河北省沧州市2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请 用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不等式正确的是（）A.sin 1305 sin 40 log34B.tan226ln0.4tan480C.cos(一20)sin 650 sin80 log5 22.复数满足z+目=4+8 i,则复数z在复平面内所对应的点在（

2、）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知抛物线C：y=%的焦点为八准线为/,P是/上一点 直线小与抛物线交于A B 两点，若 丽=2 行，则|用 为（）4.已知椭圆C：二+3=1（。/,0）的左、右焦点分别为片，F2,点P（%，X）,Q（一%,X）在椭圆c上，其CT b4016A.B.409C.16 D.3中斗0,y 0,若 归。=2|。月第 2坐，则椭圆C的离心率的取值范围为（）Pr 3A ITB.(0,V 6-2CfV 2 r-9v3-112 JD.(0,V 3-l5.函 数/（力=1%2-5%+6的定义域为（）A.xx2或xN3B.x|xW -3或xN-2C.1x|

3、2x31D.1x|-3 2=1 与圆。2：(x +4)2+V=4 的公切线，并且/分别与x轴正半轴，丁轴正半轴相交于 A，B 两点，则 M OB 的面积为15.已知三棱锥PA B C 的四个顶点在球。的球面上，P A =P B =PC,A A bC 是边长为2 的正三角形，P A 1 P C,则球。的体积为.16.若 s i n(a +3)=-1,(0,兀)，贝(J c o s(N-a)=_ _ _ _ _ _ _ _.6 3 12三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)设 a为实数，已知函数/(x)=a x e*,g(x)=x+l n x.(1)当。

4、1及任意的%0 恒成立，求。的取值范围；(3)若函数(x)=/(x)+g(x)(%0,xeR)有两个相异的零点，求”的取值范围.18.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3 位行家进行质量把关，质量把关程序如下：(D 若一件手工艺品3 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；(i i)若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2 位行家进行第二次

5、质量把关，若第二次质量把关这2 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为8 级，若第二次质量把关这2 位行家中有1位或2 位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；(i i i)若 有 2 位或3 位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,，且各手工艺品质量是否过关相互独立.3(1)求一件手工艺品质量为8 级的概率；(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，利润记 为 100元.求 10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记 1 件手工艺品的利

6、润为X元，求 X的分布列与期望.19.(12分)在四棱锥P A B C D 的底面是菱形，底面A B C D,0,E分 别 是 的 中 点，A B =6,A P =5,Z B A D =60.(I)求证：A C PE；(n)求 直 线 依 与 平 面POE所成角的正弦值；(III)在。C 边上是否存在点尸，使 B F 与 Q4 所成角的余弦值为主回，若存在，确定点尸的位置；若不存在，说10明理由.20.(12分)随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全

7、天候开启3 套环境监测系统，若至少有2 套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且另有1 套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2 套系统进行1 小时的监测，且后启动的这2 套监测系统中只要有1 套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1 小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为“(0 l 时，g (x)0；(HI)确定a的所有可能取值，使得f (x)g (x)在 区 间(1,+o o)内恒成立.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据sin4。llog3

8、4,ln0.40sin65,利用排除法，即可求解.【详解】sin40 1 log3 4,In 0.4 0 sin65,可排除A、B、C选项，又由 tan41(T=tan5O 1 sin80；=log56 log5 2,所以 tan 410 sin 80 log5 2.故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.B【解析】设2=a+砥则 2+忖=4+4+，/+/=4+&,可得即可得到z,进而找到对应的点所8在象限.【详解】设2=。+初3匕6宠)M z+z=a+hi+Ja2+

9、h2=4+8;,a+yJa2+b2=4b=8a=-6b=8z=-6+8i,所以复数z在复平面内所对应的点为(-6,8)，在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.3.D【解析】如图所示，过AB分别作AC_L/于C,BD LI于D,利用AAPC ASP。和 ABP。，联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示：过AB分别作AC，/于C,BD JJ于D.PA=2AF 则|4。|=彳 忻 陷=*A P A T根据AAPCABPO得到：=,BP BDAP即一4一AP+-+BD343BD,A/7根据 她 叫 得 到：一=BPFMBD4AP+0，即 产=

10、BDAP+-+BD B D3解得AP=|,BD=4,故|A卸=同 日+忸司=|AC|+忸。|=g.本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.4.C【解析】根据|PQ|=2|0R|可 得 四 边 形 为 矩 形，设 心=，尸鸟=加,根据椭圆的定义以及勾股定理可得4c2 m n m n c 4c2 4 百丁一五=一+一，再分析r=一+一 的取值范围，进而求得2 力 一 八 (),x 0,知，因为 P（芭，x）,Q（-西,-x）在椭圆 c 上,|PQ|=2|oH=2|o&|,所以四边形P耳。居为矩形,QK=PF?；由 悴 人 近,可 得 近%|3 5 3-n1,由椭圆的定义可得/

