山西省太原市2022届高三上学期理数期末考试试卷.pdf

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1、山西省太原市2022届高三上学期理数期末考试试卷阅卷人-、单选题（共12题；共24分）得分31.（2 分）复数l+2i+i 一 （）2-i AA-51-53 l.R B-51+35.l r 1.n 1.C,3-1 D-3+l【答案】B【解析】【解答】再 M=炉=后 喝 摸=上拦。21 21 （2-i）（2+i）5故答案为：B【分析】利用己知条件结合虚数单位i 的运算法则和复数的乘除法运算法则，进而得出复数l+2i+i3_O2-i2.（2 分）已知函数/（x）=产一 3%的定义域为力,集合8=加一1%0,可得定义域A=加久W 0或久2 3,所以4。8=%-1%30或3 式 5 ,故其中整数元素有

2、0,3,4共 3 个。故答案为：C【分析】利用已知条件结合偶次根式函数的定义域求解方法求出集合A,再利用交集的运算法则求出集合A C I 8 中整数的个数。3.（2 分）设a,0 为两个不同的平面，则a llS 的充要条件是（）A.a 内有无数条直线与平行 B.a,0垂直于同一平面C.a,0平行于同一条直线 D.a 内的任何直线都与3平行【答案】D【解析】【解答】A 选项，a 内有无数条直线与0平行，a 与6 可能相交，A 选项错误.B 选项，a,0垂直于同一平面，a与可能相交，B 选项错误.C 选项，a,平行于同一条直线，a与6可能相交，C 选项错误.D 选项，a 内的任何直线都与/?平行，

3、则。0,D 选项正确.故答案为：D【分析】利用线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论，可得答案.4.（2 分）等比数列 an 中，a3=8,a2+a4=2 0,则 即 的通项公式为（）1A.an=2n an 2n 61 1C 斯=2n或271-6 D.an=2n+1 或2n-5【答案】C【解析】【解答】令公比为q,由题设有。2 +。4=号+。3=畀 89=20,所以2q2 一 5q+2=（2q-l）（q 2）=0,解得q=*或q=2,经检验符合题设.1所以须=。3甲-3,可得斯=2或斯=产行。故答案为：C【分析】利用已知条件结合等比数列的性质和一元二

4、次方程求解方法，进而得出公比，再利用等比数列的性质求出等比数列的通项公式。5.（2 分）已知a=4,b=log3e,c=log34 贝 U（）A.b c a B.b a c C.a b c D.a c b【答案】A【解析】【解答】因为函数y=log3%为增函数，贝 卜 4,所以b c,又因为1 e log34,所以b c 0,卬|刍的部分图象如图所示，则函数的表达式是()A.y=2sin(2x+C.y=2sin(2x 5)【答案】A【解析】【解答】结合图像和选项可知Z =2,B.y=sin(2x+看)D.y=sin(2x 5)2 7 r lln n 3 7 i石=立 一 4=32,1 r r/

5、r r/(O)=1 =2 sin(p=1 =sinp=尹=g +2 kn,k G Z或p=-g-+2 kn,k G.Z.v p ,：.k=0,(p=莹,/(x)=2 sin(2 x+故答案为：A.【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最大值求出A,再利用正弦型函数的最小正周期公式得出3的值，再结合五点对应法和代入法求出少 的值，从而求出正弦型函数的解析式。8.（2 分）已知向量优b,2满足闷=|山=M +山=2,|江+3-司=1，则忙|的最大值为（）A.I B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【解答】|五+B 冽2=（五+石：4-c2 2（a +6）-c =1 得4 4-|c|2-2 X 2

6、 x|c|c o s0 =1,Co s0 =叱1,引c|_ 2因为|c o sO|W l,所以 可 需 W1，即2 一4同+3 W0，解得：1 W M I W 3,所以同的最大值为3。故答案为：C【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，再结合余弦函数的图象求值域的方法，再结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出的最大值。9.（2 分）某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是上底为2,下底为4,底角为韵勺等腰梯形，则该几何体的体积为（）B.28 73C.2 0启D 5 6【答案】B【解析】【解答】根据三视图可知该几何体是一个正四棱台,棱台的体积公式为V=/h（S i+S

