考点21 双曲线（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

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1、考点21双曲线(核心考点讲与练),考 点i.双曲线的定义平面内与两个定点F”F2 的距离差的绝对值等于常数(小于国均且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P=MMFl-MF 2 2 a,|FR|=2 c,其中a,c 为常数且a 0,c 0：(1)若 g时，则集合P为双曲线；(2)若 a=c 时，则集合P为两条射线;(3)若生c 时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程一.=心 0,b 0)%-5=130，b 0)图 形WC性质范围X 2。或 xWy Rx R,a 或 ye a对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点顶点4(

2、m 0),4 2(，0)4(0,a),A2(0,a)渐近线am庐离心率e=e e(l,+)实虚轴线段A1 A2 叫做双曲线的实轴，它的长度|AiA2|=2 a；线段B i%叫做双曲线的虚轴，它的长度|8 4 2|=2 b；4叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c1=a1+b1J-方法 技 巧）1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支.若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点.另外，还经常结合IIP BI-PF2=2 a,运用平方的方法，建立它与IP B

3、IIP BI的联系.2 .与双曲线几何性质有关问题的解题策略在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=&是一个比值，故只需根据条件得到关于m b,c 的一个关系式，利用按=/a一。2 消 去 然 后 变 形 求 e,并且需注意e l.3 .圆锥曲线的弦长（1）圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦（就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段），线段的长就是弦长.（2）圆锥曲线的弦长的计算设斜率为4厚0）的直线/与圆锥曲线C相交于A,8两点,A（x i.yi）.8（小”

4、）,则|阴=色-今+（必-%了3 7,。为弦A 8 所在直线的S H T 0倾斜角）.j-1考 点 算=Jl+/|为一刈=l yi”|.（抛物线的焦点弦长|A B|=X +X2+=双曲线的定义一、单选题1.（2 0 2 2 广东潮州二模）若点P 是双曲线G：J-=l上一点，片，尸 2 分别为G的左、右焦点，贝 归 国=5 是“伊制=9”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.【详解】由题意可知，a =2,C=T T I =4,PFc-a=2,若 附|=5,则|耳卜5|=4.|P耳|=9或

5、1 （舍去），若|P|=9,|9-忸图=4,|P周=5或 1 3,故|尸闻=5”是“归周=9”的充分不必要条件.故选：A.2 22.（2 0 2 2天津河西一模）已知双曲线C:与=1（。0/0）的左、右焦点分别为耳、B，c是双曲线Cb的半焦距，点A是圆O:x 2 +y2=c,2上一点，线 段 交 双 曲 线C的右支于点8,优A|=a,可=3 E瓦则双曲线C的离心率为（）.A.B.迈 C.亚 D.瓜2 2 2【答案】A【分析】根据己知及双曲线的定义，可把骂民耳氏A 8用表示，再用勾股定理推出耳4,在中，利用勾股定理建立a,c的关系式即可求出离心率.【详解】如下图，由题意可知优用.,朋=等，由双曲

6、线定义可 知 阳=+2“=g易得/片4鸟=9 0。，由勾股定理可得|A耳|=可，在R tZA f；鸟中，再由勾股定理得（a）2 +/=（2 c）2,所lUe =.2故 选:A.3.（2022辽宁沈阳二模）已知双曲线C:*-=l（a 0,b 0）的两个焦点为耳、6,点 M,N 在 C 上，且 丽=3丽,耶 7_1_研，则双曲线C 的离心率为（）.y/h+5/2 D r-1 A.-B.6 +夜2C.2+0 D.75+72【答案】D【分析】根 据 而=3丽，破_L可，由双曲线对称性可知，直线与巴N 交于y 轴上一点P,且2/：；鸟为等腰直角三角形，可得N 的坐标，分别求出|N周,|N g|,再根据双

7、曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为ME=3而V,FtM r F2N,由双曲线对称性可知，直线片M 与巴N 交于y 轴上一点尸，且丹鸟为等腰直角三角形，所有|O 4=|O f；|=c,如图，则N c,田，耳（0）,片（c,0）,所以+（|c j =竽。，则|N|引=2a,B P a=则、飞-&=+夜.故选：D.一24.（2022湖南永州三模）已知双曲线C:0-2a b（部（沙醇-72-C,32丁 =1的左、右焦点分别为片、B，。为坐标原点，点?在双曲线C的右支上，（c 为双曲线c的半焦距），直 线 p 8 与双曲线C右支交于另一个点。,3ta n/6=1,则双曲线。的 离 心率为（）A.3

