2015高考真题——课标Ⅰ卷理科.pdf

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1、绝密启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试课标I卷理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷(选 择 题)和 第I I卷(非选择题)两部分。第I卷 1至 3 页，第I I卷 3 至 5 页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第I卷-、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。14-7(1)设复数Z满足=i,贝 z|=1 -Z(A)1 (B)五 (C)V 3 (D)2【答案】A【解析】试题分析：由生=i得，z

2、=二 上 匚=且 辿 二D=i,故|z|=l,故选A.1-z 1 +z (l +z)(l-z)考点：1.复数的运算；2.复数的模.(2)s i n 2 0 c os 10 -c os 16 0 s i n 10 =(A)-y (B)T(C)-2(D)2【答案】D【解析】试题分析：原式=s i n 2 0 c os 10 +c os 2 0 s i n 10 =s i n 3 0 =,故选 D.2考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式(3)设命题 p :N,？2 ,则r?为(A)V/JGN,n2 2(B)3/1 e N,n2 2(C)V e N,n2 2(D)3/i e N,n2=2【答案】C【

3、解析】试题分析：V”e N,n2 2 ,故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.6 4 8 （B）0.4 3 2 （C）0.3 6 （D）0.3 12【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为0.6 2 x 0.4 +0.6 3 =0.6 4 8,故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式尤 2 -._ _ _.（5）已知M*。,九）是双曲线C：一V=i上的一点，片，尸2是C的两个焦点.若加片 加入0,则先的取值范围

4、是（A）（一 乌 立）（一乌立）（-迪，迪）3（一 空，巫）3 3 6 6 3 3 3 3【答案】A【解析】试题分析:由题知（-省,0）,工（百,0）,y；=l,所以MF/MF=(-与,=-3 =3 y；-1 0 ,解得 儿 r =0.0 1?是，循环，2执行第 2 次，S=S m =0.2 5 ,/7 7 =0.1 2 5,n=2,S=0.2 5 2f =0.0 1?是，循环，m执行第 3 次，S =5-?i=0.1 2 5 ,z =0.0 6 2 5,=3,S =0.1 2 5 2f =0.0 1?是，循环，rn执行第 4 次，S =S-？=0.0 6 2 5,m=一 =0.0 3 1 2

5、 5,=4,5=0.0 6 2 52 r =0.0 1?是，循环，执行第 5 次，S =5-=0.0 3 1 2 5,m=0.0 1 5 6 2 5,n=5,S =0.0 3 1 2 5 r =0.0 1?是，2循环，m执行第 6 次，S =S-m =0.0 1 5 6 2 5,m =0.0 0 7 81 2 5 ,n=6,S =0.0 1 5 6 2 5 r =0.0 1?2是，循环，执行第 7 次，S =S -m =0.0 0 7 81 2 5,m =0.0 0 3 9 0 6 2 5,=7 ,S =0.0 0 7 81 2 5 f =0.0 1?2否，不循环，故选C.考点：程序框图(1

6、0)(V+x+y p的展开式中，1 5 y2的系数为(A)1 0 (B)2 0 (C)3 0 (D)6 0【答案】C【解析】试题分析：在(V+x +y p的5个因式中，2个 取 因 式 中 剩 余 的3个因式 中1个取X,其余因式取y,故V y 2的系数为c；C；C；=3 0,故 选C.考点：排列组合；二项式定理(1 1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几I I 2r俯视图何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20乃，则厂=(A)1 (B)2(C)4(D)8【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，

7、圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为-x4 r2+*2厂 +加二+2*2=5 m-2+4r2=16+20)2解得，r =2,故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测血枳公式(12)设函数/(x)=e(2x-l)t u+a,其中 K 1,若存在唯 一 的 整 数 使 得/(4)0,则。的取值范围是3 3 3 3 3 3(A)-J)(B)(C),)(D)4)2e 2e 4 2e 4 2e【答案】D【解 析1】试题分析：设g(x)=(2x l),y=a x-a,由题知存在唯一的整数升,使得g(x0)在直线y=a r-a的下方.因为 g(x)=e(2x+l),所以当

8、 x -g 时，g(x)g 时，g(x)0,所以当尤=一；时,gm in(x)=22 当 工=0 时，g(0)=-1，g(l)=3e 0,直线 丁 二 一。恒过(1,0)斜率且，故3-a (0)=-1,且g(-l)=-3 T N-a-a ,解 得 一 z 1,故选 D.2e【解析2】由题意知不等式短(2工一1)一。(九一1)0有且只有一个整数解，当x=0时/(0)=-1+。0,所以0 为/(x)(x+l)(2x-l)-r z(x-l)=2x2+(x-1)(1-a)0,即当 x 2 1 时，/(x)0；当x l时，广(x)=(2x+l)a 0,所以/(x)在(一8,-1上为减函数，故当彳/(-1

