河南省济源2021-2022学年高三第二次调研数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线C：Y=2 0，(p O)的焦点为尸(0,1),若抛物线C上的点A关于直线/：y=2x +2对称的点B恰好在射线y=l l(x W 3)上，则直线A R

2、被 C截得的弦长为()9 1 100 118 127A.B.-C.-D.-9 9 9 92.已知等差数列 ,中，%+%=8则43+4+4 5+%+%=()A.10 B.16 C.20 D.243.已知集合4 =幻/08 2兀 0)的焦点为F，点A(6,%)是C上一点，AF =2 p,贝！|。=()A.8 B.4 C.2 D.15.已知函数/(无)=x 3+s i n x+l n(E 若/(2a l)/(0),则a的取值范围为()A.B.(0,1)C.(；/)D，(0T)6.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则().正(主)视图 侧(左)视图A.2 0任S，且2 6任5C

3、.2 0 eS，且2出eSB.2应 任S，且2月e SD.2V 2 且 20 e S7 .已知随机变量X的分布列是则 E（2X +a）=（）5 7 7 23A.-B.-C.-D.3 3 2 68 .已知函数/。）=当”.下列命题：函数f（x）的图象关于原点对称；函数f（x）是周期函数；当x =g时,X+1 2函数/（X）取最大值；函数/（X）的图象与函数y =，的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.9 .中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于 周礼春官大师，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p a o）,竹”八音，其中“

4、金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）3 11 八 1 c 2A.B.C.D.14 14 14 710.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）11T13T/（/）+/（n-2）011.已知奇函数/（x）是R上的减函数，若人满足不等式组（/（加一 D N 0 ，则2加一的最小值为（）/（W 012.已知四棱锥S-的底面为矩形，必 _1底面4 3。，点E在线段8C上，以A Z）为直径的圆过点E.若S A =#,AB=3,则隆E D的面积的最小值为（）A.9B.7二、填空题：本题共4小题，每小题5

5、分，共20分。13.已知随机变量j服从正态分布N(3,/),若P(4 6)=0.4,则P(4 0)=.14.将 函 数/(x)=sin x的图象向右平移1个单位长度后得到y=g(x)函数的图象，则函数y=f(x)-g(x)的最大值为.15.已知点M是曲线y=2历x+*2-3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该 切 线 的 方 程 为.16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)合计高一13

6、66420高二2655220满意度评分评分k)0.250.100.05k1.3232.7063.84118.(12 分)已 知/(x)=|x-l|+|x+a|(ae R).(I)若”=1,求不等式/(x)4 的解集；1 4(D)VW G(0,1),Bx0&R,-+/(x0),求实数”的取值范围.m m19.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5 元，售价每瓶7 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：摄氏度)有关.如果最高气温不低于2 5,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 20,2

7、5),需求量为500瓶；如果最高气温低于 20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为“(单位：瓶)时，y 的数学期望的取值范围？20.(12分)已知圆O:/+y2=4,定点A(l,0),p 为平面内一动点，以线段A P 为直径的圆内

8、切于圆。，设动点P 的轨迹为曲线C(1)求曲线C 的方程(2)过点。(2,b)的直线/与。交于E,尸两点，已知点0(2,0),直线x=x0分 别 与 直 线 产 交 于 S,T 两点，线段S T的中点“是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.x 2+夕=2sin8+2acose(a0)；直线/的参数方程为 0(f 为参数).直线/与曲线C 分别交于M,N 两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线/的普通方程；(2)若点尸的极坐标为(2,乃)，|P M|+|P

9、N|=5 0,求。的值.22.（10 分）已知函数/（x）=s i n x +l n x -l.，冗，乃、（I ）求/（尤）在点 不J 不 处的切线方程；（I I）求证：f（x）在（0,乃）上存在唯一的极大值;0）的焦点为尸（0,1）,则 4=1,即 P=2,2设 A点的坐标为（7 加2）,3 点的坐标为（，11），n 3 ,如图:11-w24n-m11+m2422-m+n-2x-+22解 得 m=6c，或,=234in=-335、(舍去),n-一9:.A(6,9)4工 直 线A尸 的 方 程 为y=X +l,设 直 线AF与抛物线的另一个交点为D,由 4,y =x +13,解 得 x2=4y

