2023年九年级数学中考专题复习《圆中的定值问题》解答题专题训练.pdf

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1、2022-2023学年九年级数学中考复习 圆中的定值问题解答题专题训练(附答案)1.如图AABC.(1)用尺规作出A ABC的外接圆(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)如果NC=30,AB=AC=3.直接写出 ABC外接圆的半径=.2.如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D,若 AD=5,DB=7.(1)求 BC的长；(2)求圆心到BC的 距 离.3.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，BD是直径，AB=A D,过点A 作 AEBC于点 E,AF_LCD 于点 F.(1)求 证：BE=DF;(2)若 BC=3,DC=5,求 AC 的长.4.如图，在半径为3cm的中，

2、A、B、C 三点在圆上，点 P从点B开始 以 图 m/s的速度在劣弧BC上运动，且运动时间为t(单位：s),若NBOA=90,ZAOC=120,zBOP=n.(1)NBOC=,劣 弧 BPC的长为,劣 弧 BP的长为(用含t的代数式表示)；(2)n 与 t 之 间 的 函 数 关 系 式 为,t 的 取 值 范 围 为 ；(3)是探究当点P运动多少s 时，以 P,B,A 三点为顶点的三角形是等腰三角形，并说明其理由.5.如图，在平面直角坐标系中，圆心 P(x,y)的动圆经过点A(m,2m+4)(m -2),为且与x 轴相切于点B,y 与 x 之间存在一种确定的函数关系，其图象是一条常见的曲线,

3、当m=-1,x=-2 时，直建写出OP的半径.(2)求 曲 线 F 最低点的坐标(用含有m 的式子表示);如图2,若曲线F最低点总在直线y=x+3的下方，点 C(-2,yi),D(1,y2)都在曲线F上，试比较y i与 y2的大小.6 .问题提出(1)如 图 1.BzAC B=zADB=90,请用尺规作图作出 ABD的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；点 C 是否在 ABD的 外 接 圆 上(填 是 或 否 ).问题探究(2)如图2.四边形ADBC是。的内接四边形，zACB=zADB=90,AD=BD.求证：CA+CB=V2|CD;(3)如图3.点P是正方形ABCD对角线AC的中点，点E是平面

4、上一点，EB=AB且EA 科BA.点Q是线段AE的中点,请在图中画出点E,并求线段PQ与AB之间的数量关系.7.如图RbABC中，NABC=90,P是斜边AC上一个动点，以BP为 直 径 作 交BC于点D,与AC的另一个交点E ,连接DE.(1)当必承，若 丽=130,求N C的度数;求证AB=AP;(2)当 AB=15,BC=20 时是否存在点P,使得ABDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的 长；以D为端点过P作射线D H，作 点O关 于DE的对称点Q恰好落在NCPH内，则CP的 取 值 范 围 为.(直接写出结果)8.问题提出(1)如图1,在R fA B C中，zACB=90

5、,AC BC,zACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DEAC,DFBC.垂足分别为E,F,则 图1中与线段CE相等的线段是问题探究 如 图2,AB是半圆。的直径，AB=8.P是斑 一 点，且 属F 2血 连 接AP,BP.zAPB的平分线交AB于点C,过点C分别作CEJ_AP,CFBP,垂足分别为E ,F,槌段CF的 长.问题解决 如 图 3,是某公园内 少儿活动中心”的设计示意图.已 知 O 0 的直径AB=70m,点 C在上，且 CA=CB.P为 AB上一点，连接CP并延长，交。0 于点D.连接AD,BD.过 点 P分别作PEAD,PFBD,垂足分别为E,F.按设计要求，四边形PEDF

6、内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设 AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m2).求y 与 x 之间的函数关系式；劭安照 少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求 当 AP=30m 时.室内活动区(四边形PEDF)的 面 积.9.定 义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做 准平行四边形.例 如：凸四边形ABCD中，若NA=NC,NBH ND,则称四边形ABCD为准平行四边形.Q)如图，A,P,B,C 是 上 的 四 个 点，NAPC=NCPB=6 0 ,延长BP到 Q,使 AQ=AP.求 证：四边形AQBC是准平行四边形；(2

