2019年数学真题及解析_2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）.pdf

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1、2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标IU）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合A=-1,0,1,2,则 AD B=（）A.-1,0,1 B.0,1 C.-1,1 D.0,1,2）2.（5 分）若 z （1+z）=2 i,则 2=（）A.-1 -z B.-1+z C.1 -i D.1+/3.（5 分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A.L B.1 C.1 D.1.6 4 3 24.（5 分）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名

2、著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位，阅读过 红楼梦的学生共有80位，阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.85.（5 分）函数/（x）=2 s i n r -s i n 2 x 在 0,2 n 的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.56.（5 分）已知各项均为正数的等比数列 如的前4项和为15,且“5=3 4 3+4 4 1,则“3=（）A.16 B.8 C.4 D.27.（5 分）已知曲线在

3、点（1,ae）处的切线方程为y=2 x+6,则（）A.a=e,1 B.a=e,b 1 C.a=e I h 1 D.I h 18.（5 分）如图，点 N为 正 方 形 的 中 心，ECO 为正三角形，平面ECO _ L 平面4 BCD,例是线段切的中点，则（）A.B M=E N,且直线8M,E N是相交直线B.B M竽E N,且直线3 M,E N是相交直线C.B M=E N,且直线8M,E N是异面直线D.B M 竽E N,且直线2 M,E N是异面直线9.（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 为 0.01,则输出s 的值等于（）A.2-1_ B.2-1-C.2-1-D.2-1-c 4 c

4、5 o6 o72 210.（5 分）已知尸是双曲线C：-=1 的一个焦点，点 P在 C 上，。为坐标原点.若4 5O P=O F,则 O P F 的面积为()A.W B.C.工2 2 2DfI I.（5 分）记不等式组,，x+y)6,.2x-y0表示的平面区域为D命题p：3 (x,y)6),2 x+y 2 9；命题g：V （x,y）&D,2 x+y W 12.下面给出了四个命题p V q f pJ qpW这四个命题中，所有真命题的编号是（）A.B.C.D.12.（5 分）设/（x）是定义域为R的偶函数，且 在（0,+8）单调递减，则（)i _ 1 _2A.f dogjA)f(2 2)/(2 3

5、)4i _2 _2B.f(logsA)f(2 3)/(2 2)43 2C./(2 2)/(2 3)/(log3i)42 3D./（2 3）/（2 2）/（logsA）4二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5 分)已知向量二(2,2),b=(-8,6),贝 I cos 14.（5 分）记 S”为等差数列“的 前 项 和.若 如=5,“7 =1 3,则 Si o=.2 215.（5 分）设 F i,乃 为椭圆C：三+=1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若36 20 MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.16.（5 分）学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模

6、型.如图，该模型为长方体A8CQ-A iB C iO i挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A 4=4的 30 打印所用原料密度为0.9 g/c/.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 60分。17.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机分成A、B 两组，每 组 100只，其中A 组小

7、鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图直方图:甲离子残留百分比直方图 乙寓子残留百分比直方图记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.7 0.(1)求乙离子残留百分比直方图中4,人的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).1 8.(1 2分)/X A B C的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知“s i n更C=s i n A.2(1)求 B；(2)若A B

8、C为锐角三角形，且c=l,求a A B C面积的取值范围.1 9.(1 2分)图1是由矩形A O E B,R t Z A 2 C和菱形8 F G C组成的一个平面图形，其中A 3=1,BE=BF=2,Z F B C=6 0a.将其沿A B,8 C折起使得B E与8尸重合，连结。G,如图2.图1图2(1)证明：图2中的A,C,G,力四点共面，且平面A B C,平面B C G E；(2)求图2中的四边形A C G力的面积.2 0.(1 2 分)已知函数/(x)=2?-a+2.(1)讨论/(x)的单调性：(2)当0 V a 3时，记/(x)在区间 0,1 的 最 大 值 为 最 小 值 为 出 求M

9、 的取值范围.2 12 1.(1 2 分)己知曲线C：y=标，。为直线y=上的动点，过。作 C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线A8过定点.(2)若以E(0,1)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的2方程.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2.(1 0 分)如 图，在极坐标系 Qx 中，A (2,0),B(a,2 L),C (加，Ji2 L),D(2,4 4n),弧 A B，B C-C D 所在圆的圆心分别是(1，0),(1,),(1,jt),曲线M i

