考点12平面几何初步及相交线与平行线-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf

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1、考点1 2平面几何初步及相交线与平行线命题趋势该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2022年各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。.1、直线、射线、线段1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点：（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线.2）线段的性质：两点确定一条

2、直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离.3）线段的中点性质：若 C 是线段AB中点，则AC=BC=LAB；AB=2AC2BC.24）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交.5）垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.6）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离.2、角的相关概念1）角：有公共端点的两条射线组成的图形.2）角平分

3、线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若 OC 是NAOB 的平分线，则N A 0 C=/8 0 C=L/A O B,AOB=2ZAOC=2ZBOC.23）度、分、秒的运算方法：1=6（T,r=60n,l=3600.1周角=2平角=4直角=360.4）余角和补角1）余角：/1 +/2=9 0。0/1与/2互为余角；2）补角：/1 +/2=1 8 0。=/1 与/2互为补角.3）性质：同 角（或等角）的余角相等；同 角（或等角）的补角相等.5）方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（

4、南）多少度.当方向角在4 5。方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向.3、相交线1）三线八角（1）直 线 小 b被直线/所截，构成八个角（如图）./I和N 5,/4和/8,/2和/6,/3和/7是同位角；N2和/8,/3和/5是内错角；/5和/2,Z 3和N8是同旁内角.（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2）垂直（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直.（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短.3）点到直线的距离：

5、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离.4.对顶角（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互 为 对 顶 角.（2）性质：对顶角相等.但相等的角不一定是对顶角.5、平行线1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.2）平行线的判定（1）同位角相等，两 直 线 平 行.（2）内错角相等，两 直 线 平 行.（3）同旁内角互补，两直线平行.（4）平行于同一直线的两直线互相平行.（5）垂直于同一直线的两直线互相平行.3）平行线的性质（1）两直线平行，同 位 角 相 等.（2）两直线平行，内 错 角 相

6、 等.（3）两直线平行，同旁内角互补.4）平行线间的距离（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等.重点考向考向1直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：按照已知条件画出图形是正确解题的关键；观察图形，找出线段之间的关系；简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决.典例引领1.（2021浙江台州市中考真题）小光准备从4 地去往8地，打开导航、显示两地距离为3 7.7 k m,但导航提供的三条可选路线长却分别为4 5 k m,5 0

7、k m,5 1 k m （如图）.能解释这一现象的数学知识是（）t i n 灯 少 收 誉 多 方 家 三5 6 分钟 5 9 分钟 5 9 分钟45公里 里 51公里A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短C.三角形两边之和大于第三边 D.两点确定一条直线【答案】A【分析】根据线段的性质即可求解.【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A.【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键.2.（2021内蒙古中考真题）已知线段A5=4,在直线A B 上作线段BC,使得3 c =2.若。是线段4 c 的中点，则线

8、段A O 的 长 为（）A.1 B.3 C.1 或 3 D.2 或 3【答案】C【分析】先分C 在A 8 上和C 在 A 8 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可.【详解】解：如图：当 C 在4 8 上时，AC=AB-BC=2,：.AD AC=2如图：当 C 在 A 8 的延长线上时，A C=A B+8C=6,.D=LAC=3故选C.2【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键.变式拓展1.（2021河北中考真题）如图，已知四条线段4,b,C,d 中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺

9、判断该线段是（）【答案】A【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断.【详解】解:设线段m 与挡板的交点为A,a、b、c、”与挡板的交点分别为8,C,D,E,连结A8、AC、AD.A E,根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，利用直尺可确定线段a 与 m在同一直线上，故选择A.【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键.2.(2021黑龙江大庆市中考真题)如图，3 条直线两两相交最多有3 个交点，4 条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则 20条直线两两相交最多有 个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：

10、-n(o-l).2【详解】解：2 条直线相交有1 个交点；3 条直线相交最多有1+2 =3 =；X3X2个交点；4 条直线相交最多有1 +2 +3 =6 =；X4X3 个交点；5 条直线相交最多有1 +2+3+4=10=g x 5 x 4 个交点;20 条直线相交最多有gx20 xl9=1 9 0.故答案为：190.【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有-H(n-l).考 向2角的平分线及倍分问题1.角平分线必须同时满足三个条件：是从角的顶点引出的射线；在角的内部；将已知角平分.2.类似地，也有角的等分线，如三等分线，如图，N 1=/2=N 3

