广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷.pdf

《广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷.pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷阅卷人-A单选题(共8题；共16分)得分1 .(2 分)已知集合/=(X e N x 1,B =(x 0 x 4,则Z C l B =()A.x|1 x 0 C.2,3 D.1,2,3)【答案】C【解析】【解答】由题意，A C I B =%e N|1 x 4 =2,3)故答案为：C【分析】根据交集的定义可得答案.2.（2 分）若（l +i）z =2,则2 =（）A.1 +i B.1 i C.-1 +i D.-1 i【答案】B【解析】【解答】由题意得：Z =每=（备福=1-1.故答案为：B.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得

2、答案.3.（2 分）已知c o s a=称，0 a ,则s i n（z r +a）的值为（）A.B.-|C.|D.1【答案】A【解析】【解答】解：因为c o s a=焉，0 a 08.(2 分)设函数/(x)=1，若方程f(x)=x+b有 3 个不同的实根，贝昉的取值范围为工 +一x，%0【解析】【解答】令g(%)=/(%)-=I 1；xx 0时,g(x)=-1=则当久 e(0,1)时，g(_x)0；当 e(1,+8)时，gQ)，的()A.平均数是0.5 B.平均数是1 C.方差是4 D.方差是5【答案】A,C【解析】【解答】由题意知：E(2X+1)=2,D(2X+1)=16,E(2X+1)=

3、2E(X)+1=2,*E(X)=O 5,即打，孙 ，力的平均数为D(2X+1)=4C(X)=16,D(X)=4,即勺，右，功的方差为4故答案为：AC.【分析】利用平均数、方差的运算性质求解出答案.10.(2 分)已知直线：%-y+1=0，圆C：x2+y2=1,则()A.直线I与圆C相交B.圆C上的点到直线1距离的最大值为金C.直线 关于圆心C对称的直线的方程为“-丁一1=0D.圆C关于直线2对称的圆的方程为(+I)2+(y-1猿=1【答案】A,C,D【解析】【解答】由圆C方程知：圆心C(0,0),半径r=l；对于A,圆心C到直线，距离d=4=1,直线，与圆C相交，A 符合题意;对于B,.圆心C

4、到直线2距离弓二孝，二 圆 C上的点到直线，距离的最大值为d+r=+l，B 不符合题意;对于C,设直线2关于圆心C对称的直线方程为：x-y+m=O(m l),则圆心C到直线，和到其对称直线的距离相等,裳=多 解 得5舍)或m=直线,关于圆心C对称的直线的方程为x-y-l=O,C符合题意;(一1对于D,设圆心C关于直线，对称的点为(a,b),则.a ，解得:9-升1=。(a=-1I b =l 所求圆的圆心为(一1,1),半径为1,圆C关于直线/对称的圆的方程为(+1)2 +(y -1)2 =1,D符合题意.故答案为：A C D.【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用圆心到直线距离d 0,则当x

5、 e 0,1)Ht,/2(x)0；当为 e g,兀 时，/2(x)cos2x G 0,1 cos3xC -苧，1,二广3（”）2。，夫（%）在 一和*上单调递增，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】由奇偶性定义可判断A；由九（X+2兀）=打（%）可判断B；利用导数可求得f2（x）在 0,兀 上的值域，结合奇偶性和周期性可确定f2（x）最大值，可判断C；求导后可证得f；。:）2 0，由此可判断D.阅卷人三、填空题供4 题；共 5 分）得分13.（1分）若/。）=1+3（%幻是奇函数，则实数a=.【答案】-2【解析】【解答】（%）定义域为R,且/（%）为奇函数，/（）=1+0,解得：a=2；*y

6、 QX i Q X i QX当一2时 /（久）=1一行=言./（%）=?1 =d=一/（%）为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=-2.故答案为：2.【分析】由已知结合奇函数的性质可知f（0）=0,代入即可求解，检验后即求得a的值.14.（1分）已知双曲线的渐近线方程是y=苧X,且双曲线经过点M（4,3），则双曲线的标准方程为.【答案】琴 二=14 3【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为y =*X，可 设 双 曲 线 的 方 程 为 C t H O），代J 2 4 3入M（4,3），可得t =T=i，则双曲线的方程为U=1.故答案为：=14 D【分析】由双曲线的渐近线方程设双曲线的方程为q_

