北京市房山区2022年中考一模数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、2022年北京市房山区中考一模试题数学试卷1.注2.意3.事4.项5.本试卷共10页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题、作图题用25铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（共 16分，每题2 分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.三棱柱B.长方体C.圆锥D.圆柱2.2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度,提 高学生营养改善计

2、划补助标准，约 37000000学生受 益.将 37000000用科学记数法表示应为（）A.0.37X106 B.3.7x106 C.3.7x1073.实数匕，c在数 轴 上 对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（D.37x106)c b a1.1 1.1 1.1 1-4-3-2-1 0 1 2A.b-c-24.下列多边形中，内角和为720。的 是（）C.。+。0D.bcC.D.5.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A.平行四边形 B.等腰三角形 C.正五边形6.将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是（D.矩形）2cmw4/?A.4 c m B

3、.20 c m C.4 c m D.c m337.第 2 4 届冬奥会将于2 0 2 2 年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑 冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有 5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同.现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（）8 .某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多5 0 cm,把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为1 6 元，那么总费用与底面边长

4、满足的函数关系是（）A.正比例函数关系 B.一次函数关系C.反比例函数关系 D.二次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9 .若式子 一有意义，则 x 的 取 值 范 围 是.x-l1 0 .如图，在A A BC 中，A B=A C,A B的垂直平分线MN交 A C 于 D 点.若 BD平分/A B C,则NA=1 1 .已知关于x 的一元二次方程/+（2。-1）%+/=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是1 2 .写出一个比而大且比4小的无理数13.如图，点 A,B,C 在。上，若NOC8=20。，则/A 度数为14.已知点A（l,2）,8 在反比例函数y=?x 0）的图象上，若 0

5、 4=0 8,则点8 的坐标为15.下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙平均数9.359.359.34方差6.66.96.7根据表中数据，要从中选择一名成绩 好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择16.某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、8 两种树种.经过试种后发现，种植A 种树苗。棵，种下后成活了 棵，种植8 种树苗匕棵，种下后成活了 g）棵.第一阶段两种树苗共种植 40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A 种树苗一 棵.第二阶段，该园林局又种植A 种树苗?棵，B 种树苗棵，若机=2”，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A 种树苗

6、成活棵数种 植 B 种树苗成活棵数（填“”“”或“=）.三、解答题（共 68分，第 17-20题，每题5 分，第 2122题，每题6 分，第 23题 5 分，第24题 6 分，第 25题 5 分，第 26题 6 分，第 2728题，每题7 分）.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.计算：2cos30-（g）+（勿-2）_ 厄.x-2 11 8 解不等式组：（x+i-l时，对于x的每一个值，函数产x的值大于一次函数产乙+4k(原0)的值，求的取值范围.24.如图，BE是。直径，点4是。外一点：O4J_0B,AP切。于点P,连接BP交A。于点C.(1)求证：ZB4O=2ZPBO；3(2)若

7、 的 半 径 为5,tanNPAO=,求BP的长.42 5 .为庆祝中国共产党建党1 0 0 周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党1 0 0 周年知识测试.该校七、八年级各有3 0 0 名学生参加，从中各随机抽取了 5 0 名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：以 八年级的频数分布直方图如下（数据分为5 组：5 0 sx 6 0 ,6 0 夕 7 0,70J V80,8 0 sx 9 0,9 0 S r 1 0 0）；b.八年级学生成绩在8 0 土 9 0 的这一组是：8 0 8 1 8 2 8 3 8

8、3 8 3.5 8 3.5 8 4 8 4 8 5 8 6 8 6.5 8 7 8 8 8 9 8 9c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：年级平均数中位数众数七年级8 7.28 59 1八年级8 5.3m9 0（1）表中山的值为；（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为8 4 分的学生，在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _年级抽样学生中排名更靠前,理由是:（3）若成绩8 5 分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数.2 6 .已知二次函数尸炉+a+。（b,c 为常数）的图象经过点A （1,0）与点C （0,-3）,其顶点为P.(1)求二次