11、=1/A。或/4OO=3N1=3N2=3N3.3典例引领1.（2021内蒙古呼伦贝尔市中考真题）74。1930=【答案】74.325【分析】根据度、分、秒的进率计算即可得到答案.【详解】解：74 1930=74 195=74.325，故答案为：74.325.【点睛】此题考查度分秒的进率计算，熟记度分秒之间的进率是解题的关键.2.（2021湖南中考真题）如图，与C O相交于点O,O E是NAOC的平分线，且OC恰好平分/E 08,则 NAO）=度.【答案】60【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得NCOB=6 0 ,再根据对顶角相等即可得.【详解】解：设 Z A O C =2 x，O E

12、是 Z A O C 的平分线，,NAOE=N E O C =-Z A O C=x,2 OC平分 Z E O B.Z C O B =Z E O C=x，义 ；Z A O E+/E O C+/C O B =T80，:.x+x+x80,解得 x=6 0 ,即 NCOB=60，由对顶角相等得：NAO。=NCQB=60，故答案为：60.【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键.变式拓展1.（2021广西贺州市中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（）A.N1 与 N2 B.N1 与 N3 C.N1 与 N4 D.N2与 N4【答案】B【分析】根据同旁内

13、角的概念求解即可.【详解】解：由图可知，N 1 与N 3 是同旁内角，N 1 与N 2 是内错角，N 4 与N 2 是同位角，故选：B.【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键.2.（2021辽宁阜新中考真题）如图，直线AB/CD,一块含有30。角的直角三角尺顶点E 位于直线CZ）上，EG 平分4CEF,则N1的度数为.【分析】根据角平分线的定义可求出NCEG的度数，即可得到NCE尸的度数，再利用平行线的性质即可解决问题.【详解】一块含有30。角的直角三角尺顶点E 位于直线CO上，.NFEG=30。，EG 平分 NCEF,:.ZCEG

14、=NFEG=30,/.NCEF=NCEG+NFEG=60,.ABI/CD,Zl=ZCEF=6 0 .故答案为：60.【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.考 向3对顶角和余角、（邻）补角1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线.两条直线相交形成两对对顶角.2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个.典例引领1.（2021上海中考真题）70。的余角是.【答案】20。【分析】根据余角的定义即可求解

15、.【详解】70的余角是90。-70。=20。故答案为：20.【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质.2.（2021北京中考真题）如图，点O在直线A3上，O C 1O D.若NAOC=120,则 的 大 小 为（）【答案】A【分析】由题意易得NCOB=60,ZCOD=9 0,进而问题可求解.【详解】解：.点。在直线 A3上，OCA.OD，：.ZAOC+ZCOB=180%NCOD=90。，：ZAOC=120./.ZCOB=60,/.ABOD=90-ZCOB=30：故选 A.【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键.变式拓展

16、1.（2021河南开封一模）如图，直 线 相 交 于 点0,0E，A8于点0,0尸平分乙40,/1=25。3 0,则下列结论中不正确的是（）EA.Z 1 =Z 3 B.Z 2 =4 5 C.ZA8与 N 1 互为补角 D./3 的余角等于6 5。3 0【答案】D【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断.【详解】A、相交于。点，N 1 =N 3 正确，符合题意；8、于点0,。尸平分N A O E,；.N 2 =4 5。正确，符合题意；C、过直线AB上一点N 4 O D 与N 1 互为补角，正确，符合题意；D、2 3 的余角等于9 0。-2 5。3 0 =6 4。3

