2015年陕西卷高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 5年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选 择 题（本大题共1 2个小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 .设集合M=x|x2=A:,N =x|lgxO,贝 l M U N =（）A.0,1 B.（o,i C.0,1）D.（-,i【答案】A【解析】试题分析：M =x|x2=x=0,1 ,N=x|lgx 0 =x|0 x cos 2a=0 9 sin a-cos a牛cos2a=0 ,所 以 sin a =cos a是cos 2a=0”的充分不必要条件，故选A.考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件.7.对任

2、意向量正，下列关系式中不恒成立的是()A.a-hab B.a-ba-bC.(a+b)2=|a+b2 D.(a+b)(a-h)=a b【答案】B【解析】1 1试题分析，因 为 同=同 间85(五 用 M同|司，所以选项A正确：当行与5方向相反时，5-用4问-同I不成立,所以选项B错误 向黛的平方等于向黛的根的平方，所以选项C正确：(3+i)(5-&)=o3-P.用以选项D正 确.故 选B.考点：1、向量的模；2、向量的数量积.8.根据右边的图，当输入x为2 0 0 6时，输出的y=()A.28 B.10 C.4D.2/输 入X/I x=x-2II y-3：+i I【答案】B【解析】试题分析：初始

3、条件：x=2006；第1次运行：x=2004；第2次运行:%=2002；第3次运行：x=2000；.；第1003次运行：x=o；第1004次运行：x=-2.不满足条件x?0?,停止运行，所以输出的y=32+l=10,故选B.考点：程序框图.9.设/(x)=lnx,0a。,若p=q=/(-),r=(/(a)+/(/?),则下列关系式中正确的是()A.q-r p C.p=r q【答案】c【解析】iitfi分析：p=f4ab)=n/ab q=(?：)=l n,r=l(/(a)+/(i)=l|nat=ln/afr.,西/(x)=lux在(0,+oo)上柒调递以，因为所以/()，所以gp=r，秋 选C.

4、考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性.10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元 B.16万元 C.17万元D.18万元甲乙原料限额A(吨)321 2B(吨)128【答 案】D【解 析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为尤、y吨,则 利 润z=3x+4y3x+2y 0.”0R1 1 P 1 14 2乃 2 n当直线3x+4y-z=0过 点A(2,3)时，z取得最大值，所以zmax=3x2+4x3=18,故 选 D

5、.考 点：线性规划.11.设复数z=(x-l)+yi(x,ye R),若|z区1,贝 卜 心 的 概 率 为()A.2+_L4 2兀n1 12 71【答 案】B【解 析】试题分析：z=(九-1)+yi=|z|=+/1 (x-1)2+y2 0)的准线经过双曲线f 丁=的一个焦点,则P=【答案】2逝【解析】1 1甜8分析，抛物线炉=2px(p 0)的准线方程是x=-：,双 螃V-，=l的一个焦点可卜虚,0),向为抛物或，=2px(广 0)的准线经过双曲线f-=1的一个焦点，所以一彳=，解得p=2式,所以答案应堪，2万.考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质.15.设曲线)=在点(

6、0,1)处的切线与曲线y=l(X0)上点PX处的切线垂直，则P的坐标为.【答案】(1,1)【解析】试题分析：因为广小所以y=e,所以曲线忏e，在点(0,1)处的切线的斜率%=儿=0 =e=1,设P的坐标为(飞,No)(x0 0),则为 ，因为y=L所以y，=_,所以曲线y 在点P处的xQ X X X切线的斜率网=川=-3,因为勺4=-1,所以-=-1,即*0X。片=1,解得.=1,因为/0,所以%=1,所以=1,即P的坐标是（1,1）,所以答案应填：（1,1）.考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系.1 6.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中

7、虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示:原始的最大流量是:x（1 0 +1 0 一 2 x2）x2 =16,设抛物线的方程为x2=2py（p0）,因为该抛物线过点（5,2）,所以2 P x 2 =52,解得P弓，所以尤之言八即尸会,所以当前最大流量是C（2=仪 2 x5 女 5）上（一5）女（5）1号,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是为=1.2,所以答T案应填：1.2.考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义.三、解答题（本大题共6小题，共7 0分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17.（

8、本小题满分1 2分）AABC的内角A,B,C所对的边分别为“，b,c.向量应=与万=（cos A,sin B）平 彳 丁.（D 求 A；（II）若a =6 =2 求 AABC 的面积.【答案】（I）f；（I D孚.忒题分析（I）无 利 法/房可得asinB-麻sinA=0,再利用正弦定理可得tan A的值,进而可得A的以，（II）由余弦定理可得c的值，进而利用三角形顺积公式可得AABC的面积.试题解析：（I）因为i n l l n,所以 asin 3-V3Z?cos A=0,由正弦定理，得sinAsinB-V3 sinB cos A=0又sinB工0,从而tan A=,由于0 A ,所以A后（

9、I I）解法一：由余弦定理，得a1=b+c2-2bccosA而 a=近 b=2,A=3得 7=4+c2-2c 9 BP c2-2c-3=0因为c、0,所以c=3.故AABC的 面 积 为*in A号解法二：又正弦定理，得 立=二 一,s_in 一万 s i n B3从而 sinB7又由。b,知A B,所以8 s x =垃7故 s i n C =s i n(A+B)=s i n；B +yJ =s i n 2?c o s y 4-c o s 5 s i n y =所以 ABC的面积为i b c s i n A=.2 2考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.

