第4讲二次函数中的线段相等与倍半关系问题-冲刺2022年中考数学压轴题（上海）(解析版）.pdf

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1、第4讲二次函数中的线段相等与倍半关系问题-(2022杨浦一模、2020长宁二模24题解法分析经典变式练）_ 例1(2022杨浦一模24)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=上灶bx+c与x轴交于点A2(-I,0)和点B,与y轴交千点CCO,2)，点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC,AP与线段Bct甘交千点F.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E,如果点F与点区E合，求点P的坐标；(3)过点P作PG上x轴，垂足为点G,PG与线段BC交千点H,如果PF=PH,求线段PH的长度y 5 4 3 2 I-3-2-1 0-1-2-3 l 2 3 4 X【昭答】昭

2、：（l）将点A(-I,0)和点C(0,2)代入y=上灶bx+c,:.f i-b+c=O.2,3l-2屯bc,Il.,1n+n+,0 x _kxk=,22+,+yy xx为为，式3一23一23一2么勾产红4式+xx析，析3了1一2线1一2x，件，解+5-4的+I直或舟2)f为则一们叩动，xE1一2y121一2,？轴0_4邸如吃一2一号也x（钻rnk一盺称尸8对尸得B直fllyE直（令解设设5-4 0_=-n E+1F-2 I贮ll-2k-3一2,kn,|_vb,.1 1:.y=x+_,2 2,)去舍意题，合守六42 不+x 3方l咭2x-、丿2 x12_ 12-x-或，yy33 r,_ l_(立

3、xp联(3)解法一：设P(I,-I2-+呈t+2)，则H(t,2 2 1-.!:.t+2),2,b+,x2+t kI 3万_ y 为2式t1_2,21析o卢解l l 1_2的bb-p+A1t 线kl-K i,，量,H p 设b:：:.y竺竺2 2 X:.t X=_:_ 5-t.F(,t 20-5t),5-t 10-2t 直线AP与y轴父点E(O,土土），2:.CE=2竺上，2 2:PF=PH,人乙PFH乙PHF,:PG/I y轴，占乙ECF乙PHF,:乙CFE乙PFH,：乙CEF乙CFE,.CE=EF,心）2=（土）红(20-5t土凶气2 5-t 10-2t 2 (4-t)2+4=(5-t)2

4、,5一2_ I.占PH=-1.卢2t呈2 8 例2.(2020长宁二模）如图7,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n经过点A(2,-2)，对称轴是直线x=L顶点为点B,抛物线与y轴交千点c.(l)求抛物线的表达式和点B的坐标：(2)将上述抛物线向下平移l个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交千点D,求tillCD的面积；(3)如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA千点Q,BQ l,求点P的坐标PQ 5 y,432l-4-3-2-1 0-1-2-3-4 图71 2 3 4 X 解：(l)抛物线y=x2+n仄n经过点A(2,-2)，对称轴是n线x=l:.勹勹n=

5、2,解得仁言占抛物线的解析式为y=x2-2.x-2,顶点B的坐标足(1,-3)(2)抛物线y=x2-2.x-2与y轴父千点C(0,-2)平移后的抛物线表达式为：y=x2-2.x-3,点D的坐标是(3,0)过点B做BH.ly轴，垂足为点H(2分）(2分）(2分）1 l l l:.s凶co=S梯形BHOD-St,JJCf/SACOD=x(l+3)x 3-xlxl-x2x3=2(2分）2 2 2 2(3)？直线OA经过点0(O,O)、A(2,-2)，占直线OA的表达式为：y=-x设对称轴与直线OA相交千点E,则ECI,-1):B(l,-3):.BE=2(1分）过点P作PF/IEE，交直线OA千点F设

6、点PCt,t2-2t-2)C tl)，则F(t,-t):.PF=t2-t-2(I分）:PFIIBE:BE BQ 1.2 1.-=.-=-=PF PQ 5-t2t2 5:.t2-t-12=0:.t=-3（舍去）或t=4:.P(4,6)(1分）(1分）霆ZO1.(2021闵行区二模24)C 12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-J?-+mx+n经过点A(5,0)，顶点为由B，对称轴为直线x=3,且对称轴与沿自交于点C.直线)l=/cx+b,经过点A,与线段BC.交于点E.(l)求抛物线y=-x2+1nx+n的表达式；(2)联结BO、EO.当!:.BOE的面积为3时，求直线y虹b的表达式；(

