2018江苏数学高考真题.pdf

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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题 第2 0题，共2 0题）。本卷满分为1 6 0分，考试时间为1 2 0分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

2、。参考公式：锥 体 的 体 积 其 中S是锥体的底面积，力是锥体的高.3一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计7 0分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合人=0,1,2,8,B=-1,1,6,8,那么 4 B=.2.若复数z满足i.z=l+2 i,其中i是虚数单位，则z的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .8 999 011(第3题)4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为：/1 1 ；I I:S 1 ;While/6：1+2：S-25；End WhilePrint S5.函数x)=、/l

3、 o g,x-l的 定 义 域 为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为7.已知函数y =s i n(2 x +s)(-9 0力0)的右焦点or b-F(c,0)到一条渐近线的距离为生，则其离心率的值是一9 .函 数/(x)满 足f (*4并/(x以，且 在 区 间(-2,2上，f w =c os ,0 x 2,；则,/V(1 5)的值为|x+|,-2 x 1 24M成立的n的最小值为 .二、解答题：本大题共6 小题，共计9 0 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演1 5.（本小题满分1 4分）/2号 y在平

4、行六面体ABCD-ABCR中，/B（第15题）A 昌，A 4 A.求证：（1）A 8 平 面 a g e；（2）平 面 A B 4 a 平 面A BC.1 6.（本小题满分1 4分）已知 a,分为锐角，t an a=g,cos（a+J 3）=-.（1）求c os 2a的值；（2）求 t an（a-/）的值.1 7 .（本小题满分1 4分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆。的一段圆弧MP N（P为此圆弧的中点）和 线 段M N构 成.已 知 圆。的半径为4 0 米，点 P到/WV的距离为50米.现规划在此农田上 p修建两个温室大棚，大 棚 I内的地块形状为矩形 A 8 C D,大棚H内的

5、地块形状为 8 P,要求/!A,B均在线段M N 上，C,。均在圆弧上.设0 C 与4 匕（第17题/W V 所成的角为人（1）用。分别表示矩形A B C D 和 口）的面积，并确定s i n。的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚I I内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当。为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.1 8.(本小题满分1 6分)如图，在平面直角坐标系xQ y中，椭圆C过点(6g),焦点F卜瓜0)凤 瓜0)，圆0的直径为3 .(1)求椭圆C及圆0的方程；(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P

6、的坐标；直线/与椭圆C交于A B两点.若O A B的面积为华,求直线/的方程.1 9 .(本小题满分1 6分)记 分 别 为 函 数f(x),g(x)的导函数.若存在xeR,满足=g(%)且fx0)=gx0),则称x。为函数/(x)与g(x)的一个 S点”.(1)证明：函数/(x)=x与g(x)=f+2 x-2不存在 S点”；(2)若函数/)=加-1与g(x)=ln x存在“S点”，求实数。的值；(3)已知函数/(幻=-2+，g(x)=l.对任意0 0,判断是否存在Xb 0,使函数/与g(x)在区间(0,”)内存在“S点”，并说明理由.2 0 .(本小题满分1 6分)设U 是首项为4,公差为d

7、的等差数列，依 是首项为*公比为q的等比数列.（1）设4=0,4=1国=2,若|q-区4对 =1,2,3,4均成立，求。的取值范围；（2）若 q=4 0,m G N*,g e（l,。，证明：存在 deR,使得|a“-b”|钠对 =2,3,祖+1均成H,并求d的取值范围（用表示）.数学I试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.口，82.23.904.85.2,+)6.A7.1068.29.亚1 0.-11.-32312.313.9 14.27二、解答题15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论

8、证能力.满分14分.证明：（1）在平行六面体/WCD-48 1GD1中，AB/ZA.因为平面4&C,4 a U平面4 B 1 C,所以48平面4181 c.（2）在平行六面体48 CD-48 1GD1中,四边形48 8 3 1形.（第15题）又 因 为 所 以 四 边 形4BB3 1为菱形,因此又因为 BC8iG，所以A&L8c.又因为 48cB e=8,4 8 u平面 48C,BCu平面 48C,所以A a L平面48C.因为ABiu平面48831，所以平面4 8 8 1 4,平面4 8 c.16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力.满分14分.

9、解：(1)因为 t a n a,，tana=,所以 sin acosa.3 cos a 3因为 sin2 a+cos2 er=1 ,所以 cos2 a=25因 止 匕，cos 2a=2cos2 a-1 =.25(2)因为a,为锐角,所以0+公。兀).又因为 cos(a+/)=所 以 sin(a+/)=Jl-cosya+p)=,因此tan(a+尸)=一2.因为 tan a =3,所以 tan 2a=-?(；一 _ _JA_,3 1-tan-a 7因 止 匕，tan(a-=tan2a-(a+=an 2 tan 吐 包1+tan 2a tan(。+4)2T T17.本小题主要考查三角函数的应用、用导