7、 2+店 a），其中h 为棱台的高，S i、S 2为上底和下底面积,S =4,52=1 6,h=1 x tan=V3,.,.V=g x V3 x （4+1 6+x+1B.f(x)=sinx+|c o sx|的最小正周期为兀C.3x G R,x2+2 x+广+1|0 =x 0 /(%)x 所 以 在(8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.所以f(x)2 f(0)=0,所以/1(x)=e*-x -1 2 0,故Vx e R,ex%+1，A 不正确；对 B,/(%)=|si n x|+|c o sx|=7(|st n x|4-|c o sx|)2=yjl+|si n 2x|,所以其最小正周期

8、7=%,B 不正确；对 C,令%=-/一 2x,y2-e lx+1 1,可知为=-/-2%W 1 (当 =-1 时等号成立)，y2=e l x+i|1 (当X =-1 时等号成立).所以y 2 2 y l 恒成立，即e l x+2 久 2一2%恒成立，即X 2+2x +e W+i l 2 0 恒成立，C 不正确；对D,函数3/=与7=二互为反函数，根据对称性，只需要求、=靖上的点到直线y =x 的最小距离，设 丁 =靖上任意一点(,ex),则(x,短)到直线y =x 的距离d =写 科=但 源，VN V Z令/i(x)=ex-x,则/(久)=ex-1 八(%)0=%0，h(x)x 所以八(x)

9、在(8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.所以h(x)/i(0)=1,所以(,短)到直线y =x 的 最 小 距 离 为 因 此 4 B 两点距离的最小值为磊=/，D符合题意.V ZV Z故答案为：D【分析】令/(%)=靖-工-1,利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值再利用不等式恒成立问题求解方法得出V x e R,ez x +1；利用/(%)=sinx+|c osx|=J l+|si n2 x|结合正弦型函数的最小正周期个数得出函数f(x)的最小正周期；令为=-x2-2 x,y2=e l x+1 再结合二次函数的图象求最值的方法和指数函数的单调性求最值的方法，所以y 2

10、 2 y l 恒成立，即N+2 x +e l x+i l 2 0恒成立；利用函数丁=%与、=短互为反函数，根据反函数图象的对称性，只需要求丁=靖上的点到直线y =x 的最小距离，设 旷 上 任 意 一 点 Q,ex)，再利用点到直线的距离个数得出(%,1)到直线y =x的距离d 工 令 人(%)=峭-%,再利用求导的方法判断函数的单调性，进v 2而求出函数的最值，从而得出点(x,e X)到直线y =x的最小距离，从而得出4 8两点距离的最小值，进而找出真命题的选项。阅卷人二、填空题(共4题；共4分)得分1 3.(1分)(1+%)(1-2%)5展开式中 3的系数为.【答案】-40【解析】【解答】

11、(1 +x)(l -2 x)5=(1 -2 x)5+%(1 _ 2 x)5,其中(1 -2 x)5中含炉的系数是底.1 2 .(2)3=-8 0.%(1 -2 x)5中含%3的系数，即(1 _ 2 x)5中含%2的系数，即正好.(-2)2 =40，所以(1 4-x)(l -2 x)5中含%3的系数是一8 0+40=-4 0 o故答案为：-40。【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合求和法，进而得出(1 +%)(1 -2 x)5中含炉的系数。1 4.(1 分)已知a为锐角，si n(金)=|,则c os(a +9=.【答案】余【解析】【解答】o a.=-金0