10、 是弧A B，2曲线M 2 是弧正，曲线M 3 是弧而.(1)分别写出M l,M 2,例3 的极坐标方程；(2)曲线M 由M i,M2,M 3 构成，若点P 在 M上，且|OP|=JV，求 产的极坐标.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.设 x,y,z R,且 x+y+z=l.(1)求(x -1)2+(y+l )2+(z+1)2 的最小值；(2)若(X-2)2+(厂 1)2+(z-a)2 1 _成立，证明：。-3 或。-1.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标IU）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

11、求的。1.（5 分）已知集合4=-1,0,1,2 ,B=4?W 1 ,则 Ang=（）A.-1,0,1 B.0,1 C.-1,1 D.0,1,2）【考点】IE：交集及其运算.【分析】解求出8中的不等式，找出A与8的交集即可.【解答】解：因为A =-1,0,1,2 ,B=x|/Wl =x|-KW1 ,所以 A C 8=-1,0,1 ,故选：A.【点评】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题.2.（5 分）若 z （1+）=2i,贝”=（）A.-i B.-1+/C.1 -/D.1+/【考点】A 5：复数的运算.【分析】利用复数的运算法则求解即可.【解答】解：由z （1+/）=2i

12、,得z=2i1+i-2=l+i.故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位i的幕运算性质，属于基础题.3.（5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A.工 B.1 C.1 D.L6 4 3 2【考点】C B：古典概型及其概率计算公式.【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案.【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有 A 3 3 A 2 2=1 2 种排法，再所有的4个人全排列有：A 4 4=2 4 种排法，利用古典概型求概率原理得：2=丝=!，

13、24 2故选：D.【点评】本题考查排列组合的综合应用.考查古典概型的计算.4.（5分）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 0 0 位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90 位，阅读过 红楼梦的学生共有8 0 位，阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【考点】B 2：简单随机抽样.【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过 西游记的学生人数为70 人，由此能求出该学校阅读

14、过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值.【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 0 0 位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90 位，阅读过 红楼梦的学生共有8 0 位，阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60 位，作出维恩图，得：,该学校阅读过 西游记的学生人数为70 人，则该学校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：j 2 _=0.7.故选：C.100【点评】本题考查该学校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5.(5 分)函 数/(

15、x)=2 sia r-sin2x在 0,2司的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】51：函数的零点.【分析】解函数=2siar-sin2x=0,在 0,2TT 的解，即 2sinr=sin2 r令左右为新函数(x)和 g(x),作图求两函数在区间的交点即可.【解答】解：函数/(无)=2sinx-sin2x在 0,2n 的零点个数，即：2siax-sin2x=0在区间 0,2n 的根个数，即 2sinx=sin2x,令左右为新函数/?(x)和 g(x),h(x)=2sinx 和 g(x)sin2x,作图求两函数在区间io,2m 的图象可知：h(JC)=2siru和g(x)=sin

16、 2 x,在区间 0,2nl的图象的交点个数为3 个.故选：B.【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题.6.(5 分)已知各项均为正数的等比数列“的前4 项和为15,且 45=343+441,则 4/3=()A.16 B.8 C.4 D.2【考点】88：等比数列的通项公式.2 3a 1 +a 1 0),根据条件可得 111 1,a1 q4=3a1 q 前 解方程即可.【解答】解：设等比数列。“的公比为g(g 0),则由前4 项和为1 5,且。5=3。3+4。1,有，2 3a a a j Q+aq-15 a =l，=&a,8E=患工1 =&科从而BMEN.【

17、解答】解：点N 为正方形ABCD的中心，七a）为正三角形，平面E C D m A B C D,M 是 线 段 的 中 点，平面 BOE,ENu平面 BDE,是BDE中。E 边上的中线，EN是BOE中 B。边上的中线，直线EN是相交直线,设 Q E=a,则 B=&a，BE=需22 m&2=血 自 初 二 冬 硒=3242=”,:.BMWEN,故选：B.【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.9.（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的为0.01,则输出s 的值等于（）A.2-A.B.2-工 C.2-1-D.2-1

18、-24 25 26 27【考点】EF：程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体后，S=l,X=L,不满足退出循环的条件x C O.O l；2再次执行循环体后，s=l+L,x=L,不满足退出循环的条件x 0.01；2 22再次执行循环体后，S=l+L+L,x=-,不满足退出循环的条件x 0.01,而一 0.01,可得：26 27当 s=l+2 _+_ l _ 此时，满足退出循环的条件x 6,表示的平面区域为D命题p：3 G,y)m 2 x+y-9；,2 x