17、0 ,原说法错误，不合题意，故选：D.【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，角平分线的定义，垂线的性质.是需要熟记的内容.2.（2021广西桂林中考真题）如图，直线。，方相交于点。，Z l =1 1 0,则N2的度数是（）bA.7 0 B.9 0 C.1 1 0 D.1 3 0【答案】C【分析】根据对顶角的性质即可求解.【详解】,直线“，b 相交于点O,N l =1 1 0。，./2=/1 =1 1 0。故选：C.【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知对顶角的性质.3.（2021湖南张家界市中考真题）如图，已知A B/C D,BC是 NA8D的平分线，若 N 2 =6 4。，

18、则N 3 =【答案】58【分析】先根据对顶角的性质可得NBDC=N2=64。,然后根据平行线的性质求得/A8C,最后根据角平分线的定义求解即可.【详解】解：；N B D C和Z 2是对顶角.I N B D C=Z2=64A BI I C D ：.ZBDC+ZABD=SO,即 NABO=116：8C 是 NABD的平分线上/3=/1=3/ABD=58。.故填：58.【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的相关知识，掌握平行线的性质成为解答本题的关键.考向4平行线的性质平行线的性质：1）两直线平行，同位角相等.2）两直线平行，内错角相等.3）两直线平行，同旁内角互补.典例引领1

19、.（2021湖北中考真题）如图，在ABC 中，N C=9 0,点。在 AC 上，D E/A B,若 NCOE=160,则B8的度数为（）【答案】D【分析】先根据平角的定义可得NADE=20。，再根据平行线的性质可得NA=NADE=2 0 ,然后根据直角三角形的两锐角互余即可得.【详解】解：QZCrE=160%：.Z A D E =1SO-ZCDE=2O,D E/A B,Z4=ZADE=20,在AA B C中，N C=90,.,.NB=90-NA=7 0 ,故选：D.【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键.2.（2021山东临沂市中考真题）如图，在

20、AB/CD中，NAEC=40。，C B 平分/D C E,则NABC的度数 为（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【分析】根据平行线的性质得到NA5C=NBC）,再根据角平分线的定义得到NA8C=NBC）,再利用三角形外角的性质计算即可.【详解】解：AB/CD,:.NABC=NBCD,：C8 平分NQCE,/.Z B CE=ZBCD,:.NBCE=/ABC,V ZAEC=ZBCE+ZABC=40,：.ZABC=20,故选 B.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键.变式拓展1.（2021湖南中考真题）如图

21、，A8CO,AACE为等边三角形，ZDCE=4 0 ,则N E45等 于（）A.40 B.30 C.20 D.15【答案】C【分析】先根据等边三角形的性质可得NCA=NE4C=6 0 ,再根据平行线的性质可得/D C 4+4 n C =18（）,然后根据角的和差即可得.【详解】解：QVACE为等边三角形，.NEC4=N E4c=60,Q AB/CD，,ZDCA+ABAC=180，ZDCE+/EC A+ZE4C+ZEAB=180,Q?DCE 40?）40+60+60+ZEAB=1 8 0,解得 NEAB=20，故选：C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形

22、的性质是解题关键.2.（20 21 浙江金华市中考真题）某同学的作业如下框，其中处填的依据是（）如图，已知直线4,4。.若 N 1 =N2,则 N 3 =N 4.请完成下面的说理过程.解：已知N 1 =N 2,根 据（内错角相等，两直线平行）,得/“儿再 根 据（X）,得 N 3 =N 4.A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行C.两直线平行，同位角相等 D.两直线平行，同旁内角互补【答案】C【分析】首先准确分析题目，已知2,结论是N 3 =N4,所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知/3和/4是同位角关系，即可选出答案.【详解】解：4，N 3 =N 4 （两直线平行，同位角

23、相等）.故 选 C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理.3.（20 21 山东聊城市中考真题）如图，AB/CD/EF,若N A 8 C=1 3 0。，N B C E=5 5。，则NCEF的度数为（）A.9 5 B.1 0 5 C.1 1 0 D.1 1 5【答案】B【分析】由A B/C D 平行的性质可知N A 5 C =/D C B,再结 合 即/C D 即可求解.【详解】解：AB/CD ZABC=ZDCB=130/.NECD=ADCB-NBCE=130-55=75EF/CD/ECD+NCEF=180 NCEF=

