2016年数学文高考真题分类02导数.pdf

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1、导数1.12016高 考 新 课 标1文 数】若 函 数/(幻=尤-；5皿2%+成 足 在(-0。,+8)单调递增,则“的取值范围是()(A)-11(B)1,(C)1 1353(D)1,3【答 案】C【解 析】,、2试题分析：/(x)=1-5 3 2%+0 3冷0对工1恒成立：2 4 5故 1-(2 c o s2 x 1)+o c o s珍0：即 ac o s x c o s 恒成立，即 一 孑+/对f e 恒成立:构造)=一#+,开口向下的二次函额/的最小值仑。1 1的可能值为端点值:故只需保证:：解得-.故选C./(-1)=-+0考 点：三 角变换及导数的应用【名师点 睛】本题把导数与三角

2、函数结合在一起进行考查，有所创新，求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题，注意与三角函数值域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性.-l n x.0 x 1,/2垂 直 相 交 于 点 尸，且/i，/2分 别 与y轴 相 交 于 点4,B,则以8的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(1,+o o)【答 案】A【解 析】试 题 分 析:设4(玉，In玉)，鸟(龙2,Tn)(不 妨 设 玉 1,0 /l,：.S Ap AB=1|y A-%H x p|=7 Lvk=l，,S AP AB l，故选 A.11+玉 1

3、+玉 1 2 1+玉 1 +玉考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点A,B 坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积,题中把面积用玉表示后，可得它的取值范围.解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论.这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，筒单而实用.3.【2016高考四川文科】已知a函数/()=%3 一I2x 的极小值点，则a=()(A)-4(B)-2(C)4(D)2【答案】D【解析】试题分

4、析：/(力=3-12=3(4+2)(工一2),令/(工)=0得=-2或=2,易得/(力在(一2,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，故f(x)极小值为/(2),由已知得。=2,故 选D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点不是方程/(x)=0 的解，但毛是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在小附近，如果x x 0 时，/,(x)x 0时/(x)0,则尤。是极小值点，如果x 0,尤 /时，/,(x)0 时，一 一2 =2。-1),即 y=2 x.考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义.【知识拓展】本题题型可

5、归纳为“已知当无0 时，函数y=/(x),则当x 0 时，求函数的解析式”.有如下结论：若函数/(X)为偶函数，则当x 0 时，函数的解析式为y=-/(x)；若/(x)为奇函数，则函数的解析式为y=-/(-x).学优高考网5.【2 01 6高考新课标1 文数】(本小题满分1 2 分)已知函数 x)=(x 2)e +a(x l)2.讨论 x)的单调性；)若 x)有两个零点，求。的取值范围.【答案】见解析(H)(0,+8)【解析】试题分析：先求得y(x)=(x 1 乂/+2 a).再根据1。勿 的 大 小 进 行 分 类 确 定 的 单 调 性；(I I)借助第一问的结论:通过分类讨论函数单调也确

6、定零点个数，从而可得a的取值范围为(0.-K B).试题解析：(D/(x)=(x-l)c1:+2 a(x-l)=(x-D(/+2 a).(i)设。之0,则当x e(-a U)时当x e(L田)时所以在(y,l)单调递减，在(L y)单调递增.(i i)设a 一泉则 ln(-2 a)v L故当xYcn(-2 a)U(L M)时 J(x)0；当 x e(ln(-2 a),l)时/(x)0,所以 x)在(r on(-2 a),(L*o)单 调 递 增 布(ln(-2 a)J)单调递减若 a 1 ,故当 X G(-o o,l)U(ln(-2 a),+o o)时，/,(x)0,当 x e(l,ln(-2

7、 a)时，尸(x)0,则由知,/(x)在(一8,1)单调递减，在(1,+o o)单调递增.又 1)=一 e,2)=a,取 6 满足 X0 且则 4(。-2)+a(。-1)2=。(/一 3)。,所以/(九)有两个零点2V 2 J(i i)设 4=0,贝 I/(x)=(x 2)靖所以/(%)有一个零点.(i i i)设 0,若a -1,则由知,/(x)在(1,+00)单调递增.又当X W 1 时 故/(力 不 存 在 两 个 零 点；若 a-1,则由知,/(力在(l,ln(-2 a)单调递减，在伽(-2),+8)单调递增,又当工1 时/(%)0 ,求a的取值范围.【答案】(I)2 x+y-2 =0