19、y0命 题/V (x,y)GD,2 x+y W 1 2.下面给出了四个命题p V q p V q p A-qWq这四个命题中，所有真命题的编号是()A.B.C.D.【考点】2 E：复合命题及其真假.【分析】由不等式组 x+v,6，画出平面区域为D在由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可.【解答】解：作出等式组 x+v 6,的平面区域为在图形可行域范围内可知：.2 x-y0命题p：3 (x,-)G D,2 x+y 2 9；是真命题，则 假 命 题；命题q：V (x,y)&D,2 x+y W 1 2.是假命题，则一1“真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：p V q真；p V q假；

20、p A真；假；故答案真，正确.故选：A.【点评】本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.1 2.(5分)设/(x)是定义域为R的偶函数，且 在(0,+8)单调递减，则()1 _1.2.A.f(l og 3 A)/-(2 2)/(2 3 )41_ 2B.f(l og s A)f(2 3)/(2 2 )43 2C.f(2 7)/(2-T)/(l og 3.l.)42 3D./(2 J)f C 22)f(l og 3)4【考点】3 E：函数单调性的性质与判断；3 K：函数奇偶性的性质与判断.3 2【分析】根据I og 3 4 l og 3 3=l,0 2 2

21、2 3 l o g 33=l,Q2 22 3 2=1，_3_ 20 272 f(2 3)f(l o g3y),故选：c.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.(5 分)已知向量二(2,2),b=(-8,6),则 co s V a，b -1 0【考点】9 J：平面向量的坐标运算.【分析】数量积的定义结合坐标运算可得结果【解答】解：a b=2X (-8)+2X 6=-4,I al=J /包 人 2tl bl =V（_8）2+62=1 0,co s=三-=-2V2XIO 10故答案为：-返10【点评

22、】本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力.1 4.（5分）记S”为等差数列 ”的前项和.若（13=5,4 7=1 3,则S i o=1 00.【考点】8 5：等差数列的前n项和.【分析】由已知求得首项与公差，代入等差数列的前项和公式求解.【解答】解：在等差数列.中，由.3=5,“7=1 3,得1=1二1=空 _=2,7-3 4-2d=5 -4=1.则S咛10X1+答续100.故答案为：1 00.【点评】本题考查等差数列的通项公式与前项和，是基础的计算题.2 21 5.（5分）设F i,F 2为椭圆C：工+?-=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若36 20 M FIF2为等腰三角形

23、，则M的坐标为（3,”国）.【考点】K 4：椭圆的性质.【分析】设M（m,），m,n 0,求得椭圆的a,b,c,e,由于M为C上一点且在第一象限，可得|MFI|MF2|,M F 1 F 2为等腰三角形，可能|M F i|=2c或|MF2|=2C,运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标.【解答】解：设“（，,“），m,0,椭圆 C：工 _+?_=1 的 a=6,b=2匹,c=4,36 20,_-c _ 2-1a 3由于M为C上一点且在第一象限，可得|MFI|MF2|,MF1F2为等腰三角形，可能|M F i|=2c或|MF2|=2C,即有 6+看=8,即 m 3,=J T ;6-Zm=8,即加=

24、-3 V 0,舍去.3可得 M(3,V 1 5).故答案为：(3,A/15).【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.1 6.(5 分)学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A B C Z)-AIBICIOI挖去四棱锥O-E F G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4=4 c机.3。打印所用原料密度为0.9 g/c/.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为1 1 8.8 月.【考点】L F：棱柱、棱锥、棱台的体积.【分 析】

25、该 模 型 体 积 为 7A B e口-A BCD-V EFGH=6 X 6 X 4-X(4 X 6-4 X X 3X 2)X 3=1 3 2 (cm3),再由 3。打印所用原料密度为 0.9 g/c,/，3 2不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量.【解答】解：该模型为长方体ABCO-4BICIDI,挖去四棱锥0-E F G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H,分别为所在棱的中点，A8=BC=6C7，AA4cm,.该模型体积为：VAKD-A/IC/J YOEFGH=6X6X4-A-x (4X6-4XyX3X 2)x 30 乙=1 4 4 -1 2=1 3 2 (er

26、r?),V 3 D打印所用原料密度为0.9g/。/,不考虑打印损耗，.,.制作该模型所需原料的质量为：132X0.9=118.8（g）.故答案为：118.8.【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 60分。17.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每 组100

27、只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图直方图：，频率/组距+频率/组距O0505O391i 11 OO.O.O.O.O.甲离子残留百分比直方图 乙寓子残留百分比直方图记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到尸（C）的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中“，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【考点】B8：频率分布直方图.【分析】（1）由频率分布直方图的

