河南省扶沟2021-2022学年高考数学二模试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2 B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21 .已知双曲线C：一方=1 3 0 8 0）的焦点为耳，F2,且 C上点p 满 足 两.飓=0,|%=3,|%=4,则双曲线。的离心率为A.B.

2、7 5 C.-D.52 22 .已知集合4 =尤|比,1 ,5 =卜|3*1 ,则 40&8）=（）A.%|x 0 B.x|噫/1）C.x|-L,x 匕 0）的左，右焦点分别为耳，F2,过 6的直线交椭圆C于A,B两 点,若Z A B F2=9 0 ,且“8 工的三边长忸周，M M，|明I 成等差数列，则 C的离心率为（）百百.V2 265 .已知双曲线C：%-方=1（。0/0）的焦距为2 c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为当c,则双曲线的渐近线方程为（）A.y =y/3xB.y -+/2 xC.y =xD.y =2 x6 .为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进

3、行指标测验（指标值满分为5 分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）数学抽象A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析最差7.已知复数2 =。+。4 /?,若|Z|=2,则。的 值 为（）A.1 B.G C.1 D.68.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）冗 71 71 2不A.一 B.一 C.一 D.-3 3 3 39.N是曲线y=7 t s i n x与曲线y=7 r c os x的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）A.n B.5 7

4、 2 7 T C.5/3 Tt D.2 7 r1 0 .某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）1 1 .已知函数/（X）（X GR）满 足/=1,且/则不等式/（I g2 x）lg2 x的解集为（）A 啕 B.j|，（?（1。，?）C（触）D.（1 0收）12.对于函数f（x）,若玉,天满足了（X1）+/（工 2）=/（王+），则 称 为 为 函 数/（X）的一对“线性对称点”若实数。与匕和G+力与C 为函数/（X）=3 的两对“线性对称点”，则 C 的最大值为（）4A.log34 B.log3

5、 4+1 C.-二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。D.log3 4-113.数据L3,5,7,9的标准差为.14.给出下列等式：V2=2cos-,j2+&=2 c o s 12+也 +0 =2 c o s C,请从中归纳出第个等式:4816,2+.+4=岳Q 215.已知数列 4 的各项均为正数，记S,为 4 的前项和，若an+i=-,4=1,则S,=1 6.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则 a4=,as=三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃

6、圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.（1）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（,210）,近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组别30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,l(X)频数2515020025022510050组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求P（36ZW79.5）；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费

7、;（ii）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元2040概率342_4现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.附：721014.5,若 X N（,b2）,则 P（/b X +b）=0.6827,-2cr X W +2b）=0.9545,P（4-3b 1).(1)求当日产量为3吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；(2)记每日生产平均成本2=2,求证：机 0，且 m -心,求证：m n e2.2 2.（1 0 分）如图 1,四边形 A B C。为直角梯形，A D/B C,A D Y A B,N B C

8、 =6 0,A B =2。B C =3,E为线段CO上一点，满足B C =C E,E为 鹿 的 中 点，现将梯形沿8 E折 叠(如 图2),使平面B C E _ L平面A B ).c(1)求证：平面A C E _ L平面B C E；(2)能否在线段A B上找到一点尸(端点除外)使得直线AC与平面P C尸所成角的正弦值为走？若存在，试确定4点P的位置；若不存在，请说明理由.参考答案依题意得，2 a=伊 鸟|-|用=1,FF2ylPF2f+PFif一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据双曲线定义可以直接求出。，利

9、用勾股定理可以求出C,最后求出离心率.【详解】=5,因此该双曲线的离心率e=【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.2.D【解析】先求出集合A,B,再求集合8的补集，然后求A U(Q B)【详解】A=x|-啜k l,B =x|x0,6 0）的焦点到渐近线的距离为券0求出a，。的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线C：,一 亲 =l（a 0,0 0）的焦点（c,0）到 渐 近 线 区+咫=0的 距 离 为 日c，可得：应 c,可得2=正，-=7 3,则C的渐近线方程为y =八c.Va2+b2 2 c 2 a故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出

10、。力的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.6.C【解析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.7.D【解析】由复数模的定义可得：目=2+1=2,求解关于实数a的方程可得：a=B本题选择O选项.8.B【解析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的!，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【详 解】因 为 时 针 旋 转 一 周 为1 2小 时，转 过 的 角 度 为2%,按顺时针转所

11、形成的角为负角，所 以 经 过2小 时，时针所转过的弧度数为一1 x 2万=_：.6 3故 选：B【点 睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.9.C【解 析】两函数的图象如图所示,则图中|M N|最小，设 M(xi,yi),N(x2,y2),n 5则 xi=,X2=n,4 4|Xl-X2|=7t,|y i-yihlnsinx i-ncosxil6 4五=-7t+-7 T2 2=0兀，二|MNI=+2兀2=也兀 故 选C.1 0.A【解 析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详 解】水 费