8、 B.2 C.正 D.巫2 2【答案】D【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的相关性质可得解.【详解】如图所示，由|O =c,|耳 胤=2c,得 N P 居=9 0。,?.ta n /FQF?PF1 37Q4设 附 I=加，由双曲线定义得归 娟=2 0 +机，所以|。|=打 耳 卜 如 M QF2=a+m,QFt=-a +m,乂 si n/Q M=1 4 1 a-m3 3x 3 =（2 +m）x 5解得加=，。45,即所以|尸 闾=凡|尸|=3%又归用2+1 尸耳石耳用2,即/+（3 a）2=（2 c）2,即0 =5,所以离心率e =4 区,a 2故选：D.二、多选题丫2 2 Q5.（20

9、22山东泰安,二模）已知双曲线C：方=1（0力 0）的离心率为：，且其右顶点为A（2,0）,左,右焦点分别为片，B，点 P 在双曲线C上，则下列结论正确的是（）A.双曲线C 的方程为兰-上=14 5B.点 4 到双曲线C 的渐近线的距离为2 叵3C.若|耳|=6,则%=2D.若 刊:24=0,则 的 外 接 圆 半 径 为：【答案】ABD【分析】由 离 心 率 为 右 顶 点 为 A（2,0）求出双曲线方程，再利用点到百线的距离，双曲线的定义及性质依次判断4 个选项即可.【详解】由离心率为,，右顶点为A（2,0）可得a=2,c=3,.=石，故双曲线c 的方程为；=i,A正确；/5卜闽一 2石双

10、曲线的渐近线为y=土火工，故点A 到双曲线C 的渐近线的距离为7 丁-亍，B 正确；2J-+1V4由双曲线的定义|用-归 周=2。，归用=6,则归用=2 或 10,C 错误；PFt PA=0,则 百 J.而，尸耳A 的外接圆半径为笆 沟=2,D 正确.2 2故选：ABD.6.（2022.河北唐山.二模）双曲线具有如下光学性质：如图K，入是双曲线的左、右焦点，从右焦点心发出的光线?交双曲线右支于点p,经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点6.若双曲线c 的方程 为 二-*=1,下列结论正确的是（）9 16A.若加上，则|P4H p鸟|=16B.当 过Q（7,5）时，光由E-P f Q所经过

11、的路程为13C.射线所在直线的斜率为鼠则冈e 0,1jD.若7（1,0）,直线PT与C相切，则 附|=12【答案】CD【分析】对于A：判断出/耳尸6=90。，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由尸在双曲线右支上，即可得到所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为，=氏（犬-1）,（&0）.利用相切解得 =也，进而求出尸（9,8&）.即可求出【详解】对于A：若加1，则乙=90。.因为P在双曲线右支上,所以由 一 内 =6.由勾股定理得：|/+旧 呼=|耳闻2二者联立解得：附|.归周一 呼 卜 即）；36=32.故人错误；

12、对于B：光由居一 尸fQ所经过的路程为后耳+1 PQ|=内尸|一 2a+1 PQ|=山 P|+|PQ|-2“=忻 Q|-2a=7（7+5）2+（5-0）2-6=7.对于C：双曲线土/-匕v2=1的方程为了=土4;x.设左、右顶点分别为A、区如图示:9 16 3当前 与 可 同向共线时，n的方向为可，此时上0，最小.因为P在双曲线右支上，所 以 所 在 直 线 的 斜 率 为 即陶 0,.对于D：设直线尸丁的方程为什=。（1）,（左 0）.y =k x-l）,f y 2 ,消去），可得：（1 6-9公卜2 +1 弘与-9公-1 4 4 =0.-=19 1 6其中 A =（1 8 公-4（1 6-

