2021高考全国甲卷数学（文）真题点评.pdf

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1、2021高考全国甲卷数学（文）真题点评一、试卷使用地区2021年全国甲卷即原来的全国H I 卷，使用地区为四川、云南、贵州、广西、西藏二、试卷总评2021年高考数学全国甲卷文科命题,落实高考内容改革总体要求,贯彻德智体美劳全面发展教育方针，聚焦核心素养,突出关键能力考查,体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向.深化新时代教育评价改革总体方案 提此构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式.2021年高考数学全国甲卷文科命题积极贯彻 总体方案要求,加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如第21题给出已知条件,要求考生根

2、据条件推测结论,并进行证明,充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养.该套试题突出数学本质,重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,通过设计真实问题情境,体现数学的应用价值.如第2 题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景,通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，以此设计问题,考查考生分析问题和数据处理的能力.身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质，健全人格,锻

3、炼意志.本套试卷对此也有所体现，如 第 6 题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力.此外,该套试卷还具有入手容易的特点,如前9道题都为常规试题,且运算量都比较少,这样的设置充分考虑的文理的不同，能迅速稳定考生生情绪,让考生考出真实水平，此外保证文科试卷更容易的前提条件下,为与新教材文理同卷接轨,今年的文理相同题目及姊妹题也有所增加.总之,2021年高考数学全国甲卷文科很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，试题有坡度，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.三、考点分布细目表题号命题

4、点模 块（题目数）1集合的交集集 合（共 1题）2频率分布直方图概率与统计（共 3 题）3复数的概念与运算复 数（共 1题）4函数的单调性函 数（共 4 题）5双曲线解析几何（共 3 题）6指数与对数的应用函 数（共 4 题）7三视图立体几何（共 3 题）8解三角形三角函数与解三角形（共 3 题）9等比数列数 列（共 2 题）1 0古典概型概率与统计（共 3 题）1 1三角变换三角函数与解三角形（共 3题）1 2函数的性质函 数（共 4 题）1 3平面向量的数量积平面向量（共 1 题）1 4圆锥的侧面积立体几何（共 3 题）1 5三角函数的图象与性质三角函数与解三角形（共 3 题）1 6椭圆解

5、析几何（共 3 题）1 7独立性检验概率与统计（共 3 题）1 8等差数列数 列（共 2 题）1 9线线垂直的证明及体积的计算立体几何（共 3 题）2 0函数的单调性及函数图象交点个数1 .函 数（共 4 题）2.导 数（共 1 题）2 1圆与抛物线解析几何（共 3 题）2 2极坐标与参数方程选修4-42 3绝对值函数的图象及恒成立问题选项4-5四、试题深度解读1.设集合加=1,3,5,7,9 ,=何 2%7 ,则 0 =（）A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 1）.1,3,5,7,9【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.答案：B解：因

6、为 =l,3,5,7,9 ,N =H 2 x 7 =（T，+8）,所以McN=5,7,9 ,故选B.点评：集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3 题的位置上,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系，这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合均为不等式的解集,但无需化简,足见命题者有意降低试题难度,突出对交集概念的考查,该题难度与往年老教材全国卷I I I 的文科集合试题难度相当.知识点：1 .求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等，如

7、x|尸 f(x),y|尸 f(x),(x,y)|尸 f(x)三者是不同的.；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(V e n n).2 .为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于1 0.5万元的农户比率估计为1 0%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过

8、6.5 万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【命题意图】本题考查频率分布直方图及样本的数字特征，考查数据分析与直观想象的核心素养.难度：容易.答案：C解：因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体 的 相 应 比 率 的 估 计 值.该 地 农 户 家 庭 年 收 入 低 于 4.5万元 农 户 的 比 率 估 计 值 为0.02+0.04=0.06=6%,故 A 正 确；该 地 农 户 家 庭 年 收 入 不 低 于 1 0.5 万元的农户比率估计值为0.0 4 +0.0 2 x 3 =0.1 0 =

9、1 0%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.1 0+0.1 4 +0.2 0 x 2 =0.6 4 =6 4%5 0%,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选C.点评：统计图表是高考考查的热点，但考查方式不限于课本涉及的统计分布直方图及茎叶图，生产与生活中常用的折线图、柱形图、扇形图、雷达图

10、在高考中多次考查.知识点：1 .解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示慧,故每组样本的频率为组距X舞,即矩形的面积.(3)直方图中每组样本的频数为频率X总体数.2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法(1)众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；(3)平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.3 .已知(l-i z=3 +2 i M J z=()AA.,1 3.z Bn.-1,+3z,C八 .-3-H.Dn .-3-12 2 2