12、开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为，MX20%=625%.250 +450 +1 0 0故 选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.1 1.B【解析】构造函数g(x)=/(x)-x,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设 g(x)=/(x)-x,则函数的导数 g (x)=/(x)-l,Q/(x)l,.-.gXx)0,即函数 g(x)为减函数,；=g =/-1 =1 -1 =0 ,则不等式g(x)0等价为 g(x)1，即/(X)1,Q /(l g 2尤)1得I g x 1或I g x 1()或0 c x看，故不等式的解集为(0,u(1 0,+8).故选:B.【点睛】

13、本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力，是难题.1 2.D【解析】根据已知有3+3 c =3+，可得3、=1 +丁，只需求出3+A的最小值，根据3a+b=3a+3b，利用基本不等式，得到3 的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，。与。为函数/(%)=3、的“线性对称点”，所以 3a+*=3 0+36 2,3-3 =2/，故4(当且仅当a =。时取等号).又a+力与c为函数/(x)=3 的 线性对称点，所以 3&+3=3&十 ,邛+6 1 4所以 3。=二一=1 +2=0,通过求解方程可解得%=2，即 证得数列 q 为等比数列，根据已知即

14、可解得所求.【详 解】92(A2由4+1=-=%+。“+。=24=.也 2=0.a+-an I a J a“故答案为：127.【点睛】本题考查通过递推公式证明数列为等比数列，考查了等比的求和公式，考查学生分析问题的能力，难度较易.16.16 4【解 析】只需令 x=0,易得 a s,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可 得 出=C；+2C：+C；.【详 解】令 x=0,得 的=(0+1)3(0+2)2=4,而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3(X+1)2+2(X+1)+1 =(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；则 4=C；+2C：+C；=5+

15、8+3=16.故答案为：16,4.【点睛】本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.三、解答 题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)0.8186；(2)见解析.【解 析】(1)根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数 的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表 示 为36=-2 b,7 9.5=+b,利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；(2)根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为g,再结合得2()元、4()元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概

16、率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】/、35x 25+45x 150 +55x 20 0 +65x 250 +75x 225+8 5x 10 0 +9 5x 50 (1)由题意可得 =-=65,10 0 0易知(7 J 2 10 x 14.5，.=36=65 29 65 2 x 14.5=-2 b,79.5=65+14.5=+b,/.P(36Z 79.5)=P(/-2c r Z +b)=P(4-2c r Z+尸(一2 b X W+2c r)+P(一b.)=1 x3 =3 一，P/(X =40 x)=1 x 1 I 1 x 3 x3 =13,7 2 4 8

17、7 2 4 2 4 4 321 1 3 3 ill IP(X=60)=2 x-x-x-=,P(X=8 0)=-x-x-=.,)2 4 4 16,7 2 4 4 32所以，随机变量X的分布列如下表所示：X2040608()P381332316132所以，随机变量X的数学期望为E X=20 x 3+40 x三13+60*二3 +8 0 x1 -=7上5.8 32 16 32 2【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.18.(I )/：

18、x+y-l =0,曲线C:x 2 +y 2 _ 4 x =o (II)且3【解析】试题分析：(1)消去参数/可得直线/的直角坐标系方程，由/+丁2=夕2,7 c O S。可得曲线。的直角坐标方程；(2)将 V2/(，为参数)代入曲线C的方程得：尸+-3 =0,y=t2_1 _+1:1 =一 2|网附闻 团 叫,利用韦达定理求解即可.试题解析：(1)/:x+y-l=O,曲线C:/+2_4X=0,(2)将,V2x=1-19/。为参数)代入曲线C的方程得：/+-3=0.及r所以/+t2=夜,?/2 =所以1111|r,-t2 (八 十 0 _町 2 V14西+网=甲同=标厂333 319.(1)-n

19、2-n(2)证明见解析(3)证明见解析4 4【解析】(1)由 4 是递增数列，得=耳(-1),由此能求出他,的前项和.推 导 出%2么(=1,2,3,-)，maxbi,b2,-,bll-imnbi,b2,-,bll=bll-b=bn,由此能证明仇 的“极差数 歹!I仍是 2 .(3)证当数列也 是等差数列时，设 其 公 差 为 小，一%=2222 4 是一个单调递增数列，从而M“=a“，m”=%,由/0,d0,d=0,分类讨论，能证明若数列也 是等差数列，则数列 a,也是等差数列.【详解】(1)解：.无穷数列几 的前几项中最大值为此，最小值为加“，a =%；%,4=3 -2,4 是递增数列，.

20、=即 彳 二=3(-1),也 的前项和3 =|(2)证明：V m a x a1,a2,-,an)m i n a,6i2,-,t zn+1(77=l,2,3,-),二 m a x ol,z2,-,a+l-m i n t z1,a2,-,a+1 m a x a,，a2,(/-m i n,(/!=1,2,3,),二%池(=1,2,3,),:b=a-a=0 9:.m a x他 也，也 m i n也 也，也 =一a=2，.也 的“极差数列”仍 是 也(3)证明：当数列 2 是等差数列时，设其公差为d ,b_b=M，-%M e _%加“一犯一 二4T 一 2 2 2 2根 据 叫,的 定 义，得：M M,