7、)如图，准平行四边形ABCD内接于。0.ABXAD,BC=DC,若。的半径为5,AB=6,求 AC的长；(3)如 图 ，在 R fA B C 中，zC=90,zA=30,BC=2,若四边形ABCD是准平行四边形，且NBCD*NBAD,请直接写出BD长的最大值.10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点 P磔 段 AD上，由点D 向点A 运动，当点 P与点A 重合时，停止运动.以点P为圆心，PD为半径作。P,O P与 AD 交于点M点 Q 在O P 上且在矩形ABCD外，NQPD=120Q)当 PD=2 时 PC=扇形QPD的面积=点 C 到OP的最短距而一 一/(2)OP与 AC相切

8、时求PC的长？如 图 G)P与 AC交于点E、F 当 EF=6.4时，求 PD的长？(4)请从下面两问中，任选一道进行作答.当O P与AABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；直接写出点Q 的运动路径长以及BQ的最短距离.11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4),点 B是 x 轴正半轴上一点，连接AB,过点A 作 ACAB,交 x 轴于点C,点 D 是点C 关于点A 的对称点，连 接 BD,以A D 为直径作。Q 交 BD于 点 E,连接并延长A E 交 x轴于点F,连 接 DF.(1)求线段AE的长；(2)若 AB-B0=2,求 tanzAFC 的值；(3)若ADEF与

9、 E B 相 似，求 EF的 值.12.已知四边形ABCD为。0 的内接四边形，直 径 AC与对角线BD相交于点E ,作 CHBD于 H,CH与过A 点的直线相交于点F,zFAD=zABD.求 证：AF为。的切线；(2)若 BD 平分NABC,求 证：DA=DC;(3)在(2)的条件下，N 为 AF的中点，连 接 EN,若NAED+NAEN=135,的半径为逛求 EN的长.13.发现问题：如 图 1,AB为O O 的直径，请 在 上 求 作 一 点 P,使NABP=45.(不必写作法)问题探究：(2)如图2,等腰直角三角形 ABC中，NA=90,AB=AC=3 月1 D 是AB上一点，AD=返

10、，在 BC边上是否存在点P,使NAPD=45?若存在，求 出 BP的长度，若不存在，请说明理由.问题解决：如 图 3,为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米、球门EF=8 米，且EB=F A.点 P、Q 分别为BC、AD上的点，BP=7 米，NBPQ=135,一位左前锋球员从 点 P处带球，沿 PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度(NEMF)最大？求出此时PM的长度.14.如图1,。的弦BC=6,A 为 BC所对优弧上T点且sinzBAC图,S B C 的外角平分线AP交于点P,直线AP与直线BC交于点E .(1)求 证：点 P 为 历 命 中点;(2)如 图 2,求。的半径和PC

11、的长；(3)若AABC不是锐角三角形，求 PAAE的最大值.V*15.定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边.(1)如 图 1,AABC中，AB=CB,NA=30。，点。在 AC边 上，以 OC为半径的。O恰好经过点B,求 证：O O 是 ABC的切圆.如 图 2,AABC中，AB=AC=5,BC=6,。是 ABC的切圆，且另外两条边都是O O 的切边，求0 0 的半径.(3)如 图3,&ABC中，以A B为直径的。0恰好是S B C的切圆，AC是0 0的切边，与BC交于点F,取 弧BF的中点D,连 接A D交BC于 点

12、E ,过 点E作EHAB于点H,若CF=8,BF=1 0,求AC和EH的长.16.如图 1,已知。的内接四边形 ABCD,ABllCD,BCllAD,AB=6,BC=8.(1)求 证：四边形ABCD为矩形.(2)如图2,E是 鼻 一 点，连接CE交A D于 点F,连接AC.当点D曷画中点时，求线段DF的长度.当16S.D C F=3S四 边 形ABCD时，试证明点E为&工卜中点.(3)如 图3,点E是 上 一 点(点E不 与A、C重合)，连 接EA、EC、0E,点I是AEC的内心,点M在线段0 E上，且ME=2M 0,则线段M I的最小值为.17.问题探究 如 图1,C,D是NAOB的边0 A