7、1=t t o o）,把已知点代入双曲线的方程可得t 值，则可求出双曲线的标准方程.1 5.（1 分）如图，已知一个圆锥的底面半径为1 d m,高为3 d m,它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 d m3.【解析】【解答】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆；要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆；设小圆的半径为r（0 r 0；当 丁 （,，1）时，V 0;当=凯寸，m a x =X 1 一摄）=故答案为：g【分析】设小圆的半径为r(O V r V l),正三棱柱的高为九，通过已知

8、求得正三棱柱高为九=3-3 r,V=Sh=r2(3 -3 r)=(r2-r3),利用导数可求正三棱柱的体积的最大值.1 6.(2 分)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 -4 -2 -1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称 角谷猜想 等).例如：取正整数n=5,根据上述运算法则得出5 -16-8-4-2 T1,共需5 个步骤变成1,称为5 步“雹程”.一般地，对于正整数n,根据上述运算法则，第一次变成1时，所需步数称为九的“雹程”，记为B(n).则8(1 7)=；若B(n)=8,则n 的所有可能

9、取值的集合为.【答案】1 2；(6,4 0,4 2,2 5 6)【解析】【解答】解：当n=1 7 时，根据运算法则可得：1 7 T 5 2 T 2 6 T l 3 T 4 0 T 2 0 T 1 0 T 5 T 1 6 18T 4 T 2 T 1,共需要 1 2 个步骤，故3(1 7)=1 2.若8(几)=8,根据运算规则需要8 步才第一次变成1,所有可能的情形有：1 2 -4 8 -1 6 3 2 -6 4 1 2 8 2 5 6；1 2 4 8 i 1 6 j 3 2 -6 4 2 1 1 4 2 ；1 -2 -4 -8 -1 6 -5 -1 0 -2 0 -4 0；1 1 2 4 8 1

10、 1 6 5 1 0 3 6.故满足B(n)=8 的正整数n 的所有可能取值的集合为 6,4(),4 2,2 5 6 .故答案为：1 2；6,4 0,4 2,2 5 6 .【分析】当n=1 7 时，根据运算法则即可求出B(1 7)的值；当 B(n)=8 时，根据运算法则，逆向寻找结果可得n 的所有可能取值的集合.阅卷人得分四、解答题(共6 题；共 56分)1 7.(1 0 分)已知等比数列 的 的首项4=2,公比q =8.在 d 中每相邻两项之间都插入2个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列 5.(1)(5 分)求数列 当 的通项公式;1 1 1（2）（5 分）设C n =l o g

11、2 bn,n e N+,证明：7clc2 +C 2 c 3 +-+cnC 1.n+1【答案】（1）解：由题意知：b i =a i =2,b4=a2=a i ，1 T T 1，即+-V Ln+l n+1 C1C2 0 2 c 3 C nCn+l【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解出数列%的通项公式；1 1 1 1（2）由（1）得：cn=l o g2hn=l o g22n=n ,=利用裂项相消法进行数1 1 1列求和再 比 较 可 证 得 证+荻+.+画 不/3 x 2 x 5 =V 3 ;当c =4 时，ABC=7 bcsixiA=5 x2A/3 x 4 x|=2 V 3.故4

12、A B C 的面积为遮或2 遍【解析】【分析】(1)根据正弦定理，结合三角形内角和求解可得4 的值；(2)根据余弦定理可得c=2 或 c=4,再根据面积公式可求出 A B C 的面积.1 9.(1 0 分)如 图(1 ),在直角梯形A B C D 中，A B/C D,A B 1 B C,且B C =C D =$4 8 =2,取A B的中点。，连结0D,并将 4。沿着0。翻折，翻折后A C =2B，点M,N 分别是线段A D,的中点，如 图(2).图(1)A（1）（5 分）求证：AC 1 OM；（2）（5 分）求平面。MN与平面OBCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明：连接OC,1V AB/CD

