河北唐山市2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知变量的几组取值如下表：若）与x 线性相关，且 9=O.8x+a,则实数=（

2、）X1234y2.44.35.372.已知加，是两条不重合的直线，a,4 是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A.若 加 a,a/3,则加 或机B.若“7 /n,m /a,n 0 时，函 数 力=，分）产的图象大致是（）6.一个正三角形的三个顶点都在双曲线/则实数 的取值范 围 是()27.设2 =+(l +z)2(i是虚数单位)，贝!J|z|=()1 +iA.V 2 B.1 C.2 D.7 5/2.8.已知复数Z 1 =l +a i(a e R),Z 2 =l +2,(i为虚数单位)，若丁为纯虚数，则。=()A.-29.已知函数/(%)=,1B.2 C.22；一:，则/(/(-1)=

3、()x+l,x 0,1D.-2A.2B.3 C.4D.51 0.设全集U =x e Z|(x+l)(x 3)0,6 0)与抛物线V=8 x有一个共同的焦点尸，两曲线的一个交点为P,若 附1=5,则点F到 双 曲 线 的 渐 近 线 的 距 离 为.71 4.若复数z 满足丁=2+i,其中i 是虚数单位，则 z 的模是.11 5.已知复数二满足匕2 =i (i 为虚数单位)，则复数2 的实部为.Z1 6.在 A A B C 中，已 知 福.衣+2丽配=3 瓦丽，贝!Ic o s C的最小值是.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2 分)已知函数/(x)=

4、x 26x +41 n x(1)求 f(x)单调区间和极值；若 存 在 实 数 a*,c(0 a b c),使得/(a)=/3)=/(c),求证：c-a+y i=/(1 W吐3),圆尸 1：(x-l+y i=(4-r)L(1)证明：圆 Fi 与圆所有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；(1)已知点QQ”,0)(/!0)的离心率为三，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4、工(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A(L 0)的直线与椭圆C 交于点M,N,设 P 为椭圆上一点，且 三+三=二 三(二=0)0 为坐标原点，当 三-三|2力对任意工2,+)恒成立，求实数a的取值范围；(3)关于x的方程x

5、)+2c o s x =5能否有三个不同的实根？证明你的结论.2 2 2 222.(1 0分)已 知a /?0,如图，曲线由曲线G：二+4 =l(y 40)和曲线G：=一 与 =l(y 0)组成，其a b a-b 中点6,尸2为曲线G所在圆锥曲线的焦点，点K，K为曲线C?所在圆锥曲线的焦点.(I)若6(2,0),月(6,0),求曲线的方程；(U)如图，作 直 线/平行于曲线的渐近线，交曲线G于点A 8,求证：弦A B的中点”必在曲线g 的另一条渐近线上；(i n)对 于(I)中的曲线，若直线4过点K交曲线G于点C。，求ACDG面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6

6、0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】求出H，把坐标丘J)代入方程可求得【详解】_ 1 5 1 IQ IQ 5 1 1据题意，得x =z(l +2+3+4)=5，y =z(2.4+4.3+5.3+7)=j,所以 j=0.8x/+a,所以a =1.故选：B.【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点点,亍)可计算参数值.2.D【解析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断夕，夕所成的二面角为90；D中有可能 u a,即得解.【详解】选项A：若 加 a,a H (3,根据线面平行和面面平行的性质，有

7、 m 10或 m u/3 ,故A正确；选 项B：若？，m /a,n(z a,由线面平行的判定定理，有 a ,故B正确；选 项C：若 加_ L，n L p ,故e ,所成的二面角为90，则。，力，故C正确；选项D,若/_ L，m V a ,有可能 u a,故D不正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.3.C【解析】求出口直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】1 +z 2-1-3/2故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共匏复数，属于基础题.4.A【解析】根据幕函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】