24、180-75=1 （）50 故答案是：B.【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题.解题的关键是掌握平行线的性质.考向5平行线的判定平行线的判定：1）同位角相等，两直线平行.2）内错角相等，两直线平行.3）同旁内角互补，两直线平行.4）平行于同一直线的两直线互相平行.5）垂直于同一直线的两直线互相平行.典例引领1.（2021江苏泰州市中考真题）如图，木棒4 8、C O 与 E F 分别在G、H 处用可旋转的螺丝钏住，N E G B=100。，N E H D=80,将木棒A 8绕点G 逆时针旋转到与木棒C Q 平行的位置，则至少要旋转 一.【分析】根据同位角相等两直线平行，得

25、出当N E H D=N EGN=80。,MN/CD,再得出旋转角/8G N 的度数即可得出答案.【详解】解：过点 G 作 M N,使NEH=NEGN=8 0。，J.MN/CD,V Z G B=100,；.N BGN=NEGB-NEGN=100-80=20,至少要旋转 20.【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键.2.（2021湖北武汉市中考真题）如图，A B/C D,Z B =Z D，直 线 防 与 A,B C 的延长线分别交于点、E,F.求证：Z D E F =N F.【答案】见解析【分析】根据已知条件AB/C。，ZB=ZD，得到/DC户=N O,从而

26、得到A D/8C,即可证明ZDEF=N F.【详解】证明：4 8/8，NDCV=N3.ZB=ZD，A ZDCF=ZD./.AD/IBC.：./DEF=NF.【点睛】本题考查平行线的性质和判定.平行线的性质：两直线平行，内错角相等.平行线的判定：同位角相等，两直线平行.变式拓展1.（2021内蒙古呼和浩特市中考真题）如图，在AA BC中，NB=5O。，ZC=7 0 ,直线DE经过点A,ND43=5 0 ,则NE4c的度数是（）A.40 B.50 C.60 D.70【答案】D【分析】根据=可判断。石 8 C,再利用两直线平行内错角相等即可得出结论.【详解】ZB=50,NDAB=50,直线 DE 经

27、过点 A，,DE/BC.NC=70。./。=/4。=70故选：D.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键.2.（2021贵州铜仁市中考真题）直线AB、BC、CD、EG如图所示，Nl=N2=80。，Z3=4 0,则下列结论错误的是（)1/A.A B IIC DB.N E B F =40 C./产CG+N3=N2 D.E F B E【答案】D【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断.【详解】解：N1=N2=8O。，A B/C D,故4选项正确;V Z1=80，,N E B F +N E F B=80,V Z

28、E F B=N3=40,，Z E M =4O,故8选项正确：NR?G+N3=N 2,故C选项正确;；/E F B =N E B F =40,：.EF=BE,故。选项错误，故选：D.【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质，熟记各定理是解题的关键.考向6平行线有关的辅助线问题典例引领1.(2021山东东营市中考真题)如图，A B/C D,石尸_L C P于点F,若48户=150。，则NA3E=()A.30 B.40 C.50 D.60【答案】D【分析】过点E作 E 4 C D,由此求出N f l E F=9 0 ,得到NMH=6 0,根据平行线的推论得到

29、A B E H,利用平行线的性质求出答案.【详解】解：过点E作如图，.NOEE+NHE尸=1 8 0,:E F L C D,：./D F E =9Q。，：./H E F =90)。，V ZBEF=1 5 0,ZBEH=6 0 0 .：EH/CD,AB/CD,：.AB/EH,:.NABE=/B E H =&),故选：D.【点睛】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键.2.（20 21湖南娄底中考真题）如图，A B C D,点 E,尸在AC边上，己知N C E O =7 0。，N 8 F C=130。，则ZB+ND 的度数为（）A.4 0 B.50 C.60 D.