13、,AB 1 BC,BC=CD=AB=2,。为 力 B中点，.四 边 形 ODCB为正方形，OC=2近，翻折后，AC=2V3，A OA2+OC2=22+(2A/2)2=(2V3)2=AC2,OA 1 OC-,5LOA 1 OD,OC COD=0,OC,0。u 平面。CD,。4 1 平面 OC。，CDu平面。CD,OA LCD,又CD 1.OD,OACtOD=0,OA,OD u 平面0/W,二 CO _ L平面。4。，v OM u 平面OA。，CO 1 OM；OA=OD,M 为4。中点，:OM LAD,又CDCMD=D,CD,ADu平面4CD,OM _ L平面4CD,4Cu平面4CD,AC 1 O

14、M.（2）解：以。为坐标原点，OD,O F,函正方向为,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,则0(0,0,0).M(l,0,1),N(0,1,1),OM=(1,0,1).ON=(0,1,1);2轴_ 1 _ 平面。BCD,.平面OBCD的一个法向量访=(0,0,1);设平面0MN的法向量五=(%,y,z),则 黑令x=L 解得：y=l,z=-l,n=(1.1,-1);.-、|7n-n|1 后.|cos|=Im=7=T，即平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值为学【解析】【分析】(1)结合已知条件及线面垂直的判定定理证明OM_L平面A C D,再由线面垂直的性质即可证得AC 1 OMx(2)以

15、。为坐标原点，OD,O B,雨正方向为,y,z轴，可建立空间直角坐标系，求出平面OMN与平面OBCD的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得平面0MN与平面OBCD夹角的余弦值.20.(6 分)为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有4 B,C三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对A,B,C三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：问题ABC答对的概率0.6().50.2获得的荣誉积分10002000300()(1)(5 分)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；(2)(1 分)若小明按照4

16、B,C的顺序答题所获得的总积分为X,按照(在下列条件 中任选一个)的顺序答题所获得的总积分为丫，请分别求X,y的分布列，并比较它们数学期望的大小.(De,B,A-,B,A,C：A,C,B注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)解：记事件E：小明随机选择一道题并答对；事件D y小明选择问题4事件。2：小明选择问题B；事件。3：小明选择问题C;则。=DIU D 2 U A，且。1，D2,D 3两两互斥；事件4 B,C分别为：小明答对问题4,B,C;由题意知：P(Di)=P(D2)=P(03)=J,P(A|DD=0.6,P(8|Z)2)=0.5,P(C|D3)=0.2；P(E)

17、=P(D i)P(g)+P(D2)P(B|D2)+P(D3)P(C|D3)=1 X 0.6+1 X 0.5 4-1 X 0.2=(2)解：由题意知：X所有可能的取值为0,1000,3000,6000，P(X=0)=P(A)=0.4；P(X=1000)=P(AB)=0.6 X 0.5=0.3；P(X=3000)=P(ABC)=0.6 x 0,5 x 0,8=0.24；P(X=6000)=P(ABC)=0.6 x 0,5 x 0,2=0.06；X的分布列为：X0100030006000p0.40.30.240.06则数学期望E(X)=0 X 0.4+1000 X 0.3+3000 X 0.24+6

18、000 X 0.06=1380；若选条件，丫 所有可能的取值为0,3000,5000,6000，A P(Y=0)=P(C)=0.8；P(Y=3000)=P(C月)=0.2 X 0.5=0.1；P(Y=5000)=P(CB4)=0.2 x 0,5 x 0,4=0.04；P(Y=6000)=P(CBZ)=0.2 x 0.5 x 0,6=0.06；.1 丫 的分布列为：Y0300050006000P0.80.10.040.06则数学期望E(y)=0 x 0.8+3000 X 0.1 4-5000 X 0.04+6000 X 0.06=860,A E(X)E(y)；若选条件，y所有可能的取值为0,20

