2019年数学真题及解析_2019年天津市高考数学试卷（理科）.pdf

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1、2019年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）设集合 A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xRl x 3,则（ACC）U B=()A.2 B.2,3C.-L 2,3 D.1,2,3,4，x+y-240,2.（5 分）设变量x,y 满足约束条件，x-y+20,x-l,则目标函数z=-4x+y的最大值为（A.2 B.3C.5D.6)3.（5 分）设x 6 R,则“x2-5尤 0”是“|x-1|0,ha b 0）的两条渐近线分别交于点A 和 点 B,且依B|=4|OQ（O 为原点），则双曲线的离心率 为（）A.V2 B.V

2、3 C.2 D.依6.（5 分）已知 a=log52,/=logo.50.2,c=0.5,2,则 a,b,c 的大小关系为（）A.a c b B.abc C.bca D ca0,a）0,|q）|n）是奇函数，将 y=/（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）.若 g（x）的最小正周期为2 n,且 g（2 L）=、巧，则f （S 2 L）=（）4 8A.-2 B.yf2 C.D.28.（5 分）己知a R.设函数=x2-2ax+2a,x l.在R上恒成立，则 的取值范围为（）A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e二、填空题：本大题共6小题

3、，每小题5分，共30分.9.（5 分），是虚数单位，则也二的值为.1+i10.（5 分）（2 x-一）8的展开式中的常数项为8。x311.（5 分）已知四棱锥的底面是边长为企的正方形，侧棱长均为代.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.y二 O-L OpQQ A12.（5 分）设 托R,直 线 双-尹 2=0 和圆，、一,为参数）相切，则。的值y=l+2sin 8为.13.（5 分）设x0,y0,x+2 y=5,则（x+l），g y+l）的最小值为_.Vxy14.（5 分）在四边形 ABCD 中，AD/BC,A B=2 ,AD=5

4、,NA=30,点 E 在线段C 8的延长线上，且 A E=8 E,则 丽 标=.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC中，内角4,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知人+c=2“，3csinB=4 sinC.（I）求 cosB的值；(I I )求 s i n (2 B+2 L)的值.61 6.(1 3 分)设 甲、乙两位同学上学期间，每天7：3 0 之前到校的概率均为2.假定甲、乙3两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(I)用 X表示甲同学上学期间的三天中7：3 0 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数

5、学期望：(I I)设 M为事件”上学期间的三天中，甲同学在7：3 0 之前到校的天数比乙同学在7：3 0 之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.17.（13 分）如图，A E _ L 平面 A B C。，CF/A E,A D/B C,A DL A B,A B=A D=,A E=B C=2.(I )求证：8 尸 平面A Q E；(I I)求直线C E 与平面B D E 所成角的正弦值；(I I I)若二面角E-8。-F的余弦值为工，求线段C F的长.2 218.(13 分)设椭圆工_+?_=1(匕0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴2,2a b长为4,离心率为返.5(I)求椭圆

6、的方程；(I I)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线P B 与 x 轴的交点，点N在 y 轴的负半轴上.若|。2=|。用(O 为原点)，且 OP LMN,求直线P B的斜率.19.(14 分)设 是等差数列，加 是等比数列.已知6/1=4,加=6,历=2 及-2,加=2。3+4.(I )求“和 加 的通项公式；皿1,2k n 2W,*(I I )设数列 Cn 满足Cl =l,Cn=其中依N.bk,n=2k,(i)求数列，/11(c211-1)的通项公式；2n(ii)求 a (肥N*).i=l20.(14 分)设函数f (x)=e co s x,g(x)为 f(x)的导函数

7、.(I )求f (x)的单调区间；(I I)当 X日 生，2L 时，证明f(x)+g(x)(-X)20；4 2 2(I I I)设物为函数M (x)=f(x)-1 在区间(25+2L,2nn+2L)内的零点，其中“e N,4 2IT-2n证明 2mr+xn；-.2 s i nxg-co s x02019年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）设集合 A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|l Wx3,则（A A C）UB=（）A.2 B.2,3 C.-1,2,3 D.1,2,3,4【考点】1H：交、