9、函数 解析式及P 点坐标；(2)当，9 9 i+l时，y 的 取 值 范 围 是 求，的值.27.已知：等边AABC,过点8 作 4。的平行线/.点P 为射线A 8上一个动点(不与点4,8 重合)，将射线 PC绕点尸顺时针旋转60。交直线/于点D.(1)如 图 1,点尸在线段A 3上时，依题意补全图形；求证：NBDP=NPCB；用等式表示线段BC,BD,8P之间的数里关系，并证明；(2)点 P在线段A 8的延长线上，直接写出线段BC,BD,BP之间的数量关系.28.如 图 1,。/与直线a相离，过圆心/作直线的垂线，垂足为“，且交。/于 P,Q 两 点(。在 P,H之间).我们把点尸称为。/关

10、于直线。的“远点”，把 P Q P 的值称为。/关于直线a 的“特征数”.(1)如图2,在平面直角坐标系x 0 y中，点E的坐标为(0,4),半径为1的。与两坐标轴交于点A,B,C,D.过点E作垂直于y轴的直线，则。O关于直线机的“远点”是点(填“A”，“B”，C”或 D”),。关于直线机的“特征数”为；若直线的函数表达式为y =J Ir +4,求。关于直线”的“特征数”：(2)在平面直角坐标系x Qy、中，直线/经过点M(1,4),点F是坐标平面内一点，以尸为圆心，丛为半径作。巴 若。尸与直线/相离，点N (-1,0)是。F关于直线/的“远点”，且。F关于直线/的“特征数”是6指，直接写出直

11、线/的函数解析式.参考答案一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A.三棱柱 B.长方体 C.圆锥 D.圆柱【答案】A【解析】【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状.【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.故选：A.【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟记一些简单的几何体的三视图.2.2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度，提高学生营养改

12、善计划补助标准，约 37000000学生受 益.将 3700（X）00用科学记数法表示应为（）A.0.37X106 B.3.7x106 C.3.7x107 D.37x106【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为ax 10的形式，其中L,为整数.确定的值时，要看把原数变成。时.，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值.10时，是正数：当原数的绝对值 1时，是负数.【详解】解：37000000=3.7xlO7.故选：C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax 10的形式，其中1,|10,“为整数，解题的关键是正确确定”的值以及的值.3.

13、实数a,h,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）-4-3-2-1 0 1 2A.b-c-2 C.a+c0 D.|b|c|【答案】B【解析】【分析】由图得。-2 匕 0。，利用有理数的加减运算法则及绝对值的意义即可完成.【详解】由图知：c-2 Z?0 0,则A错误，不符合题意；b -2,则B正确，符合题意；a+c 0,则C错误，不符合题意；网 0,整理得：4/-4 a +l 4a2 0，解得：a .4故答案为：a 4【点睛】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键.1 2.写出一个比j n 大且比4 小 的 无 理 数.【答案】V1

14、3（答案不唯一）【解析】【分析】根据实数的大小比较即可求出答案.【详解】解：.11V13V16,VTT V13 0)的图象上，若。4=0 8,则点3的坐标为.X【答案】(2,1)【解析】【分析】根据点A,B 关于)=x()7=0)的对称，求解即可【详解】解：.点A(l,2),8在反比例函数y =；(x 0)的图象上，OA=OB,.,.点A,8关于直线尸x(_ y-x=0)的对称，设 点(1,2)关于直线y=x(y-x=0)的对称点设为(a,b)由两点中点在直线尸上及过两点的直线垂直直线尸(斜率之积为-1)1 +【解析】【详解】解：第一阶段，依题意得：1 u ，ca+5=b-22a+h-40则种