13、上两点，直线0 B与 相 切 于 点P,点P1是直线0 B上异于点P的任意一点，请 在 图1中画出NCP1D,试判断NCPD与NCPID的大小关系，并证明；(2)如图2,已知矩形ABCD中，点M在边BC上，点E在边AB上，AB=8,AE=6,当NAME最大时，请求出此时B M的 长；问题解决(3)如 图3,四边形ABCD是某车间的平面示意图，AB=41%,AD=3百 米，NA=ND=60,NBCD=90,工作人员想在线段A D上选一点M安装监控装置，用来监视边BC,现只要使得N BMC最 大，就可以让监控装置的效果达到最佳.问在线段AD上是否存在点M,使NBMC最大？若存在，请求出D M 的

14、长；若不存在，请说明理由.18.已知。0 的直径AB为 10,D 为。上一动点(不与A、B重合)，连接A D、BD.如图1,若 AD=8,求 BD的值；(2)如 图 2,弦 DC平分NADB,过 点 A 作 AECD于 点 E ,连 接 BE.当ABDE为直角三角形时，求 BE的 值；在点D 的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在，请直接写出BE的最小值;若不存在，请说明理由.19.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点。为坐标原点，。0 的半径为1,点人(2,0).动点B在。上，连接AB,作等边三角形ABC(A,B,C 为顺时针顺序)，求 OC的最大值.【解决

15、问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接OB,以OB为边在OB的左侧作等边三角形B O E,连接AE.(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；(2)请直接写出线段OC的最大值.【迁移拓展】(3)如图，反=4也 点 D 是以BC为直径的半圆上不同于B、C 的一个动点，以 BD为边作等边三角形ABD,请直接写出AC的最大值和最小值.20.如图，在平面直角坐标系中，A(0,8),B(6,8),P为线段OA上f点，过 O,P,B三点的圆交x 轴正半轴于点C,连结AB,PC,B C,设 OP=m.(1)求 证：当 P 与 A 重合时，四边形POCB是矩形.(2)连 结 P

16、B,求 tan/BPC的值.(3)记该圆的圆心为M,连 结 OM,BM,当四边形POMB中有一组对边平行时,求所有满足条件的m 的值.(4)作 点。关 于 PC的 对 称 点，在 点 P 的整个运动过程中，当 点 O落在AAPB的内部(含边界)时，请 写 出 m 的取值范围.参考答案1.解：（1）如图，。即为所求.（2）连接 QA，0C.*：AC=ABf：.ZACB=ZB=30,N40C=2/8=6 0 ,9：0A=0CfAOC是等边三角形，.OA=AC=3f故答案为3.2.解：（1）连接 CA、CD；根据折叠的性质，得：施=施;/.Z CAB=Z CBD+ZBCD；：ZCDA=ZCBD+ZB

17、CD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），：.Z C A D=Z C D A,即CAD是等腰三角形；过 C作 CELAB T E,则 AE=DE=2.5；:.BE=BD+DE=95；在RtZXACB中，C E LA B,根据射影定理，得：BC2=BE-AB=9.5 X 12=114；故 g c=h/T i4-（2）设圆心到BC的距离为h,圆的半径为r6,由（1）知，RtAECfi 中，BE=9.5,BC=二比 新（；2型2=3 1 4-9 5 2=j，.0 h Ct.图3.(1)证明：,班)是直径，:.NBAD=/BCD=90,.AE_LBC 于点 E,Ah LC。于点 F,A Z