11、+“=2 a,J +”2 =4c、2,平方 相 减 可 得mn=2(/一,2),4c22.2田2 2mmn由得所 以，=V+，G 2,v I 3即24c2 v 4百2（。2-。2）3所 以a?/述传_ 23 1所 以1 _ e 2 心&巫31 -e2所 以l e2 4-2囱,2解 得 走 e 6-l.2故选：C【点 睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.5.A【解 析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x的不等式，即可解得函数y=/(%)的定义域.【详 解】由题意可得/一5%+620,解得了2或%23.因此，函数y=/(x)的定义域为x|x2或xN3.

12、故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.6.D【解析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出他，关系，即可求解.【详解】aman=4,2+止2=32%2加 +=7,1 4 5 1 4 13当7=1,=6 时，I 一=一,当机=2,=5时，=一,m n 3 m n 101 4 4 1 4 IQ当2=3,=4 时，一 +一 =一 ,当?=4,=3 时，一+一=一,机 3 m n 121 4 11 1 4 25当m=5,=2时，一+=一,当加=6,=1 时，一 十 一=一,m n 5 m n 61 4百|包 上13-1 最小值为ym n 10故选:D.【点睛】本题考

13、查等比数列通项公式，注意加，为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.7.D【解析】求得直线y=x-2/的斜率，利用曲线y=ln x-a的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得。的值.【详解】直线y=x-2/的斜率为1,对于y=l n x-a,令了=工=1,解得=1,故切点为(1,一“)，代入直线方程得一a=1 2/,解得。=；或1.X.，故选：D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.8.C【解析】直线过定点，直线y=kx+l与圆x 2+y2=l相交于p、Q两点，且N P O Q=12 0 （其中O为原点），可以发现NQOx的大小，求得结果.【详解】如图，直线过定

14、点（0,1）,V ZPOQ=120/.ZOPQ=30,=4 1=120,Z2=60,:.由对称性可知k=百.故选C.【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题.9.D【解析】根 据/（力 是定义是H上的奇函数，满足/（一|+x）=/（|+x）,可得函数“X）的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得了（一）=/（1）=/（0）=/（1）=叱）=0 ,利用周期性可得函数“X）在区间 0,6 上的零点个数.【详解】/（X）是定义是R上的奇函数，满足一|+x =/1|+x 3 3 3 3/(-+%+-)=/(-+%+-),可得2 2 2 2/(x+3)=/(x),函数/(x)

15、的周期为3,1,当时，/(x)=ln(x2-x+l),令/(x)=0,则/一%+1=1,解得 =0 或 1,又函数/（X）是定义域为R的奇函数，3 3二在区间 一工白上，有在（_ D =_ f（l）=O,/（0）=0.2 2由/=取x=o,得/（_3）=/（2），得./（3）=/（_3）=o,、乙）、乙）L L又 .函 数/（力是周期为3的周期函数，3 Q.方程/（X）=0在区间 0,6 上的解有0,1,1,2,3,4,1 ,56共9个,故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用10.A【解析】用偶函数的图象关于）轴对称排除C,用/（K）（）排除B，用/（9【详

16、解】（一尸 丫2因为/（x）=6 k皿-到 _ 3=6lsi ni 1 =7（%）,J l+（4 yJl+X2所以函数/（x）为偶函数，图象关于J轴对称，故可以排除C；7 7 2 1 1以 兀）=6所 用 一 一=1 _ _ 4排除。.故只能选A.=0，故排除心4 4=6一 石 6 _ =6 _ 2 =4由图象知,排除0.2 x 0函数的定义域应满足(八，.一lx0故选C.12.C【解析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当k=0/=。时，an+i=a,显然符合 凡 是等差数列，但是此时k=1不成立，故本说法不正确；B：当攵=O,r=a时，an+=a,显然符合 凡 是等比数

17、列，但是此时f=0不成立，故本说法不正确；C：当 左=1时，因此有。，川 一。,=也+q=/=常数，因此 4 是等差数列，因此当 凡 不是等差数列时，一定有Z H 1,故本说法正确；D：当/时，若攵=0时，显然数列 4 是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11 3.9【解析】先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得sin a+cos a=2徨，平方可得sin 2 a.3【详解】V 3 cos 2a=4sin(-a),/3(cos a+sin cr)(cos a-sin