8、并、补集的混合运算.【分析】根据集合的基本运算即可求AC C,再 求（A C C）U&【解答】解：设集合A =-1,1,2,3,5,C=xe R|l Wx0,x-l,则目标函数z=-4x+y的最大值为（）A.2B.3C.5D.6【考点】7 C：简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.x+y-240,xy+20,【解答】解：由约束条件、，作出可行域如图：x/T,y-l.x=-l联立 x=-l,解得4(-1,1),(x-y+2=0化目标函数z=-4x+y为 y=4 x+z,由图可知,当直线y=4x+z过 A 时

9、，z 有最大值为5.故选：C.【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3.（5 分）设 x R,则“7 -5xOw 是|x-1|1 的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件.【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：；f-5 x 0,.OVxVS,V|x-1|L .,0 x2,：0 xV5 推不出 0cxV 2,0 x0 x5,.0%5是 0 x 2 的必要不充分条件，即x2-5 x 0 是卜-1|0,ba b 0）的两条渐近线分别交于点A 和 点 B

10、,且|4用=4|。回（O 为原点），则双曲线的离心率 为（）A.7 2 B.A/3 C.2 D.匹【考点】KI：圆锥曲线的综合.【分析】推导出F(l,0),准线/的方程为x=7,|AB|=空，O F=,从而b=2 a,a进而c=a 2 +b2=Ja,由此能求出双曲线的离心率.【解答】解：抛物线夕=4 犬的焦点为凡 准线为/.：.F(1,0),准线/的方程为x=-l,2 2与 双 曲 线 工-二=1 (a 0,60)的两条渐近线分别交于点A 和 点 8,且|AB|=2,2a b4O F(。为原点)，生，|O F|=1,.生=全:，b=2 a,a a ,c=y +b 2=V a,双曲线的离心率为

11、e=a故选：D.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.6.(5 分)已知 a=l o g 5 2,6=l o g o.5 0.2,c=0.502,则 a,b,c 的大小关系为()A.a c b B.a h c C.h c a D.c a l,a、c 都小于1.再对a、c的表达式进行变形，判断a、c 之间的大小.【解答】解：由题意，可知：a=l o g 5 2 l,/?=l o g o.5 0.2=lOg _15 _1=l o g 2 5 l o g 2 4=2.7C=0.50 2 l o g 2 4=2 5 ,

12、J _.log25 版.ac,:.ac 0,3 0,|p|n)是奇函数，将 y=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若 g(x)的最小正周期为2 m 且 g(工)=&,则/(二)=()4 8A.-2 B.-5/2 C.V2 D.2【考点】HJ：函数y=A sin(3x+cp)的图象变换.【分析】根据条件求出中和3 的值，结合函数变换关系求出g(x)的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可.【解答】解：:f(x)是奇函数，.年=0,贝 lj/(x)=Asin(u)x)将 y=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(

13、纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).即 g(x)=Asin2 g(x)的最小正周期为2n,-=2m 得 u)=2,则 g(x)=Asinx,f(x)=Asin2r,若 g(三)=A/2 则 g(W-)=Asin生=叵=&,即 A=2,4 4 4 2则/(x)=2sin2x,则f (12L)=2sin(2 x lZ L=2 sin 2 IL=2 义 返=如，8 8 4 2故选：C.【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出4,3 和 5的值是解决本题的关键.8.(5分)己 知“6 R.设函数/(x)=，x2-2 a x+2 a,x l.在R上恒成立，则。的取值范围为()A.