9、)2 0,故仅当一时，/(x)0),则半径为4 a,W J(4-)2=a2+2,解得。=：,故圆的方程为(x|)2+y 2=今考点：椭圆的儿何性质；圆的标准方程尤 12 0,(15)若 满 足 约 束 条 件 x-y W O,错误！未找到引用源。则上错误!xx+y 4W 0,未找到引用源。的最大值为.【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，上是可行域内一点与原点连线的斜率,X由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故上 的最大值为3.x考点：线性规划解法(16)在平面四边形A8CD中，N A =N B=N C=7 5。，B C =2,则4 5 的取值范

10、围是【答案】(a-6,V 6+V 2)【解析】E试题分析：如图所示，延长B A,CD 交于E,平移A。，当A与。重合与七点时，A 3 最长，在 aBCE 中，ZB =ZC=7 5,Z E=30,B C =2,由正弦RF 2 RF 定理可得=-,即-=-,解得3&+及,平 移AD,sin Z E sin Z C sin 30 sin 7 50当。与C重合时，A B最短，此时与A B交于f，在 B C F中，N B=N BFC=7 5,N F C B=30,由正弦定理知，sin Z F C B-,即-=-sin Z B F C sin 30 sin 7 5解得B F =娓 6 ,所以A B的取值范

11、围为(瓜 一 五,V 6+V 2 ).考点：正余弦定理；数形结合思想三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(1 7)(本小题满分1 2分)5为数列 4的前n项和.已知%0,-+2an=4 sl i+3.(1 )求 ”的通项公式;(H )设2=,求数列他“的前”项和.%,向【答案】(1 )2 +1 (I I)-6 4/z +6【解析】试题分析：(I )先用数列第项与前项和的关系求出数列/的递推公式，可以判断数列 4 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列”“的通项公式；(H)根 据(I )数列 的通项公式，再用裂项相消法求其前九项和.试题解析：(I )由+2an=4 s“+

12、3，可知a+2 a,川=4 s向+3.可得 味1-片 +2(%-4)=4 a+1,即(+%)(%-%)=2(a+%)因为a“0,所 以%+1-an=2.又 a：+2 q =4 S +3=4 q+3,因为a“0,所以q=3,所以数列 4,是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为%=2+1.6分(II)由。“=2+1 可知，bn=-anan+-=(-)(2+1)(2+3)2 2+1 2+3设数列 4 前n项和为I，则Tn=4+4+lr/l 1、/1、,I 1 、i_ n-3(2+3),.12 分考点：数列前项和与第项的关系：等差数列定义与通项公式；裂项相消法(18)如图，四边形ABC。为菱形，/

13、A B C =120。，是平面ABC。同一侧的两点，BE J_平面ABC。，。尸_1 _平面ABC。,(I)证明：平面AEC L平面A/C；(II)求直线A E与直线C F所成角的余弦值.【答案】见 解 析(I I)3【解析】试题解析：(I)连结B D,设8 0 n A e =G,连结EG,PG,EF.在菱形ABC。中，不妨设GB=1.由NABC=120,可得A G =G C=V3.B E =2 D F ,A E 1 EC.由 B E,平面 ABC。，A B B C ,可知 AE=EC.又 AE J,EC,所 以 E G =道,且 EGJ.AC.在RtAEBG中，可得5 6=及，故0F=匚2在

14、RtAFOG中，可 得/G=.2在直角梯形8OFE中，由8。=2,B E =42,D F =,可得EF=还2 26分（H）如图，以G为坐标原点，分别以G反 比 的 方向为x轴，y轴正方向，|G司为单位长度，建立空z y间直角坐标系 Gy z,由（I ）可得 A（0,g,0）,E（l,0,V 2）,厂（一1,0,芋），C（0,J J,0）,所以A E =(1,V 3,V 2),而=(一1,一 威 争.10分故 c os -=；一AECFV 3T所以直线A E与CP所成的角的余弦值为312分考点：空间垂直判定廿性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（1 9）某公司为确定下一年度投入

15、某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z （单位：千元）的影响，对 近8年的年宣传费王和年销售量y （i =l,2,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.工鸣贮需*620-600-.580-.560-540-.520-500-4801 _ _ _ _ _ _ _ _ _L_34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56年宣传费/千元表 中 叱=J七，W=&i=XyW8 _方（不一必i=l8 _Z(叱-/=8 _ _i=l8 _ _Z(吗 w)(y.-y)i=4 6.65 6 36.82 89.81.61 4