18、a)=22(cos a-sin a),422 1则sina+cosa=，平方可得sin2a=一大3 9故答案为：9【点睛】本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.1 4.也2【解析】根据题意画出图形，设。4=a,0 3 =人，利用三角形相似求得。力的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设。4=a,OB=8,由A/LBC,与A4OC,相似，可得=解得。=2,a+4 2再由AAOB与AAEC2相似，可得2=亚三，解得b=也,1 3 2由三角形的面积公式，可得M O B的面积为S=-a b =-x 2 x =.2 2 2 2故答案为：叵

19、2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.1 5.瓜兀【解析】由题意可得三棱锥P-A B C的三条侧棱PA,尸B,PC两两垂直，则它的外接球就是棱长为0的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.【详解】解：因为=AAbC为正三角形，所以 Z A P B =Z A P C =Z B P C,因 为PA，PC,所 以 三 棱 锥P-A B C的 三 条 侧 棱PA,PB,PC两两垂直,所以它的外接球就是棱长为0的正方体的外接球,因 为 正 方 体 的 对 角 线 长 为 指，所 以

20、 其 外 接 球 的 半 径 为 如,2所 以 球 的 体 积 为:乃X 乎)=娓兀故答案为：瓜兀【点 睛】此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.【解 析】因 为(a +令 +q-a可,所以导a =Y).因 为 一。孙 所 以a+2吗生,又/十。，所以a +J w (砥?)，所以6 6/冗、L/1、2 2/2 .7 1、.71 ,加 兀/兀、.兀.,7 1.cos(a +)=一一)=-,cos(-a)=cos(a +)=coscos(a +)+sin sin(a +)6 V 3 3 1 2 4 6 4 6 4 6=今(考)+冬(一 三.三、解答题：共70分。

21、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)函 数“X)单调减区间为(一8,-力 单 调 增 区 间 为(-1,+8).(2)Z?0恒成立，构 造 函 数。(x)=e*-2 x,利用导数求出函数的最值即可求出。的范围；(3)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a的范围【详 解】解：(1)当a 0时，因 为/(x)=a(x+l)，当x 0;当x -l时,/(x)0,所以ae*N2x+b对 任 意 的 及 任 意 的x 0恒成立，由于炉 0,所以aex e，所以e-2x N。对任意的x0恒成立,设。（x）=e*-2x,x0,则“（X）=d-2,所以函数。在（O,

22、ln 2）上单调递减，在（In 2,叱）上单调递增，所以。（x）m in =0（m2）=2-21n2,所以 bV2-21n2.（3）由/?（%）=axe+x+lnx,得（1）=a（x+l）v+l+-=（皿），其中x0.若a 2 0时，则/（X）0,所以函数（x）在（0,+。）上单调递增，所以函数h（x）至多有一个零点，不合题意；若a 0.由第（2）小题，知：当x0时,。（x）=e*-2x=2-2In 2 0,所以，2x,所以xe 2/,所以当x0时，函数xe,的值域为（0,+“）.所以，存在%0,使得叫*+1=0,即 叼/。=-1,且当x 0,所以函数/?（x）在（0,小）上单调递增，在（小,

23、48）上单调递减.因为函数有两个零点再，马,所以（x）n1ax=（%）=e+A+lnx0=l+x0+lnx0.设0（力=-1+%+山 羽%0,则夕3 =1+,0,所以函数（刈 在（0,+纥）单调递增,由于夕（1）=0,所以当1时，9（x）0.所以，式中的 1,又由式，得玉产*a由 第（1）小题可知，当。e,即a J.(i)由于4 J 0,所以得力仁)/(*0)0,又因为、卜1 a设 F(r)=-z+f+l n/e,由于/e 时,h v 2 ，所以设尸 0,即“一 口 1时，一:=后,且i得“!?，所以当=i时，2 0&+2 0 2 7 7 0 7%,50 6,、，、cx由 ,所以当左22时,2

24、 0A +2 0 2 7箕1 1,即 PC=2)P(J =1),P=k+1)P(D，所以当Z =2时，P(J =A)最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为(1-2)3=三，一件手工艺品质量为3级的概率为3,3 27 8 1一件手工艺品质量为C级的概率为C；x l x(l-l)2 xC2 X1X(1-1)+(1)2=12,3 3 3 3 3 ol7一件手工艺品质量为Z)级的概率为二，2 7所以X的分布列为Q1 A 70 7 121 (Y)则期望为 E(X)=900XS +600X +300X、+100X =3 W.27 81 81 27

25、27X900600300100P82 7168 12 08?72 71 9.(1)见解析；(U)二二Z；(皿)见解析.8 6【解析】(I)由 题 意 结 合 几 何 关 系 可 证 得 平 面POE,据此证明题中的结论即可；(I I)建立空间直角坐标系，求 得 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面P O E的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(H I)假设满足题意的点F存在，设 而=4配()九1),由直线BE与 的 方 向 向 量 得 到 关 于2的方程，解方程即可确定点F的位置.【详解】(I)由菱形的性质可得：A C A.B D,结合三角形中位线的性质可知：O E|8 O,故O E

