2017年数学真题及解析_2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）.pdf

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1、2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口）一、选择题：本 题 共12小题，每 小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）J+L=（）1+iA.l+2iB.1-2i C.2+i D.2-i2.（5 分）设集合 A=1,2,4,B=x x2-4x+m=0.若 A Cl B=1,贝1J B=（）A.1,-3 B.1,0 C.1,3 D.1,53.（5分）在明朝程大位 算法统宗中有这样的一首歌谣：远看巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

2、共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A.6 B.5 C.4 D.34.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为2x+3y-3405.（5分）设x,y满足约束条件.2x-3y+30，则z=2x+y的最小值是（y+30)A.-15 B.-9 C.1 D.96.（5 分）安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种7.（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说

3、:你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=-l,则输出的5=（）开始A.2 B.3 C.4 D.529.（5 分）若双曲线C：4-2a2，2二1（a0,b 0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为（）A.2 B.V3 c-V2 D.310.（5 分）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ZABC=

4、120,AB=2,BC=CCi=l,则异面直线ABi与 BCi所成角的余弦值为（）A.返 B.2/SD.返2 5 5 311.（5 分）若 x=-2 是函数f（x）=（x2+ax-1）ex】的极值点，则 f（x）的极小值为（）A.-1 B.-2e 3 C.5e 3D.112.（5 分）已知AABC是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则市（PB+PC）的最小值是（）A.-2 B.-C.-D.-12 3二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5 分）一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次.X 表示抽到的二等品件数，则 DX

5、=.14.（5 分）函数 f（x）=sin2x+V3cosx-（xG 0,j）的最大值是.4 2n 115.（5 分）等差数列 a j 的前n 项和为Sn，a3=3,S4=1 0,则 工.k=lSk16.（5 分）已知F 是抛物线C：y2=8x的焦点，M 是C 上一点，FM的延长线交y轴于点N.若 M 为 FN的中点，则|F N|=.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分。17.（12 分）ZSABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 s

6、in（A+C）=8sin2A.2(1)求 cosB；(2)若 a+c=6,ZABC的面积为2,求 b.18.(1 2分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：k g),其频率分布直方图如图：5 0 k g,新养殖法的箱产量不低于5 0 k g,估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量V50kg箱产量250kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确 至 U 0.01).附：长2=_ n(ad-bc)?_(a+

7、b)(c+d)(a+c)(b+d)19.(1 2分)如图，四棱锥P-A B C D中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828ABCD,AB=BC=XAD,ZBAD=ZABC=90,E 是 PD 的中点.2(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱P C上，且直线B M与底面ABCD所成角为4 5 ,求二面角M-AB-D的余弦值.BMD一220.(1 2分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：工 _+丫2=1上，过M作x轴的2垂线，垂足为N,点P满足而=班而.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且加而=1

8、.证明：过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦点F.21.(12 分)已知函数 f(x)=ax2-ax-x ln x,且 f(x)20.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x o,且e、V f(xo)0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)2 4；(2)a+bW2.2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口）参考答案与试题解析一、选择题：本 题 共12小题，每 小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）-5+1=（）1+iA.l+2iB.1-2i C.2+i D.2-i【分析】分子和分母同时乘以分母的共辗复

9、数，再利用虚数单位i的幕运算性质，求出结果.解答解：3+1,=（3+1）（1-1）=4222-i,1+i（l+i）（l-i）2故选：D.【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的基运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共辗复数.2.（5 分）设集合 A=1,2,4）,B=x|x2-4x+m=0.若 AO B=1,则 B=（）A.1,-3 B.1,0 C.1,3 D.1,5【分析】由交集的定义可得IG A且1 G B,代入二次方程，求 得m,再解二次方程可得集合B.【解答】解：集合 A=1,2,4,B=x x2-4x+m=0.若 A P B=1,则 1WA 且 1WB,可