28、性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中”,b.（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值.【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.7 0.则由频率分布直方图得：fa+0.20+0.15=0.7,10.05+b+0.15=1-0.7解得乙离子残留百分比直方图中a=0.3 5,6=0.1 0.（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：=2 X 0.1 5+3 X 0.2 0+4 X 0.3 0+5 X 0.2 0+6 X 0.1 0+7 X 0.0 5 =4.0 5.X 甲乙离子残留百分比的

29、平均值为：=3 X 0.0 5+4 X 0.1 +5 X 0.1 5+6 X 0.3 5+7 X 0.2+8 X 0.1 5=6.0 0.x 乙【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.1 8.（1 2 分）/X A B C 的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a s i n B 坦=s i n A.2（1）求 B；（2）若 A B C 为锐角三角形，且 c=l,求aABC面积的取值范围.【考点】H T：三角形中的儿何计算.【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角;（2）运用余弦定理

30、可得儿 由三角形A B C为锐角三角形，可得且+/-a+a2,求得。的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围.【解答】解：(1)a s i n 史上=b s i n A,即为 a s i n 无 B=a c o s =b s i n A,2 2 2可得 s i n Ac o s=s i n Bs i n A=2 s i n Ac o s-5.s i n A,22 2V s i n A0,c o s=2 s i n Ac o s,2 2 2若 c o s 2=0,可得B=(2k+1)T T,k e Z 不成立,2sin-5_=-L,2 2由可得B=工；3(2)若ABC为锐角三角形，且 c=l,由

31、 余 弦 定 理 可 得 八/2+1-合=序/，由三角形4 8 c 为锐角三角形，可得屋且i+$-a+i/,解得L a 2,2_可得AABC面积S=Ls in 2 L=e (返，返).2 3 4 8 2【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题.19.(12分)图 1 是由矩形ACEB,RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60.将其沿AB,BC折起使得8E与 重 合，连结。G,如图2.图1图2(1)证明：图 2 中的A,C,G,。四点共面，且平面A B C,平面BCGE；(2

32、)求图2 中的四边形ACGO的面积.【考点】LY：平面与平面垂直.【分析】(1)运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；(2)连接BG,A G,由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值.【解答】解：(1)证明：由已知可得AO8E,C G/B E,即有ADCG,则 A。，CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面；由四边形A8ED为矩形，可得ABLBE,由A8C为直角三角形，可得A8LBC,又 8 C n 8 E=E,可得 A8_L平面 BCGE,A3u平面A B C,可得平面ABC_L平面B C G E；

33、(2)连接 BG,AG,由 AB_L平面 BCGE,可得 AB_LBG,在 ABCG 中，B C=C G=2,N B C G=120 ,可得 BG=2BCsin60=2我,可得 AG=JAB2+BG2=后,在aACG 中，A C=辰,C G=2,AG=Jl3,可得 cos/ACG=4+5_L=-,即有 sin/A C G=-,2X2XV5 V5 V5则平行四边形ACGO的面积为2X 代 义 3=4.【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面几何的性质，考查推理能力，属于中档题.20.(12 分)已知函数/(x)=2?-+2.(1)讨论/(x)的单调

34、性；(2)当 0 “3 时，记/(x)在区间 0,I 的最大值为例，最小值为相，求 M-机的取值范围.【考点】6E：利用导数研究函数的最值.【分析】(1)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对 a 分类求解原函数的单调性;(2)当 0 a ，0 a 2329 2 4 a 0,则当 x 6(-8,0)u (旦，+8)时，f(x)3 0；当在（0,旦）时，f3(x)0.故/a）在（-8,o）,（A,+8）上单调递增，在（0,若a=0,f（x）在（-8,4-o o）上单调递增；旦）上单调递减;3若 a 0；当 x e （且，0）时，f3(x)0.故/(x)在(-8,旦），（0,+8）上单调递增，在

35、（旦,330）上单调递减;（2）当 0a V 3 时，由（1）知，/（x）在（0,旦）上单调递减，在（旦，1）上单调递33增,3 /（x）在区间 0,1的最小值为f （且）二）_+2,最大值为/（0）=2或/（I）=4-/3 2 73于是，m ,M=2 74-a,0 a 22,2 a 3AM -，32-a+|，0 a 23苏，2 a 33 o当0 “2时，可知2-4+且_ 单调递减，M-机的取值范围是（二，2）；2 7 2 7当2 “3时，式单调递增，机的取值范围是 2，1）.2 72 7综上，的取值范围 当2）.2 7【点评】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考

