2023年九年级中考数学突破训练——二次函数-动态几何问题.pdf

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1、2023年中考数学突破训练二次函数-动态几何问题一、综合题1.如图1,抛物线y=a x2+b x+c 与x 轴交于A、B (3,0)两点(A 在 B的左侧)，与y 轴交于点C (0,3),已知对称轴为x=l.(1)求抛物线L的解析式；(2)如图2,设点P是抛物线L在 x 轴上方任一点，点 Q在直线x=-3 上，A P B Q 能否成为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.2 .如图，抛 物 线y=x2+x-2与%轴 交 于 A、B两点，与 轴交于点C .(1)求 点 A ,点B 和 点C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上有一动点P,求P B+P C的

2、值最小时的点P的坐标；(3)若 点M是 直 线A C下方抛物线上一动点，M运动到何处时四边形A B C M面积最大，最大值面积是多少？3 .已知：如图所示，在中，N B =90 ,A B =5 c m,B C =7c m,点P从点A开始沿AB边向点B以 lc m/s 的速度移动，点 Q从点B开始沿BC边向点C以2 c m/s 的速度移动.当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动.cT-p B（1）如果P、Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，LP B Q 的面积等于4 c m2?（2）如果P、Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2 j i d c m?4 .如图，已知：二次函数

3、y=x2+b x+c 的图象与x 轴交于A,B两点，其中A点坐标为（-3,0）,与y 轴交于点C,点D （-2,-3）在抛物线上，（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P,求出P A+P D 的最小值；（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使aABM的面积等于4 A B C 的面积，求 M点坐标.5 .如图，在平面直角坐标系中，抛 物 线y=-x2+2 x经 过 x轴 上 的 A 点，直 线A B与抛物线在第一象限交于点3（2,6）.（1）求 直 线A B的函数解析式;（2）已知点。是抛物线的对称轴上的一个动点，当_ B O Q的周长最小时，求_ B O Q的面积;(3)若

4、以 点 A ,0 ,B,N为顶点的四边形是平行四边形，则 点N的坐标6 .矩形O A B C 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6,0)、C(0,3),直(2)若 抛 物 线=4：-入9 工，”经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M,点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与A A B D 相似，求符合条件的所有点P的坐标.7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =x2+b x+c 的图象与x 轴交于点A (-1,0)、B (3,0),与y 轴交于点C.(1)求二次函数的解析式；(2)若点D在该二次函数的图

5、象上，且SAABD=2 SAABC,求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数图象上位于x 轴上方的一点，且SAAPC=SAAPB,直接写出点P的坐标.8 .如图,抛物线y=a x2 +b x+c交 x 轴于A、B两点，交 y 轴于点物 对称轴为直线x=l,己知：A(-l,0)、C(0,-3).(1)求抛物线y=a x?+b x+c的解析式；(2)求A A O C 和ABOC的面积比；(3)在对称轴上是否存在一个P点，使A P A C 的周长最小.若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N+x+c 的图象与x 轴交于A、B 两点,A点在原点的左

6、侧，抛物线的对称轴x=l,与y 轴交于C(0,-3)点，点 P是直线8 c 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式及A、3点的坐标.(2)连接P。、P C,并把A P O C 沿 C。翻折，得到四边形P O P C,那么是否存在点P,使四边形P O P C 为菱形；若存在，请求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形A B P C 的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形A B P C的最大面积.10 .如图，已知抛物线上有三点A(-4,0)、B(l,0)、C(0,-3).(1)求出抛物线的解析式;（2）是否存在一点D,能使A、B、C、D四点为顶点

7、构成的四边形为菱形，若存在请求出D点坐标，若没有，请说明理由.（3）在（2）问的条件，P为抛物线上一动点，请求出|P D-P B|取最大值时，点P的坐标.I I.已知：抛物线 y =+云+C经过 A（1,O）,5（3,0）,C（0,3）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,点P为直线上方抛物线上任意一点，连PC、P B、P O，P O 交直线B C 于点E,PE设=二=3求当取最大值时点P的坐标，并求此时人的值（3）如图2,点。为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点。.直接写出 B D Q的周长；直接写出tanZBDQ的值_ _ _ _ _ _ _ _.1 2.综合与探究如