10、x =6y =9 或2x-31y =一9,何21|A D|=Jl6+|l+19-9故 直 线A尸 被。截 得 的 弦 长 为”.9故 选：B.【点 睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.2.C【解 析】根据等差数列性质得到4+4=8=2%，再计算得到答案.【详 解】已知等差数列 “中，%+4 =8 =2a$=%=4%+%+。5 +。6 +%=5%=20故 答 案 选c【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.3.D【解析】可求出集合A ,B,然后进行并集的运算即可.【详解】解：A =x|0 x 0.AUB=O,”).故选o.【点睛】考查描述法、

11、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.4.B【解析】根据抛物线定义得|4刊=6 +5，即可解得结果.【详解】因为|A耳=2 =6 +勺 所 以p =4.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.C【解析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式.【详解】由 1 1 0 得l-x1 y 2在时，y =是增函数，y =s in x是增函数，y =l n =l n(-l +)是增函数,1 x -X二/(尤)=%3+$也苫+1 1 1(三：)是增函数，.由/(2 a 1)/(0)得0 2。一1 0和x 0时，sinxvx,0,x当x x,0,x

12、X2+1.g(x)0,此时与y 无交点;综上所述：/(%)与 =:无 交 点，正确.故选：A.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.9.B【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音,，中任取不同的“两音,，共有第=28种取法;“两音”中含有打击乐器的取法共有C；-C：=22种取法;所求概率=|=故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件

13、个数.10.B【解析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥A放入长方体中，利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为A-C Q E,体积匕-CfijE=%方 体4。-V/j&E-A F -/-A B C -%?-C G 4 F.-A IF D,-A D C=2x4x2 x2x2x2 x x4x2x 2 x x2x2x2=4.2 3 2 3 2故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.11.B【解析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】m 0z=2m-n9

14、即=2mz,z表示直线与)，轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点(0,2),即加=0.=2时，Z=2 L有最小值为-2.故选：B.本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.1 2.C【解析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到B E,E C之间的等量关系，再 用 白 表 示 出必储的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设=E C =y,则 B C =A D =x+y.因 为&4 _ L平面A B C。，EDu平面A B C。，所以S4 L E O.又 A E L E D,S A A E A,所以“_ L 平面S

15、A E,则 E D _ L S.易知 A E =J x1+3，E D=J +3.在 RtA A E。中，A E2+E D2=A D2 即 幺+3 +/+3 =（X+0）2,化简得到=3.在RtA SE。中，SE =6+1 2,E D =y2+3=J +3.所以5爪。=；5/石0 =；3f+4 5.用+a 2,1 0 8,。I 2 1 0 8因为 3x H 2 2 J 3 x =3 6,r V x当且仅当=，=乎 时 等 号 成 立，所以SASE。2；J 3 6 +4 5=.故选：c.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定

16、和性质，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.0.4【解析】因为随机变量;服从正态分布N3,er?,利用正态曲线的对称性，即得解.【详解】因为随机变量4服从正态分布N3,o-2所以正态曲线关于x=3对称，所 P(，6)=0.4.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.4【解析】由三角函数图象相位变换后表达g(x)函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理/W g(x)的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数/(x)=sinx的图象向右平移9个单位长度后得到y=g(x)=sin(

17、x-函数的图象，ni l .r 乃 Y l-f1-G i .2 G.贝！I y=/(x)g(x)=smx sin x =sinx sinx-cosx=sin x-sin xcosx-(3 力(2-J 2 -1 l-cos2x 1 if 1 。0)1 1 吟2 2 2 2 4 2(2 2 J 4 2 L 3 J所以，当cos(2x-f =-1函数最大，最大值为，+，=I 3 J 4 2 43故答案为：T【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.15.y=x-3【解析】先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线

