方程变为/-孙+?-1=0,所以=7-4（x2-1）2 0,解得x e（0,?当 ，所以x 只能取整数1,当 x=l 时，/-）,=（）,解得y=o 或 =1,即曲线经过（1,0）,（1,1）,根据对称性可得曲线还经过（-1,0）,（-1,1）,故曲线一共经过6 个整点，故正确.2

15、 ,2当x 0 时，由/+丫2=1+盯 得 f+y2-i=xyW2 ,（当x=y 时取等），2.?+72,.-.x2 +y2 因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3,故错误故选：C.【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题.二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30分。9.（5 分）函数/（X）=sin2 2 x的最小正周期是_ 3 _.【考点】H1：三角函数的周期性.【分析】用二倍角公式可得/（x）=-y c o s（4 x）+y-然后用周期公式求出周期即可【解答】解：（x）=sin2（2 x）,./（x）=-l-cos（4x）+-：.f（x）的周期 7=5，故答案为

16、：2 L.2【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题.1 0.（5分）设等差数列 劭 的前 项和为S ,若 a2=-3,5 5=-1 0,则“5=0 ,S”的最小值为-1 0 .【考点】8 4：等差数列的通项公式；8 5：等差数列的前n 项和.【分析】利用等差数列“的 前”项和公式、通项公式列出方程组，能 求 出 小=-4,d=1,由此能求出“5 的Sn的最小值.【解答】解：设等差数列 珈 的前“项和为S”及=-3,$5=7 0,&+（1=-35 X 4 ,5 a i+p#-1 0解得 ai=-4,d=l,a5=ai+4d=-4+4 X 1=0,S=na+n（

17、n-l）,4+n（n-l）（-旦）2 _ 坦，2 2 2 2 8.=4 或=5时，S取最小值为S 4=S 5=-1 0.故答案为：0,-1 0.【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.1 1.（5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为4 0 .【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解.【解答】解：由三视图还原原几何体如图,该几何体是把棱长为4 的正方体去掉一个四棱柱,则该几何体的体积

18、V=4x 2 X 2+(2+4)X 2 X 4=40故答案为：40.【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.12.（5 分）己知/,相是平面a 外的两条不同直线.给出下列三个论断：/L”；（2）m/a：/J_a.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若/-La,/L m,则加a.【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】由/,?是平面a 外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若/a,ILm,则 m/a.【解答】解：由/,，是平面a 外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若/J_ a,/,则胴a.故答案为

19、：若/_ La,I V m,则，w a.【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.1 3.(5分)设函数/(x)=炭+/，(a为常数).若f(x)为奇函数，则a=-1 ；若/(%)是R上的增函数，则a的取值范围是(-8,0.【考点】3 E：函数单调性的性质与判断；3 K：函数奇偶性的性质与判断.【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得/(-尤)=-/(尤)，即/斗 叱=-(/+a e变形可得分析可得的值，即可得答案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得了(X)的导数/(x)=-4 e F

20、 2 0在 R 上恒成立，变形可得：“W e?，恒成立，据此分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数f(x)=+a e),若/(x)为奇函数，则-x)=-fCx),即 eF+a d=-Ce-x+aex),变形可得 =-1,函数/(x)ex+ae x,导数，(x)-ae x若f(x)是R上的增函数，则f(x)的导数/(x)=，-/2 0在口上恒成立，变形可得：W e2 x恒成立，分析可得a W O,即a的取值范围为(-8,0;故答案为：-1,(-8 ,0 .【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题.1 4.(5分)李明自主创业，在网上经营一家水

21、果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6 0元/盒、6 5元/盒、8 0元/盒、9 0元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到1 2 0元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的8 0%.当x=1 0时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需 要 支 付1 3 0元;在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最 大 值 为1 5 .【考点】7 C：简单线性规划.【分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x,可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为？元，可得(根-x)X 8 0%NWX 7 0%,解不