7、3)在(2)的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD,当BD=EO时，求乙DAO的余切值【分析】（1)利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解：(2)先求出顶点B坐标，根据丛BO邸勺面积为3求出BE,进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；(3)分BDIIOE和BD与Ov下平行两种情况，分别求出庄肚示，利用余切定义即可求解【解答】解：（1)？抛物线)I=-x2+,nx+n经过点A(5,3),:三+n=o:抛物线表达式为y=-灶6x-6;(2)把x=3代入y=-入，2+2x-5得y=4,：抛物线顶点B坐标为(5,4),山L.BOE的面积为3得9.BEX3=3,2.BE=2,？点E在线段B

8、C上，:.点E坐标为E(3,3),把点E(3,2)和点A(8,5K+b=0,8k+b=2:.忙8l,直线表达式为y=-x+5;(3)如图，CD若BDIIOE,则匹边形OEB趴为平行四边形，则点趴坐标为(0,2),连接D外，:.cot乙趴AO上至，D10 6 综上所述，此时L.DAO的余切值关旦或旦6 6 y 乌卜、一一一：仁、:B、r?D lrI!A o l I扣【点评】本题为一次函数综合题，考查了一次函数性质，求一次函数解析式，余切定义F 等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第(3)步时要注意分类讨论思想应用3 2.(2021虹口二模24)如图8,在平面直角坐标系xOy中，直线I:y=x+

9、b与x轴、y轴分别4 K 9 交千点A、B,与双曲线H:y=交千点p(2,一），直线x=m分别与直线l和双曲线H交千点2 E、D.(1)求庥旧的值；(2)当知在线段AB上时如果ED=BO,求面值；(3)点C是沿由上一点，如果匹边形BC!JE是菱形，“L,求点C的坐标一只答案】21.解(1)把点p(2,由题意：把归(2,9 k)代入y=中，得k=9.2 x.(2分）9)代人3 y=x+b 111,得h=3.(2分）2 4 3 9 3 由题慈：E(m,=:-m+3),D（加一）则ED=(=:-m.+3)-.:.9 4 m 4 m.ED=BO,且BO=3，3 9.(-m+3)-=3.4 m 解得n2

10、石，m2=2石.：如布线段ABf:,:.mO.n的值为23.(1分）(2).(l分）.(1分）.(1分）(3)易得BE=CD当mO,点E在点D上方时，1(m-0)2+(m+3-3)2=尸 （1分）4 l6 BE尸二16 4._.DE=BE,3 9 5 3.(m+3)=m.解得ml=3,I屯(舍）4 m 4 2 l5 3:.BC=DE=,C(O,-).4 4.(1分）当niO，点囡点D上方时，当吩0,点巩E点E上方时，9 3 5-（-m+3)-m，方程无实根m 4 4 3 9 5(.:.m+3)=m,方程无实根4 m 4 9 3 5-(-m+3)=-=-m.m 4 4 解得m1=-3（舍），四3

11、 2 15 39:.BC=DE=,C(O,).8 8 3 39 综上所述C(O,-）或C(O,)4 8(2020浦东二模）在平面直角坐标系xOy中，.(1分）3.(1分）已知抛物线y=-x2+bx+c与X轴交千点A和点B（点A在点B的左侧），与Y轴交千点C(0,3)，对称轴是直线x=l.,6543、会1.3 2.I l.2 l 123S6l(1)求抛物线的表达式；(2)直线MN平行于X轴，与抛物线交于M、N两点（点M在点N的左侧），且MN=AB，点C关于直线MN的对称点为E,求线段OE的长；4(3)点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP、EP,EP交线段BC于点F,当sl;ClF:s

12、l;CEF=l:2时，求点P的坐标【整体分析】(1)根据抛物线与Y轴交千点C(0,3)可得出e的值，然后由对称轴是直线x=l可得出b的值，从而可求出抛物线的解析式；(2)令y=O得出关千x的一元二次方程，求出x，司得出点A、B的坐标，从而得到AB的长，再求出MN的长，根据抛物线的对称性求出点M的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，再根据点的对称可求出OE的长；(3)过点E作x轴的平行线EH,分别过点F,P作EH的垂线，垂足分别为G,Q,则EF EG FG FG/PQ,先证明LEGFcnL,EQP,可得-=设点F的坐标为(a,-a+3)，则EP EQ PQ 1 5 EG=a,FG=-a+