19、00,3000,6000,P(Y=0)=P(B)=0.5；P(Y=2000)=P(BA)=0.5 x 0.4=0.2；P(Y=3000)=P(BAC)=0.5 x 0.6 x 0.8=0.24；P(P=6000)=P(BAC)=0.5 x 0.6 x 0.2=0.06；丫 的分布列为：Y0200030006000p0.50.20.240.06则数学期望E(y)=0 x 0.5+2000 X 0.2 4-3000 x 0.24+6000 X 0.06=1480；A E(Y)E(X)；若选条件，y所有可能的取值为0,1000,4000,6000,P(Y=0)=P(A)=0.4；P(Y=1000)=

20、P(AQ=0.6 x 0.8=0.48；P(y=4000)=PACB)=0.6 x 0,2 x 0.5=0.06；P(Y=6000)=P(ACB)=0.6 x 0,2 x 0.5=0.06；丫 的分布列为：Y0100()40006000P0.40.480.060.06则数学期望E(y)=0 x 0.4+1000 x 0.48+4000 x 0.06+6000 x 0.06=1080；A E(X)E(Y).【解析】【分析】(1)由题意，小明随机选择一道题目答对的可能性有三种，再利用全概率公式进行求解即可得小明答对的概率；(2)先求得X的分布列及期望，再求得 这3种情况的分布列与期望，再进行比较即

21、可得它们数学期望的大小.2L(10分)已知抛物线C：y2=2p久(p 0)上的点M与焦点F的距离为|,且点M的纵坐标为2即.(1)(5分)求抛物线C的方程和点”的坐标；(2)(5分)若直线 与抛物线C相交于4,B两点，且 证 明 直 线/过 定 点.,p _ 5【答案】(1)解：设MQo,2洞，贝I 产 +2=2,解得:2px0=4P 抛物线C：y2=2x；M(2,2).(2)解：由题意知：直线2斜率不为零，可 设&x=my 4-n,y)，丫2)，由f y 2：得：2 _ 2my-2n=0,A A=4m2+8n 0,即租2+2九 0；(x=my+n z z yi+y2=2m,y1y2 二 -2

22、九；.,y i-2_ y i-2 _ 2 _ y2-2 _ y2-2 _ 2 M A X 1-2 王4 y1+2,叱 2 千，2又MA 1 MB,kMA-kMB=31+2)32+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=2n+4m+4=-1;则n=2m+4(此时那+2n=m2+4m+8=(m+2)2+4 0成立)，直线&x=my+2m+4=m(y 4-2)+4-当y=-2 时，x=4,.直线 恒过定点(4,-2).【解析】【分析】(1)由点M 的纵坐标求出横坐标，结合抛物线的定义可求出p 的值，从而得到抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)由题意可知，直 线 的斜率不为0,设其方程为x=ty+m,

23、设 4(乙，),B(x2,y2),联立直线I与抛物线方程，由韦达定理可得y1+y2=2m,%兀=一 2葭 又M A LM B,得 kMA-kMB=一f 十 4m 十 4=T 即 n=2m+4,再代入直线2的方程，即可得到直线I过定点坐标.22.(10分)设函数f (x)=(x+a)ex,已知直线y=2x+1是曲线y=/(%)的一条切线.(1)(5 分)求a 的值，并讨论函数/(%)的单调性；(2)(5 分)若/(%i)=f (上)，其中证明：x1-x2 4.【答案】(1)解：设直线y=2%+1与曲线y=/(%)相切于点(%。,/(x0)/(%)=(%+Q +l)e”,.f(%o)=(%。+Q+