22、等式，结合恒成立思想，可得X的最大值.【解答】解：当 x=1 0 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，可得60+80=140(元),即有顾客需要支付140-10=130(元)：在促销活动中，设订单总金额为，元，可得(机-x)X80%mX70%,即有xW皿，8由题意可得小1 120,可得xW侬=15,8则 x 的最大值为15元.故答案为：130,15【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题共6 小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.(13 分)在 4BC 中，。=3,b-c=2,cos8=-L.2(I)求 8,C的值；(H)求 s

23、in(B-C)的值.【考点】HR：余弦定理.【分析】(I)利用余弦定理可得/=/+c 2 _ 2 a c c o s 8,代入已知条件即可得到关于6 的方程，解方程即可；(II)sin(8-C)=sinBcosC-cosBsinC,根据正弦定理可求出 sin C,然后求出 cosC,代入即可得解.【解答】解：(1 )；。=3,b-c=2,cosB=-X2；由余弦定理，得%2=/+C2-2accosBo1=9+(b-2)-2 X 3 X (b-2)X (冷)，:.b=7,：.c=b-2=5 i(II)在ABC 中，：cosB=1，sinB=返，2 2由正弦定理有：c =b ,s i n C s

24、i n BR X近.门 c s i n B 2.&n C=b =7 F:b c,:.B C,，C为锐角，c o s C=-l i-,1 4s i n (B-C)=s i n 8 c o s c -c o s B s i n C=B.X 旦-(2)X 也2 14、2 ,1 4=蚯7【点评】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题.1 6.(1 4 分)如图，在四棱锥 P-A B C。中，M，平面 A 8 C Q,A D1CD,A D/BC,PA=A D=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点尸在P C上，且 里=L.P C 3(I )求证：C D J _平面PA D；(I I )求

25、二面角F-A E-P的余弦值；(I I I)设点G在P B上，且 弛=2.判断直线AG是否在平面A E F内，说明理由.P B 3【考点】L W：直线与平面垂直；M J：二面角的平面角及求法.【分析】(I)推导出PA VCD,A D Y C D,由此能证明C)_ L平面PA D.(I I )以A为原点，在平面A B C。内过A作C Z)的平行线为x轴，AO为y轴，A P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角尸-4 E-P的余弦值.(I I I)求出M=(X 0,2),平面 A E F 的法向量、=(1,1,-1),m A G=0,从而3 3直线A G在平面A E F内.【解答】证明

26、：(I )平面A B C D,，出，。，A DLCD,PA QA D=A,.*.C D _ L平面 PA D.解：（I I）以A为原点，在平面A B C。内过A作C。的平行线为x轴,为y轴，A P为z轴，建立空间直角坐标系，A (0,0,0),E(0,1,1),F(2,Z,-1),3 3 3P(0,0,2),B(2,-1,0),A E=(0,1,1),A F=(,2)，3 3 3平面A E P的法向量惹=(1,0,0),设平面A E F的法向量1=(尤，y,z),mAE=y+z=0 _则，.9 9 4 ，取 x=l，得i r=(1,1 -1),m*AF=yx+yy+yz=O设二面角F-A E-

27、P的平面角为0,则 c o s 8=2mlinJ=_=返.I m|,|n|V3 3.二面角尸-AE-P的余弦值为1.3(I I I)直线A G在平面4 E尸内，理由如下：:点 G 在 PB 上，且 弛=2.：.G(.1,-2,2),PB 3 3 3 3.平面A E尸的法向量i r=(1,1,-1),1导。-2=0,3 3 3故直线A G在平面A E F内.【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.1 7.(1 3 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大

28、转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 1 0 0 人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(7 L)支 付 藏 j-(0,1 0 0 0(1 0 0 0,2 0 0 0 大于2 0 0 0仅使用A1 8人9 人3人仅使用B1 0 人1 4 人1 人(I )从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,8 两种支付方式都使用的概率;(I I)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 0 0 0 元的