8、图，在平面直角坐标系中，抛 物 线 丁 =以2一+，（。0）与x轴 交 于 点A、B两点（点2无+43%A在 点B左侧），与y轴交于点C.0 4、。8的长是不等式组1%今 的整数解3-K 2I 2（O A N 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N 的坐标.Q13.如图，抛物线y=a%2-2 +c 的图象经过点C （0,-2）,顶点。的坐标为（1,-），与x 轴交于A、B 两点、.（1）求抛物线的解析式.A E（2）连接A C,E为直线AC上一点，当 A O C s a A E B 时:求点E的坐标和一的值.A B（3）点 C关于x 轴的对称点为H,当 当 F C+B F 取最小值时，在抛物线的

9、对称轴上是否存在点Q,使Q H 尸是直角三角形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.414 .如图，已知直线y=x+4 与x 轴交于点A,与y 轴交于点C,抛物线y=a x?+b x+c 经过A,C两点，且与x 轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-l.（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形A B C D 面积S 的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以A C为对角线的菱形？若存在，请求出P,Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.15 .如图，在平面直角坐标系中，二次 函 数yax2+h

10、x+c的图像交x 轴 于 点 A（y0）,B（2,0）,交y 轴 于 点 C（0,6）,在 y 轴上有一点（0,-2）,连 接A E（1）求二次函数的解析式；（2）若点D在第二象限且是抛物线上的一个动点，求,A D E面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P,使 A E P为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.316.如图，已知直线丫=-x+3 与x 轴交于点B,与y 轴交于点C,抛物线y=a x?+b x+3 经过B、C两点并与x 轴的另一个交点为A,且 0 C=3 0 A.9(2)点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当 D B C 的面积为-时，

11、求 D点的坐标；2(3)在(2)的条件下，连接CD,作D E L x 轴于E,B C、DE交于点H,点 P为线段CD上一个动点，过点P作 P F A C 交x 轴于点F,连接F H,当/P F H=4 5。时，求点F的坐标；(4)若 M(m,n)是直线B C 上方抛物线上一点，如果A M B C 为锐角三角形，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围.答案1.(1)解：对称轴为直线x=l,且抛物线经过点B(3,0),C(0,3),2a 9。+3b+c=0,c=3ci=1解得：b=2,c=3 抛物线L 的解析式为：y=-x2+2x+3；(2)解：过点P 作 P M,直线x=-3,过点B 作 BN，

12、x 轴，PM与 BN交于点D,VAPBQ是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，PQ=PB,ZBPQ=90,BNJ_x 轴，PMJ_直线 x=-3,AZPMQ=ZPDB=90,.,.ZMQP+ZMPQ=90,ZBPD+ZMPQ=90,AZMQP=ZBPD,.MPQADBP(AAS),MP=BD,设P 点坐标 为(x,-x2+2x+3),点 P 是抛物线L 在 x 轴上方一点,BD=-x2+2x+3,PM=x-(-3)=x+3,/-x2+2x+3=x+3,解得：x=0 或 x=L当 x=0 时，-x2+2x+3=3,当 x=1 时，-x?+2x+3=4,综上，符合条件的点P的坐标 为(0,3)或(1

13、,4).2.(1)由 y=0,得 x?+x-2=0 解得 x)=-2,X2=hA A(-2,0),B(1,0),由 x=0,得 y=-2,AC(0,-2).(2)连接A C与对称轴的交点即为点P.1 2女+b=0设直线人(2为丫=10+1),则.，h=-2得 k=-Ly=-x-2.1 1 1 3对称轴为 x=-，当 x=时，y=-(-)-2=-2 2 2 2设点 M(x,x2+x-2),则 OA=2,O N=-x,OB=1,OC=2,MN=-(x2+x-2)=-x2-x+2,S 四 边 形 A B C M 二S4AOM+SOCM+SABOC=-x 2x (-X2-x+2)+X 2(-x)+x

14、l x 22 2 2=-x2-2x+3=-(x+l )2+4.V a=-1 X(-2)+C=-3，寸 V=-3，即二次函数的解析式为y=x2+2x -3；(2)解：V y=x2+2x -3,.,.y=0 时，x=-3 或 x=l,当 x=1 时，y=0,.点B的坐标为（1,0）,连接BD交对称轴于点P,A P A+P D 的最小值是线段BD的长，,点 B (1,0),点 D (-2,-3),，B D=7(-2-1)2+(-3-0)2=3 7 2，.,.P A+P D 的最小值是3 0 ;(3)解:V y=x2+2x -3,/.x=0 时，y=-3,点C的坐标为(0,-3),设点M 的坐标为(a