13、3-=-=-a+，可用含a的式子衣示P点的坐标，根据P在抛物线的图象上，可得2 2 关千a的方程，把a的值代入P点坐标，可得答案【满分解答l解：（l)将点C(0,3)代入y=-x2+bx+c得c=3,又抛物线的对称轴为直线x=l,b 炉=1,解得b=2,-2 占抱物线的表达式为y=-x2+2x+3;(2)如图，,65.2.3 令y=()，则x歼2x+3=()，解衍X1=-l,X2=3,:.点A(-1,0),B(3,0)，占AB=3-(-1)=4,3 3:MN=AB,:.MN=.:.X4=3,4 4 根据二次函数的对称性，点M的横坐标为l一 一，3 1 2 2 代入二次函数表达式得，1 y三）+

14、2x(-)+3=,:.点M的坐标为（一员，又点C的坐标为(0,3)，点C与点E关千直线MN对称，7 5:.CE=2X(3-)一，4 2 1:.OE=OC-CE一；2(3)如 图，过点E作x轴的平行线EH,分别过点F,p作EH的垂线，華足分别为G,Q,则FG/PQ,、e3.设且线BC的解析式为y=kx+b(k#-0),心=+3b=0，解得bk=3-l,:直线BC的解析式为y=-x+3,1 5 设点F坐标为(a,-a+3)，则EG=a,FG=-a+3-:-=-a+-:-.2 2.FG/!PQ,:.6EGF(/)丛EQP,EF EG FG=.EP EQ PQ.:s6cN:s,Cff=1:2,:.FP

15、:EF=l:2,:.EF:EP=2:3.EF EG FG 2.=-.EP EQ PQ 3 3 3 3 3 5 3.EQ=-EG=-a,PQ=-FG=-(-a+)a一，15 2 2-2 2 2 2 4 3 3.1 5 1 3 l 7 3 3 1 7.,Xp=-a,yp=-a+-+-=a+，即点P的坐标为(-a,-a+2.,.2 4 2 2 4 2.2 4 又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，3 17 9 2 心a=-=:-a2+3a+3，化简得9a2-18a+5=0,4 4 I.5 解得a=或a一，符合题总，3 3 点P的坐标为（1 15.5 7 2.4）或（一，一）2 4.【点咕】本题是二次

16、函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及解一元二次方程笘知识，综合运用相关性质是解题的关键4.(2020青浦二模）如圈7,在平面直角坐标系x0户杠二次函数y=a x2-4a x+3的图像与入轴正半轴交千点A、B,与y轴相交千点C,顶点为D,且tan乙CA0=3.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP,交对称轴于点F,当s,.CDF:s,.FDP=2:3时，求点郘勺坐标；(3)在（2)的条件下，将APCD沿直线叭翻析，当点甩汝子与点缰胫沿寸，析痕叭交x轴千点11!,交y轴千点j,求OM 的值ON B X X D 图

17、7D 备用图解：（1)：二次函数y=ax2-4ax+3的图像与y轴交于点C,.点邵坐标为(0,3).OC=3 (1分）联结AC,存Rt丛A”中，oc tan乙CJ/0=3.OA=l (1分）将点A(1,0)代入y=ax2-4ax+3,得a-4a+3=0,(1分）解得：a=l.所以，这个二次函数的解析式为y=x24x+3.(1分）(2)过1肛作cc.LDF,过切作印上DF,垂足分别为如？、().抛物线y=x2-4x+3的对称轴为有线x=2,:.CG=2.(1分）S CG 2 6CDF.-=-,.PQ=3.(1分）SUDP PQ 3 点序勺横坐标为5.(1分）把x=5代入y=x2-4x+3,得y=8.点序勺坐标为(5,8)(1分）(3)过知作PH.LOJI,垂足分别为点JI知的坐标为(5,8):.0民，PI-1=8.(1分）了将6PCD.沿直线扒翱折，点冲今好与点项i合，.MN.lOP,.乙0N估乙i窃芍00.(1分）又，乙POJ-Jt乙NO户9O,乙OMI仁乙POH.(l 分)OM _ PH 8:.tan乙ONM=示tan乙POM面.(1分）