13、9公）（-94 2-1 4 4）=0,即 1 1 5 2&=2 30 4 ,解得&=血代入（1 6-9公卜2 +1 8%、-9%2 1 4 4 =0,有一2 d+36x-1 62 =0,解得：x=9.由尸在双曲线右支上，即/旨1,解得：y =8&（y =-8 后 舍 去），所以P（9,8 夜）.所以优P 卜（9-5）2+（8 /2-0）2=1 2.故 D正确故选：C D7.（2 0 2 2.重庆八中模拟预测）已知点M（-&,0）,N（0,O）,若某直线上存在点P,使得归用|-|2=2 ,则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的 是（）A.x+y =0 B.x+y-3 =0 C.2 x+y

14、 =0 D.2 x+y-3 =0【答案】B D【分析】由题意，点 尸应该是在双曲线f-V=i上，即“好直线”就是与双曲线有交点的直线.【详解】由题意，c=y/2,2 a =2,a =,.-.h2=c2-a2=,双曲线的方程为一一丁=1，好直线 就是与双曲线有交点的直线，）2 2 、:,解得x 2 _（_ x）2=l无解，故 A不是“好直线”；x+y=0 7对于B,联立方程I 中x2 y2:=I0 ,解得5 y =4-故 B是“好直线”;I z 2 对于C,联立方程二 二 二。，解得3，无 解,故C 不是“好直线”;X2 V2 =1对于 D,联立方程（二 -_ 八，解得3 d _ 1 2 x+1

15、 0 =0 .A=122-4X3X10=2 4 0，即直线2 x+y-3 =0、2 x+y-3 =0与双曲线有交点，故 D是“好直线”；故选B D.三、填空题8.（2 0 2 2 辽宁葫芦岛 一模）已知双曲线G的方程-4=1,其左、右焦点分别是转，工，已知点尸坐标1 6 9为（4,2）,双曲线G上点Q（%）,、Q F.P F.丽.PF；(%，%0)满足 明 =西 ，则 S PQ-SAPQ=【答案】8【分析】设A 优片的内切圆与三边分别相切于，E,G,利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为“，又由斯 西 丽 西研 一 府|得尸在N。耳鸟的平分线上，进而得到产即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可

16、.【详解】如图，设优月的内切圆与三边分别相切于RE,G,可得Q O =Q G,耳。=4 E，BE=G,乂由双曲线定义可得 Q 4 _ Q =2Q=8,则 Q D+K _(Q G +G 6)=6 _6 6=%_匹=2 ,又 EF、+EF?=2 c,解得 K=a +c,则E 点横坐标为。，即内切圆圆心横坐标为a.又寄=笔答,可得画维产=固唯严,化简得8S/M Q =CS4和网 同 用 网|即即/PKQ=/PF；乙,即尸片是NQ 6名的平分线，由于尸（4,2）,a =4,可得产即为屋等1 的内心，且半径r 为 2,则SAF、PQ-S4FPQ =r(QF QF2)=-X2X8=S.故答案为：8.【点睛

17、】本题关键点在于先利用切线及定理求得内切圆圆心横坐标为。，再由到P 在NQ4 用的平 分 线 匕 结 合 尸的横坐标为a 进而得到P 即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.四、解答题2 29.（2022全国模拟预测）双曲线C:-方=l（a0力0）的左、右焦点分别为片，A，焦距等于8,点 M在双曲线C 上，且“耳,知鸟，鸟的面积为12.求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 的左、右顶点分别为A,B,过鸟的斜率不为0 的直线/与双曲线C 交于P,Q 两点，连接AQ,B P,求证：直线A Q 与 B P 的交点恒在一条定直线上.【答案】（1）工-丫 =1（2）证明见解析4 12【分析】（1）根据

18、直角三角形的面积公式以及双曲线的定义求出方 可得双曲线的标准方程；（2）设直线/的方程为=，盯，+4,联立直线/与椭圆方程，消去x 得关于，的一元二次方程，利用韦达定理得到）1+必和为，用点斜式表示出直线A Q 与直线8尸的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标为定值即可得解.（1）依题意2c=8,由双曲线的对称性不妨设|M周=/;,|历 4|=小=2因为所以有2 ,d +/f=82则（4-）2 =+1-2/=8 2-2 x 2 4 =16,|弓-4|=4,所以2a=|-4 l=4,得a=2,所以/=c1 a1=12,所以双曲线C的方程为 片-$=1.由题意得A（2,0）,