15、,a2+2a -3),ABM的面积等于A A B C 的面积，点A (-3,0),点 B (1,0),点C (0,-3),A B C 的面积是：卜(一邠|-3|=6,2.|1 (-3)|x|a2+2a -3|.|a2+2a-3|=3,解得，a i=-1 -J 7,a 2=-1+J 7,a 3=-2,a 4=0(舍去)，.点 M 的坐标为(-1 -J 7,3),(-1+近，3)或(-2,3).1 ,5.(1)解：当 y=0 时，+2x=0,解得 x i=-4,X 2=0,点 A (-4,0),设 直 线A B的函数解析式ykx+b,过 A、B两点，代入得-4k+b=02k+b=6解方程组得k=力

16、=4直 线A B的函数解析式为y=x+4；(2)解：点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线对称轴为*=1.,CABOQMK=O Q+Q B+O B,点O,点B是定点，OB长是定值，b_2_2a 2x i=22.当_ B O Q的周长最小时，就是O Q+Q B 最小，点A与点O关于抛物线的对称轴对称，二点A,点Q,点B三点共线时，O Q+Q B=A Q+Q B N A B 最短,当 x=-2 式，y=-2+4=2,点 Q (-2,2),SABOQ 的 面M=SABAO-SAQAO=-A。,yR A 0 -y()=x 4 x 6 x 4 x 2=12-4 =82 2 0 2 2(3)(6,6)或

17、(-2,6)或(-6,-6)6.(1)解：.四边形O A B C 为矩形，C (0,3).B C O A,点 D的纵坐标为3.9-2X+3-4y=-线直与BC边相交于点D,3 9XH =3,x =2.点 D 的坐标为(2,3).4 2(2)解：:若抛物线 yax2+bx 经过 A (6,0)、D (2,3)两点,36。+6Z?=04。+26=33c i O Q Q解得：c ,抛物线的解析式为y=x2+-x,9 8 4b-43 9(3)解：,抛物线y=-x2+x的对称轴为x=3,8 4设对称轴x=3与x 轴交于点P i,，BAMPi,/.ZBAD=ZAMPi.ZAPiM=ZABD=90,/.AA

18、BDAAMPI.Pi(3,0).当NMAP2=NABD=90。时，ABDsaMAPz.,.ZAP2M=ZADB：AP产AB,ZAPIP2=ZABD=90.,.APIP2AABD.PIP2=BD=4 点P2在第四象限，P2(3,-4).符合条件的点P 有两个,Pi(3,0)、P2(3,-4).7.(1)解：.点A 和点B 在二次函数y=x2+bx+c图象上,0=l-i+c0-9+3b+c解得b=-2c=-3二次函数的解析式为y=x2-2 x-3；(2)解：连接BC,A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x2-2 x-3,1 ,c.SAABC=-X4X3=6,2SAABD=2SAABC

19、,设点 D(m,m2-2m-3)x|VD|=2X6,即 x4x|m2-2m-3|=2x6,2 2解得：m=l+VW 或1-V i o，代入 y=x 2-2 x-3,可得：y值都为6,AD(1+,6)或(1 -V10-6)；.点P在抛物线位于x轴上方的部分，.n 3,当点P在点A左侧时，即n V-1,可知点C到A P的距离小于点B到A P的距离,；.SAA P C 3,.APC和AAPB都以A P为底，若要面积相等,则点B和点C到A P的距离相等，即BCAP,设直线B C的解析式为y=kx+p,则Q-3k+p一3=,解得:k=lP=-3则设直线A P的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入，

20、则-l+q=0,解得：q=l,则直线A P的解析式为y=x+l,将P(n,n2-2 n-3)代入,即 n2-2n-3=n+l,解得：n=4或n=-l(舍)，An2-2n-3=5,.点P的坐标为（4,5）.8.（1）解：:A,B两点关于x=I对称,B点坐标为（3,0）,Q =9a+3b+c根据题意得：0=a-h +c,-3=c解得 a=l,b-2,c=-3.二抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)解：(3)解：存在一个点P.C点关于x=l对称点坐标C为(2,-3),令直线AC的解析式为y=kx+b.-3=2k+bQ =-k+b k=-1,b=-l,即 AC的解析式为 y=-x-l.当 x=l