18、 E=ZAFC=ZAFD=90,四边形AEC尸是矩形，：.ZEAF=90Q,：.ZEAB=ZFAD,9：AB=ADf：.AAEB/AFD(A4S),:.BE=DF；(2)解：BC=3,DC=5fB D 寸BC2 -2,0,，抛物线y（x-tn）2+加+2的开口向上,，曲 线/最低点的坐标即顶点坐标为（m ,相+2）；（3）由（2）知，曲线尸最低点的坐标为（加，?+2）,对 称 轴 为 直 线x=m,且曲线厂最低点总在直线y=x+3 的下方,2.z+3 ,解得，/n2,又-2,/.-2m2,点C（-2,y,）,D （1 ,嵬）都在曲线尸上,则 当对轴称为巾=卫22-时，点 C与 点。关于抛物线的

19、对称轴对称，则 yi=y2；当对称轴-2 m 2时，由二次函数的图象及性质可知，点 C 离对称轴更近，则 X九；当对称轴-2 小2时,2由二次函数的图象及性质可知，点。离对称轴更近，则川九.(1)作AB的垂直平分线交AB于 点 O,以。为圆心，A。长为半径作圆，即为A3。的外接圆，V ZACB=ZADB=90,.点A,点8,点。，点C四点共圆，.点C在AB。的外接圆上，故答案为：是；?问题探究(2)如 图2,将BCO绕 点 D,逆 时针 旋 转9 0 到AEO处,/.NEAD=ZDBC,四边形4。8 c是圆内接四边形,/.ZDBC+Z)AC=180,：.ZEAD+ZDACS0,:.E、A、C三

20、点共线，NCAE为平角,由旋转知，AE=8C,DE=CD,NC）E=90,.CCE是等腰直角三角形,：.CE=返 CD,V CE=AE+AC=BC+AC,CA+CB JQD；以 点 8 为圆心，AB长为半径作圆，以点A 为圆心，/A B 长为半径作圆，两圆的交点为E,.点A 的左右各有个点E,设 AB=3x,则 AE=x,若 点 E 在点A 的左侧，；B E=A B,点Q 是 AE的中点，。：.BQLAE,A Q=E Q=:四边形ABCD是正方形，点尸是对角线AC的中点,：.AP=BP,APA,BP,由（2）的结论可得：AQ+BQ=|&PQ,西 0=圾Lx.22=田 叵 丝 4 P n-V70

21、-V2改-欣-AB若 点 E 在点力的右侧,同理可求：PQ=”二 心AB.127.(1)解：连接BE,如图1所示:.BP是直径,.-.zBEC=90,-BD=130,，宛=50。，-DP=EP,.DE=100。，/.zCBE=50 z/.z C=4 0 ;证 明：DP=EP/.zCBP=/EBP,.zABE+zA=90,zC+zA=90 f./C=NABE,/ZAPB=ZCBP+ZC,zABPzEBP+zABE,.,.zAPB=/ABP,/.AP=AB;(2)解:由AB=15,BC=20,由勾股定理得：AC=|/AB2+BC2=7 1 52+202*A CBE,o艮用 X 15x20专 x25

22、xBE/.BE=12,国妾D P,如图1-1所示：=25,.BP是直径,/P D B=9 0。，zABC=90 zPDll AB,A DCP-BCA,CP_ CD.-.CP=ACCDBC25CD=5 p20 4BDE是等腰三角形，分三种情况：当 B D=B E 时，B D=B E=1 2,；.C D=B C -B D=2 0 -1 2=8,R.C P=C D=4.8=10；4当 B D=E D 时，可知点D是 R t A C B E 斜边的中线,即；.C D=1 0,当 D E=B E 时，作 E H _ L B C,则 H是 B D 中点,E H A B,如 图 1 -2所示:AE=|VAB

23、2-BE2P|1 52-1 22=9，C E=A C -A E=2 5-9=1 6,C H=B C -B H=2 0 -B H,.,E H A B,；C D=B C -B D=2 0A C P=士C D=助阻=7；3 3 T综上所述，A B D E 是等腰三角形，符合条件的CP 的长为1 0 或 图 7；当点Q落在N C P H 的 边 PH 上时，C P 最小，如 图 2所示:连接 O D、O Q、O E、Q E、B E,由对称的性质得：D E 垂直平分0 Q,0 D=Q D,0 E=Q E,V O D=0 E,0 D=0 E=Q D=Q E,四边形O D Q E 是菱形,PQ 0 E,VP