10、18.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中，AD/BC,jrZ B A D =-,AB=BC=1,2A D =2 ,E 是 AD 的中点，0是A C与B E的交点.将AABE沿BE折起到AA|BE的位置，如图2.（I ）证明：CD_L平面A Q C；（II）若平面A|BE_L平面B C D E,求平面AC与平面ACD夹角的余弦值.【答案】(I)证明见解析；(II)【解析】:,试题分析，(D先证BB_LOAi，BE_OC,再可证BE_平面AQC,迸而可证CD_L平面AQC；(II)先建立空间角坐标系，再诲出平面A|BC和平面AD的法向量，进而可需平面ARC与平面AQD夹拿的余弦值.

11、试题解析：(I)在图1中，因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点，zB A D=j,所以 BE AC即在图 2 中，BE BE 10C从而BE,平面A。又C DDB E,所以CD,平面A。.)由已知，平面4 8 n平面BCDE,又由(1)知，BE 1。4,BE 10C所以NA0c为二面角4-BE-C的平面角，所以幺旌后.如图，以0为原点，建立空间直角坐标系，因为 4B=4E=BC=ED=1,BCD ED所以例理,0,0),E(W,0,0),A|(0,0,乌,C(0,q,0),2 2 2 2得前(一号点0),AC(0,CD=BE=(-72,0,0).2 2 2 2设平面 4 B C

12、 的法向量 马=（X ，X，Z|）,平 面A C D的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A B C与平面A,CD夹角为6 ,则 上 上=0,4-AC=0得I，取 I =(1,1,1),亏 亥=0,得n2.A C =0取1=（。，1，1），从而 co s 0=|co s 勺,2l=2 _V3 xV2即平面A B C与平面A C D 夹角的余弦值为半.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.1 9.（本小题满分1 2分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频

13、数（次）20304010（I）求T的分布列与数学期望E T；（I D刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过1 2 0分钟的概率.【答案】（I）分布列见解析，3 2；（II）0.9 1.【解析】试题分析：(I)先算出T的频率分布，进而可得T的分布列,再利用数学期望公式可得数学期望E T；(I I)先设事件A表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分(II)设 分 别 表 示 往、返所需时间，Z Z的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表 示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为

14、5 0分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A)=P(7+7；70)=P(7=25,7；45)+P g =30,7；40)+P(7；=35,7；35)+P(7=40,7；70)=P(7；=35,7；=40)+P(7；=40,7；=35)+P(7；=40,7；=40)=0.4x0.1+0.1x0.4+0.1x0.1=0.09故P(A)=1 -P(A)=0.91.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.2 22 0.(本小题满分12分)已知椭圆E：T+4=I的a b半焦距为C,原点。到经过两点(c,0),(0,/?)的直线的距离为;c.(D

15、求椭圆E的离心率；(I I)如图，AB是圆M:(x+2)2+(y i f 的一条直径，若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方【解析】试题分析：(I)先写过点(GO),(。的直线方程，再计算原点。到该直线的距离，进而可得椭圆E的离心率；(I I)先由(I)知椭圆E的方程，设AB的方程，联立F l。：?)：,消去V,可得王+和口的值，进而可得,再利用|AB|=而可得从的值，进而可得椭圆E的方程.试题解析：(I)过 点 0),(0,b)的直线方程为bx+cy-be=0 9则原点。到 直 线 的 距 离 公 号 吟,由d=c,得a=2b=2y/-c?,解得离心率上=走.2a 2(11)解法一：由(l)知

16、，椭 圆 E 的方程为炉+今2=4从.(D依题意，圆心M Q 2,1)是线段A B 的中点，且|A B|=而.易知，A B 不与X 轴垂直，设其直线方程为y-k(x +2)+,代入得(1+4k2)x2+Sk(2k+)x+4(2k+1)2-4b2=0设 A U,y),B(%,y2),贝I%+%=-丹2：?)，%=-.1 TK 1 2 2).由I AB|=而，得J i。、2)=后,解得从=3.2 2故椭圆E 的方程为5+5 =1.12 3解 法 二：由(I)知，椭 圆 E 的 方 程 为f+4/=4/.(2)依题意，点 A,B关于圆心M (-2,1)对称，且IAB仁而.设;4 a,丫1),8(孙