8、因为函数二=、+七 .=二 贬 一解 得 二 且 二 h 3；，函数二（二）=、=+三 的 定 义 域 为 存 S）U（3,+z）,故选A.【点睛】定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；（2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数二（二）的定义域为 二二,则函数二（二（二）的定义域由不等式二 Z（Z）。,.函数/（X）有两个零点，.A C,不正确，设“=1,则/（x）=（X1-x）e :.f x）=+x-）ex,由 尸（x）=（V+l）e*。，解得x 一；乙或 x ,由/（力=卜 2-1.0,解得：一二二

9、 号 6,即x =1 是函数的一个极大值点，二。不成立，排除O,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x f 0+,x f（T,x f+8,x -8时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.6.D【解析】因为双曲线分左右支，所以“0）,3将其代入双曲线可解得.【详解】因为双曲线分左右支，所以。0）,将其代入双曲线方程

10、得：3(1+f)2+4(学)2=1,-2即 1 ，由，0得a v 3 a+13故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.A【解析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z,即可根据复数的模计算公式求出I z|.【详解】2_V z =+(1 +Z)2=1-Z +2/=1 +Z,.|Z|=J F +I2 =&故选：A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.8.C【解析】2把Z|=l+a i(a eH),Z z=l +2 i代入一利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可.Z2【详解】

11、:%=1+Q，(Q/?),Z2=1 +2 z.l +(l +6 i z)(l-2 z)1 +2 a-2.=-=-=-1-1z2 l +2 z (l +2 z)(l-2 z)5 5 Z,为纯虚数,Z21 +2Q=0。一2 wO解得a=_2故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.9.A【解析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为/(%)=F，一：?所 以 /(/(-1)=/=2 2 -2 =2.x+l,x0),3了+2丁=0可化为)，=一|%，则 白=；,解得m=1.故 选：A【点 睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.二、填空 题：本 题 共4

12、小 题，每 小 题5分，共20分。1 3.百【解 析】设 点P为（%,%），由抛物线定义知，|闭=而+2=5,求出点尸坐标代入双曲线方程得到。力 的 关 系 式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详 解】由题意得尸（2,0）,因为 点 尸 在 抛 物 线V=8x上，FP=5,设 点P为（天，为），由抛物线定义知，忻“=/+2 =5,解 得，%=3=2 不 妨 取P(3,2 a),代 入 双 曲 线0Y2-4v2=1,得r9-724T=1,a1 b-a-b1b又因为层+加=4,解 得a=l,b=B 因为双曲线的渐近线方程为y=-x,a所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 为

13、 产 士 百x,由点到直线的距离公式可得,点F到双曲线的渐近线的距离d|2四6故答案为：出【点 睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14.V5【解 析】先 求 得 复 数z,再由复数模的计算公式即得.【详 解】.z=2i+i2=l+2i，则 忖=6故答案为：亚【点睛】本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题.15.2【解析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】z=-=2-i,所以复数二的实部为2.I I故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算

14、能力，是一道基础题.伤历1 0.-3【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：bccosA+2ccosB=3cosC,然后再结合余弦定理整理为/+2从=3c2,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知A月.*+2瓦(BC；=3C5 奇，可得bccosA+2accos3=3a co sC,将角A,B,C的余弦定理代入得2 2 1 L2a2+2 b2 3 c2,由 a2+b2-c2 铲+5、垃,当a=b时取到等号，故cosC的最小值为卫.C O S C=-=-Q2ab 2ab 3 J点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能 正 确

15、转 化 福.而+2丽 觉=3而 函 是 解 题 关键.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)x (0,1)=(2,转)时，函数单调递增，x e(l,2),函数单调递减，/Wmin41n2-8;/(x)milx-5；(2)见解析【解析】(1)求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；(2)易得，e(41n2-8,-5)且0 a l b 2 c,要证明。一。2,即证c2+a,即证/(c)=/3)0对Vaw(O,l)恒成立，构造函数g(x)=/(x+2)-/(x),X(O,1),利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【