21、 时，y=-2,.P点坐标为（1,-2）.9.（1）解：函数的对称轴为：x=-=1,解得：b=-2,2y=x2-2x+c,再将点C（0,再）代入得到c=-3,，抛物线的表达式为：y=x 2-2 x-3,令 y=0,则 x=-1 或 3,故点A、B的坐标分别为：（-1,0）、（3,0）；（2）解：存在，理由：3即 y=x2-2x-3=-，2解得：x=l 士巫（舍去负值）,2故点 P（1+回,-）；2 2（3）解：过点P作PHy轴交BC于点P,由点B、C的坐标得到直线B C的表达式为：y=x-3,ABPC 的面积 S=SAABC+SABCP1 1=x A B x O C+x P H x O B2

22、2=x 4 x 3+x 3x (x -3-x2+2x+3)2 23,9=-x2+x+6,2 2.当*=-3 时，S 有最大值为7二5 ，此时点P3 152 8 2 410.(1)解：设抛物线的解析式为丁 =。(-王)(%一工2)，二 抛物线过点 A(-4,0)、B(l,0)、C(0,-3),y=a(x+4)(x-l),把C(0,-3)代入上式可得一 3=Ta，3C l=一,43 3 9解析式为：y=(x+4)(x 1)=：/+彳%3(2)解：根据题意可得如图所示：V A(-4,0)、B(l,0)、C(0,-3)且四边形 A B D C 是菱形,，C D=A B=B D=5,作 D M V x

23、轴，可得 B M =C D-O B =4，,DM=,5 2-4 2=3，.点D在第四象限，.点D的坐标为(5,-3)(3)解：设直线DB的解析式为ykx+b,V 0(5,-3),5(1,0),.(5k+b=-3 k+b=6 3 3解得：k=,b=-,4 43 3 直线DB的解析式为y=x +-,4 4当点P与点D、点 B不在同一直线上时，根据三角形的三边 关 系PB-PD BD,当点P与点D、点 B在同一直线上时，P B-P D 的值最大，即点P是直线DB与抛物线的交点,3 2 9 。C _ y=_ X H X _ 3 1 X.S4 4 x,=1解方程组，解 得 八或 9 ，、，_ 3 y=0

24、 X2=-所以点P的坐标为(1,0)或时，有最大值,故P点的坐标是-5,111.(1)解：.抛物线丫=2*2+6*+。经过 A (-1,0),B (3,0),C (0,3),a-b+c=0，9。+3匕 +c =0,c =3a=-1解得上=2,c =3.,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；(2)解：如图1,过点P作 P H y轴交直线BC于点H,y图I/.PEHAOEC,.PE PH 一 ,OE OCPE,-=k,OC3,OE1A k=-PH,3设直线BC的解析式为y=kx+n,VB(3,0),C(0,3),3左 +=0 ，7 2 =3氏 二 一 1解得：,，n=3，直线BC的解析式为y=-

25、x+3,设点 P(t,-t2+2t+3),则 H(t,-t+3),PH -t2+2t+3-(-t+3)-t2+3t,1 1 3 3，k=(-t2+3t)=(t)2+-,3 3 2 4V-0,33 3 3 15.当1=二时，k 取得最大值二，此时P(二，)；2 4 2 4(3)2+V10+3V2;112.(1)解：所给不等式组的解集为2W x4,其整数解为2,3.VOA,OB的长是所给不等式组的整数解，且 OABE,5当折线段BFG与 BE重合时，取得最小值，由(2)可知NABE=NACO1 3|y|=OBtan Z ABE=OBtan Z ACO=3 x =,.当y=-时，即点F（0,-CF+

26、BF有最小值;2 2 53当点Q 为直角顶点时（如图3）F（0,-y ）,VC(0,-2)AH(0,2)设 Q(1,m),过点 Q 作 QM_Ly 轴于点 M.则 RSQHMSRSFQM，QM2=HMFM,3.,.12=(2-m)(m+),21 ,33 m il rx/1 1 +J 3 3、_p.,1 -J 3 3、解得：m=,则点 Q(1,-)或(1,-)4 4 4当点H 为直角顶点时：点 H(0,2),则点Q(1,2)；当点F 为直角顶点时：3同理可得：点 Q(1,-):综上，点Q 的坐标为：(1,+底)或(1,一 底)或 Q(1,2)或 Q(1,4 414.(1)解：当 x=0 时，y=