29、人数，求 X的分布列和数学期望；(I I I)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用4的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 0 0 0 元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 0 0 0 元的人数有变化？说明理由.【考点】C G：离散型随机变量及其分布列；C H：离散型随机变量的期望与方差.【分析】(I)从全校所有的1 0 0 0 名学生中随机抽取的1 0 0 人中，A,B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有3 0 人，仅使用8 的有2 5 人，从而A,8 两种支付方式都使用的人数有4 0 人，由此能求出从全校学生中随机抽取

30、1 人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.(I I)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 0 0 0 元的人数，则 X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E (X).(I I I)从样本仅使用A的学生有3 0 人，其中2 7 人月支付金额不大于2 0 0 0 元，有 3人月支付金额大于2 0 0 0 元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 0 0 0 元的概率为。=一 三=，不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 0 0 0 元的c3 4 0 6 0 3 0人数有变化.【

31、解答】解：(1)由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，4,B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用8的有25人，.A,B两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40,.从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率p=型-=0.4.100(II)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0,1,2,样本仅使用A的学生有30人,其中支付金额在(0,1000的 有18人，超 过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在(0,1

32、000的 有10人，超 过1000元的有15人，P(X=0)=丝*改=型且，30 25 750 25尸(X=l)=1 1*应以妆=%=坦30 25 0 25 750 25P(X=2)=1 1 x15.=180_=_L,30 25 750 25；.x的分布列为：X012P6136252525数学期望 E（X）=QX+1 X+2 X =(I I I)不能认为样本仅使用4的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，C o 1随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 0 0 0元 的

33、概 率 为 =年=,C3 4060%。虽然概率较小，但发生的可能性为二4060故不能认为认为样本仅使用4的学生中本月支付金额大于2 0 0 0元的人数有变化.【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.1 8.（1 4分）已知抛物线C：f=-2 p y经 过 点（2,-1）.（I ）求抛物线C的方程及其准线方程；（I I）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点例，N,直线y=-1分别交直线。M,O N于点4和点B.求证：以A B为直径的圆经过），轴上的两个定点.【考点

34、】K N：直线与抛物线的综合.【分析】（I）代 入 点（2,-1）,解方程可得p,求得抛物线的方程和准线方程；（I I）抛物线/=-4 y的焦点为尸（0,-1）,设 直 线 方 程 为 联 立 抛 物 线 方 程,运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得A 8为直径的圆方程，可令x=0,解方程，即可得到所求定点.【解答】解：（I ）抛物线C：/=-2 p y经 过 点（2,-I）.可得4=2 0,即p=2,可得抛物线C的方程为了=-4 y,准线方程为y=1；（H）证明：抛物线，=-4 y的焦点为尸（0,-1）,设直线方程为），=丘-1,联立抛物线方程，可得/+4日-4=0,设

35、 M （x i,y）,N（X 2,”），可得%1+X 2=-4 Z,XX2=-4,直线0M的 方 程 为 丫=工，即 了=-工，X1 4直线O N的方程为y=t-x,即y=-上,x2 4可得 A （J _,-1）,B（&,-1）,X1 x2可得A B的中点的横坐标为2 （+1-）=2二鱼=2%,Xj x2-4即有A 3为直径的圆心为（2七-1）,半 径 为 唱 力 六.=2内,可得圆的方程为(x-2 k)2+(y+1)2=4 (1+F),化为 f-4 f c r+(y+1)2=4,由x=0,可得y=l或-3.则以A 8为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1),(0,-3).【点评】本题考查抛物

36、线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题.1 9.(1 3 分)已知函数/(x)=X r3-x2+x.4(I )求曲线)，=/(x)的斜率为1的切线方程；(I I )当 x -2,4 时，求证：x-6/(x)W x；(I I I)设 尸(x)=|/(x)-(x+)|(q R),记 尸(x)在区间-2,4 上的最大值为M(a).当M(a)最小时，求a的值.【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(I)求导数，(x),由/(x)=1求得切点，即可得点斜式方程；(I I)把所证不等式