19、3（2,0）,6（4,0）,易知直线/的斜率不等于土退.设直线/的方程为x=m），+4,2（,%）,Q（均），则土芯x=my+4-=14 12则 =1 4 4 +i）o,（用点斜式表示出直线A。与直线8尸的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标）直线4 Q的方程：丫 =上 式X+2）,直线BP的方程：y=U彳（X-2）,令7（X+2）=7 （X-2）,得必（西一2）（光+2）=乂（+2）（乂-2）.因为王=帅+4,x2=my2+4,所 以%（殁+2）（x+2）=y （/佻+6）（x-2）,展开整理得（%-3乂卜=-27），通-2（3%+必），即（X+%-4y）x=-2物必-

20、2（2y+x +%）,24m，、,36 J、24%、即 卜24,”-4yl（3/-1）x=-12m-4yl（3/M2-1）+48,即 _24，_ 4 y（3 -_ l）x=_24，_ 4 y（3，2 1）,所以x=l.所以直线A Q与8P的交点恒在定直线x=l上.【点睛】关键点点睛：用点斜式表示出直线A。与直线8P的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标是解题关键.10.（2022福建漳州一模）已知双曲线:二-丁=1（40）的左、右焦点分别为6（-c,0）,K（c,0）,点aP（X。，九）是右支上一点，若/为 工 的内心，旦SZPF、=SZPF,+与s 叫 今.(1)求的方

21、程；(2)点 A 是r 在第一象限的渐近线上的一点，且 A鸟，X轴，在点P 处的切线/与直线A E 相交于点M,与直线x=|相交于点M 证明：无论点P 怎么变动，总有|叫|=四/讣【答案】(1),-丁=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据三角形面积公式及双曲线定义化简可 得 照=且，求出。即可得出方程;2c 2(2)利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得=,求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可得加工卜 芋四周.(D设用的内切圆半径为则%双 鸣=：1尸/12/闽=目耳6 I-，因为 S 犷 6=5A;Pf2+SIFif2,所以 g l P K I y p K

22、 I r +x m K l r,即附 上 尸 玛 1+半单讣可得|P/-|P玛|=三|耳用所以=乌I初i 2由双曲线的定义和几何性质，得 生=走，2c 2又解得.2=3,所以的方程为 一 V=l.(2)由题意可知，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-%=z(x-x).由 )/=1 可得 y2=1 =-.3 3 3由题意知先二 .若点P 在双曲线右支的上半支上，则 了 =也 二，,2x x /所以=2 5&-3=后&-3,故 6点-3.因为*所以心3=3端卜=总康噎;若点P在双曲线右支的下半支上，则y二 一 正 三同理可得k =一X。=.综上，T，代入直线/的方程得y -%=白。,3y o6国

23、3媪即改 产 一3%丫 =%；一3乂；，由1-巾=1,可得x；-3y：=3,所以直线/的方程 为&x-3y y =3,即 产 殍 口（%省）“0因为直线A%的 方 程为42,2 x-3所以直线I与直线AF2的交点”（2,Y-）,3-x-3直 线/与 直 线 的 交 点 乂（3,2 ）2 3%所以鹏=产机铲）Ua 。七一3 1 1 (%0-2)2，、丘质|=(2-寸+(。丁产由+王-4-6 74V-12%0+9 G 2与-3 5”,=-=-=MF ，2 3 y0 2 3|%|2-即|遇 上3 1 M居|得证.至 三 强 双 曲线的几何性质1.（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）过双曲线

24、W 当=1 （。0,匕0）的右焦点尸作a2 b2双曲线渐近线的垂线段在M，垂 足 为 线 段 月0与双曲线交于点A ,且 满 足 两=2俞，则双曲线离心率e等 于（）A.72 B.G C.V5 D.2【答案】C【分析】利用渐近线的斜率，求出=|Q W|=a,进而利用相似和S.OMF求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于e的方程，求出离心率即可【详解】因为双曲线渐近线方程为丁 =2%,所以t a n N E O M=一,如图，在直角三角形QMF中,故I月=d|O M|=a,过M、A分别作O F的垂线，垂足分别为N、B，则由 S.F =上0闻.加尸=上0F.的得：MN=,又|E 4|=2|