24、 B为直径,/.Z PD B=90 ,/.PDBC z/zABC=90 z.ABJLBC,/.PDll AB,.,.OEll AB,/OB=OP z.-.OE为AA B P中位线,/.PE=AE=9,.PC=AC-PE-AE=25-9-9=7;当点Q 落在NCPH 的边PC 上时，C P最大，如图3 所 示：迩妾 O D、O Q、OE、QD,同理得：四边形ODQE是菱形，/.ODll QE,连 接 DF,./D B A=90。，.DF是直径，.D、0、F 三点共线,/.DFlI AQ,.zOFB=z A,/OB=OF,/.zOFB=zOBF=/A,.PA=PB,.zOBF+zCBP=zA+zC

25、=90,/.zCBP=zC ,.PB=PC=PA,.PC=C=12.5,.-.7 CP 12.5,故答案为：7CP 120,.-.zQBC/3)2|=破，.。1 2。兀(2近 2-b第枝PD 一 策|=4T TCT=CP-P T=4/3|-圾 上 加古 器 为：4虫4n,2/3|；(2)如图2,O P与 AC相切时，设切点为点H,连接P H,则 PHLAC,四边形ABCD是矩形，.NADC=90,在 RfABC 中，AB=6,BC=8,/.AC=10,在 RbADC 中，sinzDAC=目，设 OP 均至为 x,则 PH=PD=x,AP=8-x,在 RbAHP 中，sinzPAH=A P 8-

26、x.x=3,在 RfPDC 中，CD=6,PD=3,PC=VC D2 可 口2|=1 2+3 2 卜 3(3)如图3,过 点 P作P H A C,连 接 PF；则NPHA=zADC=90,.zPAH=zDAC,AHP-ADC,.AP PHI A C CPI1设 为*,贝!|PF=PD=x,AP=8-x,(8-x),在OP 中，FHAC,EF=6.4,.-.HF=3.2,在 RtWHF中，仔(8-X)2+3 2 2 =X2.x=4 或x=-13(舍),；.PD=4;(4)如图4，作 PM AC于 M,作 PNBC于 N,当 P M=P D 时，OP，与 AC相 切，只 有 1 个公共点，由(2)

27、知，此 时 PD=3,当 P N=6 时，O P与 ABC有 3 个公共点；当 6PN4PB 时，OP 与 ABC 有 3 个公共点；PB2=AB2+AP2,AP2=(AD-PD)2.-.62+(8-PD)2=PD2,解 得：PD=信综上所述，PD的范围为：3 P D 6 j PDNFME,：.Z F M E ZFME,E的度数最大.作线段E F的中垂线/,/经过圆心O,且交E F于 点N,交P Q于点K,过点K作K H _ LB C 于 H.设。的半径为r,则 OE=OM=r,：N B P Q=1 3 5 ,：.ZK P H=45,是等腰直角三角形，：.PH=KH.：A B=66,EF=8,

28、:.BN=33,EN=4,:.PH=KH=33,：.B H=3 3+7=4 0,：.KN=40.在等腰R tA O K M 中，O 7C=|7r24-r2|4 72|r.：.ON=NK-0 K=4 0 -V 2|r.在 R t Z X O N E 中，4 2+（4 0 -V 2|r）2=凡解得 r i=4 0&|-1 /1 1 ,，2=4西*1 2回|（舍去），:.PM，=PK-r=3 J|-4/+1 2 V1 3 1 2 7返当射门角度最大时，P M的长度为（1 2|石1卜 座）米.14.(1)证明：如 图1,连 接 PC,AB,AP平分N8AF,：.ZBAP=ZPAFtu：ZPAF+ZPA