16、6 91 0 8.8（I）根据散点图判断，丁 =。+笈 与 旷=。+4 6哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（II）根 据（I ）的判断结果及表中数据，建立y关于光的回归方程；（III）已知这种产品的年利率2与%），的关系为2 =0.2 3；-根 据（1 1）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =4 9时，年销售量及年利润的预报值是多少？(i i)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(%,匕)，(乙,彩)，.(“,匕,),其回归线丫=&+仇/的斜率和截距的最小二乘估计分别为一 )(匕 一 V)B=1 -,d=v-ftu.

17、(%.-u)2i=l【答案】(I )y =c +d适合作为年销售y关于年宣传费用龙的回归方程类型(II)亍=1 0 0.6+6 8夜(III)4 6.2 4【解析】试题解析：(I)山散点图可以判断，y =c +d 4适宜作为年销售关于年宣传费用x的回归方程类型.2分(II)令 卬=五，先建立y关于w的线性回归方程.山于8 _ _X(w，w)(y,-y)I0 X 8八-=侬=6 8,工(吗-卬)2 16(=1=亍-2 1=5 6 3 6 8x 6.8=1 0 0.6,所以y关于卬的线性回归方程为g =1 0 0.6 +6 8卬，因此y关于x的回归方程为y =1 0 0.6+6 8Vx.6 分(I

18、II)(i )由(H)知，当x =4 9时，年销售量y的预报值y =1 0 0.6+6 874 9 =5 76.6,年利润z的预报值z =5 76.6 x 0.2-4 9 =6 6.3 2 9 分(i i)根 据(H)的结果知，年利润z的预报值z=0.2(1 0 0.6 +68A/X)x=-x+1 3.66+2 0.1 2所以当五=改=6.8,即x =4 6.2 4时，2取得最大值.2故年宣传费为4 6.2 4千元时，年利润的预报值最大.1 2分考点：非线性拟合；线性回回方程求法：利用回归方程进行预报预测：应用意识（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线y=（a 0

19、）交 与 两 点.4（I）当后=0时，分别求C在点和N处的切线方程；（ID y轴上是否存在点尸，使得当上变动时，总有/OPM =N O PN?说明理由.【答案】（I）=0 或&x+y+a=0（II）存在【解析】试题分析：（I）先 求 出 的 坐 标，再 利 用 导 数 求 出 处 的 切 线 方 程.（II）先作出判定，再利用设而不求思想即将y=履+。代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设 出 的 坐 标 和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM,PN的斜率之和用。表示出来，利用直线PM,PN的斜率为0,即可求出a力关系，从而找出适合条件的尸点坐标.试题解析：（I）由题设可得M（2&,

20、a）,N（-24a,a）,或M（2&,a）,N（2 6,a）.又y=；x,故）=在 工=2&处的导数值为右，C在点（2&,a）处的切线方程为y-a =yja（x-2ya）,BPs/a x-y-a =0.2y=工 在X =一2八处的导数值为-8,C在点（-2后,0处的切线方程为4y-a =-y/a（x-2yJa）,即 yax+y+a=0.故所求切线方程为血不一丁一。=0或G x +y+a=0.5分（II）存在符合题意的点，证明如下：设P（0力）为复合题意得点，M（X QJ，（乙，必），直线尸 忆PN的斜率分别为3 G将y 二丘+。代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.X +&=4k,x1x2

21、=-4a.女+女=y一1 必_2依 工2+（-3（现+2）_左（4+3xxx2a当人=一。时，有占+&=0,则直线P M的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故NOPM OPN,所以点P(0,一。)符合题意.12分考点：抛物线的切线：直线可抛物线位置关系；探索新问题：运算求解能力(21)(本小题满分12分)已知函数/(x)=V+ar+1,g(x)=-ln x.4(I)当。为何值忖，x轴为曲线、=/(x)的切线；(II)用min?,表示加，中的最小值，设函数/z(x)=min/(x),g(x)(x 0),讨论/(x)零点的个数.3 3 5 3 5【答案】(1)a=；(II)当a 或。时，/z(x)1

22、1 一个零点；当a=或a=时，/i(x)4 4 4 4 45 3有两个零点；当-4 1/=1,0%1研究力)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：(I)设曲线y=/(x)与x轴相切于点(为,0),则/(/)=0,/(%)=0,即 x0：+cixn H 0 1 34,解得%=1,0=一1.3 年+a=0 2 43因此，当。二一士时;l轴是曲线y=/(x)的切线.5分4(II)当 xw(1,+8)时，g(x)=-In x 0,从而(九)=min/(x),g(x)g(x)0,故/z(x)在(1,+co)无零点.当 x=l 时，若则/(1)=。+*2 0,%(l)=m in/(l)