16、详解】解：(1)因 为/。)=2一6+4111定义域为(),+0,即f(x)在(0,1)和(2,+8)上单调递增,当x e(1,2)时，/(x)0,即函数/(x)在(1,2)单调递减，所以/(x)在x=2处取得极小值，在x=l处取得极大值；X)极小值=/=4 In 2-8,八幻极大值=/(D =-5.(2)易得n?w(41n2 8,-5 ),。V。vl v/?v2 vc,要证明。一2,即证c、v2+。，即证/(c)=/()0 对 V e(0,1)恒成立，令 g(x)=/(x +2)-/(x),xe(0,l),则 g(x)=fXx+2)-f(x)=4甘1丁 0令g，(x)0,解得1%6 1,即g

17、(x)在(G-1,1)上单调递增；令g(x)0,解得0%4百 一12+41ne 4(G 2)=0 从而结论得证【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.2 218.(1)见解析，工+匕=1(1)存在，m=-24 3【解析】求 出 圆F 1和圆工 的圆心和半径，通过圆肌与圆B有 公 共 点 求 出 用 的 范围，从而根据|P制+归 国=4可得p点的轨迹，进而求出方程；（D过工点且斜率为A的直线方程为y =%。-1），设M（玉,yj,N（X”2），联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及占=一 ,勺=一1,可得人化+内）=

18、”?,：24芈 根据其为定值，则有3/12=（），进而可得结果.【详解】（1）因为（一1,0）,g（L 0）,所 以 闺 闾=2,因为圆6的半径为，圆用的半径为4 r，又因为lWrW3,所以为一厂一厂区2,即|4一一/区闺玛区4-r+川,所以圆月与圆瑞有公共点，设公共点为P,因此归 用+归 闾=4,所以P点的轨迹是以（-1,0）,与（1,0）为焦点的椭圆，所以2a =4,c=l =a =2,b=x2 v2即轨迹E的方程为士+上 =1；4 3 过B点且斜率为左的直线方程为y=z（x-D，设片=由 4 3 一 消 去），得到（4左2+3卜2-8人+4/一12=0,y k（x-l）m 8k 2 4

19、k 2-12 Gwy x,+x.=-z，X jx2=1 一 软2+3 4 k-+3因为 匕=-9 h=,xx-m x2-m所以左（,+匕）=左（+二 左（小 二。十 殳二、（王一加 x2-m j 1%一 加 x2m y=k2（T T ）=k2-1）（尤2-加）+（工2-1）（西-加）xx-m x2-m)（-m）（x2-in）_42 2中2-（团+1）（工1 +9）+2加xx2-7n（X j+x2）+m2将式代入整理得k（k+k2）=（鬻24产 4（加一 1）2 左2+3加-12因为m（）,所以当3m2一12=0时，即根=一2时，（4+42）=-1.即存在实数加=2使 得 收+右）=-1【点睛】

20、本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.19.三+三=八（2）Z e-1,一当 u（W 1.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、二：=二：+二:、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到二/+二;、二/二;，利用三+三=二 三

21、列出方程，解出二（二 二），代入到椭圆上，得到二二的值，再利用|三-三|一,计算出二;的范围，代入到二:的表达式中，得 到t的取值范围.试题解析：（1）：二=三，:.二，=I-W =,：.M =，即二 =2二 .又二=gx2二 X2匚=4、，2,二二二=2、1,二二；=2,二；=4.椭 圆C的标准方程为三+5=1.（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，设直线方程为二=二（二一/）,二（二二。二（二；，二；），二 U，二）,二-I-二一；.联立方程；一 消去 y 得。+2 二）二4二二+2二-4 =0,匚=口（口一因为直线与椭圆交于两点，所以二=二 -4（1+2二：）（2二：-4）=2 4匚;+

