五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题13计数原理(解析版).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题1 3 计数原理一、选择题1.（20 22 高考北京卷第 8 题）若（2 x-l）4=4/+/+。2*24 ,则4+。2+4=（）A.40 B.41 C.-40 D.-41【答案】B解析:令x =l,则4+4 3+4 2+6+4 =1，令x =-l,则4 一%+4+/=（一 3）4=8 1,1 +8 1故 包+生 +ao=0=4 1，故选,B.【题目栏目】计数原理二项式定理、二项展开式通项公式的应用【题目来源】20 22高考北京卷第8题2.（20 22新高考全国I I 卷 第 5题）有甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲

2、不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【答案】B解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x 2x 2=24 种不同的排列方式，故选：B【题目栏目】【题目来源】20 22新高考全国I I 卷 第 5 题3.（20 20 年高考课标I I 卷文科第3 题）如图，将钢琴上的12个键依次记为设1。/心 12.若k-/=

3、3且/T=4,则称aj,为原位大三和弦；若 k-/=4且尸=3,则称。aj,以为原位小三和弦.用这 12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：k-j =3,j-i=4.=1,/=5,攵=8；，=2,/=6,攵=9；2 =3,/=7,攵=10；，=4,j=8,Z=ll：i=5,j=9,攵=12.原位小三和弦满足：k _ j =4,j-i=3.i=l,j=4 =8；i=2,j=5,k=9；j=3,j=6 =l（）；i =4,./=7,Z=ll；i =5,/=8 =12.故个数之和为io.故选：c.【点睛】本题主要考查列举法的应用，

4、以及对新定义的理解和应用，属于基础题.【题目栏目】计数原理分类加法计数原理的应用【题目来源】2020年高考课标II卷 文 科 第3题4.（2020年新高考全国I卷（山东）第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安 排 方 法 共 有（）A.120 种 B.90 种C.60 种 D.30 种【答案】C解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C：C；=6x10=6 0种.故 选：c【题目栏目】【题目来源】20

5、20年新高考全国I卷（山东）第3题5.（2020年新高考全国卷n数学（海南）第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2种 B.3种C.6种D.8种【答案】C解析：第一步，将 3 名学生分成两个组，有 C；C；=3 种分法第二步，将 2 组学生安排到2 个村，有 g =2 种安排方法所以，不同的安排方法共有3x2=6 种，故选：C【题目栏目】【题目来源】2020年新高考全国卷n 数学（海南）第 6 题6.（2020北京高考第3 题）在（五-2 1 的展开式中，X2的 系 数 为（）.A.-5 B.5 C.-10 D

6、.10【答案】C【解析】（五-2 展开式的通项公式为：&|=仁（五广（-2）=（-2）3?，令 三 =2 可得：r=l,则 的系数为：（-2）C；=（-2）x5=-1 0.故选：C.【题目栏目】计数原理二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2020北京高考第3 题二、多选题7.（2021年新高考全国II卷 第 12题）设正整数 =%2+q 2+a-2卜,+4 .2*,其中%e 0,1,记 矶）=%+4+4 .则（）A.0（2）=y（）B.研 2+3）=0（）+1C.0（8+5）=y（4“+3）D.（y（2 -l）=【答案】ACD解 析：对于 A 选 项，0（）=4+4+4 ,2n=a

7、-2+o,-2i+-+ak_-2k+ak-2k+l,所 以，y（2）=4）+4+%.=（）,A 选项正确；对于 B 选项，取”=2,2+3=7=l-2+lN +L22，=。=3,而 2=0 2+1 2,则。（2）=1,即O 中。+1,B选项错误；对于 C 选项，8fl+5=a。2，+4 2+%-2*+3+5=1 ,20+1 ,2+贝!I Os=01+02+。3=.【答案】.8 0（2）.122解析：（l+2x）5 的 通 项 为=G（2 =2 G/,令，=4,则1 =24 或/=8（尻4,.4=8 0；4 +%+%=+23。；+25C 5 =122【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公