29、C=SO0,ZPAC+ZPBC=SO,J ZPAF=/PBC,又/BAP=NPCB,:./P B C=/P C B,:.PB=PC,PBF PC，.点P堀 藩J中点；(2)解：连接 OB,O C,过。作 OM_LBC于 M,；.0 M垂直平分BC,：.BM=CM=BC=3,ZBO M ZBO C=ZBAC,3.人也/8。=隅=春,：.0B=5,.O。的半径是5,在 RtZOMC 中，。彳*/。？-J(q=4,在 RtZXPMC 中，PM=0M+0P=9,-PC=7PI2C2|=3GS:(3)V ZAC+ZBC4=Z BPE+ZBCA=lSOa,：.ZACE=NBFE,同理，NCAE=NPBC=

30、NPAB,：./AC E/APB,：.PAAEAC-AB,如图4,过C作CQ_LAB于 Q,；sinN R 4C=4：.CQ=AC-sinZBAC,S ABC=即如舟B.AC,PAAE=愣S,ABC,.A B C非锐角三角形，且BC=6,二当A运 动 使NACB=90时,ABC面积最大，在 RfABC 中，BC=6,AB=10,-A C=7AB2-BC2|=8-,S.A B C=H(AC=24,.蜘寸，PAAE=80,即PA-AE的最大值为80.15.(1)证明：抽妾O B，如图，AB=AC,zA=30 z/.zA=zC=30./.zCAB=180-zA-zC=120.OB 二 OC,.-.z

31、OBC=zC=30./.zOBA=zCBA-zOBC=90.即 OBBA.OB是圆的半径，AB与。相 切.圆心。在AC边 上，.-.O O BAABC 的 切 圆；(2)解：当圆心。在BC边 上，与AB,AC边相切于点M,N时,谢妾OA,OM,O N,如图，.AB,AC是。的切线，QM_LAB,ONAC,AO 平分NBAC.AB=AC,-.AOBC z OB=OC j)BC=3.AOXBO,OMJ_AB,A BOM-BAO.O B A B -OB.3.D M,5 3|,嗯；QM=H0B2 _B产 制;当圆心。在 AC边 上，。与AB,BC边相切于点M,N 时,迩妾OM,ON,B 0,过点A 作

32、 AH_LBC于点H,如图，.AB,BC是。的切线,.-.OMAB,ONBC.AB=AC,AHBC,.BH=CH=C=3,-AH=7A B2-B H2|=4-W4X B C，AH=1 X6X4=1 2-S.ABC=S-ABO+S.CBO,.-._LxABr+LUxBCr=12.I 迈X 6r=12-,喳.综 上，。0 的半径为L L 或 丝;_ 5 j n u 解：连 接 AF,如 图，AB为。的直径，.,.AF BC.。0 是AABC的切圆，AC是。的切边，.-.ABAC.ACF-BAF.,A F B F lC P A F|.A F 1 0 8 A F.AF=4 局.-AC=7CF2*AF2

33、|=12 AB=|AF2-hR F2|=6|75.D是 弧BF的中点,.zFAD=zBAD.胆里睡二2设 FE=2 k,则 BE=3k,.BF=FE+BE=1O,.-.2k+3k=10.k=2.-.EF=4,BE=6.-.EHAB,ACAB,/.EHII AC.B E E H l ,B C -A C.6 二 E H 8-t-l O 1 2.-.EH=4.16.(1)证明:如图 1,-.ABllCD,BCllAD,二四边形ABCD是平行四边形，.zA =zC,.四边形ABCD内接于。O,.-.zA+zC=180,.-.zA=zC=90,“ABCD是矩形；(2)解：.点D 乾的中点，D E二 D

34、C，/.zECD=/D A C ,.zCDF=zADC=9 0。，CDF ADC,.DCl_ iDFsn il-|DF 证 明：如 图 2,过 点 F 作 FD-AC,/16SiDCF=3S 四 边 形 ABCD i.DF=3,.AF=8-3=5,.NDAC=NDAF,NFDA二 zADC=90 z FD A-CDA,.FDAFDC底,FD6510.FD=31.DF=DF=3,FDJ_AC,FDCD,/.CF 平分NDCA,/.zECD=zECA,点 E为 反 书 中 点.(3)如 图 3,连 接 AI、C I,过 点。作 0 0 3 AC交。于 O、0 ,.点I 是AAEC的 内 心，.-.