22、16。恒成立,二/+二;=急，口 二;=忌，二/+二;=二（二;）-二二二7 7 ，又:二 二 +二二=二二 二，（一二；十 二 二 二匚产匚匚，.一-二0+2二;）“（匚）+匚：=匚=，-0+口2 一2口因为点P在椭圆m+m=j上，所 叼S+益即，二：=二;。+2二;），二二：=,=/一 看，X v|Z Z-Z Z|,即1王1苧，二 山+二;二 二;i w整理得：+匚；斗 辱 工 芸,S i 1 +J U 5化简得：13二 一5二；一8。，解得二：减二：一（舍），二：=i-*，/,即二 6（一 乙-y）U（y,1）.当直线M N的斜率不存在时，二（/,马，二。，-上），此时二=/,J J二

23、二 W-1,-y）U（y,J.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.2 0.（1）曲线G为圆心在原点，半径为2的圆.G的极坐标方程为0 =2 （2）?甲2 5,勺2+5【解析】（1）求得曲线。伸缩变换后所得C的参数方程，消参后求得G的普通方程，判断出G对应的曲线，并将G的普通方程转化为极坐标方程.(2)将E的极角代入直线/的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出AEOE为等腰三角形，求得直线/的普通方程,7T由此求得/。=勺，进 而 求 得 从 而3乃求 得 点 尸 的 极 角.4 8解法一：利用曲线G的参数方程，求得曲线G上的点”到直线/的距离d的表达式，结合三角函数的知识求

24、得d的最小值和最大值，由 此 求 得 尸 面 积 的 取 值 范 围.解法二：根据曲线G表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆G上的点到直线/的距离的最大值和最小值，进而求得AEMr面积的取值范围.【详解】x=2cosa,(1)因为曲线C的参数方程为 .(a为参数)，y=sinax,=x,fx.=2cosa,因为.则曲线G的参数方程 c .y=2y y=2sina所以G的普通方程为x；+y；=4.所以曲线G为圆心在原点，半径为2的圆.所以G的极坐标方程为02=4,即。=2.T T(2)点E的极角为一，代入直线/的极坐标方程pcose+psin。-5=0得点2极径为夕=5,且|/|=5,所以AEO尸

25、为等腰三角形，又直线/的普通方程为x+y-5=0,7T 3乃又点尸的极角为锐角，所以/尸国？=:，所以NF0E=k，4 84 3乃 71所以点尸的极角为2 8 8解法1：直线/的普通方程为x+y-5=0.曲线G上的点M到直线/的距离2/2sin 6Z4-|-512cosa+2sino-51 1 4).-质-=-6-当sin(a+?)=l,即a=+(左c Z)时，J W r r -x-.l B I -、，I 5|5/2d取到最小值为-广 -=-2.y/2 2当s i n a +?）=-l,即a =2 Z万 一,（女eZ）时,d取到最大值为等考+2.1 5A/2所以A E M/面积的最大值为；x

26、5x +22 2所以AEM尸面积的最小值为:x 5x庭T莘+5故A E M E面积的取值范围解法2：直线/的普通方程为x+y-5=0.因为圆G的半径为2,且圆心到直线/的距离d=+尸 =V 2 2因 为 述2,所以圆G与直线/相离.2所以圆c上的点M到直线/的距离最大值为+r =逑+2,2最小值为4一 一=拽 2.2|C/Q所以AEM尸面积的最大值为；x 5x +22 2/2+5所 以 尸 面 积 的 最 小 值 为g x 5x故A E W面 积 的 取 值 范 围 丁 一5,二+5【点睛】本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线

27、的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.(42 1.(1)a=-2 9 m =0；(2)-0 0,Z；-7I 2 1n 2-l n 3(3)不能，证明见解析【解析】(1)求出了(X),结合导数的几何意义即可求解;(2)构造触(0=2%-1)+2-2/(%),则原题等价于(x)0对任意x e 2,+8)恒成立，即x e 2,+8)时,hxmm 0,利用导数求(x)最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由/?(2)0求出4的范围，再研究该范围下(x)单调性;(3)构造g(x