14、0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e【考点】3 R：函数恒成立问题.【分析】分2段代解析式后，分离参数m再构造函数求最值可得.【解答】解：当工=1时，/(1)=1 -2+2 4=1 0恒成立；2当 x l 时，f(x)=x-恒成立，I n xi 1I n x x.令 h(x)=,则 力(x)=-g _=n x TI n x(I n x 产(I n x)之当 x e 时，/?(x)0,h(x)递增，当 I V xV e 时，h(x)2=0和圆，X一,cos,（0为参数）相切，y=l+2sin 8圆 心（2,1）到直线分-），+2=0的距离:d=1 2：T+2 _=2=r,V a2+1解得a

15、=-.4故答案为：旦.4【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力，是基础题.13.（5 分）设 x0,y0,x+2y=5,则&+1）g y+l）的最小值为 气 石.Vxy 一 一【考点】7F：基本不等式及其应用.【分析】利用基本不等式求最值.(x+1)(2 y+l).2 x y+x+2 y+l则【解答】解：x0,y0,x+2 y=5,6Vxy由基本不等式有：.=2 百7 x y2-7 x y 6V x y12M,忌=S当且仅当2 4=-时，V x y即：孙=3,x+2 y=5 时，即：f x-3 或,时；等号成立，I尸 1 1尸了故（x+l

16、 g+l）的最小值为4；V x y故答案为：4/3【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.1 4.（5 分）在四边形 A BCD 中，AD/BC,A 8=2 我，AD=5,/A=3 0 ，点 E 在线段C B的延长线上，且 A E=B E,则 而 蒜=-1 .【考点】9 0：平面向量数量积的性质及其运算.【分析】利用江湘标作为基底表示向量而和标，然后计算数量积即可.【解答】解：AD/BC,Z A=3 0 ,在等腰三角形A B E 中，/B E A=1 2 0 ,又 A B=2 我，；.A E=2,箴=咯 而，5.A E =A B +B E -A E =A B-A D5又丽二就

17、+而 二-屈+菽，B D，A E=(-A B+A DX A B-A D)5=-A B +|A B|A D|c o s A A D=-1 2+工X5X2 X巨-2乂2 55 2 5=-1故答案为：-1.【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题.三、解答题：本大题共6 小题，共 80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 5.（1 3 分）在 A B C中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知6+c=2 a,3 c s i n B=4 sinC.(I)求cosB的值；(II)求 sin(2B+-)的值.6【考点】HT：三角形中的几何计算.【分

18、析】(I)根据正余弦定理可得;(II)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得.【解答】解(I)在三角形ABC中，由 正 弦 定 理 一 =,得 加 inC=csinB,又由sinB sinC3csinB=4sinC,得 sinC=4asinC,即 3 6=4 a.又因为/?+c=2m 得=3 ,由余弦定理可得3 32,2,2COSW+c b2ac2,4 2 16 2a宁 二 a22 a,a4(II)由(I)得 sinB=心短 弓=零,从而 sin2B=2sinBcosB=-Y 正,8cos2B=cos2/?-sin2B=-,8 _ _故 sin(2B+)-sin2Bcos+cos2Bsi

19、n=-且 葭 返-1 X L=-1+.6 6 6 8 2 8 2 16【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.属中档题.16.(13分)设 甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2.假定甲、乙3两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(I)用 X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望;(I I)设 M 为事件”上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

20、【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差.【分析】(/)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且 每 天 7：3 0 之前到校的概率均为2,故 XB(2),可求分布列及期望；3 3(/)设乙同学上学期间的三天中7：30 到校的天数为Y,则 YB(3,2),且 例=93=3,Y=1UX=2,y=0 ,由题意知X=3,y=l与X=2,y=0互斥，且X=3与y=i,x=2与y=o相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：(/)甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且 每 天7：30之前到校的概率均为2,3故 XB(3,2),3从而 P(X=&)=k(1.)3-

