2021届上海市普通高中高三高考压轴考试卷数学试卷及解析.pdf

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1、2021年2021届上海市普通高中高三高考压轴考试卷数学试卷祝考试顺利(含答案)第I卷(选择题)一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1 6题每题4分，第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合A=xT x 的 最 大 值 为.7.若sin a=4，则cos(万 一 2。)=.8.函数y=log2(x-m)+l的反函数的图象经过点(1,3),则 实 数 加=.9.设 尸 为 双 曲 线 一 2=1(方 0)的右焦点，。为坐标原点，P、。是以。尸为直径的圆与双曲线r 渐 近 线 的 两 个 交 点.若=|0月,贝昉=.10.从以下七个函数：y=x,y=,y =x2

2、,y=2,y=108，%,丁 =5吊 羽 丁 =8 5 彳中选取两个函数记X为“X)和g(x),构成函数F(x)=/(x)+g(x),若尸(x)的图像如图所示,贝”(%)=.11.小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本 书 属 于 不 同 学 科 的 概 率 为 (结果用分数表示).12.已知4、%与4、打是4个不同的实数，若关于x的 方 程q l+|x-4 H x H l+lx-H I的解集A不是无限集，则集合A中 元 素 的 个 数 构 成 的 集 合 为.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答

3、题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设a e(0,+8),。e(0,+(x),则a 力 是 a-l0,若对任意f e q J,函 数 在 区 间M +1 上的最大值与最小值的差不超过lg2,求。的取值范围.19.对于函数“力(x e O),若存在正常数T,使得对任意的x e，都有成立,我们称函数/(%)为“T同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数7,/(%)=/都不是 T同比不减函数”；(2)若函数x)=+s in x是 彳同比不减函数”，求攵的取值范围；(3)是否存在正常数T,使得函数 x)=x+|x-lH x+l|为“T同比不减函数”，若存在，求T的取值范围；若不存在，请说

4、明理由.20.设A是单位圆1 +y2=|上的任意一点，/是过点人与x轴垂直的直线，。是直线/与x轴的交点，点M在直线/上，且满足1。知|=加|。4|(机0,加/1).当点4在圆上运动时，记点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线。为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为攵的直线交曲线C于P,。两点，其中P在第一象限，它在)，轴上的射影为点N,直线。N交曲线C于另一点”.是否存在机，使得对任意的%0,都有PQ_LP？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由.21.若数列 q 满足乎(%1,且X为实常数)，e N*,则称数列伍“为B Q)数列.4 a(1)若数列伍”的前三项依次为

5、4=2,%=，4=9,且 4 为8(3)数列，求实数x的取值范围；(2)已知%是公比为40H 1)的等比数列,且4 0,记7；=|4-4 1+-4 I+I/+I I.若存在数列 4 为8(4)数列，使得1 鼻 乜40成立，求实数/的取值范围；(3)记无穷等差数列%的首项为依公差为d,证明：“0 4色4/1-1”是“伍”为8(团数列”的充要条件.2021年2021届上海市普通高中高三高考压轴考试卷数学参考答案1.【试题答案】1,2【试题解析】解：.A=x|l x 0时，F（x）l且为增函数,当x 0时，J 1,当x 0时，0 yl,若包含y=co s x,当x=0时，y=l,y=2、+co s

6、X不满足过点（0/）,若包含y=x,此时函数厂(x)=2、+x 不满足x =此时函数/(x)=2、+d 不满足x()时，尸大于0 与小于0 交替出现，所以只有H x)=2+sinx满足条件.故答案为：2+sinx.11.【试题答案】已【试题解析】共4+3+3=10本不同的数，任取2 本包含G：=45种方法，若从中任取两本，这2 本书属于不同学科的情况有C；C；+&C；+C；C；=33,所以这2 本书属于不同学科的概率P=3R3=11.45 15故答案为：12.【试题答案】试题解析1 转化为/(X)=|尤-|+1 x-g I和g(x)=1 x-伪I +1 x-b21图像交点,为了简化问题，我们可

7、以研究1利+1尤-1|=x-a+x-b,2x+1,x 0/(x)=|x|+|x-l|=1,0 x-2x+Q +/7,X 4设g(x)=x-a+x-b=h-a,axb设A(0,l),8(1,1),C(a,b a),D(b,b-a),而0个交点和2个交点都是不可能的.假设有0个交点，由遂忌I AC=；2|kBD|=2|a|b-/-1-1-1,-,b-a-2 h-a-2”口 1,明显矛盾，.不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解集A不是无限集时，集合A的元素个数只有1个.故答案为：1.13.【试题答案】C【试题解析】若&。，则根据不等式性质，两边同时减去1,不

8、等式符号不变，所以，成立，则-1 匕-1”成立，充分性成立；7-1 6-1”成立，根据不等式性质，两边同时加上1,不等式符号不变，所以，%-1 。-1”成立，则“a 0),则(1,0),即。=1,把点(2,2 6)代入可得4-/=1,解得。=2,=2,4 4设双曲线两渐近线的夹角为26,.tan2e=，=-9,.七山2。=!,因比双曲线两渐近线的1 2 3 54 _夹角为arcsing,不正确；建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为y2=2px,把点(君,4)代入可得42=2px逐,解得p=竺，二抛物线中焦点到准线的距离为,，不正确，故选B .15.【试题答案】B【试题解析】由题意，在AA

9、BC中，若sinA=当，因为A e(O 4),可得4=或4=苧，4 4当A=g 时，可得8+。=学，则8=个一。，4 4 4可得co s B+Vco s C=co s(-C)+5/2co s C=-s inC+-co s C=s in(C+-),因为 C G(0,),所以 C +二 (7 )，所以 s in(C+f)e(0,1；4 4 4 4当4=亨 时，可得B+C =f,则3=/-。，4 4 4可得 co s B+V5co s C=co s(-C)+V2 co sC=s inC+c o s C =V5s in(C+),4 2 2其中 ta ne=3,设g(x)=A n a+夕)在区间呜-勿上