11、2答案：B解：解法一：因为(1 ,所以 z=上2=(3 +2 f)?=上至=1 +3，.故选 B.-2i-2i-i 2 2解法二：因为(1 if =2,.，所以 Z=2 2=3r +2 0,力0）中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率4=满足关系式1=1 +欧a6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据/和小数记录表的数据1 的满足L =5 +lgV .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（痂“1.2 5 9）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【命题意图】本题考查对数式

12、与指数式的互化，考查数学运算的核心素养.难度：容易.答案：C1 1 1解：由 L =5 +lgV,当 L =4.9 时，lgV =-O.l,则V =1（T J =1 0 1 0=丁=-a 0.8.W）1.2 5 9故选c.点评：本题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和近似求解能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质,健全人格,锻炼意志.知识点：若。0且a w l,N0,则a=N=logrt N=b.7.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A

13、-EEG后,所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）【命题意图】本题考查三视图的识别，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：容易答案：D解：由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为点评：有关三视图的试题,往年大多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年考查三视图的识别,不需要计算,难度也有所降低,属于送分题.知识点：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式

14、,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.8.在 AABC中，已知 8 =1 2 0 ,AC=M，A B =2,则 8C=()A.1 B.0 C.D.3【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.难度：容易答案：D解：解法一：设 A B =c,AC=b,BC=a,=a1 2+c2-2ac c osB 可得：1 9 =。？+4 2 x x co s I 2 0 .1 .s/3 _ 1 y/57 y/

15、3 4A/T9 3 5 7 1-r-ai-ci z i ffl Tr r -1=s i nC+-co sC =x -+x=-，再由止弦XE理可侍 3A/5 7 s i n 1 2 0 2 2 2 1 9 2 1 9 3 o3 8所以B C=3.点评：给出三角形的两边与一边所对的角求第三边，可以用余弦定理整理出关于第三边的一元二次方程(解法 一)，也可以先用正弦定理求出其中一个角，再利用正弦定理或余弦定理求第三边(解法二).知识点：已知三角形的三条边求三个角，可用正弦定理，已知三角形的两边及其夹角求第三边可用正弦定理;已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形，可用正弦定理也可用余弦定理，但要注

16、意三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.9.记S“为 等 比 数 歹 的 前 项 和.若S?=4,S4=6,贝1$6=()即：+2 a i 5 =o,解得：。=3 或 a=5 (a=-5 舍 去)，所以 B C =3.故选 D.解法二：由正弦定理得上 曳=,即=一甄，解得s i n C =亘，s i nC s i n 8 s i nC s i n 1 2 0 1 9由题意可知C为锐角，所以co s C =J l s i n2 c=彳，所以s i nA =s i n(B +C)=【命题意图】本题考查等比数列基本量的计算,考查数学运算的核心素养.答案：Aa解法一：

17、由题意可知等比数列 4 的公比4。1,所 以，i-q1 1 _，解 得 4 =小:一 =8,所以S6=-X(1-/)=8X 1 出=7,故选 A.解法二：由等比数列的通项公式可得s2ll=S (1 +q ),S3,=s.(1 +q +/),所以*=1 +d =2 ,J?z解得q 2=g,所以5 6 =邑(1 +/+/)=2(1 +(+=7,故选人.解法三:S 为 等 比 数 列 4的 前n项 和，.邑，S4-S2,6-8 4 成 等 比 数 列 S2=4 ,S4-S2=6-4 =2 /.S6-S4=1,56=1 +S4=1 +6 =7.故选 A.点评:高考全国卷中,若解答题没有数列题，客观题中

18、一般有2 道数列题，数列客观题一般具有小巧活的特点,恰当使用数列的有关性质可提高解题速度.知识点：1 .在等比数列五个基本量a“q,n,a”,S 中，已知其中三个量,可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前 项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换,根据前项和公式列方程还要注意对g 是否为1 进行讨论.2 .设等比数列 的公比为q,前 n 项和为S,则S2n=Sn l+q),S3 n=5(1 +qn+q2)3 .设等比数列 a,前 n 项和为S,若 5,S2-S,S3-S2 n,54-S3,的各项均不为零,则该数列为等比数列.1 0.将 3 个 1 和