8、；(I I)(-),2 .【解析】试题分析：(I)先求函数的定义域，再求r(x),r(i),/(i),由直线方程得点斜式可求曲线卜=/(力在 处 的 切 线 方 程 为2 x+y 2 =0.(I I)构造新函数g(x)=l n x 里 王?，对实数。分类讨论，x+1用导数法求解.试题解析：(I)/(X)的定义域为(0,+3).当a=4时，/(x)=(x+l)l n x-4(x-l)J/,(x)=l n x+-3 ,/r(l)=-2s/(l)=0.X所以曲线 =/(X)在Q J Q)处的切线方程为2 x+尸2 =0.(I I)当 x e(l,+8)时，/(x)0 等价于I n x-丝 0.x+1

9、/、.x-l)令 g(力=ln x-则 g(x)=-W 2，虱D=，x(x+l)x(x+l)(i)当a 4 2,xe(L田)时，x2+2(l-o)x+lx2-2x+l 0,故 g(x)0,g(x)在 x e(L+oo)上单调递增，因此 g(x)0.(ii)当。2时，令g(x)=0得 再=a _ 巧=a_+J g _ i)2_i,由 巧1和 再 巧=1得 演1,故当xe(Lw)时，g(x)0,g(x)在x e Q巧)单调递减，因此g(x)=/(x)；(3)解不等式，(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式/。)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.学优高考网7.2016高考

10、新课标III文数 设函数/(x)=In x-x+1.(I)讨论/(x)的单调性；Y 1(I I)证明当 X (1,+8)时、1 -l,证明当xe(0,l)时，l+(c l)xc*.【答案】(I)当0 x 0或/(x)0可确定函数/(x)的单调性(I I)左端不等式可利用(I)的结论证明，右端将左端的x换为，即可证明；(III)变形所证不等式，X构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理.试题解析：(I)由题设，/(X)的定义域为(0,+8),/(x)=-l,令f(x)=0,解得x=l.X当0 尤 0,/(幻 单调递增；当时，/(x)0,/(幻 单调递减.4分(I I)由(I )知，/(

11、X)在X =1处取得最大值，最大值为了=0,所以当x x l时，l n x x-l,1 1 r-1故当时，l n x x-l,I P 1 -1,设g(x)=l+(c-l)x 贝Ug(x)=c-l-c X l n c.c 1I n-令g(x)=0,解得与I n c当x 0,g(x)单调递增；当时，g (x)0,g(x)单调递遍.9分由(I I)知，1/C,故0f1.又g(0)=g(l)=。，故当0 x 0,I n c所以当x e (0,1)时,l+(c-r)xc.12 分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法.【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：(1)苜先通过利用研

12、究函数的单调性，再利用单调性进行证明；(2)根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明.学优高考网8.2 0 16高考北京文数】(本小题13分)设函数/(%)=丁+ax2+bx+c.(I)求曲线y =/(x).在点(0,7(0)处的切线方程；(I I)设。=匕=4,若函数/(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(I I I)求证：/-3 b 0是/(x).有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】(I )y=bx+c;(I I)c e|0,J;(I I I)见解析.【解析】试题分析：(I)求函数f(x)的导数，根据/()=c,尸(0)=力求切线方程；(I I)根据导函数判

13、断函数f(x)的单调性，由函数/(x)有三个不同零点，求c的取值范围;(I I I)从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：(I)由/(x)=x，+OX?+b x+c,得/(x)=3 f+2 o x+b.因为0)=c,广(0)=匕，所以曲线y=/（无）在点（）,/（）处的切线方程为y=bx+c.(II)当 a=Z?=4 时，/(%)=x3+4x2+4 x+c,所以 人 力=3炉+8%+4.令/(无)=0,得3 f+8x+4=0,解得x=2或x=-(.与/(无)在区间(-8,+8)上的情况如下：X(oo,-2)-2NV_23 卜 如6r(x)+00+/、）cD3c2

14、-27所以，当c（）且c|0时，存在与 e（-4,2）,2,-：）使得小）=/伍）=/（七）=0.由“X）的单调性知，当且仅当CG（O,|卜J,函 数/（无）=尤3+4尤2+以+。有三个不同零点.（Ill）当 A=4fl2-126 0,xe（-oo,+oo）,此时函数x）在区间（ro,y）上单调递增，所 以 X）不可能有三个不同零点.当A=4o,“X）在区间（YO多）上单调递增；当x e（由 他）时,/r（x）0,f（x）在区间（2+8）上单调递增.所以f（x）不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有A=V-1 2 i 0.故-3 6 0是/（X）有三个不同零点的必