36、查函数思想和化归与转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题.2 12 1.（12分）已知曲线C：）=标，。为直线y=-上的动点，过。作c的两条切线，切点分别为4,B.（I）证明：直线A B过定点.(2)若以E(0,i.)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的2方程.【考点】K8：抛物线的性质.【分析】(1)设D(n-1),A(XI,y i),则 X 2=2 y，利用导数求斜率及两点求斜率可得2rxi-2 y i+l=0,设 8(A2,J2),同理可得2rx2-2*+1=0,得到直线AB的方程为 2 fx-2)4 1=0,再由直线系方程求直线A 8过的定点；(2)由(1)

37、得直线AB的方程)，=次+工，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与2系数的关系求得线段AB的中点M(/,得)，再 由 标 1 屈，可得关于/的方程，求得/=0 或/=1.然后分类求得|丽=2 及所求圆的方程.【解答】(1)证明：设。(t,-工)，A(xi,y i),则 x 2=2 y，由于y=x,.切线D 4 的斜率为x i,故幺二X,，x T 1整理得：2ai-2 y i+l=0.设 B(X2,”)，同理可得 2txi-2)2+1=0.故直线A B的方程为2tx-2尹 1 =0.直线A 8过 定 点(0,1)：2(2)解：由(1)得直线AB的方程y=fx+L.2 1y=tx+y由，2，可

38、 得/-2 fx-l=0.X于是 Xj+x2=2t,y j+y2=t(x I+X2)+1=2 t 2+l-设 M 为线段A 8 的中点，则 M G,t2 总)，由 于 就 1 M，而而=(t,t2-2)-标 与 向 量(1，f)平行，.t+(?-2)r=0,解得，=0 或/=1.当 f=0 时，I前=2,所求圆的方程为x2+(y_)2=4；当，=1 时，I而=&,所求圆的方程为x2+(y-)2=2-【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-

39、4：坐标系与参数方程(10分)2 2.(1 0 分)如 图，在极坐标系 O x 中，A (2,0),8(a,2 L),C 历，2L),D(2,4 4n),AB，BC，&所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),(1,TT),曲线M l 是弧篇,2曲线M 2 是弧前，曲线M 3 是弧而.(1)分别写出M l,M2,M 3 的极坐标方程；(2)曲线M 由M i,M2,M 3 构成，若点尸在M 上，且|。8=我，求 P 的极坐标.【考点】Q 4：简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)根据弧定，BC，曲听在圆的圆心分别是(1,0),(1,(1,n),结2合极坐标方程进行求解即可；(2)讨论角的范围，由极坐

40、标过程|。2|=遥，进行求解即可得P 的极坐标：【解答】解：(1)由题设得，弧 定，BC，&所在圆的极坐标方程分别为p=2 c os0,p=2 si n9,p=-2 c os8,则 M i 的极坐标方程为p=2 c os。，(0 0 -ZL),M 2 的极坐标方程为p=2 si n。，4 4W”)，4M3 的极坐标方程为 p=-2 c os0,(0 2 L w OTr),4(2)设P(p,6),由题设及(1)知，若 O W O W J I-,由 2 c os0=导 c ose=,得 8=2 1-,4 2 6若？里L,由 2 si ne=J 5得 si nO=Y E,得 6=2兀,4 4 2 3

41、 3若3We W TT,由-2 c os0=J 导 c os8=-乂士，得 e=5 兀,4 2 6综 上 户 的 极 坐 标 为2L)或(0 2 L)或(M，2 Z L)或(声，辱-).6 3 3 6【点评】本题主要考查极坐标方程的应用，结合极坐标过程公式求出对应点的极坐标方程是解决本题的关键.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.设尤，y,z R,且 x+y+z=l.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(厂1)，(z-q)2工成立，证明：-3或-1.3【考点】R 6：不等式的证明.【分析】(1)运用柯西不等式可得(12+12+12)I (x-1)

42、2+(y+1)2+(z+1)2 (x-l+y+1+z+l)2=4,可得所求最小值；(2)运用柯西不等式求得(x-2)2+(y -1)2+(z-a)2的最小值，由题意可得上不大3于最小值，解不等式可得所求范围.【解答】解：(1)x,y,z G R,且 x+y+z=l,由柯西不等式可得(12+12+12)(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 (x-l+y+1+z+l)2=4,可 得(x -1)2+(y+1)2+(z+1)2 2鱼3即 有(x -1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值为&；3(2)证明：由x+y+z=l,柯西不等式可得(12+12+12)(x-2)2+(y-1)2+(z-)2 2(x-2+y-1+z-a)2=(c i+2)2,2可 得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 2包32即 有（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2 的最小值为（a+2 ）,32由题意可得（空）3 3解得“-1或“W-3.【点评】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题.