19、2个 0随机排成一行,贝U 2个 0不相邻的概率为()A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【命题意图】本题考查古典概型.考查逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易答案：c解：将3个1和2个0随机排成一行,可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100.共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法,故2个0不相邻的概率为2=0.6,故选C.点评：概率与统计是高考重点，在高考试卷中既有客观题又有解答题，由于该模块涉及知识点比较多,高

20、考命题没有固定的热点，一般情况下，统计与概率、随机变量的分布列都会涉及，客观题至少会有2道.求解本题的关键是正确计数,注意4个1和2个0分别为相同元素,不要误用排列计数.知识点：古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件4包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法,具体应用时可根据需要灵活选择,注意用列举法时要按照一定的标准进行列举，防止重复与遗漏.(乃)COS CL11.若aw 0,tan2a=3；4，则 ta n a=()I 2 J 2-sin a-而-R石 r V5D.-15 5 3。半【命题意图】本题同角三角函数基本关系式及二倍

21、角公式的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中点答案：A解:由 tan 2acos a2-sin a可得tan 2a=sin 2。cos 2a2sinacosa_ cos al-2sin2a 2-sin a八 2sina 1 ”口 .1.a 0,-cos a w 0,-=-,解得 sin a=一,I 2；l-2sin2a 2 sina 4/.cos a=vl-sin2 a包里=巫.故选A.4cos a 15点评：三角函数与解三角形是高考中的重点，若解答题中没有解三角形，则客观题中一般有3道三角函数与解三角形试题,这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角形.知识点：1.利

22、 用sin2a+cos2a=l可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角。所在象限确定符号；利 用 包 区=COS atan 可以实现角。的弦切互化.2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表 示.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于所求角”与“己知角”的和或差、倍的关系.1 2 .设“X）是定义域为域的奇函数，且f（l+x）=/（f）.若 ；）=J则/图=（）【命题意图】本题考查函数的奇偶性与周期性，考查数学抽象与数学运算的核心素养.难度：中等.答案：C解:解法一由题意可得呜卜小+|卜 -|卜-/1|），而.

23、故选C.解法二：因为/（X）是奇函数，所以l +x）=/（-x）=/（x）,x +2）=-x +l）=x）,所以1+2,故选C.点评：函数的奇偶性是高考考查的热点,若单独考查，一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.知识点：函数对称性与函数周期性的关系 若 函 数 的 图 象 既 关 于 直 线X =a对称，又关于直线x =对称（aH。），则 是 周 期 函 数，且2（8 4）是它的一个周期.若 函 数/（力 的图象既关于点（。,0）对称，又关于点他,0）对 称（。*幼，则/（X）是周期函数，且2他一可是它的一个周期.若 函 数“X）的图象既关于直线x =a对称，

24、又关于点他,0）对 称（a 则/（X）是周期函数，且4 e-a）是它的一个周期.13 .若 向 量 满 足=3,卜一 =5,。%=1,则忖=.【命题意图】本题考查平面向量数量积的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易答案：3 yli解：解法一：卜一.=5,二卜 _ =1+片 _2Q.=9+W-2 =25.明=3&.解法二：W=一(B)=a2-2a+2a-b+(a-b =J-9 +2+25=3及.点评：平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题，也可以是中等难度题，中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题属于

25、常规题型,难度与课本练习题难度相当,且学生训练比较多,所以此题属于得分题.知识点：平面向量数量积求解问题的策略a h求两向量的夹角：c o s夕=屈 行，要注意。WO,两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a L b a A=0 a-b =a+b .求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：W =a a=e l?或 3=4 羡 i;a b|=ja+2a b+b;若 a(x,y),则 I a|yx+/.1 4.己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万，则该圆锥的侧面积为一.【命题意图】本题考查圆锥侧面积的计算，考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易答案：39万点评：有关空间

26、几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法.知识点：1.计算棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积,可以分别求各面面积，再求和,对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.2.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换顶点与底面

27、)等,它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法,应熟练掌握.利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题.1 5.已知函数/(x)=2 cos(o r+9)的部分图像如图所示，则/.【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：中等偏易答案：Y心5曰 3 13万冗 3兀 2乃解：由题忌可得：T =-=T-=2,4 12 3 4 T当 x=-时，c ox+(p=2 x-+(P =2k7i,:.(p=2k兀 一X兀(k G Z),令k=1 可 得:夕=一看,据此

28、有/(x)=2cos(2 X-3)j d =2cos(2c、_/)=2 co sq =_ 点评：本题易错之处是根据了0错误认为2(+0=-5 +21%,(攵2),得 出/11=6的错误结论，提醒考生注意：根据零点确定夕的值要注意区分该零点是在递增区间内还是递减区间内.知识点：根 据 尸/sin(“x+0),xGR的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到4与。(I)/为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半.(II)。由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的