25、A M|,AB=-MN=-,2 2 c 3 3c/2 BF =|A F|s i n Z B A F =-b-sin Z M O F=故可得点 A 的坐标为 c ,33c、3c 3c )故选：C.2 22.（2021安徽省安庆市怀宁中学高三上学期模拟）若双曲线C:工-上=1的一条渐近线与直线m 4/:3x+2y-2=0相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（）A.2 亚 B.29 C.6 D.8【答案】B【分析】先求出，再求出焦点坐标和短轴顶点坐标，直接求面积即可.v-2 2【详解】因为双曲线C:二=1的一条渐近线与直线/：3x+2y 2=0相互垂直，m 4所以子=x

26、（-|）二 一1，解得：7=9.双曲线C的两个焦点为（一 屈,0）,（屈,0）,虚轴的.个端点（0,2）.所以三角形的面积为x 2/x 2=2 J丘2故选：B直线与双曲线的位置关系2 2L.（江西省南昌市湾里区第一中学等六校联考）已知双曲线C：鼻 方=1 （a 0,匕 0）的离心率为5实轴长为2.（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离：（2）若直线产x+机被双曲线C C截得的弦长为4 a，求机的值.【答案】（I）y/2（2）,n=l【分析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解.（2）直线方程代入双曲线方程，得到关丁了的一元:次方程，运用韦达定理弦

27、长公式列方程得解.（1）.双曲线离心率为山，实轴长为2,2a =2,解得 a =1,c=#a：.b2-c2-a2-2,：.所求双曲线C的方程为炉 一 二=1 ：2.双曲线C的焦点坐标为（土石,0）,渐近线方程为y =0 x,即为土y =0,双曲线的焦点到渐近线的距离为d=吟 W =7 2 .V 2 +1（2）设A（%，x）,6（孙 必），y =x+m联 立.,y2 _x2 2 m x m2 2 =0 m 2+1 0 ,xt+x 2=2 m ,xyx2=-m2-2 ./.|AB=2 （%+J -4=,2 1 4;7?+4（I 2 +2）=4A/2,m 2=1,解得/w =l.2.（2 0 2 1

28、河北省部分名校高二上学期期中）在双曲线E的焦点在x轴上，双曲线E的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且。经过点A（0,卡），8（1,3）.（1）求双曲线。的方程；（2）若双曲线与双曲线C的渐近线相同，,且E的焦距为4,求双曲线E的实轴长.注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.2 2【答案】（1）=1 （2）答案不唯一，具体见解析6 2【分析】设双曲线C的方程 为 侬？+盯2=1,将点4 8的坐标代入计算即可；（2）由（1）可得双曲线。的渐近线方程，若选则设双曲线E的标准方程为=4 =l（a 0,。0）,进而a b1可得a、b、c的关

29、系式，计算即可；若选则设双曲线E的标准方程为4一 =1（。0,。0）,同理a-b计算即可.【小 问1详解】设双曲线C的方程为雁/+1 ,v2 d所以双曲线。的方程为 工 匕=1:6 2【小问2详解】双曲线C的渐近线方程为y =y/3x.选，设双曲线的标准方程为二 一 与=1（。0,b0），a b-所以 2 c =4 解得。=1,b=B2 9 1C =cr+b-所以双曲线E的实轴长为2.2 2选，设双曲线E的标准方程为与 一，=l（a 0,b0）所以 2 c =4 ,解得a=Ji，b=l,c2=a2+b2所以双曲线E的实轴长为2 6.1.（2 0 2 1 年全国高考甲卷）点（3,0）到 双 曲

30、线 工-汇=1 的一条渐近线的距离为（）1 6 9【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：二 _匕=0,即3 x 4 y =0,1 6 9结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3 x +4 y =0的距离：d9 +0,9 +1 695故选：A.2.（2 0 2 1 年全国高考乙卷）已知双曲线C:三一 y 2 =（?0）的一条渐近线为百X+加 y =0,则 c的焦距m为.【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再结合双曲线中标,从对应关系，联立求解 阳，再由关系式求得c,即可求解.【详

31、解】由渐近线方 程 百 x +，”y=0化筒得y =-且 x,即2 =正，同时平方 得 与=乌，又双曲线中m a m a ma i/=机,从=1,故弓=,解得加=3,加=0 （舍去），c2=/+/=3+l =4nc=2,故焦距2 c =4.nT m故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.v23.（2 0 2 0 年全国统一高考（新课标I ）设耳，月:是双曲线1 的两个焦点，。为坐标原点，点P在 C上且|Q P|=2,则 P 6 工 的 面 积 为（）7 5A.-B.3 C.-D.22 2【答案】B【分析】由是以P为直角直角三角形得