18、方程.【详解】/-+2 x-3,x,2 c。k=+2 -3,x”=1 时有最小值1,此时M(L-2),XM故切线方程为：y+2 =x-1,即 y=x-3.故答案为：y=x-3.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.0.42【解析】高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.【详解】1 3 1由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为不，满意的概率为不，非常满意的概率为不，2 1 1高二家长满意等级为不满意的概率为不，满意的概率为万，非常满意的概率为正，高一家长的满意度

19、等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为3*二=三；5 5 251 2 22.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为5 5 253.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为=由加法公式，知事件A 发 生 的 概 率 为(+京+2=义=042.故答案为：0.42【点睛】本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 41 7.(1)有7 5%的把握认为喜欢物理与性别有关；(2)分布列见解析，E(X)=y.【解 析】(1)根据题目所给信息，列 出2 x2列联表，计 算 2的

20、观测值，对照临界值表可得出结论;(2)设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有，人，女同学有人，则X=/+，确 定X的所有取值为1、2、3、4、5.根据计数原理 计 算 出 每 个X所对应的概率，列出分布列计算期望即可.(1)根据 所 给 条 件 得2 x2列联表如下:【详 解】男女合计喜欢物理6 43 61 0 0不喜欢物理5 64 41 0 0合计1 2 08 02 0 0犬 _ 2 0 0 x(6 4 x4 4 5 6 x3 6)21 0 0 x1 0 0 x1 2 0 x8 04一 1.3 2 3,3所 以 有7 5%的把握认为喜欢物理与性别有关；(2)设参加座谈会的5人中喜欢物理 的

21、男 同 学 有机人，女同学有人，则X=m+,由题意可知，X的所有可能取值为1、2、3、4、5.cc2 C2 1p(x=l)=半与=，,I /穹 2 0rlC2 C1 C ClC2 C2 3 J C3 2-c2：2 4-c2；3-c：=1 0p(X=3)=*与+9.坐+V.与 ,c；c：G C：C；C；1 5z-23唳=4)=岩 等+性 罟26P(X=5)GC=_LC：C：6 0所以X的分布列为:X12345p12 031 07百616 0所B以I EL(/XY 八)=l1x-I-F 2。x-3-cF 3 x 7 F 44 x 1F 5r.x i=1 4.v 7 2 0 1 0 1 5 6 6

22、0 5【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列.离散型随机变量的期 望.属于中等题.1 8.(I )(f,-2)U(2,e)；(H)(-1 0,8).【解析】(I )利用零点分段讨论法把函数/(x)改写成分段函数的形式，分x N l,-lx l,x 4-l三种情况分别解不等式，然后取并集即可；(n)利用绝对值三角不等式求出/(x)的最小值,利用均值不等式求出工+一 上 的最小值，结合题意，只需m 1 -m“H mm 1(I )当4 =1 时，/(x)=|x-l|+|x+l|=2,-1 X1 2 x,x K 1f(x)4 o 2x4或，2 4x 4或,ox2,或x 4的解集为(9

23、,-2)U(2,+O(I I)因 为/(%)=卜-1|+,+同(%+4)_(%_ 1)|=卜+1|V?G(0,1),又 工 H =(+4)Fm+(l-m)m m m-m 4 m 1 m=5 +-+-i-m m 一 /4/72 1-77?八 八，5 +2-=9 (当机=三时等号成立)，y I-m m 31 4依题意，Vme(0,l),土0 e R,有 一+/(%),m-m则|a +U 9,解之得-1 0 a 2 5.利润 y =Ey-2*+(2500-3)乂+(1500-3)乂=1300-=Hy)e 700,800.2.300,500)时，7九一5 =2，z 20利 润v=4 7x300+2x(

24、n-300)-5=1500-3n,/y=2nx+(1500-3H)X =300+nnE()e 600,800).综上,的数学期望的取值范围是600,800).【点睛】本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2 220.(1)土 +匕=1；(2)存在，&+2y-2百=0.4 3【解析】(1)设以AP为直径的圆心为B,切点为N,取A关于)轴的对称点A,连接A P,计算得到|AH+|AH=4,故轨迹为椭圆，计算得到答案.(2)设直线的方程为x=)+(2-J务)，设后(芯,乂),/(,)，加(%，)，联立方程得到乂=不(/-2),为=上 彳(%

