河北省故城县2021-2022学年高三下学期第一次联考数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1 .答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设,5 为非零向量，贝 叩+.=向+间”是与E共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 .已知集合A

2、=-1,0,1,2,B =x|(x+l)(x2)0 ,则集合4nB的真子集的个数是()A.8 B.7 C.4 D.33 .i是虚数单位，若 上 工=a+bi(a,bwR),则乘积出?的值是()2-zA.-1 5 B.-3 C.3 D.154 .已知“X)为定义在R上的偶函数，当x w(l,0)时，/(x)=3A+|,则/(log 3a=()A.-2 B.3 C.-3 D.25.设集合 A=yly=2，-1,xGR,B=x|-2x 5 =1 3 0,0）的焦点为月，F2,且 C上点p满 足 西.月 耳=0,冏=3,|朋1=4,则双曲线。的离心率为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0

3、分。1 3 .（5 分）国家禁毒办于2 0 1 9 年 H 月 5日至1 2 月 1 5 日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2 0 1 9 年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成2 0 道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是1 7,2 0,1 6,1 8,1 9,则这五位同学答对题数的方差是.1 4 .已知集合4 =卜 忖 1,%2,8 =吊0 4%4 2 ,则 408=.2 21 5.在平面直角坐标系x O y 中，双曲线0-乐=1 3 0 力 0）的焦距为2,若过右焦点且与X轴垂直的直线与

4、两条渐近线围成的三角形面积为0 2,则 双 曲 线 的 离 心 率 为.1 6.在棱长为6的正方体A B C D AAGR中，M是8c的中点，点 P 是面D C C R,所在平面内的动点，且满足Z A P D =Z M P C,则三棱锥P-B C D的 体 积 的 最 大 值 是.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2分)已知关于x的不等式|+m|-2 x 4 0解集为 1,M)(m0).(1)求正数?的值；2 2 2(2)设a/,c eR,，且a+/?+c =z,求证：1.b c a1 8.(1 2分)记S“为数列 4的前项和，已知S“=2,等比数列

5、也 满足=q,%=%.(1)求 4的通项公式；(2)求 也 的前项和7；.1 9.(1 2 分)如图，在四棱锥 PA B C Q 中，侧棱 F 4,底面 A B C。，AD/BC,A D =,P A =A B =B C =2,M是棱P 3的中点.(1)求证：AM平面P C D；(2)若/AB C =9 0 ，点N是线段C。上一点，且O N =g f C,求直线M N与平面P C D所成角的正弦值.2 0.(1 2分)如图所示,三棱柱A B C A4G中，。J平面4 B C,点。，E分 别 在 线 段,C上，且A Q =；A 4 ,DEI I A C,尸是线段AB的中点.(I)求证：E E平面B

6、CQ；(n)若A B J.A C,A B A C,A A =3 A B,求直线BC与平面BQE所成角的正弦值.2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=|x-3|+|x-l.(1)求不等式/(x)4 6的解集；(2)设/(x)的 最 小 值 为 正 数。，匕满足+4。2=加，证明：a+2b 4 ab.2 2.(1 0分)设Ze R,函数g(x)=A(x-e),其中e为自然对数的底数.Y(1)设函数/(%)=-.1-l n x若k=-l,试判断函数/(%)与g(x)的图像在区间(1,&)上是否有交点；求证：对任意的左e R,直线y=g(x)都不是y=/(x)的切线；(2)设函数(x)=2 x-x

7、l n x +x g(x)-e ,试判断函数/?(x)是否存在极小值，若存在，求出我的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若W+.=W+W，则)与万共线，且方向相同，充分性；当 与石共线，方向相反时，归+耳阳+忸 ,故 不 必 要.故选：A.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.2.D【解 析】转 化 条 件 得A n 3 =0,l,利用元素个数为的集合真子集个数为2 -1个即可得解.

8、【详 解】由题意得8=目(1+1)(1-2)0=川一1%2,=0,1，集 合A8的真子集的个数为22-1=3个.故选：D.【点 睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.3.B【解 析】1 +7/(1+7z)(2+z)1 厂.,a,二 世“-=-=1 +3，.a=1,人=3,。/?=3,选 B.2-z 54.D【解 析】2判 断-1 log3-1,H=x-2x3,xGZ)=-2,-1,0,1,2,3,.408=(),1,2,3,故选：C.【点 睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.6.D【解析】倾斜角为。的直线/与直线x+2y-3=0垂直，利用相互垂直的直线斜

9、率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线/与直线x+2y-3=0垂直，所以=,tan6=2.又。为直线倾斜角，解得s i n生.5故选：D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.7.C【解析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉:个球而形成的，所以它的表面积为O【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.8.A【解析】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得