10、数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）连结P。并延长交M/V于H,则PH_LMN,所以过。作 O E,8c 于 E,贝lj 0E/W N,所以 NC0E=9,M（第17题）故 O E=4 0 c os 9,E C=4 0 s in 9,则 矩 形 ABCD 的 面 积 为 2X4 0C O S9 (4 0 s in i+1 0 )=80 0(4 s in 3c os 0+c os 9),C D P 的面积为x 2 x 4 0 c os i(4 0-4 0 s in j7)=1 6 0 0(c os%s in aos。).2过N作

11、G N MN,分别交圆弧和O E的延长线于G和K,则G K=KN=10.令/G O K=%,贝ljs in a=，诙 (0,46当什 仇，p时，才能作出满足条件的矩形A B C D,所以s in。的取值范围是 L 1).4答：矩形A B C D的面积为80 0 (4 s in 3c os 9+c os 0)平方米，ACD P的面积为1 6 0 0 (c os?-s in?c os O),s in?的取值范围是 L 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3,设甲的单位面积的年产值为4 k,乙的单位面积的年产值为3k(k 0),则年总产值为 4 k x 8O O(4 s in

12、 9 c os 9+c os 0)+3k x：1 6 O O(c os 8-s in 9 c os 0)=80 0 0 k (s in 9 c os 9+c os O),什%，-).设f(。)=s in&os O+c os O,什 诙，-),则 f(&)=cos2 6-sin2 6-sin 6=-(2sin2 6+sin 6-1)=-(2sin 0-l)(sin 6+1).令/(0)=0,得氏色，6当力(%,-)时，r(o)o,所以/(9)为增函数；6当(-,-)时，八，)b 0).又点(右)在椭圆C上,a b-2-3 1 2.所以靛+5,解得a2-b2=3,I =L2因此，椭圆C的方程为三+

13、y 2=l.4因为圆。的直径为片鸟，所以其方程为/+丁=3.(2)设直线/与圆。相切于尸(%,%)5 0,%0),则年+%2=3,所以直线/的方程为丫=-2&-%)+%，p =-%+.%y。%由 由 得 也焉笋,所以=(大 一&)2+。一%)2=(1+48%2(X；-2)(4年+%2)2因为 X；+%2=3,所以6=等 黑 噎 P 2x04-45 x02+100=0,解得k=汨、20舍去)，则为2=g,因此P的坐标为粤当.综上，直线/的方程为y =八+3夜.1 9.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分1 6分.解：(1)函数 f

14、(x)=x,g(x)=X2+2X-2,则 f(x)=1,g(x)=2x+2.由/(x)=g(x)且/(x)=g(x),得卜=丁+2.2,此方程组无解，l=2x+2因此，/(x)与g (x)不存在“S”点.(2)函数/(*)=加-1,g(x)=lnx,则 _ f(x)=2以，g t x)=Lx设 Xo 为/(x)与 g (x)的S 点，由 /(Xo)=g(x)且/(x0)=g (x o),得睡-1 =I n x02/=一%叱-l=lnx ,(*)2o Xg =1即得1呻=，即/=/,贝 卜=_=.2 2（丁）2 2当时，/=*满足方程组（*）,即X。为/（X）与g（X）的“S”点.因此的值为9(

15、3)对任意 00,设一-ar+a.因为/z（0）=0,/z（l）=l-3-a+a=-20.e (1-0)函数/(幻=-/+。，g(x)=,X则 fx)=-2x,g(x)=加)二D .JT由/(x)=g(x)且/(x)=g(x),得-2 x=f.2X=9x e%（l -x0）x此时，满足方程组（*）,即X。是函数/（x）与g（x）在区间（0,1）内的一个“S点”.因此，对任意a0,存在b0,使函数/（x）与g（x）在区间（0,+g）内存在“S点”.2 0.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分1 6 分.

16、解：(1)由条件知：a=(n-V)d,b=2-.因为|4-包区乙对C=l,2,3,4均成立，即1 5-1时 一2，1区I对n=l,2,3,4均成立，即 141,l d 3,342d 45,7 43d 4 9,得2 4 dA.3 2因此，d的取值范围为(2)由条件知：%=bi+5-V)d,b“=Z?ai 若存在d,使得u-a区优(n=2,3,，m+1)成立，即 b+()d bq|即当=2,3,，巾+1 时，。满足/?d -瓦.n-1 n-1因为q e(l,晦,则/2,从而 b.-4 0,对 =2,3,，加+1 均成立.M-1 n-i因此，取“0时，区4对 =2,3,7 +1均成立.下 面 讨 论

17、 数 列 仁二 的 最 大 值 和 数 列 仁 的 最 小 值n-1 n-1(=2,3,m+).当 2c 时，3-2 q”2 ng-q-时 +2 n(q-q)-q”+2,n n 1 n(n 1)n(n 1)当l 0.因此，当24 4加+1时，数 列 单 调 递 增，n-故数列g E的最大值为 H.n-1 m设/(x)=2*(1-x),当 X0 时，fX x)=(ln 2-l-x ln 2)2 0，所以/(x)单调递减，从而)/(0)=1.qI当 24 W?时，_=O 1Z 11 2(1-1)=/(1)1,q n n nn-1因此，当2。4加+1时，数列 弓 单调递减,故数列 仁 的最小值为7/