28、)=/(x)+2 c o s x-5并进行求导，研究g(x)单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1)v /(%)=2 4-t z l n x,/(x)=4x +,X-曲线y =X)在点(1,/(!)处的切线方程为y=2x+m,/=4+a =2l)=2 =2 x l +m 解得a=-2m=0(2)记 秋x)=2 x 1)+2 2/(x),9r2整理得(x)=4(尤 一 1)一 广 一 丁2 2/?(x)=8(x-l)-t zx 2 x-l2x2-x由题知，/(2%-1)+2 2/(%)对任意6 2,+0 0)恒成立,/z(x)0对任意x e 2,+o o)恒成立，即x e 2,+o

29、 o)时，(*)“血 0,/(2)0,解得a-,2 In 2 -In 34当Q o,2X2-X=24（2x2-x）-a 4 x 6-421n2-ln3464b l久2 In 2-In 30h x)0,即(x)在 2,+8)单调递增，此时/z(x)min=(2)0,实数。的 取 值 范 围 为 一 高(3)关于尤的方程/(x)+2cosx=5不可能有三个不同的实根，以下给出证明：iB(x)=/(x)+2cosx-5=2x2+lnx+2cosx-5,xe(0,+oo),则关于x的方程”x)+2cosx=5有三个不同的实根，等价于函数g(x)有三个零点,(x)=4%+-2 sin x,x当时，-0,

30、x记“(X)=4 x-2 sin x,则/(x)=4-2cosx0,(X)在(O,+8)单调递增，”(x)“(0)=0,即4x-2sinx0,/.g0,g )在(0,+8)单调递增，至多有一个零点；当a 4-2cosx0,A 0(X)在(。,+8)单调递增，即g(X)在(。,+8)单调递增，g(x)至多有一个零点，则g(x)至多有两个单调区间，g(x)至多有两个零点.因此，g(尤)不可能有三个零点.,关 于X的方程/(X)+2 cos x=5不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.22.

31、(I )工+.=1(%0)和工=l(yO).；(U)证明见解析；(I I I)3叵.20 1 6 20 1 6 3【解析】a2+b2=36(1)由6(2,0),居(一6,0),可得，解出即可；a-b-=4(I I)设点4(斗乂),3(,%)，”(%，%)，设直线/：y =，(x-m),与椭圆方程联立可得:2x2-2mx+m2-a2)=0,利用/0,根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；(I H)由(I)知，曲线 异 看=1(为0),且 工(6,0),设直线 的方程为：x=y +6(0),与椭圆方程联立可得:(5 +4 2)y 2+4 8“)，+64 =0 ,利用根与系数的关系、弦长公式、三角

32、形的面积计算公式、基本不等式的性质，即可求解.【详解】(1)由题意：；鸟(2,0),工(一6,0),a2+b2=3 6a1-b2=4解得a2b2=20二1 6则曲线的方程为：-=1(y 0)和-l(y 0).20 1 6 20 1 6 7h(H)证明：由题意曲线。2的渐近线为：y =x，ab设直线/:y =(工一加)，aby=-(x-m)则联立，2 a 2,2 x2-2mx+nr-a2)=0 ,；.A =4加 2_8（加 2_。2）0,解得：（&a，又由数形结合知，/及a.设点 A&,乂 ）,3（孙 ），M（%,），2 9,m -a则xt+x2=m,%）x2=-m bm X o=不，、o=一丁

33、，2 2ah b.%=-x0,即点M 在直线y =-x 上.a2 2(J U)由(I)知，曲线G：景福=1(%,0)，点尼(6,0),设直线4 的方程为：X =y +6(0),x 二町+6二联立V%2 y 2-1-=11 20 1 6得：(5 +4/)/+48肛+64 =0,A =(4 8/?)2-4 x64 x(5 +4/?2)0 =,设 C&,%),。(%”)，4 8 5 +4 645 +4/，|-丫 4|=，(%+%)2-4%乂1 6后，2-15 +4/%+%，时 面 积 s=g|f|小8、唔浮=6 4 3等令 f=A/2-0 厂 +1，.C _ 64A/5Z _ 64A/5 16辨 9，54 f+当且仅当，=3,即 =史 时 等 号 成 立，所以。耳面积的最大值为1 5.2 2 3【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.