32、至HPEF+IP瑞|2=1 6,再利用双曲线的定义得到|尸 I-I PF2|=2,联立即可得到PFIPF2,代入S F 2 P =；I P G I I P 弱 冲 计算即可.【详解】由已知，不妨设（一 2,0）,鸟（2,0）,则a =l,c =2,因为|0尸|=2 =g|耳 用，所以点P在以K 鸟为直径的圆上,即2P是以p为直角顶点的直角三角形，故|P K+|%|2=|K|2,即|?用2+|?6 2=6,又|甲 一|鸟|=2。=2,所以4 =|PF-PF2=I P F +P F212-2|PF,PF21=1 6-2|P f；|P R|,解得|P PF2）r=6,所以=；|小|夕心|=3故选：B

33、【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.4.（2 02 1年全国新高考I卷）在平面直角坐标系X。），中，已知点 卜，万,0）、玛（，万,0）,阿6|一网图=2,点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线 上，过T的两条直线分别交。于A、3两点和尸，。两点，且2|冽|7B|=|7P|-|T 2|,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和.2【答案】（1）X2-=1（X 1）:（2）0.1 6 1 ）【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、工 为左、右焦点双曲线的右支，求出。、的值，即可得出轨迹。的方程；（2）

34、方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得人+心 的值.【详解】因 为|峥|一阿闾=2 0,6 0）,则2 a =2,可得。=1,匕=&7-片=4,所以，轨迹。的方程为/一 二=1（2 1）.1 6 （2）方法一【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设丁（；,），设直线 A B 的方程为 y-n =K（x g）,A（X 1,y）,3（X 2，y 2）y-n=ki（x-）联立,化简得（1 6-女：）x 2 +（k；-2 kn）x-k n2+4”-1 6 =0.2 =0，故直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和为0.方法三:利用

35、圆幕定理因为|力4 1|）|=|7 7+|丁 ,由圆幕定理知A,B,P,Q四点共圆.设T（；/）,直线A B的方程为y T=匕（X ；）,直线PQ的方程为y t=%(3)，则二次曲线伏/一 一，+。(42%一 丁 一 与+。=0.v2又由/一 乙=1,得过A,B,P,。四点的二次曲线系方程为：16丸 伏 x-y+t)(k)x-y :+f)+-1)=0(2 w 0),整理可得：(九 kk2+Mx2+(A)j 4(&+k x y +1(%+%)kk2 +(-2/)4y+根=0,16 2其中2=2 厂 +-+&)-.由于A,B,P,。四点共圆，则 冲 项的系数为0,即4+e=0.【整体点评】(2)方

36、 法 r 直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幕定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.C.西偏北45。方向，距 离 1706m一、单选题1.(2022 重庆八中模拟预测)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2 s,已知各观测点到该中心的距离是6 8 0 m,则该巨响发生

37、在接报中心的()处(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)A.西偏北45。方向，距离340Gm B.东偏南45。方向，距离340GmD.东偏南45。方向，距 离 170Gm【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【详解】如图，以接报中心为原点。，正东、正北方向为X 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A、8、C 分别是西、东、北观测点，则 A(-6 80 0),5(6 80,0),C(0,6 80).设 H x，为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|上 4|=|PC|,故P 在 4 c 的垂直平分线P O 匕 P O 的方

38、程为y=T,因8 点比A点晚2 s 听到爆炸声，故，|冏-|酬=3 40 x 2 =6 80由双曲线定义知P 点 在 以 为 焦 点 的 双 曲 线 左 支-=1*0)上，a b-依题意得。=3 40,c=6 8 0,b2=c2-a2=6 802-3 402=3 x 3 402,故双曲线方程为一二匚=【，将 丁 =一%代入上式，得 产 1 7 0#,Y X l a2+b2=/6.c V 3 0 e=-a 5故选：D.3.（2 0 2 2.全国.模拟预测（理）已知双曲线氏 的离心率为应，若有一直线过E的右顶点 A且与一条渐近线平行，交 y 轴于点3,则AOAB的面积是（）A.2 B.2 拒 C.