27、4,AC(0,4),4当 y=0 时，1X+4=0,:x=-3,A A(-3,0),对称轴为直线*=-1,AB(1,0),二 设抛物线的表达式：y=a(x-1)(x+3),.*.4=-3a,4A a=-,34 4 8，抛物线的表达式为:y=(x-1)(x+3)=-x2 x+4；3 3 33 _2).(2)解：如图1,4 2 8AD(m,-m m+4),E(m,3 34、-m+4),34 2 8 DE=-in-m+43 34一(m+4)34=-m2-4m,3.*.SAA D C=-O A=23 z 4 0(-m22 3-4m)=-2m2-6m,VSAA B C=-/1B 0C =21 )cx4x

28、3=6,23 33.*.S=-2m2-6m+6=-2(m+)2+,2 43 33当 m=-二时，S 般 大=，2 43 4 3 3当 m=-时；y=-x(-1)x(-F3)=5,2 3 2 23、AD(-,5)；2(3)解：设 P(-1,n),以A,C,P,Q 为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形,PA=PC,即：PA PC2,J (-1+3)2+n2=l+(n-4)2,.n,8.xP+xQ=xA+xC,yP+yQ=yA+yCAxQ=-3-(-1)=-2,yQ=4-=一,8 8 z 19、Q(_ 2,).815.(1)解：,二次函数 y=ax?+bx+c 经过点 A(-4,0)、B(2,0),

29、C(0,6),16a-4b+c=0 4。+26+c=0,c=63a=43解得：%=，2c=6所以二次函数的解析式为：y=-3 X1 2-13X+6；1=x4xDF2(2)解：由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直线解析式为y=-1 x-2 ,4 2 2 4SAADE SAADF+SAEDF XDFXAG+DFxEH2 211=xDFxAG+xDFxEH2 23 9=2x(m 一根+8)43(2?50=m+H-,2(3)32 50.当m=时，AADE的面积取得最大值为.333 3(3)y=-X2-x+6 的对称轴为 x=-1,设 P(-l,n),又 E(0,-2)A(-4,0),可求

30、PA=4 219+/，PE=J1+(+2)2,AE=J16+4=26，分三种情况讨论：当 PA=PE 时，(9 +/=&+(九 +2)2，解得：n=l,此时 P(-l,1)；当 PA=AE时，的+2=716+4=2后,解得：n=,此时点P 坐标为(-1,而)；当 PE=AE 时，=,16+4=2逐，解得：n=-2 V 1 9，此时点 P 坐标为：(-1,-2+VT9).二综上所述：p 点的坐标为：(-1,1),(-1,v n),(-1,-2 v i 9).316.(1)解：.直线y=x+3与x 轴交于点B,与 y 轴交于点C,.点 3(4,0),C(0,3),.OB=4,OC=3,VOC=3O

31、A,OA=1,且点A 在 x 轴负半轴，/.A(-LO),V itey=ax2+bx+3ga A(1,0),8(4,0),6?Z?+3=0,解得:16。+4 +3=03a=443 9.抛物线解析式为y=+3.4 4(2)解：如图，过点D 作口1丫轴交直线BC于点H,3二抛物线对称轴为直线%=-，2设 点。,一(/+,则“,一|/+33 a Q 3DH -t2+-t+3-(-t+3)-t2+3t,4 4 4 41 1 3 ,3 ,S3BC=5 x 0 8 x 0”=x 4(j+3 f)=-1/+6 f解得：。=1 或t=3，.点D为直线BC 上方对称轴右侧抛物线上一点,3 ,一v，4 ,2.,.

32、点 0(3,3)；(3)解：由(2)知，点。(3,3),Y D E L x 轴，3矶3,0),“(3,一)，43A E H=-，4V P F/7 A C,.Z P F B=Z CA 0,取点G (-3,0),连接C G,过点A作 ANLC G于点N,如图,X凡G y xVOC=OG,AG=2,ZCOG=ZANG=90,.ZCGO=45,AN=GN=AG sin NCG0=2x sin45=夜，:CN=CG-G N=3近-叵=24，+3 C_亦 _ V2 _ 1CN 272 2/.ZPFB=ZPFH+ZHFE=45+Z H F E，ZC4O=.ZHFE=ZACG,tan Z.HFE=tan Z.ACG=,2EH 八 1-=tan Z.HFE=，EF 23 3A EF=2EH=2 x-=-,4 23 3A OF=O E-E F =3一一=-，2 2.点 F(1,0)；=NCGO+ZACG=45+ZACG