15、植A 种树苗2 2 棵；第二阶段，.种植A 种树苗根棵，8种树苗棵，若，=2 ，.A种树苗成活了，根+5=+5（棵），2B 种树苗成活了 -2（棵），/.这两个阶段A 种树苗共成活了-X 2 2+5+5=+2 1 （棵），2B种树苗共成活了 1 8-2+-2=+1 4（棵），V +2 1 n+1 4,这两个阶段A种树苗共成活棵数8 种树苗共成活棵数，故答案为：.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的加减运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.三、解答题（共6 8分，第17-20题，每题5分，第21 2 2题，每题6分，第2 3题5分，第2 4题6分，第2 5题

16、5分，第2 6题6分，第27 2 8题，每题7分）.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程1 7.计算：2 co s 3 0-（g）+（-2）0-V 1 2 .【答案】百 3【解析】【分析】根据特殊三角函数值、负整数指数幕、零指数金的法则、二次根式的化简进行计算即可.（、一2-|+（42）。厄2）=2x34 +1-262=6-4+1-2 7 3=-7 3-3【点睛】本题考查了特殊三角函数值、负整数指数累、零指数幕的法则、二次根式的运算等知识，熟练学握运算法则是解题的关键.x-2 l1 8.解不等式组:x +l-x-lI 53【答案】-x 32【解析】【分析】先求得每个不等式的解集，后根据口诀确

17、定不等式组的解集.-2 ,2不等式组的解集为士V x W 3.2【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键.(2/7 7 +1、加+1tn+-+的值.m)m【答案】3【解析】【分析】先对分式通分、因式分解、化简，化成最简分式，后变形已知条件，整体代入求值.【详解】解：(2 z +l 1 m+1 2 +-卜 丁I m J mm2+2m 4-1 m2=-x-m m+l_(m +1)2 m2m m+=7 7 7 (m+1)2.-m+m，*/m2 4-m-3 =0，2 c/.n r +m=3，原式=3，代数式的值为3.【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用完全平

18、方公式，通分，约分等技巧化简是解题的关键，整体代入求值是解题的灵魂.2 0.已知：如图，点 M为锐角/APB的边布上一点.求作：A AM D,使得点。在 边 上，且N AMQ=2/尸.作法：以点M为圆心，MP长为半径画圆，交附于另一点C,交 P B 于点。点;作射线MD.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：P、C、。都在上，N P为弧CD所对的圆周角，N CM D为弧CD所对的圆心角，：.Z P=Z CM D（）（填推理依据）.N A M D=2 N P.【答案】（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.【解

19、析】【分析】（1）由题意根据题干中要求的作法进行作图即可补全图形；（2）由题意根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明.【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，（2）证明：尸、C、都在。加上，NP为弧8 所对的圆周角，ZCM D为弧8 所对的圆心角，：.Z P=Z C M D（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），N A MD=2NP.故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理.21.如 图，一 个单向隧道

20、的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到 地 面 的 距 离 为4米，两 侧 墙 高 均 为3米，距 左 侧 墙 壁1米 和3米时，隧 道 高 度 均 为3.7 5米.设 距 左 侧 墙壁 水 平 距 离 为x米的地点,请解决以下问题:(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接;(2)请结合所画图象，写 出 抛 物 线 对 称 轴;(3)今有 宽 为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时.，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判

21、断该卡车能否通过隧道.【答 案】(1)见解析(2)直 线4 2(3)不能通过隧道【解 析】【分 析】(1)由题意描出点A(0,3)、8(1,3.7 5)、C(4,3)及 点0(3,3.7 5),用光滑的曲线连接起来即可得到所画的曲线;【小 问1详 解】由图象知，抛物线的对称轴为直线m2【小 问3详解】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c把A、B、C三点的坐标代入得：c=3a+h+c-3.1516。+48+c=3解得：1a=4b=lc=3故函数解析式为y=1丁+x+34当x=2 ，x2.4=0.8时，y=-lx O.82+O.8+3=3.642 4V3.64-3.2=0.440.6，卡车不能通