37、转化为-6W f (x)-x W O,再令g (x)=/(x)-x,利用导数研究g(x)在-2,4 的单调性和极值点即可得证；(I I I)先把尸(x)化为|g (x)-a,再 利 用(I I)的结论，引进函数%(?)=|/-a|,结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴r=a与-3的关系分析即可.【解答】解：(1 )r (x)-2 x+l，由 f(x)=1 得 x (%-)0,3得X =0,x2=y-又/(0)=0,f (&)3 2727(I I)证明：欲证 x-6W/(x)W x,只需证-6 W/a)-“w o,令 g (x)=f(x)-x=x _x xE -2,4 ,则/(x)可知g(

38、x)在-2,0为正，在(0,1)为负，在4为正，3 3，g (x)在-2,0 递增，在 0,当递减，在 区,5递增，3 3又 g (-2)=-6,g(0)=0,g(A)=-J -6,g (4)=0,3 27，-6W g (x)W O,.x-6Wf(x)W x；(III)由(I I)可得，F(x)=f(x)-(x+a)|=f(x)-x-a=l g(X)-a .在-2,4 上，-6W g (x)W O,令 t=g(x),h(f)=t-a,则 问 题 转 化 为 当6,0 时，h(/)的最大值M (a)的问题了，此 时-a 3,当a=-3时，例(a)取得最小值3；当心-3 时，M(a)=/z (-6

39、)=|-6-a|=|6+a|,；6+介3,：.M(a)=6+a,也是“=-3时，M(a)最小为3.综上，当M(a)取最小值时a的值为-3.【点评】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大.2 0.(1 3分)已知数列 a”,从中选取第八项、第”项、第 加 项(i i i 2-),若则称新数列a i,a i.,，为 a 的长度为，的递增子列.规定：数列 ”的任意一项都是 ”的长度为1 的递增子列.(I)写出数列1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为4 的递增子列；(I I)已知数列“”的长度为p的递增子列的末项的最小值为m：l,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n;

40、若p q,求证：am3no该数列的第P 项N a，即可证明结论.(/)考虑2s-1 与 2s这一组数在数列中的位置.若 a,中有2 5,在 2s在 2 s-1之后，则必然在长度为5+1,且末项为2 s的递增子列，这与长度为S 的递增子列末项的最小值为2s-1矛盾，可得2s必在2s-1之前.继续考虑末项为2s+l的长度为s+1的递增子列.因此对于数列2/7-1,2，由于2在 2-1 之前，可得研究递增子列时，不可同时取2与 2”-1,即可得出：递增子列最多有2s个.由题意，这 s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在2s+l之 前.可 得 2,1,4,3,6,5,，是唯一构造.【解答】解：(/)

41、1,3,5,6.()证明：考虑长度为4 的递增子列的前p 项可以组成长度为0 的一个递增子列，a 该数列的第P 项，m0 a”mo no(/)解：考虑2s-1 与 2s这一组数在数列中的位置.若“”中有2 s,在 2s在 2s-1之后，则必然在长度为s+1,且末项为2 s的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为2 s-1矛盾，.2s必在2s-1之前.继续考虑末项为25+1的长度为s+1的递增子列.,对于数列2-1,2，由于2 在 2-1 之前，.研究递增子列时，不可同时取2 与2 -1,.对于1 至 2 s的所有整数，研究长度为5+1的递增子列时，第 1项 是 1与 2 二 选 1,第2 项是3 与 4 二 选 1,.,第 s 项是2 s-1 与 2s二 选 1,故递增子列最多有2、个.由题意，这 s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在2$+1之前.A2,1,4,3,6,5,.,是唯一构造.B P a2k=2k-1,aik.=2k,%CN*.【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题.