29、距离也是函数的半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 个周期(借助图象很好理解记忆).(2)求。的值时最好选用最值点求.JIJI峰点：a)x+=+2An；谷点:。=一万+24冗.也可用零点求，但要区分该零点是升零点,还是降零点.升零点（图象上升时与X 轴的交点）：3x+=2ks；降零点（图象下降时与X 轴的交点）：3 X+0=3 1 +20（以 上 版 Z）.2 21 6.已知片，工 为椭圆C：器+亍=1的两个焦点,A0为 C 上关于坐标原点对称的两点，且归。|=|耳用，则四边形P F Q B的面积为.【命题意图】本题考查椭圆的定义及几何性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素

30、养.难度：中等偏易.答案：8解：因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，耳，F2也关于原点对称,所以四边形P 6 Q E为平行四边形，XI PQ=FF21,所以四边形尸 尸。鸟 为矩形,设I PF=m,PF21=，则加+=8,+-4 8,所以64=（加+y=m2+2mn+n2=48+2mn,幡?=8,即四边形PFQF2面积等于8.点评：注意与椭圆焦点弦长或焦半径有关的计算问题及与焦点有关的距离问题,常利用椭圆的定义求解.本题通过椭圆定义整体代入,直接求m n,避开了复杂的运算.知识点：椭圆中几个常用的结论：焦点三角形：椭圆上的点。（风 外）与两焦点构成的分诋叫做焦点三角形.=|/K,及=|你A

31、FyPFz殳=，阳 的面积为S则在椭圆F+N=1（2。）中：当 八=2时,即点P的位置为短轴端点时，。最大；S=4 t a 4=c|%|,当|为|=方时，即点尸的位置为短轴端点时,S 取最大值,最大值为be.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长.a2 2（3）49 为椭圆2+方=1（4 60）的弦,力（小,乃），B（x%，弦中点.4/（A b,y0）,则a o弦长7=A/1+A-2I xi检 及I；直线4?的斜率幺8=一牛.1 7.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了 200件产品，产

32、品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15 05 0200乙机床1208 0200合计27 0130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?n(ad-be)2(a+b)(c+d)(a +c)(b+d)P(K2k)0.05 00.0100.001k3.8 416.6 3 510.8 28【命题意图】本题考查频率的计算与独立性检验，考查数据分析与数学建模的核心素养.难度：容易解：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为黑=7 5%,乙机床生产的产品中的一级品的频率 为 些 =6 0%.200 =400

33、(150X80-120X50)2=400I()6J63527 0 x13 0 x200 x2003 9故能有9 9%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.点评：作为解答题,本题实在太容易了，只相当于课本基础题的难度,且这种题型平时训练较多,该题就是送分题.本题文科与理科试题相同,最近两年的高考试卷在使文科试题更容易的前提下,文理相同试题有所增加.知识点：独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x 与 y 没有关系；(2)计算出Y的观测值，其中K?_ n(ad-bc)2(a +Z?)(c +d)(a +c)(/?+d)(3)把 K/的值与临界值比较，作出合理的判断.注意：在列联表中注

34、意事件的对应及相关值的确定,不可混淆.1 8.记 S“为数列 a,的前项和，已知4 0,4 =3 4,且数歹I 后 是等差数列,证明：4 是等差数歹山【命题意图】本题考查等差数列的证明，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.【证明】数列 四等差数列，设公差为d =后 一 屁=信几 一 如=册,后=8+(江一1)弧，(nwN*)*.Sn=a,n2,(neN*).当 2 2 时，/=Sn-S_|=atn2 一 -1)-=2 q -%当 =1 时，2q x 1 -q =4,满足 an=2a*-a,(的通项公式为an=2atn-ait(n e N,)7.an-an_x=(2a|_ q)一 2a(_ l)_

35、 q =2 4.q,是等差数列.点评：本题与理科18题是姊妹题,只是比理科试题更容易.注意在利用4 =S -Sn_1求通项公式时一定要分“=1 与 2 2 两种情况讨论.知识点：等差数列的四种判断方法(1)定义法：a“+ia k d(是常数)=a 是等差数列.(2)等差中项法：2a+i=a+aa+2(eN*)Q fa”是等差数列.(3)通项公式：a,尸w+g(p,q 为常数)o a,是等差数列.(4)前项和公式：+胡(4 5 为 常 数)=a 是等差数列.注意证明“是等差数列，只能用(1)(2).1 9.已知直三棱柱A B C A g C 中，侧面A&4 8 为正方形，AB=BC=2,/分别为