22、过隧道【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答.22.如图，在平行四边形ABCO中，过 点B作BE，CD交CD的延长线于点E,过 点C作C/交AB的延长线于点F.(1)求证：四边形8尸CE是矩形;(2)连接 A C,若 A B=B E=2,t a n Z F B C =-,求 A C 的长2【答案】(1)见解析(2)2屈【解析】【分析】(1)先证明四边形B F CE是平行四边形，再根据N E =9 0 0即可求证；(2)利用矩形的性质得到b =B E =2,根据t a n N

23、E B C：*1得到B F =4,根据勾股定理求解即可.2【小 问1详解】证明：.四边形A 8 C Q 平行四边形,A B/C D,:C F/EB,四边形B F C E是平行四边形:B E 工 C D：.N E =9 0.四边形3尸C E是矩形.【小问2详解】解：.四边形B F C E是矩形N尸=9 0,C F =E B,/A B=B E =2,：.C F =2,t a n Z.F B C =,2B F =A，:.A F -6，在R t A E C中，Z F =9 0 ,A C =ylA F2+C F2=2yW-【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角函数的定义，

24、解题的关键是熟练掌握相关基础知识.2 3.如 图1,一次函数产丘+4攵(原0)的图象与x轴交于点A,与y轴交于点8,且经过点C(2,m).9(1)当m=一时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；2(2)当Q-1时，对于x的每一个值，函 数 尸 的值大于一次函数产丘+4 Z (厚0)的值，求左的取值范围.3【答案】(1)一次函数表达式为y =：x +3,点A的坐标为(-4,0)4 k JPM2+MB2=3V10【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键.25.为庆祝中国共产党建党10 0 周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的

25、优良传统，某中学开展了建党10 0 周年知识测试.该校七、八年级各有3 0 0 名学生参加，从中各随机抽取了 5 0 名学生的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a.八年级的频数分布直方图如下(数据分为5 组：5 0 r 6 0 ,6 0 x 7 0,7 0 4 8 0,8 0 x 9 0,9 0 x 10 0)；儿八年级学生成绩在8 0 sx 9 0 的这一组是：8 0 8 1 8 2 8 3 8 3 8 3.5 8 3.5 8 4 8 4 8 5 8 6 8 6.5 8 7 8 8 8 9 8 9c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：年级平

26、均数中位数众数七年级8 7.28 59 1八年级8 5.3m9 0根据以上信息，回答下列问题：(1)表中根的值为;(2)在随机抽样的学生中，建党知识成绩为8 4 分的学生，在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _年级抽样学生中排名更靠前，理由是;(3)若成绩8 5分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数.【答案】(1)8 3 (2)A，该学生的成绩大于八年级样本数据的中位数8 3,在八年级成绩中排名2 1 名;该学生成绩小于七年级样本数据的中位数，在七年级排名在后2 5名(3)1 2 0 人【解析】【分析】(1)根据八年级共有50 名学生，第 2 5,2 6 名学生的成绩为8 3 分

27、，8 3 分，即可求出，的值；(2)根据八年级的中位数是8 3 分，七年级的中位数是8 5分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；(3)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数.【小 问 1 详解】解：八年级共有50 名学生，第 2 5,2 6 名学生的成绩为8 3 分，8 3 分,故答案为：8 3；【小问2详解】解：在八年级排名更靠前，理由如下：.八年级的中位数是8 3 分，七年级的中位数是8 5分，根据已知条件，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名2 1 名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后2 5名

28、，.在八年级排名更靠前.故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名2 1 名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后2 5名.【小问3详解】解：八年级50 名随机抽样的学生中，成绩8 5分及以上有2 0 人，八年级共有3 0 0 人，3 0 0 x =1 2 0 (人)，50.估计八年级达到优秀的人数为1 2 0 人.【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键.2 6.已知二次函数广/+灰+c (b,c 为常数)的图象经过点A (1,0)与点C(0,-3),其顶点为尸.$(1)