10、随机变量X的数学期望值.【详 解】由题意可知，随 机 变 量X的可能取值有0、1、2、3,贝”(X=0)=M卷，p(x=l)=警=非 p(x=2)=萼=9 p(x=3)=m=C8 JO C8 30 C8 JO C8 JO因此，随 机 变 量X的数 学 期 望 为E（X）=0 xW +lx型+2x+3X-=2.56 56 56 56 8故 选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.9.A【解 析】由xe 0,篙 计 算 出2九+?的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y=/（x）的值域.JL/D【详 解】re 77r吟-九*,2x H G3*/X G.-si

11、n|2x+-|l,/3)=l n 2 l,所以排除选项 A、C,故选 D.1 2.C【解析】由复数除法的运算法则求出z ,再由模长公式，即可求解.【详解】由 Z =一 1 +z|=啦 1 z-故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.2【解析】由这五位同学答对的题数分别是1 7,2 0,1 6,1 8,1 9,得该组数据的平均数1J 7+2+：+1 8+1 9=8,则方差$2 =-X(17-18)2+(2O-18)2+(16-18)2+(1 8-1 8)2+(1 9-1 8)2 =2 .5 51 4.0,1【解析】直接

12、根据集合A和集合B 求交集即可.【详解】解：A =x|x 4 l,x e Z ,B =x|0 x AB=C 即一 c=c2,a a 2 a所以。=力，离心率e=Jl+(g)2=血.故答案为：72【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立a,c的方程或不等式，是一道容易题.16.12 百【解析】根据WAA0P与用相似，P D=2 P C,过P作PO_LCD于。，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出3 =3/+4 8 x 7 4 4，0 x P=NMCP=90，R t k A D P与 RfAMCP相似即尸。=2PC,.AD _PD 2.MC PC过P作POJ_CD于。，设=P

13、O =h,=2,(6-句+肥,化简得：3 A2=-3X2+4 8X-1 4 4，0 X 6,根据函数单调性判断，x =6时，3 取得最大值3 6,4m=2百，在正方体中尸0，平面4 8。.三棱锥P-8 C 0体积的最大值为xx 6x 6x 2出=12 63 2【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)1；(2)证明见解析.【解析】(1)将不等式|x+mI-2 X W 0化为2 x 2 b-c,-2 c-a,三式相加，即可得证.b c a【详解】(1)解：不 等 式|%+m|-2 x mA

14、5 加，而70,于是X N 6x -3依题意得m=1(2)证明：由(1)知。+力+c=l,原不等式可化为空+.+b cV a.b.ceR,a1-vb1 2abA -2 a-b 9 同 理 上2 2/7 c,-2 c-ab c a2 12 2三式相加得土+丝+二Z a +/?+c,当且仅当a =b =c时取等号b c a综 上 土+%+12 1.b c a【点 睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题.18.(1)=2 -1 (2)当q=3时，T=-；当q=-3时，TV n 2 2 4 4【解 析】(1)利 用 数 列a 与S”的关系，求得=2 -1 ；(2)

15、由(1)可 得：4=1,4=9,算出公比夕，利用等比数列的前项和公式求出T“.【详 解】(1)当=1 时，4=，=1,当 2 2 时，=Sn-S _ 1=rr-(n-1)2=2 n-l 因为=1适合上式，所以 a“=2一1(2)由(1)得 仇=1,4=9,设 等 比 数 列 也 的 公 比 为 则 仇=*才=9,解得夕=3,当4 =3时，7 1-3 2 2当 好.3时，T 1-(-3)4 4【点 睛】本题主要考查数列。”与S”的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力.、丽19.(1)证明见解析；(2)上13【解 析】(1)PC的中点E，连接EO,M E,证 明 四 边

16、 形 是 平 行 四 边 形 可 得40/Q E,故而AM/平面PC。:(2)以A为原点建立空间坐标系，求出平面PCO的法向量比，计 算 而 与玩的夹角的余弦值得出答案.【详解】(1)证明：取PC的中点E,连接包,M E,：M,E分别是PB,PC的中点，:.ME/BC,M E =-B C,2又 A D H B C,A D =-BC,2:.AD/ME,A D=M E,四边形A D E M是平行四边形，r.E AM,又DEu平面PCD,AM6平面PC。，AM平面 P C D.(2)解：.Z/WC=90,又A D H B C,故ADLAB,以A为原点，以AO,A B,AP为坐标轴建立空间直角坐标系A

17、-A，Z,则 A(0,0,0),D(y,0,0),8(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),A7是PB的中点，N是。C的三等分点,M(0 ,1,1),N(,0),_ _ 4 1 _ _:.M N =(-,一 一，-1),P =(1,(),-2),P C=(2,2,-2),3 3设平面PC。的法向量为历=(x,2),贝(Iin-PC=0一 ，即m-PD=02x+2y2z=0 x 2z-0令 x =2 可得机=(2,1,1),A W.m =x 2 +f-x(-l)+l x(-l)=2 ,|谢卜+(_ )+(T)2|/n|=-22 4-(-l)2+12=V6.cos MN,m_ MN.m