21、.1,mn 0 时，必有用“，,an=Mn M g a,i,4 是一个单调递增数列，.M,=4，%=%,.a“a,i=2 d,是等差数列，当 d 0 时，则必有 mn m _ 1，：.an=mn mn_x an_x,.凡 是一个单调递减数列，加,=4，2,=。“，A an-=-2 d .%是等差数列,当d=0时，b“一b7吃 一 肛,_M i%=M i-_a%=0V M -M e ,mn-中必有一个为 0,根据上式，一个为0,为一个必为0,数列 ,是常数数列，则数列 是等差数列.综上，若数列 4 是等差数列，则数列 4 也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的

22、证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.2 0.(1)12-3 103;(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】3?Y2(1)求得函数)，=的导函数，由此求得求当日产量为3吨时的边际成本.(2)将所要证明不等式转化为证明2 1n x x +：0,构造函数”x)=2 1n x x +J,利用导数证得/z(x)-l n ,由此结合对数运算，证得56 0 l n l l.4/1-1 4 1 2 -1 2 n+1J 2 2 n-J【详解】3?r2(1)因为y =1 y l n x,(x l)_ 3 2尢 6 4x l n x所以西1当x =3时，y|A=3=12-3 1n

23、3(2)要证上 16,XX2-1 1 1只需证21 nx-=即证2 1n x x +0,X X X设/z(x)=2 1n x-x+则/(6=_ 1 0所以(x)在(l,y)上单调递减,所以(x)=0所以2 1 6,即加l 时，x-2 n xX1 2 +l 2n 1 ci所以-21n2H-1 2 +l2 +12n 所 以%；ln2 +l2 n-)所以 S6g 卜 n3+lng+ln 推)=fn l2 1 =lnll【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题.21.(I)极大值为：无极小值；(II)见解析.e【解析】(I)求出函数的导数，解关于导函

24、数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数/(%)的极值；(II)得到/(m)=/()，根据函数的单调性问题转化为证明m e,即 证 也 但,),令n n eG(x)=e2lnx-2x2+x2ln x(l x 0,得0 c x e；令/(x)e；J (x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，函数“X)的极大值为/(e)=j 无极小值(ll)-.-m n 0,mn=nm.n in m =m inn一Inm=一Inn，即/r(z 加x)=/()、m n由(I)知/(x)在(O,e)上单调递增，在(3+8)上单调递减且/(1)=0,贝U1 v e/,即 证 机 J e,即 证 咐 /,

25、即 证/()/n n J n JBn.-r Inn n(2-nn)即 证 ;-n e由于 1九v e,即0ln l,即 证/l n v2/一 2n令 G(x)=/inx-212+f lnx(l%e)贝!j G(x)=-4x+2x lnx+x=-x+2x(ln x-1)=(+，)(+2x(lnx-l)-x0 恒成立，G(x)在(l,e)递增,G(x)e【点 睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题.22.(1)证明见解析；(2)存 在 点

26、P是 线 段A3的中点，使 得 直 线AC与 平 面PCF所成角的正弦值为4【解 析】(1)在 直 角 梯 形ABCD中，根 据5=3C =3,NBCD=6 0 ,得ABCE为等边三角形，再由余弦定理求得满 足AE2+82=AB2,得 到AELBE，再 根 据 平 面8CEL平 面ABED,利用面面垂直的性质定理证明.(2)建立空间直角坐标系：假 设 在 上 存 在 一 点P使 直 线AC与 平 面PCb所 成 角 的 正 弦 值 为 且，且 涔=/涔，44 e(O,l),求 得 平 面PCF的一个法向量，再 利 用 线 面 角 公 式cos(诬，。卜 I-之 ，=坐 求1 273.73(22

27、-1)-+4(2-1)-4【详 解】(1)证明：在直角梯形A8CD中，B E=B C =3,48。=60,因此ABCE为等边三角形，从而8E=3,又AB=2&,由余弦定理得：AE?=12+9-2x2百x3cos3()=3,A E2+B E2=A B2 即AE_L跳:，且折叠后4E与5E位置关系不变，又 .平面B C E，平面A B E D,且平面3CE口平面A B E D =BE.:.A E 平面 B C E,V A E u平面 A C E,二平面ACE_L平面8CE.(2)ABCE为等边三角形，尸为3E的中点，A CF B E,又,平面 BCE，平面 ABED,且平面 BCE。平面 BE,:

28、.平面 A8D,取A3的中点G,连结F G,则P G/A E,从而F G上B E,以尸为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系:4ir ATc.4 7G 8、yX则A(6,-|,o),c 0,0,乎，则 场=假设在A B上存在一点P使直线A C与平面P C F所成角的正弦值为昱,JUIXl UUU,Xl A P =A A B V f ik|,o j,A AB=(-73,3,0),故 经=(一 例,340卜CPCA+AP V3（l-2）,|（22-1）,-，又心0,。该平面PCF的法向量为n=(x,y,z),n-cP=on-FC=QV3（l-/l）x+|（2/l-l）y-z =036 n-z=02令 y=2（2 _ l）得 1=曲卜 2 6 /3（2;：+4（4 1厂J V J ，/1 1J +4（X 1 1解 得 彳=;或 丸7=:（舍），2 6综上可知，存在点P是线段A8的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为且.4【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.