35、ZAIC=90O+MAEC=135,二点I 的运动路径为分别以0;。”为圆心，0，A 为半径的两段弧，.zABC=90,AB=6,BC=8,.AC=7AB2*BC2|=|762-82|=1 0-.-.OA=OC=5 返 即。的半径为5 返,.点 M 在线段0E 上，且 ME=2M0,.O M=EOE=EX5=瓦 即 点 M 的运动路径为以。为圆心3 叵)区.M I取得最小值时，点 I 在 0E 上，此时，01=5 西 5,0 M 为半径的圆,.MI 白 幅 小 蹊：MI=OI-0M=5 亚5 啬幽图故答案为：还 一 借.17.解：（1）在直线OB上取任意一点P1（不 和 P重合），连 接 DP

36、1交。0 于 E、连接CP1zCPD与NCPID 的关系是:zCPDzCPiD,证明如下：-CD=CD,.-.zCPD=zCED,而NCED NCPID,.zCPD zCPiD;(2)如 图：由Q）知，作线段A D 的垂直平分线，垂足为G,在线段AE的垂直平分线上取点0,以。为圆心，0 A 为半径作。，当。与线段BC相切于M时，若 M 与 M重 合，此时NAME最大，.BC是。的切线，.-.OMBC,/OGAE,/.zBG O=zB=zO M B=90,四边形OGBM，是矩形，/.BM=OG,OM=BG,.AB=8,AE=6,/.BE=2,/EG=3 r/.OM=OE=BG=EG+BE=5,-

37、QG=|,/OE2-EG2|=4,.BM=OG=4,故当NAME最大时，B M的长为4;(3)存 在，理由如下：如图：当过B、C的。与A D相 切于二M时，连接BM、CM,此时/B M C最大，连 接OB、O C,分别延长AB、DC交 于F,则AADF是等边三角形，.zBFC=60。，AF=DF=AD=8 阅-,BF=AF-AB=4/3.,.在 Rt BCF 中，CF=2%伺 BC=6,过。作。G，BC于G,交AF于K,交AD于J,贝UBG=gBC=3,.KJJ.BC,.-.zBGJ=90=zBCD,KJ II DF,.BK=F K=省F=2 KG=1：F=西.AK=AB+BK=6V|,KJl

38、l DF,.回=匹,即 耳=嶂 DFJ AF 8及 8V3I.KJ=6 j3|,设O B=r,KJ II DF,.-.zMJO=zD=60,12r.OG=KJ-KG-OJ=6西迤-瑞=5国关,在 RNOGB 中，OG2=OB2-BG2=r2-9,r2-9=(/3-整理得心-60r+252=0,解得r=30-1返 或30+随(舍 去)，.-.OM=30-18/2|,.J M=义X)M3=10匹 工,由等边三角形的对称性可得DJ=KF=2返.,DM=JM+DJ=1 0|/3-2通=12返-6/6|,故在线段A D上存在M,使NBMC最大，符合条件的D M的长为12 q6 1两.18.解：(1)A

39、B为。0的直径，.,.NADB=9 0。，-B D=VAB2-A D2|=|V102-82=6;(2)-.-zADB=90,弦 DC 平分NADB,.zADC=zBDC=-1 zADB=45,2AE_LCD,/.zAED=9 0。，.NAED+NBED=180。，.点E在A B上,-.zB D C=45,/.zDBE=90-45=45.ABD是 以A B为斜边的等腰直角三角形,.点E与点O重 合，/.BE=AAB =5;可当/DBE=90时，如 图，.zB D C=45 r/.zBED=45=zBDC,.BE=BD,.DE=JBE?+BD2卜 E lB E,。/AECD,zADC=45,.AE