10、单调递增，在冷-吟 上单调递减，又由 g(0)=2 =g(?,g(/-1g +Q1*2所以/（X）在（0,+8）上单调递减,所以函数“X）在区间+11上的最大值与最小值为/J（f +1）,所以/）-/（，+1）=怆（；+。唱（_1_+。），炮2,1 2所以 ；一7 7 1(+1)设 l-r =r,J 1I J 0 r ,1-Z _ r _ rf +l)-。一 r)(2-r)-，3r+2当 r =0时，一-=0,r-3r +2r-1当0 Y不时，产 一 3r+2-22，+Jr2 2 i Q因为y=+在(o,血)上递减，所 以 厂+4=,r r 2 2_ _ _ _r _ _ _ _ _ _ _

11、471【试题解析】证明：(1)任取正常数T,存在毛=-7,所以x +T=0,因为 f M =f(-T)=T2/(O)=/(xo+T),即/(x)W/(x+T)不，恒成立，所以/(耳=不 是“T同比不减函数”.(2)因为函数/(%)=依+s inx是 同 比 不 减 函 数”，所以+恒成立，即+匕+s inx恒成立，2(s inx-co s x)_ 2 0si n(x)对 一 切 R 成立.K 71 冗(3)设函数x)=x+|x T T x+l|是“7同比不减函数”，x-2(x 1)/(九)=-尤(-1X1),x+2(x-|(x+T-l)-(x+T+l)|=2,f(x+T)-f(x)T-2-2

12、0,所以有/(x+T x)成立.(I I )当 xe(-l,+o o)时，/(x+T)-/(x)=x+T-2-(x+|x-l|-|x+l|)=T-2-|x-l|+|x+l|因为|x+l|-|x-l|=-2,所以/(x+T)/(x)2T2220,即 x+T)1f(x)成立.综上，恒有有/(x+T x)成立，所以7的取值范围是 4,内).20.【试题答案】(1)答案见解析；(2)存在，加=行.【试题解析】(1)如图1,设M(x,y),A(x0,y0),则由|物/|=时国,可得尤=%,|)|=时为|,所以=龙，|%|=|，因为A 点在单位圆上运动，所 以 年+短=1，2将式代入式即得所求曲线C 的方

13、程为V +J =1 (加 ()且加工1),m因为me(0)U(l,+8),所以当0?时，0 m2 0 且 W 1)当机1时，租 2 1,曲线。是焦点在y 轴上的椭圆,两 焦 点 坐 标 分 别 为1),(0,(2)存在，理由如下：如图 2、3,Vx,e(O,l),设 P(M，x),H(x2,y2),则。(,f),N(Oj),2 2 2 2772 X H-V 因为P,两点在椭圆。上，所 以2 2 2 ；两式相减可得m x2 4-y2=tn,m2(%12-%22)+(12-y22)=0,依题意，由点P在第一象限可知，点”也在第一象限，且P,“不重合,故(3-)(尤|+)/0,于是由式可得又Q,N,

14、”三点共线，所以%N=%H,即 生于是由式可得 股即“2L,乂 一%=1.(y )2)(x+)2)=_ a f _X,Xj x22(x1-x2)(xl+x2)27而P Q LP”等价于即一券=_ i,又加 o,得加=夜，2故存在加=夜，使得在其对应的椭圆彳2+5=1上，对任意的女(),都有PQ_L P.21.【试题答案】(1)3,6；(2)(1,+8)；(3)证明见解析.【试题解析】Q)因 为 为3(3)数列，所 以:刑 乎3,O an解得3领k 6,即x的取值范围是 3,6 ；(2)由数列 q 为3 (4)数列，可得=或1 0,-q,=4，i(q-l)m8 _ t _(q _ t)q”1 7

15、=1-&0,即7.l；当 1 0,an+l-an=aqn(-1)0,所以 1-1=-.则 Tn =%一%+%4+/一/=%+=q T),nq-t-所以 l i m%#=lim 上 哗5山=lim g=q-&0 ,即明 所以/1,T8 7 ”T8 q“一 I TOO 1 7 7 11 qn则f的取值范围是(1,+8)；(3)先证充分性.因为噫0义-1,所以。尸0,2 为等差数列，所以当d=o时，=此时3由2 1,所以;刑竽=1 2成立，所以%为B Q)数列；%an%_%+nd _ 4 +(-l)d+d 1当 工0时，q+(-l)d q+(-l)d q+(-l)d+7 一因 为 崂 一，所 以%,

16、所以原 即E，即有掇37 7(2-1)4-1(一 1)(4-1)+1，因为几1,所以H(/l 1)+15 1)(4-1)+1。7 1)(4 1)+1=1 H-=1 H-1 H :=2(n-l)(A-l)+l a jl 1 ，n-J H-2-1 2-1所 以:之?恒 成 立，所以仅 为8(幻数列，综上可得，4 为B Q)数列；再证必要性.因为他“为B Q)数列，所 以;别 竽 恒成立，所以4*0,当4 =0时，魄 必1显然成立；a当工()时，因 为 争 ;。，所以仅“的每一项同号，所以4与d也同号,an 4所以土.0,因为;领。2恒成立，所以=1时，；刑”成立，aA an A 4因为 4 为等差数列，4=4+d,必=山=1+4,所以)蒯+4%,即为:-效02-1,蟋04-1 ,X a X a ax综上可得，“噫必 1”是%为5(团数列”的充要条件.a