25、-2),计 算 上 =-得 到 答 案.【详解】(1)设以AP为直径的圆心为B,切点为N,则|团=2忸 山,|困+|网=2,取 A关于 y 轴的对称点 4,连接 A P,故|AH+|AP|=2(|O3|+|84|)=42,所以点P的轨迹是以A A为焦点，长轴为4的椭圆，其中a=2,c=l,2 2曲线方程 为 土+二=1.4 3(2)设直线的方程为x =)+(2-4)，设凤西小),曲,当)，”5，%)，直线 DE的方程为.丫=37。-2),乂=?(X o -2),同理 外 =上7(/-2),%2%-2 X2-2所以 2%）=乂+yT=工7（/-2）+（为-2）,-1 x2-2口n2%_ X ,%

26、2 y l y 2-6（,+%）与一2 x1-2 X2-2 另%-，3（弘 +%）+3 联 立 卜：+，一）,二（3/+4）/+（1 It-6后）y +9/12nt=0,3 x2+4 y2-1 2 =0所以X%=9r-1 2百/3产+4，必+%=64-12t3产+4c 9尸-1 2 2 ）2 x-代入得=-3/士-=_ 瓜.G+2为-2g=0,x2严1 2限6b=为3产+4 3+4所以点M都在定直线Gx+2 y 2石=0上.yx【点睛】本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2 1.(1)(x a)-+(y 1)-=/+1,x y+2 0；(2)2.【解析】(1)

27、由p=2 si n 8+2。c o s 8得=2 2 si n。+c o s。，求出曲线C的直角坐标方程.由直线/的参数方程消去参数/,即求直线/的普通方程；2(2)将直线/的参数方程化为标准式 厂(，为参数)，代入曲线。的直角坐标方程，韦达定理得反，V=tI 2t；+t2,tt2,点P在直线/上，则|PM|+|PN|=k；|+/2|，即可求出a的值.【详解】(1)由 p=2 si n6+2 a c o s6 可得P之=2 psi ne+2 a pc o s。，即f+V =2 y +2 a x,即(x-a)?+(y i j=+1,曲线C的直角坐标方程为(x a)?+(y-l)2=+1,X 2

28、+yfit由直线/的参数方程 厂(f为参数)，消去/得x-y +2 =0,y=/2 t即直线/的普通方程为x-y +2 =0.(I I)点P的直角坐标为。(一2,0),则点p在直线/上.将直线/的参数方程化为标准式c V2 ，X=-2 4-12V2 ,(，为参数)，代入曲线。的直角坐标方程，整理得产-（3艰 +缶）f +4 a +4 =0,直线/与曲线C交于”,N两点，.A =(3夜 +亿 丁-4(4 +4)0,即(a-l)2 0,.a l.设点M,N所对应的参数分别为t,t,由韦达定理可得 t+f 2 =3 7 2 +s/2 a,tt2=4 a +4,。0,:E +i2 0,/t 2 0,/

29、.t 0/2 0.点尸在直线I ,.-.|PW|+|/W|=同+,21 =+4 =3 0+缶=5后，.a=2.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.2 7 122.(I)y=x+1 n-l;(I I)证明见解析；(IID函数/(x)在(0,2万)有3个零点.7 T 2【解析】(I)求出导数，写出切线方程；(I I)二次求导，判断/(X)单调递减，结合零点存在性定理，判断即可；(HI)lnx=l-s in x,数形结合得出结论.【详解】解：(I)/,(x)=cosx+-,/C)=l+ln g-l=ln,x 2 2 2 2 7t故/(x)在点g ,/(y)处的切线

30、方程为y-In =2(x-5),2 7 1即 y=x+n 1 ；7 1 2(I I)证明：/(x)=cosx+-,x e(0,x/(x)=-s i n x 7 o,r =-1+,0,2 71 7 1由零点存在性定理，存在唯-个零点加(三,乃)，/，(7?)=C O S/7?+=0,2m当x e(0,加)时，/(x)递增；当xe(m,乃)时，/(外递减，故/(x)在(0,乃)只有唯一的一个极大值；c m)函数/(x)在(0,2%)有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题.