40、=DE 二&RE，/A D =VAE2DE2|=逅DE=2BE，/A D B=9 0。，.AD2+BD2=AB2=100,.(2BE)2+BE2=100 z.BE=2、后 敕B E=-烟(舍去),综上所述，BE的长为5或板；在点D的运动过程中，BE的值存在最小值，最小值是忖河一5近1,理由如下：如 图，连 接OC、AC,取AC的中点F,连 接EF、BF,过 点F作FHAB于 点H,/zA D C=45./.zAOC=2zADC=90 1/AO=CO,/.zCAO=45。，AC=72OA=5返,vAECD,F为 AC的中点，.BEBF-EF（当且仅当点E在 线 段 BF上时等号成立）,E翌图即B

41、EN 双 牛 皿2|,.BE的最小值是 I。一5日.219.解：【解决问题】理 由：ABC,&BOE都是等边三角形，：.BC=BA,BO=BE,NCB4=/OBE=60,:.NCBO=ZABE,:.CBOWAABE(SAS),：.OC=AE.在 A O ,AEOE+OA,.当E、。、A共线，的最大值为3,；.O C的最大值为3.【迁移拓展】(3)如 图 2 中，以 BC为边作等边三角形BCM,；/A BO=/CBM=60,32:.NABC=ND BM,且 AB=DB,BC=BM,二.ABC段ADBM(SAS),：.AC=MD,欲 求 AC的最大值，只要求出田仞的最大值即可,=定 值,N8OC=

42、90,；.点。在 以 BC为直径的。上运动，如图，由图象可知，当 点。在 BC上方,OMLBC时，DM的值最大，最大值=2迎2 返,；.AC的最大值为植卜2人 用.当点4 在线段8。的右侧时，同法可得4C 的最小值为2 码植2 0 .(1)证明：V Z C O A =90 ,；.PC 是直径，：.ZPBC=90,V 4 (0,8),B(6,8),.4 8_ L y 轴，当 A与 P 重合时，N O PB=90 ,二四边形P O C B 是矩形；(2)解：连 接 O B,如 图 1,:.NBPC=NBOC,AB/OC,：.ZABO=ZBOC,：.NBPC=ZBOC=ZABO,(3)解：P C 为

43、直径,:.M为P C 中点，如图2,当 O 尸 时，延 长 BM交x 轴于点N,OP/BM,:.BNLOC 于 N,：.O N=N C,四边形0 A 8 N 是矩形，:.NC=ON=AB=6,BN=OA=8,设 半 径 为 r,则 8 M=C M=P M=r,:.MN=BN-BM=8-r,:MN2+NC2=CM2,(8-r)2+62 =1,解得：尸 图,:.MN=8 用卡,N分别为PC、0 c中点,如图3,当0 M 尸8时，NB0M=NPB0,V ZPBO=NPCO,ZPCO=ZMOC,：.N0BM=NB0M=ZM 0C=/MCO,在 B O M与 C O M中，(ZBOM=ZCOJlZOBM

44、=ZOCM，B H=C M BOM COM(A4S),OC=OB=/oA2-hAB2=I。，VAP=8-m,：.BP2=AP2+AB2=(8-m)2+62,V ZABO NBOC=NBPC,NBAO=NPBC=90,：.4 A B 0S/BPC,.O-B-A B，PC BP.*.PC2=|BP2=用(8-tn)2+62,又 PC2=OP2+OC2=m2+102,in)2+62=相2+102,解得：根=5或 机=20（舍去），(4)：点。与 点0,关 于 直 线P C对称,：.ZPOCZPOC=90 ，即 点。，在圆上,当。与。重合时，得 加=0,当0 1落 在A 8上时.，则 侬=8+(8 -ni)2,得 机=5,当。，与 点B重合时，得加=(生，：.m的取值范围为0 W机W 5或 机=224