26、J.A C,PO,底面A B C。，ACq底面A B C。，故A C _ L O P,且O P c O E =O,故A C _ L平面P O E,/5 =平 面20 6，4。，/?后(U)由题意结合菱形的性质易知O P L O 4,0 P 1 0 B,O A 1 O B,以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-型,z则:P（0,0,4）,B（0,35/3,0）,0（0,0,0）,唱设平面POE的一个法向量为玩=(x,y,z),则:m-OP=4z=0m-OB=x+fiy =0据此可得平面POE的一个法向量为w=(V3,-l,0),而 而=,3 -4),设 直 线 与 平 面POE所成角

27、为e,.PB-nA 3 g 3 I一贝!I sin 3 T=-j=A/129.陷 卜 网 2xV13 86（HI）由题意可得：D（-3,0,0）,C（-6,3V3,0）,A（3,0,0）,假设满足题意的点F存在,设E（x,y,z）,DF=ADC（O2(1-p)2+1500 x C；p(l-p)2=900+1800/?(l-p)2令 g(p)=P(1 -p)2,P G (0,1)，则 gp)=(1-p)2-2p(l-p)=(3p-l)(p-1)当 pe(0,；)时，g(p)0,g(p)在(0,；)上单调递增;当p w q,l)时，g(p)100+9000X (900+1800X A)x 10-4

28、=1150(万元),v 1150 1200,故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.2 1.(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1【解析】(1)求出导函数，求得ra)=o的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；b b h(2)问题可变形为%l n x+一恒成立，由导数求出函数y =l n x +-的最小值，力0,从而得出。涉的不等关系，得出所求最大值.【详解】解：(1)/(X)定义域为(0,+8),当女=一1 时，/(x)=I n x -x,f(x

29、)=1,x令f(x)=0 得 =1,当f(x)O,Oxl；r(x)l所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,”)上单调递减，所以/(幻有唯一的极大值点x =l,无极小值点.b b(2)当=0时，f(x)H-a =l n x d-a.x xb b若/(x)4-a.0,(a,be R)恒成立,贝 1 1 1 n x H-a.0(a,h e H)恒成立，x x所 以 I n x+2恒成立，X令 y =l n x +2,则 y=R,由题意匕 0,函数在()/)上单调递减，在 S,+8)上单调递增，X X所以区，l n Z?+l,所以a-L,I n/?所以6 工 人，所以 e T b+l,1,故 e

30、 T-b +l 的最大值为1.【点睛】本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题.在求极值时，由/(幻=0 确定的与不一定是极值点，还需满足 在/两 侧/(x)的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用.2 2.(I )当x w (0,，=)时，/(x)0,/(x)单调递增；(I I)J2 a!2 a详见解析；(皿)e-,+o o).2【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(I )问，对F。)求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第(I I)问，利用导数判断函数的单调性，

31、从而证明结论，第(I H)问，构 造 函 数/x)=/(x)-g(x)(x l),利用导数判断函数以为的单调性，从而求解a的值.试题解析：(I)fx)=2 ax-=2 f/r-1(x 0).X X当时，/*)0时，由/(X)=0有x =上.当 x e (0,f(x)0,f(x)单调递增.J 2a(n )令 s(x)=e*T -x ,则 s (x)=e T 一 1.当x l 时，s (x)0,所以e*T x,从而g(x)=，-0.x e(m)由(I I),当x i时，g(x)o.当 a l 时，/(x)=a(x2-1)-I n x g(x)在区间(L+o o)内恒成立时，必有a 0.1 1当O

32、c a 1.2 J 2a由0)有/(白)0所以此时/(%)g(x)在区间(L+o o)内不恒成立.当时，令力(x)=f(x)-g(x)(xl).、t,I n-+1 n 1 1 1-r 1 1 1 2x+1%2 _ 2x+1 _当 xl 时，h(x)=2ax一一+-e-x-+一一=-0.X X XXX X X因此，/(X)在区间(1，+8)单调递增.又因为力(1)=0,所以当X1 时，(x)=f(x)-g(x)o,即 f(X)g(x)恒成立.综上，a&-,+00).2【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性，基本方法是求了(X),解方程/(幻=0,再通过了 (x)的正负确定x)的单调性;要证明不等式/(x)g(x),一般证明/(x)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数/?()=/*)-g(x)的单调性.本题中注意由于函数(用的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到,有一定的难度.