30、7 0【答案】C【分析】取 E2 FB的交点为点G,过点G作平行FC。的线MN,利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解.【详解】解：取 ERFB的交点为点G,过点G作平行于CO的线MN,如下图：根据题意：NCED=10,Z B F C =130 ,ZEFG=50 ,/.ZEGF=18 0-50-7 0 =60 ,.MN/CD/AB,:.ZB=ZBGN,ZD=ZDGN,:B+ND=NBGN+NDGN=NBGD,E,3/相 交于点G,二.NEG尸=NBGL=60。，.+=60。，故选：C.【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用

31、两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解.变式拓展1.（2021辽宁锦州中考真题）如图，AM/BN,/A C 8=90。，NMAC=35。，则/C B N 的度数是（）A.35B.45C.55 D.65【答案】C【分析】过 C 点作C尸A M,利用平行线的性质解答即可.【详解】解：过 C 点作CF/:AM/BN,：.AM/CF/BN,/A CF,NCBN=NFCB,V ZACB=90,/M 4C=35,，ZCBN=ZFCB=ZACB-ZACF=ZACB-NM4C=90-3 5=5 5,故选：C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的性质定理是

32、解题的关键.2.（2021辽宁鞍山中考真题）如图，直 线 将 一 个 含 3（T 角的三角尺按如图所示的位置放置，若 4=2 4。,则Z2的度数为（）【答案】CC.144D.156【分析】根据平行线的性质求解，找出图中N1=N4=24。，进而求出N 3,再根据平行线性质求出/2即可.【详解】解：如图，作c/a,二角尺是含30 角的三角尺，二/3+/4 =60,，N1=N4=24。，二/3=6024。=36,-a t lc,a l lb,:.b/c,.Z2=180-36=144,故选：C.【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系.考向7平行线与方位角典例引

33、领1.（2021广西玉林市中考真题）如图，某港口 P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A,B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，则乙船沿 方向航行.【答案】北偏东50。（或东偏北40。）【分析】由题意易得AP=12海里，28=16海里，ZAPN=4O,则有 3+8产=回2,所以/A尸8=90。,进而可得NBPN=50,然后问题可求解.【详解】解：由题意得：AP=lxl2=12海里，28=1x16=16海里，ZAPN=40,AB=20海里，/.AP2+BP2=400=AB2.

34、/.ZAPB=90,4BPN=50,.乙船沿北偏东50（或东偏北40。）方向航行；故答案为北偏东50（或东偏北40。）.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键.2.（20 21山东蒲泽市中考真题）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30。方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向20 0 海里3 处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60 方向上，请问此时两舰距。处的距离分别是多少？【答案】A舰距离为20 0 海 电B舰距离为2 00G海里,【分析】过 点 C作 CCA8,交 BA的延长线于点。，根据题意

35、，得/C A O=60。，ZCBA=ZACB=30,解R m A D C 和 R s B D C 即可.【详解】如图，过点C作 COLA&交 8 A的延长线于点/）,根据题意，得N C A D=60。，/C 8 A=30。，V Z C A D=Z C B A+Z A C B N C 8 A=/A C B=30,.A 8=A C=20 0 （海里），在/?/A D C 中，C ）=4 C s 加 60=20 0 x 也=10 0 百，2在 中，8 C=C Z H s i 30=2（）（）6（海里）.【点睛】本题考查了方位角，解直角三角形的应用，正确理解方位角的意义，熟练掌握解直角三角形的基本步骤

36、是解题的关键.变式拓展1.（2 0 2 1 山东中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为6 0。，则平面镜的垂线与水平地面的夹角a的度数是（）出射光线平面镜入 射 日 /-J B SA.15 B.30 C.45 D.60【答案】B【分析】作 C D，平面镜，垂足为G,根据EF_L平面镜，可 得 CD/EF,根据水平线与底面所在直线平行,进而可得夹角a 的度数.【详解】解：如图，作 平 面 镜，垂足为G,平面镜，CD/EF,：.Z C D H=Z E F H=a,根据题意可知：AG/DF,：.Z A G C Z C D H a,：.ZA G C a,