17、丫2),则 入：+4y=4/,X22+4y22=4b2,两式相减并结合+=-4 0+必=2,得-4(%-)+8(y-%)=0.易知,A B 不与x 轴垂直，则尤产x,所以A B 的斜率%尸ALA =1%!-x2 2因此A B直线方程为 y=g(x+2)+l,代入得/+4x+8-2b2=0.所以X)+x2=-4,xx2=8-2b2.于是AB|=x-x21=J(N+)2 -41%2 =JlO g?2).由I AB|=而，得/0(层.2)=而,解得从=3.2 2故椭圆E的方程为2+4 =1.1 2 3考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6

18、、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21.(本小题满分12分)设/.是等比数列1,x,，龙”的各项和，其中x 0,n&N,n2 u 证 明：函数注”=加尤)-2在加内有且仅有一个零点(记为G,且七,=；+；琛1；(I D设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g.(x),比较加X)与g.(x)的大小，并加以证明.【答案】(I)证明见解析；(I I)当X =1时,f.=g”(x),当 1时，/(%)gn(x),证明见解析.【解析】试题分析：(I)先利用零点定理可证F.(x)在1)内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证F.(x)在(“内有且仅有一个零点

19、，进而利用x.是F”(x)的零点可证/=；+；琛|；(I I)先设(x)=/“(x)g,(x),再对x的取值范围进行讨论来判断(x)与0的大小，进而可得/.(尤)和g.(x)的大小.试题解析：(I)工(无)=0,所以工(X)在(,1 内有且仅有一个零点_ _ 1/1+1因 为 是 他 的 零 点，所 以“。，即 三-2=。，故(I I)解法一：由题设，g.(x)=(+l)”)设（X）=,（九）-g“（X）=1 +X+尤2 +一 九 ,x0.2当 x=l 时，力（x）=g.（x）当 x H 1 时，/（X）=1 +2x+叱 （；）”.若。l,l(x)/+2-+女-也 由-=硬 四”-硬 闻=0.

20、2 2 2所以/MX)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，所以力(%)=0 ,即力(x)g.(x).综上所述，当 尤=1时，(x)=g“(x)；当X H 1时力(x)0.当 x=l 时，力(x)=g.(x)当 1时，用数学归纳法可以证明 f M gn(x).当 =2 时，/2(x)-g2(x)=-g(l-0,所以/2(x)g2(x)成立.假设=%伏？2)时，不等式成立,即力(x)g(x).那么，当 =女+1时,+1,+,(k+h(l+xk 2 xi+优+l)f+Z+1A+.W=AW+0),贝l jh：(x)=k(X+1)/一 4四 +1)J T =4四 +1)xk-l(x-1)所以当 0

21、 x l,4(x)l,M(x)0,4(x)在(1,+8)上递增.r-r-i l I I rjCT+(攵+1)X*+Z+1所以 4(x)4=0,从而 gk+i(x)-故+i(x)g*+i(x).即n=左+1,不等式也成立.所以，对于一切2 2的整数，都有x)g.(x).解 法 三：由 已 知，记 等 差 数 列 为%,等比数列为也,k=l,2,+1.则 =仿=1,an+l=bn+l=x,所以%=1+(攵-1)土 二!(2W4Wn),bk xk-2 k 0(2 0,n-k .若0 x l,xnk+l 1,m；(x)1,xn-k+i 1,“(x)0,从而 4(x)在(0,1)上 递 减，mk(x)在

22、(1,+-)上 递 增.所 以%(x)?。且XH1 时,ak bk(2k n),又4=伉,an+l=b+i,故 fn(x)gn(x)综上所述，当户1时，(x)=g“(x)；当 X H1 时力(x)sine,从而有f+V =2G y,所以J+卜一码一=3.（ID 设 P（3+-t,t）,XC（0,V3）,则2 2|PC|=J（3+；f+12,故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3,0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24.（本小题满分10分）选修4-5 ：不等式选讲已知关于 的不等式|x+|b的解集为5|2 x 4.（D求实数。，

23、人的值；（II）求Ja r+1 2+版的最大值.【答案】（I）。=-3,Z?=l；（II）4.【解析】试题分析：（I）先由卜+同6可得-b a x b-a,再利用关于x的不等式|x+a|Z?的解集为 x2 x 4可得a ,Z?的值；（II）先将J-3 f+1 2 +J变形为行57+,再利用柯西不等式可得y/-3t+1 2 +7的取大值.试题解析：（I）由|x+a|%得-b-a x b-a则解得”3,4 1b-a=4,（II）V-3 Z+1 2+V7 =V3 V47 +V F （V3）2+12+（V47）2+（Vr）2=2y/4-/+/=4当且仅当 94,即r =l时等号成立，故（J-3 r+1 2+）=4./m ax考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式