36、A C和CC,的中点，(1)求三棱锥产一砂。的体积;(2)已知为棱4片 上的点，证明：B F D E.【命题意图】本题考查几何体体积的计算及线面位置关系的证明，考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等.解：(1)解法一：如图所示，连结力由题意可得：BFVBCCF?=7 1=石，由于 ABL BB”BCV AB,8 8 1 n B e =6,故 A B _ L平面 B C C.B,而 5Eu平面 BCCiB，故 A 8 _ L 5/，从而有AF=彳 短 1万 声=可 石=3，从而 AC=JAF2CF2=万=20，则A B2+B C2=A C2,:.A B I B C,AAbC为等腰直角三角形

37、，5ABCE=1 BC=1XX2X2=1.VF.BC=|XSABCXCF=X1X1 =1.解法二：因为ABL BB、,BCV AB,3 片 B,所以？J_ 平面BCC.B,所 以/_ 8 C =瞑-稗。=g%-F B c =；*；*4 8*5.8 0 =；乂；乂 2 ；*1 乂 2=3.(2)解法一：由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2 的正方体A6 CM-A4cMi，如图所示，取棱A M,B C 的中点 H,G,连结 A”,H G,G B i,D，4i/9/.BiM C正方形BCC声 中,G,方为中点,则BF 1 BQ,又 B E _ L A 4,4 4 n 4 G =4，故3歹_L平面

38、4A G”，而。七u平面4 BfiH,从而 BF J.DE.解法二：取BC中点G,连接EG,则EG4 g,A，4，G,E共面，且4 4,所以B EL EG,连接A,E,用G,由四边形B,C,CB为正方形,可得BF 1 BtG,因为3G nE G =G，所以 防 _1_平面A&GE,因为D E u平面4 AGE,所以J_ DE.因为三棱柱ABC 4 8 c l是直三棱柱,所以BB上底面ABC,所以8片，AB因为A 4 A8,B/_L 4片，所 以 班L A 5,点评：立体几何解答题是高考全国卷必考题，难度中等,一般分2问，通 常1问考查平行或垂直的证明，1问考查求几何体的表面积、体积或距离问题,

39、对于线面位置关系的证明,步骤不规范是失分的主要原因,对于求几何体的表面积、体积或距离问题,运算错误是失分的主要原因.知识点：1.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(aa aJ.a n Z d.。)；面面平行的性质(a_L%。2=a_L )；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.2.证明面面垂直的常用方法及关键(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a J,a u a=a j.).(2)在已知平面垂直时,

40、一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.证明线面位置关系应注意的问题(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.2 0.设函数/(x)=a、？+o x -31 n x +1,其中 a 0.(1)讨 论 力 的单调性；(2)若 y =/(x)的

41、图象与x轴没有公共点，求 a的取值范围.【命题意图】本题考查函数的单调性及函数图象交点问题.考查逻辑推理与数学运算的核心素养.解：(1)函数的定义域为(0,+8)，又/(尤)=(2”、+3)(“X-1),X因为。0,x 。，故2c H*+3 0,当0%,时，/(x)o；a a所以/(x)的递减区间为1 0,，递 增 区 间 为+8)(2)由得在上递减，在 1,+8 上递增,所以=3 -3 1 n L =3 +3 1 n aa因为y=/(x)的图象与x轴没有公共点，/=/+。+1 0,所以3+3 1 n a 0 即a.e所以3的取值范围是(J,+8).点评：注意第2问的求解要规范，=的图象与x轴

42、没有公共点，有两种可能，一是x)0恒成立，由/0排除 0恒成立,这一点必须交代清楚.知识点：含参数函数单调性的讨论(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f (x)=0是否有根；若/(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如(x)=3/20(F(x)=0在x=0时取到)，f(x)在R上是增函数.22.抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴 上,直 线 八x =1交，于A 0两

43、点,且O P _ L O Q .已知点M(2,0),且O M与/相切.(1)求 以 的 方 程；(2)设4,4,4是C上的三个点，直线A 4,44均 与 相 切.判 断 直 线 与 M的位置关系，并说明理由.【命题意图】本题考查圆与抛物线的方程及直线与圆、抛物线的位置关系，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：中等偏难.解：(1)依题意设抛物线C：/2=2p x(p O),P(l,y o),Q(L-y o),-.OPOQ,:.OP OQ=l-=l-2 p =0,:.2p=,所以抛物线。的方程为V=x,M(0,2),OM与x =l相切，所以半径为1,所 以 的 方 程 为(x 2)2+V=i；