29、求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当相时，y的取值范围是今日2/%求能的值.【答案】(1)y=x2+2 x-3,顶点P的坐标为-6【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法求二次函数得出答案；3 3（2）分-2,，/3（舍去）,/=3当一万轰近一1时，y最 大 值=（，+1）2+2（机+1）-3,由（机 +lf+2（m +3=2 m,解得：加=0 （舍去），m =-2（舍去），综上：用的值为-百.【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出山的取值范围.27.己知：等边AABC,过点8 作 A C 的平行线/.点尸为射线A 8 上一个动

30、点（不与点4 8 重合），将射线 P C 绕点P 顺时针旋转60。交直线/于点D.AA图1备用图(1)如 图1,点尸在线段A B上时，依题意补全图形；求证：N B D P=N P C B；用等式表示线段8 C,BD,B P之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段A B的延长线上，直接写出线段B C,BD,8 P之间的数量关系.【答案】(1)见解析；B C=B D+B P,证明见解析(2)BC=BD-BP【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出NDPE=NCPE=60。,进而可得结论；在B C上取一点。使得B Q=B P,证明A P a Q是

31、等边三角形，再证明A P B O丝 P Q C,即可得到BC=BD+BP；(2)在B Q上取一点E使得证明P B E是等边三角形，再证明ACBP咨AO E P,即可得到BC=BD-BP.【小 问1详解】补全图形如图所示，AED证明：设P。交BC于点E,A B C是等边三角形,Z.ZBAC=ZABC=ZACB=60,:将射线PC绕点、尸顺时针旋转6 0 ,Z.ZDPC=60,：l/AC,：.NDBE=NACB=60,：.NDBE=NCPE=60,NBED=NPEC,:.NBDP=NPCB；解：BC=BD+BP,理由如下:在8c上取一点Q使得BQ=BP,连接PQ,.P 8 Q是等边三角形,：PB=

32、PQ,PQ=60。，/BPD=/CPQ,又,：4BDP=/PCB,:Z B D 2 P Q C,：.BD=QC9；BC=BQ+QC,：.BC=BD+BP；【小问2详解】解：BC=BD-BP,理由如下：在BD上取一点E使得BE=BP,连接PE,V ZABC=ZACB=60f l/ACf：.NQBC=NACB=60。，Z PBD=80-Z DBC-NA CB=60,P5E是等边三角形，:.PB=PE,/BEP=NBPE=600,：.Z CBP=ZDEP=180-60=120,ZBPC+Z CPE=ZEPD+Z CPE=60,:/CBP=NDEP,NBPC=/EPD,:CBP2DEP,：.BC=DE

33、,:BD=BE+ED,：BC=BD-BP.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键.28.如 图 1,。/与直线a 相离，过圆心/作直线a的垂线，垂足为H,且交。/于 尸，。两 点（。在 P,H之间）.我 们 把 点 P称为O/关于直线的“远点”，把 P Q-P H 的值称为。/关于直线。的“特征数”.（1）如图2,在平面直角坐标系x O y中，点 E 的坐标为（0,4）,半径为1 的。与两坐标轴交于点A,B,C,D.过点E 作垂直于y 轴的直线，.则。关于直线机的“远点”是点（填“A”，“B”，C”

34、或 D”）,。关于直线机的“特征数”为；若直线的函数表达式为y=gx+4,求。关于直线的“特征数”；（2）在平面直角坐标系X。），、中，直线/经过点M（I,4）,点尸是坐标平面内一点，以尸为圆心，也 为半径作。尸.若。尸与直线/相离，点 N （-1,0）是。F关于直线/的“远点”，且。尸关于直线/的“特征数”是6 指，直接写出直线/的函数解析式.【答案】（1）。；1 0；。关于直线的“特征数”为 6；1 29（2）y=XH-或 y=-x +57 7【解析】【分析】（1）根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；过圆心。作直 线 小 垂足为点H,交。于点尸、Q,首先判断直线也经过点E（0