37、【详解】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线C G 平分/AG8.2.（2021内蒙古呼和浩特市中考真题）如图，线 段 比 与 表 示 某 一 段 河 的 两 岸，EF/MN.综合实践课上，同学们需要在河岸M N 上测量这段河的宽度（E F 与 M N 之间的距离），已知河对岸E F 上有建筑物C、D,且 C D =60米，同 学 们 首 先 在 河 岸 上 选 取 点 A 处，用测角仪测得C 建筑物位于A 北偏东45方向，再沿河岸走20米到达B 处，测得。建筑物位于B 北偏东55。方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）北【答案我40一7

38、米tan 55-1 分析 首先构造直角三角形，作CP上M N、DQ上MN,垂足为P、Q,则四边形CP。为矩形,C=PQ=60,设河宽C P为 x,利用NCAP=45。，得出A P=x,则 80=了一2 0,根据ZBDQ的正弦列出方程，求出x 即可表示出河宽.【详解】解：如图，过 C、。分别作C P L M N、O Q L M N 垂足为P、Q,设河宽为x 米.由题可知，NCAN=45。.NBDQ=55。,.4。尸为等腰直角三角形，”=6 =%，BP=x 20.-MN/EF,CPLM N、DQ 工 MN,：.?CPQ?PQD?PCD?CDQ 90?.二四边形 CPQD 为矩形，.C=PQ=60,

39、在 RtABDQ 中,c uuc BQ BP+PQ：ZBDQ=5 5 tan 55=-丝DQ DQx 20+60 x40 40tan55 x=x+4O,A(tan55-1)-x=40,=-,所以河宽为-米.tan 550-1 tan 550-1【点睛】本题考查解直角三角形的应用，方向角，三角函数，等腰宜角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义，列出方程解决问题.考 向 8七巧板与割补问题典例引领1.（2021四川乐山市中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书 周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如 图 1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”

40、（意为“来自中国的拼图），图2 是由边长为4 的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图.则图中抬起的“腿 （即阴影部分）的面积为（）图27 5A.3 B.-C.2 D.一2 2【答案】A【分析】根据由边长为4 的正方形分割制作的七巧板，可得共5 种图形，然后根据阴影部分的构成图形,计算阴影部分面积即可.【详解】解：如下图所示，由边长为4 的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：腰长是2起 的等腰直角三角形，腰长是2 的等腰直角三角形，腰长 是 血 的等腰直角三角形，2v2边长是收 的 正 方形，边长分别是2和0,顶角分别是4 5。和1 3 5。的平行四边形,根据图2可知，图中抬起的“腿

41、 （即阴影部分）是由一个腰长是、伤 的等腰直角三角形，和一个边长分别是2和8，顶角分别是4 5。和1 3 5。的平行四边形组成，如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是4 5 和1 3 5。的 平 行 四 边 形 的 高 是 且O B =V2 -.一个腰长是 的 等腰直角三角形的面积是：；义无 义 无=1,顶角分别是4 5 和1 3 5 的平行四边形的面积是：7 2 x 7 2=2.阴影部分的面积为：1 +2 =3,故选：A.【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键.2.（2 0 2 1山东枣庄市中考真题）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积

42、木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A.搭配【答案】DB.搭配C.搭配D.搭配【分析】将每个搭配的两组积木进行组合，检验是否可得出图中剩下的九个空格的形状，由此即可得出答案.【详解】解：搭配、两组积木组合在一起，均可组合成图中剩下的九个空格的形状，只有搭配不能，故选：D.【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识.变式拓展1.（2021丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己.已知图1正方形纸片的边长为4,图2中FM=2EM,则“奔跑者”两脚之间

43、的跨度，即AB,S 之间的距离是.奔跑者图1图2【分析】如图2中，过点E 作 E，工尸K 于/,过点M作MJ_L尸K于J.想办法求出8例，MJ,F K 与 C D 之间的距离，可得结论.【详解】解：如图2中，过点E作E/J_FK于/,过点M作M/_LFK于J.由题意，A3M,EFK都是等腰直角三角形，A B=B M=2,E K=E F=2 6,FK=4,FK与C。之间的距离为 1,VE/1FAT,:.KI=IF,;.EI=*FK=2,MJ FM 2El EF 34：MJ=J,4 I Q 13.8与 8 之间的距离=2+/l=于 故 答 案 为：-2.（2021浙江中考真题）由沈康身教授所著，数