15、要条件.当 a=4,c=0 时，a2-3b 0 ,/(x)=;?+4x?+4 尤=x(x+2只有两个不同零点，所以/-3 6 0不是/(x)有三个不同零点的充分条件.因此3匕0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明.2 .求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值.3 .方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.4 .高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的

16、结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.学优高考网9.12 0 16高考山东文数】(本小题满分13分)设火x)=x l n x TZ x 2+(2 a-l)x,aR.(I)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(11)已知人外在尸1处取得极大值.求实数。的取值范围.【答案】(1)当。40时，函数g(x)单调递增区间为(0,用)；当a ()时，函数g(x)单调递增区间为(0,-L 1,单 调 递 减 区 间 为,+8 1.1(II)a-.2【解析】试题分析：(I )求导数/(x)=lnx-2 ox+2 a可得g(x)=lnx-2 t z x+2 ax e (0：+oo),从而g(

17、x)=L_ 2,=L ,X X讨论当a W O时，当a 0时的两种情况下导函数正负号,(H)分以下情况讨论：当时，当时,2试题解析：(I )由f(x)=lnx-2 G:+2 0,可得 g(x)=lnx-2 o+2,x (0,+oo),nil,/x 1 _ -2cix贝U g(%)=2Q=-，X X2a J确定得到函数的单调区间.当a=L时，当时，综合即得.2 2当aW()时，x e(0,+oo)时，g(x)0,函数g(x)单调递增;当a()时，x/o,-时，g(x)0,函数g(x)单调递增,I 2a)12 a)时,g(x)()时，函数g(x)单调递增区间为伍-,单调递减区间为!-,+2a J

18、2a(H)由(I)知，/(l)=0.当a V O时,/(x)0,/(x)单调递减所以当x e(O.l)时,尸(工)0,x)单调递增.所以/(X)在x =l处取得极小值，不合题意.当0 a 1,由(I)知 尸(x)在：0,()内单调递增，可得当当x e(OJ)时，fx)寸，尸(x)0,所以/(x)在9,1)内单调递遍，在 L)内单调递增，所 以/(可 在x =l处取得极小值，不合题意.当时，即1-=1时，尸(力 在9,1)内单调递增，在(L y)内单调递减,2 2a所以当x e(O.y)时，/(x)W 0,x)单调递减，不合题意.当时，即0 !0,切 单 调 递 曾2 2a 2a J当无武1,物

19、)时，f(x)0时，存在三个单调区间(II)由题意得了5)=3君一。=。即 君=三，再 由/(石)=/&)化 简 可 得 结 论(UI)实质研究函数g(x)最 大 值：主要比较/(D J(T),|八 容|.|八 一 冬)|的 大 小 即 可，分三种情况研究当。之3时，巫W K1W画,当:，a 3时，返w l 返返14冬 昼，当0。之时,3 3 4 3 333 4,2衣 2病,-1 0时，令/（x）=0,解得x-或 X =.3-3当x变化时，/（X）、/（x）的变化情况如下表:X-8-y/3a/V 3 a3 3y/3a(一 ,+)f(x)+00+/(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以/

20、（X）的 单 调 递 减 区 间 为 二），单调递增区间为（8,二），（-&；,+8）.（2）证明：因 为 存 在 极 值 点，所 以 由（1）知a 0且吃工0.由题意得，5）=3%一。=0,即进而/（%）=*-OXQ-b=一个 与 -b，又/（-2与）=_ 8*+2倏 _6=一 与 凝+2诙-6=_ 年 与 _6=/（4），目一2%工。，由题意及3）知，存在唯一实数不满足/（演）=/（%）,且再工与，因 此 玉=-2万，所以毛+2%=0.（3）证明：设g（x）在区间-口 上的最大值为“，max 工y 表示x,y两数的最大值，下面分三种情况讨论:当时，一 率K T|,|-l+o-i|=max|

21、a-l+6IJ 0-1-61)a-l-b,b 0,1 /?,/?0,所以 W=-1+|6但2.,l z 3 c n,2s 3a,yf3a y/3a,2y/3a当一 4 a 3 时，一一-1-1，4 3 3 3 3由 和（2）知 八-1）“（率）=八 与），/（1）&/（弩）=/（一 半），所以/（X）在区间-L 1上的取值范围为/（争 J（一 半 才，所以m ax|/（年|.|八 一 乌）|=max一等病切.|等/6|=max（|三2。技+6|J V2。技 一b|=高2a 技+|b|N2 X 3 x,3j x w =-.当。3时，1一 独2 上 叵 1,由 和 知，4 3 3/（-1）半）=-