10、得1-4+m=0,解 得m=3,即有 B=x.x?-4x+3=0=1,3.故选：C.【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题.3.（5分）在明朝程大位 算法统宗中有这样的一首歌谣：远看巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的2 倍，共有 381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A.6 B.5 C.4 D.3【分析】设塔顶的a i盏灯，由题意 a/是公比为2 的等比数列，利用等比数列前n 项和公式列出方程，能求出结果.【解答

11、】解：设塔顶的a i盏灯，由题意 a j是公比为2 的等比数列，解 得 91=3.故选：D.【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.4.（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90n B.63n C.42n D.36n【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半,即可求出几何体的体积.【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，V=n32X10-n32X6=63n,2故 选:B.

12、【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.r2x+3y-30，则 z=2x+y的最小值是（）y+30A.-15 B.-9 C.1 D.9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可.2x+3y-3 0的可行域如图：.y+30z=2x+y经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由 尸3 解得A（-6,-3）,12x-3y+3=0则 z=2x+y的最小值是：-15.故选：A.【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力.6.（5分）安 排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A

13、.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可.【解答】解：4项工作分成3组，可得：,2=6,安 排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可 得:6 X A：=3 6种.故选：D.【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力.7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人

14、的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩-乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）玲乙看到了丙的成绩，知自己的成绩少丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自己的成绩了.给乙看丙成绩，乙没有说不知道自己的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩.给丁看甲成绩，因为

15、甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良,丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自己的成绩了故选：D.【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话，属于中档题.8.（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=-l,则输出 的 除（)丽/俞jA.2 B.3 C.4 D.5【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S,K值，当K=7时,程序终止即可得到结论.【解答】解：执行程序框图，有S=0,K=l,a=-l,代入循环,第一次满足循环,S=-1,a=l,K=2；满足条件，第二次满足循环，S=l,a=-1,K=3；满足条件，第三次满足循环，

16、S=-2,a=l,K=4；满足条件，第四次满足循环，S=2,a=-l,K=5；满足条件，第五次满足循环，S=-3,a=l,K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3,a=-1,K=7；K W 6不成立，退出循环输出S的值为3.故 选:B.【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础.2 29.（5分）若双曲线C：工一-（a0,b 0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=42,2a b所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A.2 B.V3 c-V 2 D.23【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.2 2【解答】解：双曲线C：-“l（

17、a0,b 0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=O,2,2a b圆（x-2）2+y2=4的圆心（2,0）,半径为：2,2 2双曲线C：号-工/1（a0,b 0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得a b的弦长为2,可得圆心到直线的距离为：石寸=0=j 2 b|,2 2解得：.”二短,可得e2=4,即e=2.2 oc故选:A.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力.10.（5 分）已知直三棱柱 ABC -AiBiC i 中，ZABC=120,AB=2,BC=C C i=l,则异面直线ABi与BC i所成角的余弦值为（）A.返 B.2Z1P.D.返2 5 5 3

18、【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB,BBi和BiCi的中点，得出ABi、BCi夹角为M N和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ,M P和N M N P的余弦值即可.【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁.【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB,BBi和BiC i的中点，则ABi、BCi夹角为M N和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0,三 ）,2可知1 M N=lA B i=l,2 2NP=J_BCi=返；2 2作BC中点Q,则PQM为直角三角形；VPQ=1,M Q=1A C,2ABC中，由余弦定理得AC2=AB2

19、+BC2-2ABBCcosZABC=4+1-2 X 2 X 1 X （-）2=7,，A C=V 7，MQ=近；2_在M QP中，M P=&/奇率；在PM N中，由余弦定理得,“NP理亚22MNNP 除=#产）：-叵QV2 XV 5 yV2 5TXT又异面直线所成角的范围是（0,二 ,2.AB1与BCi所成角的余弦值为逗.5【解法二】如图所示,补成四棱柱ABCD-A iB iJD i，求NBC iD即可；BC产 料,BD=22+12_2 X 2 X 1 X c o s 6 Qo=73CID=A/5，B C12+B D2=C1D2/.ZDBCI=90O,/.cos Z BCID=2 =V .遍5故