23、,g(l)=g(l)=O,故x=1 是(x)的4 4零点；若。一3,则/=。+*0,(1)=01也 1)送(1)=/(1)0,所以只需考虑/(x)在(0,1)的零点个数.(i)若aW 3或a?0,则/(x)=3/+。在(0,1)无零点，故/(幻 在(0,1)单调，而/(0)=,，4+所以当aW 3时，/(x)在(0,1)有一个零点；当a?0时，/(x)在(0,1)无零点.4(i i)若一3。0,则/(x)在(0,J )单调递减，在(,一三,1)单调递增，故当 =一 I 时,一(X)取得最小值，最小值为/会=y4若即一qvavO，/(x)在(0,1)无零点.若/(J 0)=0,即。=一3,则/(

24、幻 在(0,1)有唯一零点;V 3 4若即一3”(由于/(。)=5/=。+三 所以当时，/)在(0,1)有两个零点；当一3。一时，/5)在(0,1)有一个零点.41 0分3 5 3 5综上，当。-或-时，/(X)有一个零点；当。=-或4 =-时，/2(x)有两个零点；当4 4 4 45 3a 时，h(x)有三个零点.4 4考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想1 2分请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。(22)(本题满分1 0

25、分)选 修4 1：几何证明选讲如图,43是。的直径，AC是。的切线，交。于点E.(I)若。为AC的中点，证明：OE是。的切线;(I I)若 O A =&J E,求/ACB的大小.【答案】(I )见 解 析(I I)60【解析】试题解析:(1)连结4后，由已知得，A EJ.BC,A C L A B.在 R t A A EC中，由已知得，D E =D C,故N D E C =N D C E.连结 OE,则 N 0 3 E =N 0 EB.又 N A C 8 +N A B C =90 ,所以 N D E C +N O E B =90 ,故 N O E O =90 ,OE是。的切线.5分(I I)设C

26、 E=1,A E =x,由已知得48 =2百，B E =yll2-x2由射影定理可得，AE2=CE BE,所以/=J12二7,即/+2 -i 2 =o.可得尤=百，所以N A C B =60 .考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理(2 3)(本小题满分1 0分)选 修44：坐标系与参数方程在直角坐标系尤3,中，直线G：x =2,圆C 2：(x l+(y -2)2=l,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求q,C 2的极坐标方程；TT 7 T(I I)若直线C3的极坐标方程为6=：(e R)6=亍(p e R),设G与。3的交点为M,N,求AGMN的面积.

27、,1【答案】(I)pc os6=-2,p2-2 2c os。4Psi n 0+4=0 (I I)-【解析】j r试题分析：(I)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得G，G的极坐标方程；(H)将将。=亍代入p2 一 2 2c os。-4p si n。+4=0即可求出I例M,禾！用三角形面积公式即可求出AGMN的面积.试题解析：(I)因为x =0 c os9,y =psi n。，所以G的极坐标方程为夕c osO =-2 ,C2的极坐标方程为p2 -2 p c os 6-4p si n。+4=0.5分(H)将。=3代入p2-2 pc ose 4/?si n 8 +4=0,得p?3+4=0,解得g=

28、2狡，.=&，故Q 2 2 =正，即|M N|=0 因为G的半径为1，则的面积;x j l x l x si n 45 =；.1 0分考点：直角坐标方程与极坐标互化：直线与圆的位置关系(2 4)(本小题满分1 0分)选 修45：不等式选讲已知函数/(x)=|x+l|-2|x-a|,0.(I)当”=1时，求不等式/(x)l的解集；(I I)若/)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求。的取值范围.2【答案】(I )x x 1化为一元一次不等式组来解；(H)将/)化为分段函数，求出/(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于。的不等式，即可解出。的取值范围.试题解析：(I )当4=1 时，/(幻 1 化为|x +l|-2|x 1|1 0.当x W l时，不等式化为x 4 0,无解；当1X 0,解得 x 0,解得l W x l的解集为x-x2.x 1 2 a,x -1,(I I)由题设可得，/(x)=3x 4-l-2 t z-l x a.2Q 1所以函数/(无)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(二,0),5(2 +1,0),2C(a,a +1),A A 3C 的面积为(a +l)2.2山题设得(a +l)2 6,故a 2.所以a的取值范围为(2,+8).考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法