39、4 D.4&【答案】A【分析】由离心率先求出。的值，得出渐近线的方程，得出过点A与渐近线平行直线，从而得出点8的坐标，求出三角形的面积【详解】双曲线E：7 -=l(a 0)的禺心率为 e =卜 =0，解得a =2a所以E的右顶点4（2,0）,双曲线E的渐近线方程为丫=出设过点A的宜线与渐近线y=x 平行，则其方程为y=x-2,则8（0,-2）所以 Sv=；1 0 A l|O8|=g x 2 x 2 =2故选：A4.（2 0 2 2 山东济宁二模）过双曲线C：，-方=1（。0*0）的左焦点F作圆f+V的切线，设切点为 A,直线硒交直线法-砂=0 于点B,若 丽=2 通，则双曲线C 的渐近线方程为

40、（）A.y=xB.y =+2 xC.y =2 xD.y =y/3 x【答案】B【分析】根据题意得到直线E 4 的方程，和直线法-a y=0 联立求出点B的横坐标，再利用等面积得到点A的纵坐标，由 丽=2 通 求得点5的纵坐标，利用点5的纵坐标相等即可计算【详解】因为直线阴交直线区-0=0于点&直线网 与 圆/切于点人,所以。4_ L E 4,|Q 4|=a,|Q H=c,因为/+从=0 2,所以|刑=力,在 RIAE4。中，sinZOFA=,t a nZOFA=-,c b所以直线FA的方程为y W a+c）,bLLI-吟,得hx-ay=OX-z rb b-ab2-a2即点5的横坐标为a在R t

41、 A 4。中，根据等面积可得以=,因 为 丽=2 而，所以为=3 以=?，因 为%=合a所 以 志b crc abcx-=-a b2-a2 b2-a23ab=，所以/=3 3 a 2,所以/+从=3 62-3，所以4a 2=2，所以2。=扬，所以2 =a所以渐近线方程为y=-x =土 岳，a故选：B/.2 ,、5.（2 0 2 2.天津南开.一模）已 知 双 曲 线?-方=1 的。0）与抛物线的一个交点为例.若抛物线的焦点为F,且|月0|=5,则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.y/3B.2C.2GD.妪3【答案】D【分析】根据题意求出为M 的坐标代入双曲线求出匕=迪，利用点到直线距离公式可

42、求双曲线的焦点到3渐近线的距离.【详解】根据题意，设（X。，九），因为|府|=%+5=5,且 P=2,所以拓=4,代入到抛物线V=4 x 中，得先=4,所以虫 4 44）,将 M 代入到双曲 线$*1中，得从若，即 心 半，设双曲线的焦点P（c,O）,渐近线为=2，即法土ay=0,a所以双曲线的焦点到渐近线的距离为d=产 =匕=里，y a2+b2。3故选：D.6.（2022天津河东一模）已知双曲线G：4-芯=l（a 0,6 0）的焦点为4（0,-c）,玛（0,c）,抛物线C,：），=，/的准线与G 交于M,N 两点，且三角形M N8为正三角形，则双曲线G 的离心率为（）4cA.6 B.显 C.

43、叵 D.叵2 3 2【答案】A2 c j【分析】由题意可得MN=生，因为三角形 N E 为正三角形，可得：铲=tan60o=W,即可求出双曲线aaG 的离心率.【详解】抛物线G：y=；f 化为标准方程得：Y=4 c y,所以C2的准线方程为y=-c,焦点坐标为（0,c）,y =-c）,解得：x=+,则M N=生，因为三角形MN居为正三角形，所以豆2c=.60o =r3,所a aa以 2 a c=W=6 a 2-%,即 2e=6(/_ l),解得：e=y/j.故选：A.二、多选题2 27.（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知耳、马分别为双曲线C:*-=l（4 0,b 0）的左、右焦点,点为

44、双曲线右支上一点，设/6“乙=6,则下列说法正确的是（）A.线段6 加 长度的最小值为a+cB.线段月时长度的最小值为上aC.若当0=时，OME（。为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线C 的离心率为6 +1D.当6 =9时，若直线KM与圆/+/=/相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为3-66【答案】A CDc 2 c F FI【分析】根据双曲线焦半径和通径的性质可判断A B；根据七=五=向 二 谪 可判断性 设耳M与圆相切于4,连接0 A,则OALE M；过K作88,6河 于点B,根据几何关系求出忻B|、忸 叫，从而求出FtM ,再求出|入闸，根据方=|M-|K M|可求2,从而可求双曲