20、选：C.【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题.1L(5分)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e*】的极值点，则f(x)的极小 值 为()A.-1 B.-2e-3 C.5e-3D.1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求 出a,然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.【解答】解:函 数f(X)=(x2+ax-1)ex l,可得 f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex l,x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex 1 的极值点，可得：-4+a+(3-2a)=0.解得a=-l.可得 f(x)=(2x

21、-1)ex-1+(x2-x-1)ex l,=(x2+x-2)e/i,函数的极值点为：x=-2,x=l,当xV-2或x l时，f (x)0函数是增函数，xd(-2,1)时，函数是减函数，x=l 时，函数取得极小值：f(1)=(I2-1-1)e1 1=-1.故选：A.【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力.12.(5分)已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则瓦(PB+PC)的最小值是()A.-2 B.-Me.-AD.-12 3【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.【解答】解：建立如图所示

22、的坐标系，以BC中点为坐标原点，贝U A(0,遥)，B(-1,0),C(1,0),设 P (x,y),则 苗(-x,V 3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(l-x,-y),则而(PB+PC)=2x2-2、/+2y2=2x2+(y _返)2 _ _32 4.当x=0,y=返 时，取得最小值2X(-2)=-X2 4 2故选：B.【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每 小题5分，共2 0分。1 3.(5 分)一批产品的二等品率为0.0 2,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取1 0 0 次.X表示抽到的二等品

23、件数，则 D X=1.9 6 .【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可.【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.0 2,n=1 0 0,则 D X=n p q=n p (1 -p)=1 0 0 X 0.0 2 X 0.9 8=1.9 6.故答案为：1.9 6.【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键.1 4.(5 分)函 数 f(x)=s in2x+V g c o s x -(x E 0,2 L )的最大值是 1 .4 2【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出.【解答】解：f(x)=s

24、 in2x+5/3 c o s x -A=1 -C O S2X+A/3C O S X-,4 4令 c o s x=t 且 t e 0,1 ,贝 Ij y=-(t -2 il,4 2当 t=1时，f(t)ma x=l，2即 f(x)的最大值为1,故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15.(5分)等差数列 a j的前n项和为Sn，a3=3,S4=1 0,则V-1 生-.公 Sk-n H-【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可.【解答】解：等差数列 an的前n项和为Sn，33=3,S4=10,S4=2(82+33)=10

25、,可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,Sn=n(n+1),J=2-(!_ _ _),2 Sn n(n+l)n n+1贝ij-1-=21-1一 =2(1-)二乜 SR 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1K 1 K故答案为：_2n_.n+1【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力.16.(5分)已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，F M的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则1FN|=6.【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可.【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0),M是C上一点，F M的延长线交y轴于点N.若M

26、为FN的中点，可知M的横坐标为：1,则M的纵坐标为：2亚，I FN 1 =2|FM|=2 1_2)2+(2 V2_0)2=6.故答案为：6.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分。17.(12 分)ZABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2A.2(1)求 cosB；(2)若 a+c=6,AABC的面积为2,求 b.【分析】(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=

27、TI-B,再利用诱导公式化简sin(A+C),利用降幕公式化简公in?殳,结合sir)2B+cos2B=l,求出cosB,2(2)由(1)可知sinB=&_,利用勾面积公式求出a c,再利用余弦定理即可求出17b.【解答】解:(1)sin(A+C)=8sin2A,2AsinB=4(1-cosB),Vsin2B+cos2B=l,A16(1 一 cosB)2+COS2B=1,/.16(1-cosB)2+cos2B-1=0,/.16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,(17cosB-15)(cosB-1)=0,cosB=-l.；17(2)由(1)可知 sinB=&-,17SAA