21、k,%=0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为：随机变量X的期望E(X)=3 x 2=2.3X0123P1272_4827()设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为匕 则y8(3,2),3且M=x=3,y=iux=2,r=o),由题意知x=3,y=i与x=2,y=o互斥，且x=3与y=i,x=2与y=o相互独立，由(/)知，P(M)=p(x=3,y=iUx=2,y=o=尸(x=3,y=i+Px=2,Y=0=p(x=3)P(y=i)+p(x=2)P(y=o)x-3-x 27 9 9 27 243【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考

22、查运算概率公式解决实际问题的能力.17.(13 分)如 图，AE_L平面 ABC。，CF/AE,AD/BC,AD1.AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(I)求证：BF平面A)；(II)求直线CE与平面8OE所成角的正弦值；(III)若二面角E-B D-尸的余弦值为上，求线段C尸的长.3【考点】MJ：二面角的平面角及求法.【分析】(I)以A为坐标原点，分别以正，AD,标所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求得4,8,C,。,的坐标，设得尸(1,2,人).可得族=(,0,0)是平面AOE的法向量，再求出而=(0,2,h 由 而 屈=0，且直线8FC平面AOE,得8F平面AOE：(II)求

23、出而=(-1,-2,2)，再求出平面BOE的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面3DE所成角的余弦值，进一步得到直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(III)求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为工列式求线段C尸的3长.【解答】(I)证明：以A为坐标原点，分别以标，AD.标所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，可得 A (0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设 CF=h(/i 0),则F(1,2,h).则标=(1,Q,)是平面4OE的法向量，又 而=(0,2,h 可得BFAB=0.又；直线BRf平面4E,平面A DE

24、；(I I)解：依题意，而=(-1,1,0)，BE=(-1,0,2 CE=(-1,-2,2)-设 丁(x,y,z)为平面BCE的法向量，则y岁X+产。,令zf得 主 2,1).n，BE=-x+2z=0-*-c o s =CE-n4ICElInl9，直线C E与平面B D E所成角的正弦值为且；9（HD解：设 去（x,y,z）为平面8。尸的法向量,则，二+产。,取 口，可得需（,令m BF=2y+hz=0 h由题意,经检验,【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题.2 21 8.（1 3分）设椭圆（”6 0）的左焦点为

25、F,上顶点为8.已知椭圆的短轴2 ,2a b长为4,离 心 率 为 返.5（I）求椭圆的方程；（I I ）设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线尸3与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|C W =|O f l （0为原点），且 0 P L M N,求直线P B的斜率.【考点】K4：椭圆的性质.【分析】（I ）由题意可得6=2,运用离心率公式和a,b,c的关系，可 得a,c,进而得到所求椭圆方程;(I I )B (0,2),设P B的方程为丫=丘+2,联立椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标,由O P J _ M M运用斜率之积为-1,解方程即可得到所求值.【解答】解：(1 )由题意可

26、得2 8=4,即 人=2,e=返，a2 a 5解得。=遍，c1,2 2可得椭圆方程为必+匚=1;5 4(I I)8 (0,2),设尸8的方程为丫=履+2,代入椭圆方程4/+5/=2 0,可 得(4+5 必)/+2 0f cv=0,解得x=-迎 或x=0,4+5 k 2即有 p(-,-2k 82.10 k2.),4+5 k 2 4+5k2ykx+2,令 y=0,可得 M(-Z,0),又 N (0,-1),0 P L M N,可得8-1卜二 _=7,解得=a通，-20k 5k可得P B的斜率为 2场.5【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题.