35、,4）,在 R S E O F 中,利用三角函数求出/所 0=6 0。，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF并延长，设直线/的解析式为广区+6,用待定系数法得至叫互相垂直，两个一次函数解析式的系数上互为负倒数的关系可设直线N F 的解析式为）=-1 x+3,用待定系n-4=mk-k数法同理可得m 7 自n=-+%，消去也和 2,得到关于加、的方程组一二一1 m;根据G）户关于一 十 一直 线/的“特征数”是 6 指，得出N A=3 亚，再利用两点之间的距离公式列出方程（加+1）2+2=（3 立，炉一4 I把 k+l 代入，求出无的值，便得到“、的值即点A的坐标，再根

36、据待定系数法求直线/的函4 一2%数表达式.注意有两种情况，不要遗漏.【小 问 1 详解】解：（1）。O关于直线机的“远点”是点。，。关于直线机的“特征数”为DB DE=2义5=10；如下图：过圆心。作。，直线，垂足为点”，交。0于点P、Q,直线”的函数表达式为y=Ji x:+4,当 x=0 时，）=4；当产0 时，产一生8,3.直线经过点E（0,4）,点 F （逑3,0),在 RtEOF 中,FO 4.t a n ZFEO=-=T.E O4.N F EO=3 0 ,ZFO=60,在RAHOF中,：sin ZHFOHOFO:.HO=sin NHFO-F O=2,：.PH=HO+OP=3,：.P

37、Q PH=2X3=6,.。0关于直线的“特征数”为 6；【小问2 详解】如下图，：点 F是圆心，点 N（-1,0）是“远点”，连接N F 并延长，则直线N F L 直线/,设 N/与直线/的交点为点A （，），设直线/解析式为广履+（Z W 0）,将点M（1,4）与A （?，H）代入尸丘+加中，4=k+瓦 n=m k+4 -得：-4=女-攵，又 ,直线N F，直线/,.设直线N/7解析式为）=-上 1+%（Z W 0）,k将点N（-L。）与 A（mf n）代入广一,犬+岳中,ko=-+z?,k 2m.台n=-+Z?2()I m得：二 一-，k k联立方程与方程，得:-4 二 m k -k 1

38、mI k k /一 4 攵 一 1m =-解得：7 I，4-2 kn=k2+又：OF关于直线/的“特征数”是6指，。尸的半径为G，:.NB NA=6 指,即 2 百 NA=6娓,解得：岫=3 及，加-（-1）2+（-0）2=（3 拒）2,即（加+1）2+层=1 8,k2-4k-1m =-.把 4 kK 2 4+-1 1 代入，解得G-1 或七一一1；4 2k当 k=-l 时，m=2,n=3,.点A 的坐标为（2,3）,把点A（2,3）与点M（l,4）代入尸丘+从中，解得直线/的解析式为y =-x +5；,1 2 2 1当 k=-时，m=-,n=,2 2 1 点A 的坐标为（-g，）2 2 1

39、1 2 9把点A （-丁 y ）与点/（1,4）代入广区+加中，解得直线/的解析式为y =,x+亍.1 2 9直线/的解析式为y =-或 y =-x+5.【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理 解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k 互为负倒数的关系是解题的关键.2 8.如 图 1,。/与直线。相离，过圆心/作直线。的垂线，垂足为H,且交。/于 尸，Q两 点（。在 P,H之间）.我 们 把 点 P称为。/关于直线。的“远点”，把 P Q P”的值称