24、l)ex=2；又/(&)=(%o+a)e*=2x0+1,A 2-ex0=2xQ+1,即e*。+2x0-1 =0；设g(x)=靖+2%-1,则g(x)=e%+2 0,.g(x)在R上单调递增，又。(。)=0，0(%)有唯一零点%=0，=0，a+1=2,解得：a=1；/(x)=(%+l)ex,/(%)=(x+2)e”，则当工(8,2)时，f(x)0；/(%)在(一 8,-2)上单调递减，在(一 2,+8)上单调递增.(2)解：由 知：/(%)m in=/(-2)=-e-2 V 0；当 工 1时,/(%)1时,/(%)0,.2 V 上 4,只需证打号 /分又/%)=/。2)，则只需证/。2)/(为

25、对任意 2 e(-2,D恒成立；人 2设g)=f(x)/)(2 x -1),4(x)=(x+2)ex+8(爹2)e*=(x-)e x(x3ex4+8)；设p(x)=x3ex+8(-2%-1),则p (x)=xexx.(%+1)+彳 o,p(x)在(一 2,一 1)上单调递减，p(x)p(-2)=-8 +8 =0,4又当一 2%-1 时，(x+2)好 (),x3 h(x)在(一 2,-1)上单调递增，二/1(%)八(-2)=/(-2)-/(-2)=0,即/(x)胫)在 无 (-2,1)时恒成立，又 久 2(-2,1),原不等式得证.【解析】【分析】(1)设直线y=2 x+l 与曲线y=f(x)相

26、切于点(X。，/(q)，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到e x。+2 与 1=0,设g(x)=ex+2x-1,利用导数确定g (x)有唯一的零点x=0,进而得出a 的值；代入f(x)后，根据f(x)的正负可得单调区间；(2)根据f (x)的单调性和f (x)的正负可确定X 1-2X2/(上)对任意%2 6 (-2,-D恒成立，设/i(x)=/(%)/4)(一 2%h(-2)=0,由此可证得%i%2 4.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：85分分值分布客观题（占比）25.0(29.4%)主观题（占比）60.0(70.6%)题量分布客观题（占比）13(59.1%)主观题（占比）9(4

27、0.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题4(18.2%)5.0(5.9%)解答题6(27.3%)56.0(65.9%)多选题4(18.2%)8.0(9.4%)单选题8(36.4%)16.0(18.8%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(63.6%)2容易(31.8%)3困难(4.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1直线与平面垂直的性质10.0(11.8%)192函数的周期性2.0(2.4%)123利用导数求闭区间上函数的最值2.0(2.4%)84直线与圆的位置关系2.0(2.4%)105归纳推理2.0(2.4%)166等

28、比数列的通项公式10.0(11.8%)177直线与圆锥曲线的综合问题10.0(11.8%)218平面与平面垂直的判定2.0(2.4%)59排列、组合及简单计数问题2.0(2.4%)610函数奇偶性的判断2.0(2.4%)1211相互独立事件的概率乘法公式6.0(7.1%)2012双曲线的简单性质1.0(1.2%)1413互斥事件的概率加法公式6.0(7.1%)2014同角三角函数间的基本关系2.0(2.4%)315数列的求和12.0(14.1%)11,1716诱导公式2.0(2.4%)317正弦定理10.0(11.8%)1818利用导数研究曲线上某点切线方程10.0(11.8%)2219复数代

29、数形式的乘除运算2.0(2.4%)220数列递推式2.0(2.4%)1121余弦定理10.0(11.8%)1822众数、中位数、平均数2.0(2.4%)923离散型随机变量及其分布列6.0(7.1%)2024函数奇偶性的性质1.0(1.2%)1325棱柱、棱锥、棱台的体积1.0(1.2%)1526抛物线的标准方程10.0(11.8%)2127极差、方差与标准差2.0(2.4%)928直线与平面垂直的判定10.0(11.8%)1929椭圆的定义2.0(2.4%)730利用导数研究函数的单调性2.0(2.4%)831交集及其运算2.0(2.4%)132分析法和综合法10.0(11.8%)2233函数的图象2.0(2.4%)834向量数乘的运算及其几何意义2.0(2.4%)435余弦函数的单调性2.0(2.4%)1236用空间向量求平面间的夹角10.0(11.8%)1937离散型随机变量的期望与方差6.0(7.1%)20