18、 _ 2-iM/VUml-V26/7-x V6313直 线M N与 平 面P C。所成角的正弦值为 13【点 睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题.2 0.(I )证明见详解；(II)5【解 析】(I)取 用。中 点 为G,根据几何关系，求证四边形尸GQE为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；(II)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【详 解】(I)取 用。的 中 点G,连 接C Q,尸G.如下图所示：因 为 尸，G分 别 是 线 段A 3和g。的中点，所以尸G是 梯 形A DB/的 中 位

19、线，所 以F G/A D.又 A D/CG，所以 F G C C因为 A D CG，D E/A C,所以四边形ADEC为平行四边形，所以AD=C.所以E =：CG，F G =ADB B=|CC=C,E.所以四边形EGGE为平行四边形，所以EF/CQ.又E bZ平面8 c Q,。=平面8。，所以EE平面4G。.(I I)因为AB_LAC,且平面ABC,故可以A为原点，A B的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,所以 C(O,O,1),B(1,O,O),B,(1,3,0),0(0,1,0),E(0,l,l).所 以 肥=(T，0，D，=(-l,-2,0),诙=(0,0,1).设平面B Q

20、 E的法向量为n=(x,y,z),则H BQ=On-D E =0 x+2y=0,z=0.所以可取力=(2,-1,0).设直线8C与平面B Q E所成的角为贝！sin 0=|2*(1)匚 加75x72-5故可得直线B C与平面B.D E所成的角的正弦值为叵.5【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.2 1.(1)-1,5 (2)证明见解析【解析】(1)将/(x)表示为分段函数的形式，由此求得不等式/(力4 6的解集.(2)利用绝对值三角不等式求得/(x)的 最 小 值/，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式a+%2 4成立.【详解】4 -2 x,x 1(1

21、)/(%)=2,l x 3“、x 3 fl x 3不等式“x)W 6,即 或 或4 ,)4-2 x 6 2 x-4 6 2 6即有一IWXWI 或3 W x W 5或 l x|x 3 x+1|=2,M =2,因为。0,b 0,所以要证a+北之出，只需证(a+2 0)2 z i6 a?2,即证 6+4 +4 ab 16a2 b2因为6+4 =2,所以只要证2+4 之1 6 a2 6,即证8(9-2小1 4 0,即证(4必+1)(2必-1)4 0,因为4而+10,所以只需证因为2 =+4/?2 2 4 a。，所以成立，2所以。+2 Z?之【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等

22、式，考查基本不等式的运用，属于中档题.2 2.(1)函数f(x)与g(X)的图象在区间(1,如)上有交点；证明见解析；(2)左 0且无二工；【解析】(1)令/(x)=/(x)-g(x),结合函数零点的判定定理判断即可；设切点横坐标为X。，求出切线方程，得到%=2 e-e/咻，根据函数的单调性判断即可;(2)求出(x)的解析式，通过讨论上的范围，求出函数的单调区间，确定上的范围即可.【详解】解：(1)当人=一1 时，函数g(x)=f +e,令 F(x)=J(x)-g(x)=,:+x-e,x e(l,&),-lnx则尸(l)=2-e 0,故尸网&)(),h(x)l-lnx+2k(x-e),tn(x

23、)=1 -Inx+2k(x-e),fi“、1 2kx 贝!j z n(x)=2k =-,x x 7(e)=(e)=0,当 晨0时,(x)递减，故当x(O,e)时，/f(x)0,依幻递增，当X(e,+8)时，hx)0时，则，(X)在(0,1)递减，在(二，+0 0)递增,2k 2k当 Ov A v-1-时，e,2e 2k故制x)在(0，L)递减，2k可得当x w(O,e)时，/(x)0,当时，(x)_ L，令加伏)=2e L丝，“(4少,k 2k k令，=2 e,k故(f)=2一加/一，贝|H Q)=2 e-l-l 0 ,t故几在(2 e,+o)递增，则n(2e)M(1)0 ,即0 4 0,2ei 1故在(，1)内存在XQ 9使得m(入0 )=。，2k/故(X)在(乙，无0)上递减，在(%,+8)递增，故。)在X=X0处取得极小值.由(1)知左=工，=e,2e 2k故(x)在(0,e)递减，在(e,+8)递增，故 x e(O,y)时，(x).O,x)递增，不合题意；当上 时，0 e,2e 2k当 x e(二，e)时，(x)0,.f(x)递增，故(x)在 x =e 处取极小值，符合题意，综上，实数k 的范围是攵0 且 正 上.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.