18、-I m因此，d的取值范围为电直上以叱.m m数学I I （附加题）2 1.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评已知矩阵4=:.（1）求A的逆矩阵41；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点尸（3,1）,求点P的坐标.C.选修4一4：坐标系与参数方程（本小题满分1 0分）在极坐标系中，直线/的方程为外i n（。-6）=2,曲 线C的方程为6P=4 c o s 0,求直线/被曲线C截得的弦长.D.选修4 5：不等式选讲（本小题满分1 0分）若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求f +V +z?的最小值.【必做题

19、】第 2 2 题、第 2 3 题，每题1 0 分，共计2 0分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 2.（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AA1=2,P,Q分别为必当，8 C的中点.（1）求异面直线8 P与A G所成角的余弦值；（2）求直线C G与平面A QG所成角的正弦值.2 3.（本小题满分10分）设w N”，对1,2,，n的一个排列强北，如果当S i,则称（中,）是排列牡，；的一个逆序，排 列 宿，“的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对L 2,3的一个排列2 3 1,只有两个逆序（2,1）,（3,1）,则排列231的逆

20、序数为2.记,为1,2,，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.（1）求/式2）/的值；（2）求2）（*5）的表达式（用/?表示）.数学n(附加题)参考答案21.【选做题】A.选修4一1：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分.证明：连结O C.因为P C与圆。相切，所以O C_ L P C.又因为 P C=2g,OC=2,所以 OP=PC。+OC。=4.又因为。8=2,从而8为R t O CP斜边的中点，所以8C=2.B.选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解：(1)因为 4 =J d e

21、 t(A)=2x 2-l x 3=1.0,所以 A 可逆，从而4一,=-3二-1 2(2)设P(x,办 则 :一 制,所 以 讣 喟=；，因此，点P的坐标为(3,-1).C.选修4一4：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满 分10分.解：因为曲线C的极坐标方程为p=4 c o s。，所以曲线C的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线/的极坐标方程为Qing-。)=2,6则直线/过八(4,0),倾斜角为四，6所以4为直线/与圆C的一个交点.设另一个交点为8,则连结。8,因为。4为直径，从而2所以 AB=4COS =2 G .6因此，直线/被曲线C截得的

22、弦长为2。.D.选修4一5：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.满分 10分.证明：由柯西不等式，得，+丫2+2 2)(1 2 +2 2 +2 2 (犬+2),+2 2)2.因为x+2 y +2 z=6,所以 x?+;/+z?2 4 ,当且仅当4 =2 =三时，不等式取等号，此时x =2,y =z，1 2 2 3 ,3 3所以V+y 2 +z?的最小值为4.22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.解：如图，在正三棱柱ABC-中，设AC,AC1的中点分别为 O,0”贝 ij 08_L0C,O

23、O _LOC,0 00 B,以OB,OC,OQ为基底，建立空间直角坐标系o-%_yz.因为 A8=A4|=2,所以 A(0,-l,0),8(6,0,0),C(0,l,0)，A(0,T,2),g(G,0,2),C；(0,l,2).Cl（1）因为尸为A B的中点，所以p（洋一,从而 B P =（-g,-g,2）,AG =（0,2,2）,故3 s”2g工 还./BP AC|x/5x 2 j 2 2 0因此，异面直线8尸与4 G所成角的余弦值为嚓.（2）因为。为 的 中 点，所以。（g,；,o）,因 止 匕 A Q =（咚,|,0）,A G=（0,2,2）,C G=（0,0,2）.设=（%,y,Z）为

24、平面4Q G的一个法向量，则 AQ.=0,AC =0,即.争+1=。，2 y +2 z =0.不妨取=（6,-i,i）,设直线CC）与平面AQCx所成角为。，贝“s in 0=|cos I CC,n|=-=,/|C C,|-|/i|V 5x 2 5所以直线C G与平面AQG所成角的正弦值为23.【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分.解：（1）记4儿）为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列,有r(l 2 3)=0,*1 3 2)=1,r(2 1 3)=1,*2 3 1)=2,r(3 1 2)=2,a 3 2 1)=3,所以4(0)=1

25、,/(1)=&2)=2 .对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，力=启2)+力 +&0)=5.(2)对一般的n(n 4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12.n,所以(0)=1 .逆序数为1的排列只能是将排列1 2 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所 以)=.为计算以。)，当1，2,n的排列及其逆序数确定后，将F+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，以=+力(1)+5时，(2)=,(2)-3(2)+Z,-i(2)一4 2(2)+力(2)-力(2)+f4(2)九 2 n 7=(-1)+(-2)+4 +(2)=-,因此，应5时，九二士士M