45、线渐近线的斜率绝对值，从而判断D.Q【详解】当M为双曲线右顶点时，线 段 长 度 的 最 小 值 为a+c,故A正确；当轴时，线段用加长度的最小值为J或c-a（与离心率有关），故B错误；T T对于C,若当6 =万 时，Q g为等边三角形，则N M K 6=6 0。，|M玛|=|0玛|=c,MF =l 3 c,c二离心率e =一a二 2 c=忻图 _ 2 c 二 /r 2 a M F -M F ,c-c ，故C正确;对于D,如图，设片M与圆相切于4,连接0 4,则0 A，6M；过鸟作鸟8,4 M于点8,则3 g 3/。小明后 却=2侬=.|则=嬴 嘿加=2周，住 昨 记 堞 诋=痴,=耳闻 2-

46、优 砰=2 6.在双曲线上，/.2 a =FtM-F2M=2 y/3 a +2 b-4 a,即%=3 a-g a.L1-y.2 =3-6,则双曲线渐近线斜率的绝对值为-=3-6，故D正确.a a故选：A CD.2 28.（2 0 2 2江苏新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线C：三T=1（0,匕0）的左右焦点分别为句，尸2,右3顶点为A,M 为 0A 的中点，尸为双曲线C 右支上一点且尸入，月鸟，且 t a n/P=,贝 l j()A.C 的离心率为2 B.C 的渐近线方程为x土b y =01 3 C.平分N 耳P g D.PA=-PFi+-PF2【答案】ACD3【分析】在宜角三角形尸 耳 鸟中

47、，利用tanNPf；E=、列出关于“、b、c 的齐次式求出离心率，从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根 据 身、岛?是 否 相 等 即 可 判 断 是 否 平 分 从 而明6 M判断C；根据怩川、恒 图 的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用 丽 酿 表示 耳，从而判断【详解】由P g，名可知归埒=,b2耨壬*浮3ac=2b2,即 3ac=2 -即 2/3e 2=0,即(2e+l)(e 2)=0,.二 e=2,故 A 正确;,双曲线渐近线为y=A，故 B 错误;由 =2=c=2。，b=6 a.a贝 IJ归周=与=空=3a,|胃一|周=2。=|尸用=5 a,.附=5J5PF

48、,3 a 3；5ai a a 八 a 5a a 八 a 3a.耳 M 7 5./*；A/=cd=2QH =f=c =2Q=,.；-7 =-r=,1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 F2M 3a 3T叽 16M=5PF2F2M3.根据角平分线的性质可知PM平分4尸鸟，故 C 正确;|/Si4|=c-a=2a-a=a,FtF2=2c=4a,11 12PA=PF+FA=PF+-KF=PF+-(PF-PF)=-PF+-PF,故 D 正确;故选：A C D.【点睛】本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了

49、向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.9.（2 0 2 2 江苏沐阳如东中学模拟预测）已知直线产近（灯0）与双曲线a2 b2=l(a 0,人 0）交于A,B两点，以4 B为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若三角形A B尸的面积为4 6,则以下正确的结论有（）A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的离心率为石4C.双曲线的渐近线方程为尸 2 i D.%=【答案】B C D【分析】设出4尸=利,8尸=，得到方程组，求出加=2 ,=4%或加=4。,=2。，从而得到离心率，及渐近线方程，利用余弦定理及同角三角函数关系得到倾斜角的正切值，从而求出斜率.【详解】以 为 直 径 的 圆 过

50、 右 焦 点 尸，.以 为 直 径 的 圆：/+）,2=0 2设 A F =m,BF =n,则卜%4 =2 a ,1 2痴=4寸川+2 =4C2忸一川=2 a；0,且点B在第一象限，则8。=。尸=孰8尸=2 a =竿c,c2+c2-c2 3/.c o s/B O F =-=-,2-c-c 5444 4/.sinZBOF =-,止 匕 时/M=,同理可得：当 0时，k =-4.M =1,D 正确，故选：BCD.2 210.（2022 重庆二模）已知双曲线力0）的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为耳，尸2,点尸是双曲线c 的右支上一点，且三角形OPK为正三角形（。为坐标原点），记 P 4,心