22、争，所以了（力在区间-U 上的取值范围为/（1）,/（-1）,因此，=max/（l）1/（-l）=m ax|-l+a-6|J l-a-d|=m a x|l-o +6|J l-a-6|）=1 a+1 Z|i .综上所述，当。0时，g（x）在区间-L1上的最大值不小于:.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求 可 导 函 数 单 调 区 间 的 般 步 骤（1）确 定 函 数f（x）的 定 义 域（定义域优先）；（2）求 导 函 数/（x）；（3）在 函 数f（x）的 定 义 域 内 求 不 等 式/（）0或/（x）VO的解集.（4）由/（x）0（尸（x）V 0）的

23、 解 集 确 定 函 数/（x）的 单 调 增（减）区 间.若 遇 不 等 式 中 带 有参 数 时，可分类讨论求得单调区间.2.由函数次x）在（a,。）上 的 单 调 性，求 参 数 范 围 问 题，可 转 化 为/（x）2 O（或/（x）W O）恒成立问题，要 注 意“=”是否可以取到.1 1.12016高考浙江文数】(本题满分1 5 分)设 函 数/(x)=/+一，X G0,1.证明：1 +x(I)/(X)1 -X +X2;3 3(I I)-/(x)-.4 2【答案】(I)证明见解析；(I I)证明见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理

24、论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到 产 3=,从而得到结论.24试题解析：(1)因为1一+苗 一 =：一 尸2=乒 二1(X 1+x丫4 1 1由于有 il-x+x2-(X)N 1-X+Y.(H)由 OWxMl 得 x3 Wx,故 x)=V+-二+3=(x T)(2x+l)+晨 31+x-1+x 2 2 2(x+l)223所以x)苔.由(I)得 x)N l-x+V =卜-；)又因为/(，所以2J 24 4 4综上，7 l 时，g(x)0；(I I I)确定a的所有可能取值，使得/(x)g(x)在 区 间(1,+8)内恒成立.【答案】(1)当 了(0,，=)时，/(x)

25、0,/(x)单yj2a y/2a调递增；(2)证明详见解析；(3)a e l,+o o).2【解析】试题分析：(I)对/(x)求导，对。进行讨论，研究尸(x)的正负，可判断函数的单调性；(I I)要证明g(x)0,只要证g(x)在久田)上的最小值大于0,因此可利用导数求得g(x)在Q,m)上的最小值，就可 完 成 证 明：(n)要 证 明 不 等 式/l-e1-1在(1,-M O)上 恒 成 立，基 本 方 法 是 设X/Q)=/(x)d /r x x 2 1),当x l时，(x)=2 1 +1 e i,(=0的解不易确定，因此结合X X X(I)的结论，缩小。的范围，设g(x)=1 -与二，

26、并设式x)=e i x,通过研究式力的单调性x e xe得x l时，g(x)0,从 而/(x)0,这样得出a w o不合题意，又0 a l,fi/(-j L)x L+4 0,得此时久力单调递增，从而有得出结论.X X X ,1 试题解析：(I)f(x)=2ax -(x 0).X X当a 4 0 0寸，/,(x)0 0寸,由尸(力=0,有x=/=y/2a当（0,时，fx)0,/(x)单调递增.yl2a(I I)令式力=ex-i-x,则s 0)=ei-L当x l时，s Q)0,所以e】x,从而g(x)=L-3 0.x e(iii)由(I I),当x l时，g(x)0.当a WO,x l时，/(x)

27、=a(x2-l)-lnx g(x)在区间(1,+8)内恒成立时，必有a 0.当0a1时,2由(D有/(，=)0,所以此时/(X)g(X)在区间(1,+8)内不恒成立.当。之3时，令风力=/(x)-g(x)(x 1).一,11，/、11 i-x 1 1 1 2x+l x2 _ 2 x+l.当 x 1 时，h(x)=2 dx-F y -e x-F j-0.X X XXX X X因此坂X)在区间(1,+a o)单调递熠.又因为(1)=0,所以当x l时，/i(x)=/(x)-g(x)0,即/X x)g(x)恒成立.综上，a 6,+g(x),一般证明f(x)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数(x)=/(x)-g(x)的单调性.本题中注意由于函数(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到.有一定的难度.