27、19.(14分)设 板 是等差数列，为 是等比数列.已知 1=4,=6,历=2及-2,加=2。3+4.(I )求 和 加 的通项公式;1,2kCnC2k+1,(I I )设数列 cn 满足C 1=l,C n =其中蛇N、bk，n=2k,(/)求数列 2。(。2口 一 1)的通项公式；2a(H)求 aid(n N*).i=l【考点】8 4：等差数列的通项公式；8 8：等比数列的通项公式；8 E：数列的求和.【分析】（I ）设等差数列 加 的公差为d,等比数列 为）的公比为q,利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出 斯 和 氏 的通项公式.(I I )(/)由 a2 n(。2 十7)=

28、（岳-1）,能求出数列 a 2 n（。2 广 1）的通项公式2 n 2 n 2 n 2 n E a,ci=ai+ai(ci-1)=ai(0.-1)=i=l i=l i=l i=l 2 2(2n x 4+?3 号 nnX3)+(9 x 4 1-1)，由此能求出结果.i=l【解答】解：(I )设等差数列 a,的公差为d,等比数列 为 的公比为q,依题意有：6 q=6+2 d(d=3，解得工，.6 q=12+4 d q=2：.an=4+(/-1)X 3=3 n+1,加=6 X 2 I =3 X 2 .1,2k n 2k4-1,*(0)(i)I 数列 C n 满足 C l =l,C n =其中髭 N.

29、bk n=2k,.a2 n(C 2=-I)=a (加-l)=(3 X 2 +1)(3 X 2 -1)=9 X 4”-1,乙 J J 2 n，数歹l j 2n-1)的通项公式为：a2 n (c2 n _ 1)=9 X 4-1.2 n 2 n 2 n 2 n(而)w ci=ai+ai(ci-1)J=a(c-1)i=l i=l i=l i=l 2 2(2n X 4+2-1)-X3)+r(9 X 41-1)2 i=l=(3 X 22/,-|+5 X 2,r l)+9*4(1 4 喝1-4=2 7 X 22,?+1+5 X 2z r 1-/7-12.(z?EN*).【点评】本题考查等差数列、等比数列通项

30、公式及前项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.2 0.(14 分)设函数/(x)=e cos x,g(x)为/(x)的导函数.（I ）求/（x）的单调区间;(n)当x e 工，2 L 时，证明/a)+g(x)(-x)2 o；4 2 2(I I I)设X”为函数(x)=/(JC)-1 在区间(2TT+W-,2 n+2 L.)内的零点，其中 e N,4 2-2 nn证明 2 im+2 L-xn 2 k兀+旦L)(髭Z)时,4 4f(x)0,f(x)单调递增；(I I )记 h(x)=f(x)+g (x)(_Y),依题意及(I ),得至lj g(x)=(cos x

31、-s iar),2由co 0，得2 L _y4 f(Vn)屋2eT M _ 鼠 e-nL n g(yn)-g(yn)g(y0)eyo (si nyo-c o s yQ)s in x o-c o s x。，IT-2n n从而证得 2 nn+X n c o s x,得/(x)0,f(x)单调递减；当(2k 兀/人,o k J T(%EZ)时，有 s in x 0,f(x)单4 4调递增.y a)的单调增区间为 2k J i且匚2k兀+(髭z),单调减区间为,2k n+I4 4 4(依 Z)；(II)证明：记 h(x)=于 3+g(x)(-Y).依题意及(I),2有 g(x)=F (cosx-sin

32、 x),从而 h(x)f(x)+g+g(%)(-1)2g(x)(_ _Y)o.2因此，h(x)当 xe ,4在区间 J L,_2L 上单调递减，有力(X)/()=/(3 _)=o.4 2 2 2上口时，f (x)+g(x)(-x)，0；2 2(I I I)证明：依题意，U (切)=r(X)-1=0,即u n w I o A 八=1，、ITi己 -2/?ir,则(,4兀、口,/、一 y x-2nR/、-A K jyn)-e acosyn=e a cos(xn-2 n )=e2nn(xGN).由/(如)=e 2nn l=f (y o)及(I),得 yByo,由(i i)知，当 x e(,2 L)时，g(x)0,:.g(X)在 工，2 L 上为减函数,4 2 4 2因此，g(yn)&g(yo)2 y S g(y n)-g(Vn)&g(y。)e%(s in y cos y。)-2n已sinxg-cos XQA2z77l+-Xn2-2n巳sinXg-COS XQ【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题.