28、Bc=-ac*sinB=2,2 ac17,2b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2 X J_LxA.2 17=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,/.b=2.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件 旧养殖法的箱产量低于5 0 k g,新养殖法的箱产量不低于5 0 k g,估计A的概率

29、；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量V 50kg 箱产量250kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附：P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828心 _ _ _ _ _n(ad-bc)?_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【分析】(1)由题意可知：P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分布求得发生的频率，即可求得其概率；(2)完成2 X 2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据

30、频率分布直方图即可求得其中位数.【解答】解：(1)记B表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg,C表示事件 新养殖法的箱产量不低于50kg,由 P(A)=P(BC)=P(B)P(C),则旧养殖法的箱产量低于 50kg：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)X 5=0.62,故P(B)的估计值0.62,新养殖法的箱产量不低于 50kg：(0.068+0.046+0.010+0,008)X 5=0.66,故P(C)的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P(A)=P(B)P(C)=0.62X0.66=0.4092；，A发生的概率为0.4092；(2)2 X 2列联表：箱产量6

31、.635,.有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积:(0.004+0.020+0.044)X 5=0.34,箱产量低于55kg的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068)X5=0.680.5,故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+0-5-6 34弋52.35(kg),0.068新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg).【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题.19.(1 2分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,A

32、B=BC=LD,ZBAD=ZABC=90,E 是 PD 的中点.2(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱P C上，且直线B M与底面ABCD所成角为4 5 ,求二面角M-AB-D的余弦值.BD所以 EF#*AD,AB=BC=1AD,【分析】（1）取PA的中点F,连接EF,B F,通过证明CEB F,利用直线与平面平行的判定定理证明即可.（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M-AB-D的余弦值即可.【解答】（1）证明：取PA的中点F,连接EF,B F,因为E是PD的中点，ZBAD=ZABC=90,A B C ITXD,2；.BCEF是平行四边形，可

33、得CEBF,BFu平面PAB,CEQ平面PAB,二直线CE 平面PAB；（2）解：四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,2ZBAD=ZABC=90,E 是 PD 的中点.取A D的中点。，M在底面ABCD上的射影N在0C上，设A D=2,则AB=BC=1,O P SNPCO=60,直线B M与底面ABCD所成角为45。，可得：BN=MN,CN=ljVIN,BC=1,3 _可得：1+ABN2=BN2,BN=返，M N=3 2 2作 NQLAB 于 Q,连接 MQ,AB_LMN,所以N M Q N就是二面角M-AB-D的平面角，,/1 0-,2二面角

34、M-AB-D的余弦值为：JV10 52、E【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.22 0.(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：i-+y2=l上，过M作x轴的2垂线，垂足为N,点P满足而=近而.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且 瓦 国1.证明：过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.【分析】(1)设M (x o,y o),由题意可得N (x o,0),设P (x,y),运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；(2)设 Q(-3,m),P (J c o sa,J si na),(

35、0 W a V 2 n),运用向量的数量积的坐标表示，可 得m,即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求 得OQ,P F的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0,即可得证.【解答】解：(1)设M (x o,y o),由题意可得N (x o,0),设P (x,y),由点P满足而=近而.可 得(x -x o，y)=72(。，No)，可得 x -x o=o r y=艮 口 方 X o=x 9 y o=-=-,2 2 2代入椭圆方程+y2=i,可得工一+心1,2 2 2即有点P的轨迹方程为圆x?+y2=2；(2)证明：设 Q(-3,m),P (V2sinCl即有 Q(-3,3 c o s ),V2si

36、nCl2椭圆标+y2=i的左焦点F (-1,0),由 丽 云(-1-V 2cosa,-扬na)(-3,3。4乎、)Vasina=3+3、/%osa-3(l+cosa)=0.可得过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.另解：设 Q(-3,t),P (m,n),由而西=1,可 得(m,n)(-3-m,t-n)=-3m-m2+nt-n2=l,又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2,即有 nt=3+3m,又椭圆的左焦点F (-1,0),PF*0Q=(-1-m,-n)(-3,t)=3+3m-nt=3+3m-3-3m=0,则 京L贡可得过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦点F.【点评】本题考查轨迹