40、为。/关于直线。的“特征数”图1图2(1)如图2,在平面直角坐标系x 0 y 中，点 E的坐标为(0,4),半径为1 的。与两坐标轴交于点A,B,C,D.过点E作垂直于y 轴的直线，则。O关于直线机的“远点”是点(填“A”，“B”，C”或D”),。关于直线机的“特征数”为；若直线的函数表达式为y =J I r +4,求。关于直线”的“特征数”：(2)在平面直角坐标系x Q y、中，直 线/经 过 点 4),点 F是坐标平面内一点，以尸为圆心，白为半径作。巴 若。F与直线/相离，点 N (-1,0)是。F关于直线/的“远点”，且。F关于直线/的“特征数”是6指，直接写出直线/的函数解析式.【答案

41、】(1)。；1 0；。关于直线的“特征数”为 6；1 29(2)y xH-或 y =-x +57 7【解析】【分析】(1)根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；过圆心。作直线，垂足为点”，交。于点P、。，首先判断直线也经过点E (0,4),在 R hEOE中，利用三角函数求出Z E F O=60 ,进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；(2)连接N 尸并延长，设直线/的解析式为尸丘+加，用待定系数法得到 ，不，再根据两条直线n=mk+h 互相垂直，两个一次函数解析式的系数左互为负倒数的关系可设直线N F 的解析式为)=-?X+左,用待定系K数法同理可得0=+/72(4)

42、k,消去也和匕 2,得到关于，小 的方程组，n=-m+47 6kn-4=mk-k1 m；根 据 关 于-n=Ik k直 线/的“特征数”是6灰，得出N A=3 亚，再利用两点之间的距离公式列出方程旧+1)2+2=(3 夜)2,k2-4 k-l把 +1代入，求出&的值，便得到加、”的值即点A 的坐标，再根据待定系数法求直线/的函4-2k数表达式.注意有两种情况，不要遗漏.【小 问 1 详解】解：（1）。关于直线，的“远点”是点。，。关于直线拼的“特征数”为DBDE=2x5=10；如下图：过圆心。作。”，直线，垂足为点”，交。于点P、Q,.直线的函数表达式为y =Jir +4,当 x=0 时,y=

43、4；、匕 n r x _ L 4G当 y=0 时，x=-,3直线经过点E(0,4),点 E(-生 8,0),3在RSEOF中,EO：.ZFEO=30,ZEFO=60,在 Rt.HOF 中,Hos in AHFO=-，FO；.HO=sin NHFO-FO=2,：.PH=HO+OP=3,:PQ PH=2X3=6,。关于直线的“特征数”为 6；【小问2详解】如下图，点F是圆心，点N(1,O)是“远点”，连接N F并延长，则 直 线 直 线/,设N F与直线/的交点为点A(?，),设直线/解析式为产丘+i (kWO),将点M(1,4)与A(w,)代入广奴+仇中，4=k+4 n=mk+4 得：ft4=m

44、k-k,又 ,直 线 /,直 线/,设直线N F解析式为产1工+2 (抬0),k将点N(-1,0)与A(加，几)代入尸-，x+2中,k0=-+b2 Vk 一+k-得：-=I-,k k联立方程与方程，得:-4=mk-k 1 m n=l-I k k4 J二+1解得:4 2kn=z-k2+点A的坐标为E-4 k-1k1+14一2人k2+又；O F 关于直线/的“特征数”是6指，。尸的半径为G，:.NB-NA=6，即 2。NA=6限,解得：岫=3 亚，.际(-1)2+(加0)2=(3 必，即(旭+1)2+2=1 8,k2-4k-1把 K +1代入，解得上-1 或 仁；4-2%7n=-H +1当=-1

45、时，/n=2,n=3f 点A的坐标为(2,3),把点A (2,3)与点”(1,4)代人尸a+加中，解得直线/的解析式为y =-x +5；当 k=-1 时4，m=-2,n=一21,7 5 52 21,二点A的坐标为(一1,w ),2 21 1 29把点A (-,)与点M(l,4)代入产奴+历中，解得直线/的解析式为y =-亍*+亍.直线/的解析式为丁=一一1 x+2,9或 y =-x+5.【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理 解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数左互为负倒数的关系是解题的关键.