44、学家吴文俊作序的 数学的魅力一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）.则图中的长应是.【答案】V2-1【分析】据裁剪和拼接的线段关系可知8 =6,B O =C E =1,在 R f A A C D 中应用勾股定理即可求解.【详解】解：.地毯平均分成了 3 份，.每一份的边长为8 =百，在 用 以。中，根 据 勾 股 定 理 可 得=J c D2-A C?=近，根据裁剪可知B D =C E =1，,A3=A O _ 3 O =a-1，故答案为：72-1-【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关

45、系是解题的关键.考点冲关1.（2021河北唐山一模）如图，己知，直线/,A B H,BC11,8为垂足，下列说法正确的是（)AB A.点A至卜的距离是线段A8 B.点C到点A的距离是线段ACC.A、C、8三点共线 D.A、C、8三点不一定共线【答案】C【分析】逐一进行判断即可.【详解】A.点A至 卜的距国是线段AB的长度，故该选项错误；B.点C到点A的距离是线段A C的长度，故该选项错误；C.-：A B L l,B C V l,：.A,C、B三点共线，故该选项正确；D.A、C、3三点共线，故该选项错误，故选：C.【点睛】本题主要考查三点共线和点到直线的距离，点与点的距离，掌握距离的定义是关键.

46、2.（2021山东济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60。方向上，则B、C之间的距离为（）A.30海里 B.2 0 6海里C.20海里 D.30&海 里【答案】D【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出A C,根据等腰直角三角形的性质解答即可.【详解】解：如图：由题意得，AC=60 x0.5=30海里,北：CD/BF,：.Z C B F=Z D C B=6 0 ,又尸=15,A ZABC=45,：AE/BF,；.N E A B=N F B

47、 A=15。,乂NEAC=75,，NCAB=90,sin450=,.8C=&AC=3（）&海里，故选：D.BC 2【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.3.（2021辽宁大连中考真题）如图，AB/CD,C E L A D,垂足为E,若 ZA=4O。，则NC的度数为（）A.40 B.50 C.60 D.90【答案】B【分析】由题意易得ND=NA=40。，Z C=9 0 ,然后问题可求解.【详解】解：*/AB/CD,ZA=4O,A ZD=ZA=40,V CEA.AD,；.N C E D =90。,：.ZC=90-40=50：故选 B

48、.【点睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.4.（2021四川德阳中考真题）如图，直线 ABC）,NM=90。，ZC F=1 2 0,则（）MC.120 D.150【答案】D【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可.【详解】解：JAB/CD,：.ZEFP=ZCEF=120,，NA/PF=/EFP-NAl=120-90=30,，NMP8=l80-NMPF=180-30=150,故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答.5.（2021浙江台州市中考真题）一把直尺与一块直角三角板

49、按如图方式摆放，若N l=47。，则N 2=（）A.40 B.43 C.45 D.47【答案】B【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解.【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，直尺的两边互相平行，,N3=N1=47，,Z4=90-N3=43,.N2=N4=4 3 ,故选：B.【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.6.（2021陕西西北工业大学附属中学模拟预测）一个角的余角是60。，则这个角的补角等于（）A.60 B.90 C.120 D.150【答案】D【分析】若两个角的和为90。，则这个角互为余角，若两个角的和为180。，

50、则这两个角互为补角，由余角与补角的含义，直接可得答案.【详解】解：一 个角的余角是60。，这个角是90。-60。=30。，.这个角的补角是180。-30。=150。.故选：D.【点睛】本题考查的是余角与补角的含义，掌握利用余角与补角的含义是解题的关键.7.（2021河南中考真题）如图，a/b,Nl=60。，则N 2的度数为（）A.90 B.100 C.110 D.120【答案】D【分析】先利用“两直线平行，同位角相等 求出/3,再利用邻补角互补求出N2.【详解】解：如 图,：a/b,.,.Zl=Z3=60,A Z2=180-Z3=120,故 选:D.【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的