44、(2)设4(/2%),4(%2，%)，4(%2，%)，则 M，%，为互不相等，所以A&方程为(一必2)(%乂)=(丁一必)(必2必2)，因为y#%，%一M H0,所以=(必+必)(、一,)，展 开 整 理 得 所 以 直 线 方 程 为x-(y+必)y+%=0,同理直线4 A 3的方程为x-（x +%）y+M%=o，直线A A的方程为 一（%+%）y+必必=o,.|2+%月1 1：A4与圆A/相切，/2=J 1 +（M +%）-整理得（才-1）+2y跖+3 -才=。,同理可得。：-1）$+2%+3-褚=。所以%，%为方程（犬-1）丁+2 M y +3 -犬=0的两根，2M 3 y：%+%=-4

45、，%=寸 寸，必-1 J i -1M到直线44的距离为：1 2+3一火|2+%为|=:.J =1舟1 1 =l=i川+城 J :”y 7（K-D2+4J,2 犬+，所以直线4A3与圆M相切.点评：解析几何解答题是高考数学必考题,该题一般分2问，第1问通常为求曲线的方程,难度较小，第2问通常为直线与圆锥曲线的位置关系，一般运算量比较大,相当一部分同学会因为运算能力不过关而失分.知识点：过不同两点A（x，y）,6（工2，%）的直线方程为（%-%）（乂-y）=（y-y）（w一%），无论A B斜率是否存在,上式都成立、2 2.在 直 角 坐 标 系 中，以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，

46、曲线。的极坐标方程为p=2夜 c o s 0.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0），必为。上的动点,点一满足丽=0两，写出厂的轨迹G的参数方程，并判断。与G是否有公共点.【命题意图】本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化，圆的几何性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.解：(1)由曲线C的极坐标方程夕=20 c o s。可得夕2 =2收/9 c o s氏将x=p c o s a y=p s i n。代入可得/+/=2夜x,即(x-夜+丁=2,即曲线C的直角坐标方程为(x J 5 +y2 =2；(2)设P(x,y),设M(夜+&c

47、o s 6,及s i n。)AP/2 A M，r.(x-l,y)=V 5(及 +V 2 C O S 8 -1,0 s i n 夕)=(2 +2 c o s 0-V 2,2 s i n 8),x 1 =2 +2 c o s 0 sp2,x=3 /2 +2 c o s 0则 ，即 ,y=2 s i n。y=2 s i n。故一的轨迹&的 参 数 方 程 为3 0+2 c o s(。为参数)y=2 s i n 6 曲线C的圆心为(加,o),半 径 为 血，曲线G的圆心为(3-亚,0),半径为2,则圆心距为3-2逝，.3-2逝 2-血，二两圆内含，故曲线。与G没有公共点.点评：本题是一道基础题,与前两

48、年第2 2题相比较,今年的试题较为平和,学生更容易得分.知识点：1 .圆的参数方程x=rc os 0(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为“为参数)；,y=r s i n x=a+_r c o s 0(2)圆心为C(a,6),半径为r的圆的参数方程为 一,(。为参数).y=o+r s i n 02 .极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正向重合；取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x=p c o s。及y=0s i n。直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,

49、构造形如PCQSO,p si n 6,p-的形式,进行整体代换.2 3.已 知 函 数/(%)=卜 _2|，8(=|2%+3|_|21 .(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像;(2)若 x+a)2 g(x),求a的取值范围.【命题意图】本题考查绝对值函数图象的画法及不等式恒成立问题,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.,f2 x,x2y(2)/(X+Q)=|X+Q-2|,如图,在同一个坐标系里画出/(x),g(x)图像，y =f(x+a)是y =x)平移了同个单位得到，则要使f(x+a)g(x)，需将y =f(x)向左平移,即。0,当 y =/(x+a)过 时，|g+a 2=4,解得a =;或 g(舍 去)，点评：求解本题的关键是正确作出了(x),g(x)的图象，作含有绝对值的函数的图象，一般把函数转化为分段函数作图,第2问不少学生想不到利用图象求解,陷入复杂的分类计算之中，导致失分,故提醒考生求解数学问题不要“得意忘形”.知识点：作 y=|ma|n x-引型函数图象的步骤.(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间.(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号分别作出每个个区间上的图象,即得所给函数的图象