37、方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0,考查化简整理的运算能力，属于中档题.21.(12 分)已知函数 f(x)=ax2-ax-x ln x,且 f(x)20.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点xo，且e f(X。)2 2.【分析】(1)通过分析可知f(x)2 0等价于h(x)=ax-a-InxO,进而利用h(x)=a-L可得h(x)min=h(1),从而可得结论；x a(2)通 过(1)可知 f(x)=x2-x-xlnx,记 t(x)=r(x)=2x-2-Inx,解

38、不等式可知t(x)min=t()=ln2-l 0,从而可知f (x)=0存在两根Xo,X2，利用2f(x)必存在唯一极大值点Xo及XoL可知f(Xo)f(1)=工e e e2【解答】(1)解：因为 f(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-Inx)(x0),则 f(x)2 0 等价于 h(x)=ax-a-InxO,求导可知 h(x)=a-L.x贝i j当a W O时h，(x)l时，h(xo)0.因为当 O V x v L时 h，(x)V 0、当 x 工时 M (x)0,a a所以 h(x)min=h(L),a又因为 h(1)=a-a-lnl=0,所以耳1,解得a=l；a另解：因为f(1)

39、=0,所以f(x)2 0等价于f(x)在x 0时的最小值为f(1),所以等价于f(x)在x=l处是极小值，所以解得a=l；(2)证明：由(1)可知 f(x)=x2-x-xlnx,fz(x)=2x-2-Inx,令 F(x)=0,可得 2x-2-lnx=O,记 t(x)=2x-2-Inx,贝U t (x)=2-工x令 t，(x)=0,解得：x=,2所以t(x)在区间(0,1)上单调递减，在(工，+8)上单调递增，2 2所以 t(x)min=t()=ln2-1 l可知 f(xo)(xo-x 2)max=-2x0 22 2 4由 f，(L)VO 可知 xoL f(1)=A-；e e 2e综上所述，f(

40、x)存在唯一的极大值点x o,且e 2 f(xo)则三yo=4 y0 xV|OM|I OP I=16,；.爪2+闯16+丫 户6,2即(x2+y2)(1+匚)=16,/.x4+2x2y2+y4=16x2,即(x2+y2)2=16x2,两边开方得：x2+y2=4x,整理得：(x-2)2+y2=4(xWO),二点P的轨迹C2的直角坐标方程：(X-2)2+y2=4(x#O).(2)点A的直角坐标为A(1,如),显然点A在曲线C2上，|OA|=2,曲线C2的圆心(2,0)到弦0 A的距离6=府五=如,.AOB 的最大面积 S=L|O A|(2+料)=2+73.【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程

41、的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题.选修4-5：不等式选讲(1 0分)2 3.已知 a 0,b 0,a3+b3=2.证明：(1)(a+b)(a5+b5)2 4；(2)a+bW2.【分析】(1)由柯西不等式即可证明，(2)由a3+b3=2转化为包也2 1 2 a b,再由均值不等式可得：(a+b)3-2ab3(a+b)3(a+b)(亘也)2,即可得到(a+b)3或2,问题得以证明.2 4【解答】证明：(1)由柯西不等式得：(a+b)(a5+b5)2(彳7+正 话)2=(a3+b3)2 4,当且仅当J萨后1，即a=b=l时取等号，(2)V a3+b3=2,/.(a+b)(a2-ab+b2)=2,(a+b)(a+b)2-3ab=2,/.(a+b)3-3ab(a+b)=2,.鱼 也 士 生ab,3(a+b)由均值不等式可得：鱼 *=a b W (世坛)2,3(a+b)2(a+b)3-4/.I (a+b)3仑，4.a+b W 2,当且仅当a=b=l时等号成立.【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题