8、式的应用【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷第12题13.（2020天津高考第11题）在的展开式中，f 的系数是【答 案】【答 案】io【解 析】因 为 L+4 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为（+1 =玛/=C 2J x 5-3r（r=o,1,2,3,4,5）,令 5 3r=2,解得 r=l.所 以？的 系 数 为C；x 2=1 0.故答案为：10.【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2020天津高考第 11题14 .（2019 年高考浙江文理第 13题）在二项式（a +x）9 的展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是.【答案】【答案】16 夜，

9、5 解析】（五+工 户 展开式的通项为Tr+i=C；（四）9-V（r=0,1,2,-.,9），当/=0 时，可得二项式（a +x）9展开式的常数项是7；=C：（夜）:16 夜.若系数为有理数，则（9-r）为偶数即可，故，可 取 1,3,4,5,7,9,即岂,式,式工,工o共5项.【题目栏目】计数原理二项式定理二项式定理【题目来源】2019 年高考浙江文理第 13题15 .（2019 年高考上海第 4题）己知二项式（2x+l），则展开式中含/项的系数为.【答案】【答案】4 0 解析7；+l=C5r-（2x）5-r-r=C5r-25 f -x5-r令5 r=2,则 r=3,一 系数为C;靖=4 0

10、.【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题.【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2019 年高考上海第 4题16 .（2018 年高考数学浙江卷第 16 题）从 1,3,5,7,9中任取2 个数字，从 0,2,4,6中任取2 个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）【答案】126 0解析：解 法 1：分类讨论四位数中有数字0 的有=5 4 0 种，无数字0 的有=7 2 0 种，则共可以组成5 4 0+7 20=126 0个没有重复数字的四位数.解法2：正难则反无 限 制 四 位 数 有=1 4 4 0 种，其 中 数 字 0 在首位的有C；

11、C；A；=1 8 0 种，则共可以组成14 4 0-18 0=126 0个没有重复数字的四位数.【题目栏目】计数原理 排列问题【题目来源】2018 年高考数学浙江卷第16 题1 7.（2018 年高考数学浙江卷 第 14 题）二项式（也+-的展开式的常数项是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2x【答案】7/8Tl i Y（1 Y 8-4 r、（1Y解析：C网（五 J =品.匕 卜 3,令 _ _ =0 4fr =2,v .=*图=7,故二项式（狐+1-）8 的展开式的常数项是7.2x【题目栏目】计数原理二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2018 年高考数学浙江卷第14

12、题1 8.（2018 年高考数学上海第3 题）在（1 +尤）7 的二项展开式中，一 项的系数为.【答案】217 x 6解析：由得厂=2,所以/项的系数为C；=2_）=21.1x 2【题目栏目】计数原理二项式定理二项展开式通项公式的应用【题目来源】2018 年高考数学上海第3 题四、解答题1 9.(2019 年高考江苏 第24 题)设(1 +x)=%+。”父,口 4,G N*.已知 a；-2a2a4.求”的值；（2）设（l+J J）=a +b6，其中a,AcN*,求 片-3/的值.【答案】【答案】见解析【解析】因 为(l+x)=C+C 5 +Ck +CX，24,所诉 以11,%,_ C 2“-_

13、 (-!),_ C“3 -_ M(M-1)-(H-2)2o4 _ n(n-l)(n-2)(一 3)因为a；=2a2a4,所以(-l)(2)2=2 x z l l6 2(/?-1)(/?-2)(/?-3)2 4解得n=5.由 知,鹿=5.(1 +G)=(1 +0)5=C；+C；6 +C；(退)2 +C：(6)3 +C；(6)4+C；(6)5=a+人 6.解法一：因 为 诉 N ,所以a=C；+3 C；+9 C；=76,b=C；+3 C；+9 C；=44,从而 a?-3 6=76。-3 x 44?=_32 .解法二：(1-后=C；+C；(-73)+C“-G)2 +C；(-扬,+C；(-扬 4+C；,=C；-C；百+C；(6)2 _C；(扬3+C；(扬4-C；(石)5.因为a,匕 e N*,所以(1-6)5=a-从Q.因此 a?_ 3H=(a+6 6)(a b 6)=(l +)5x(l-哥=(-2)5=-3 2 .【题目栏目】计数原理二项式定理二项式定理的应用【题目来源】2 0 19 年高考江苏第 2 4题