12、，0 0)恰好有三个不同的零点 i，x2X3，则+%2+%3 的值为-【答案】6【解析】【解答】/(2)=asin(-J)-|+8-6+|=0.不妨设=2,令Z i(x)=可/+2 x*1 2 3 久 +可 贝(J h(4 x)+h(x)=(4 x)3+2(4 x)2 3(4 x)+可一三、解答题（共7题；共7 0分）c 分别是A A B C 内角4,B,C 的对边，a=2,且c?=廿 一2b +4.（1）（5 分）求角C；（2）（5 分）若A=45,求边b.【答案】（1）解：由余弦定理得 2=a2+b2 2 abcosC=b2 2 b+4 6.635,则2=1 2+2 22+3 23+n 2

13、71,两式相减，整理得7=(n-l)-2n+l,所以 Sn=(n-1)2+2 学+2【解析】【分析】(1)利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，从而证出数列 拳-1 是首项为1,公比为2 的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列 a 的通项公式。(2)利用已知条件结合错位相减的方法得出数列 a4 的前n项和。19.(10分)2022年 2 月4 日，第 24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了 11()名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下:喜欢不喜欢男生5010女生30202附：心中旗黯而E其中心=a+b+c+

14、d.P(K2 ko)0.0250.010.005ko5.0246.6357.879所以有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关.（2）解：根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人.由题意知，X的可能取值有0,1,2,3.P（X=O）=4cl10 C5C3范 ）量5360C5C3 15 Cl 1p（X=2）=子落 P（X=3）筋.c8 b8X的分布列是:X0123P105630561556156所以 E（X）=0 x 1|+l x|+2 x|+3 x系=春【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出有99%的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关。（2

15、）根据分层抽样方法得出选取的8人中，男生有5人，女生有3人，由题意知随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望的公式，进而得出随机变量X的数学期望。20.（10分）如图，已知四棱锥P 4BCD中，CDJ_平面尸A。，?!）为等边三角形，A B|CD,2 A B=CD,M是PC的中点.（1）（5分）求证：BMJ 平面PCD；（2）（5分）若4 B=4 D =2,求平面PAB与平面BDM所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明：取PD的中点N,连接4N,M N,则MND C,且Mx又因为4 B/）C,A B=CD,所以 MN/

16、BA 且 M N =BA,所以四边形A 8 M N 是平行四边形，A N/BM,因为P AD 为等边三角形，N 为P D 中点,所以4 N J.P D,又 C D 1 平面 P A D,所以C O 1 A N,又CD CP D =D所以AN _ L 平面P C。，由4 N B M 得_ L 平面P C D.(2)解：取力。中点。，以0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.可得4(1,0,0),8(1,2,0),D(-l,0,0),P(0,0,V 3),M(-1,2,空)所以而=(1,0,-V 3),A B=(0,2,0),DB=(2,2,0),D M =(1,2,字),设记=（%i，Z

17、i）是平面P 4 8 的一个法向量,由 卜 晶=得|2 为=，(笆冏=0,b i -V 5 z i =0,所以可取诃=（遮，0,1）,设布=（必，y2 Z 2）是平面B O M 的一个法向量，Am DB=0,/J 2 x2+2 y2=0,由,得 1 /O.m,=，（尹 2 +2 y 2 +2zi=，可取隹=（1,-1,V 3）,则c os（机，编=而 后=可 故平面P A B 与平面BDM所成锐二面角的余弦值为孚.【解析】【分析】（1）取 P D 的中点N,连接A N,M N,再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，贝 ijM ND C,且M N =a D C,再利用A B D C,A B =

18、结合平行和相等的传递性得出MN BA 且M N =B A,所以四边形A B M N 是平行四边形，所以A N B M,再利用三角形P A。为等边三角形，N 为 尸。中点结合等边三角形三线合一，所以力N 1PD,再利用C D 1 平面P A D 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以C D J.4 N,再利用线线垂直证出线面垂直，所以4 N_ L平面P C D,由4 N B M 证出直线B M _ L平面P C D。(2)取4。中点0,以0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式结合已知条件得出平面P 4 B 与平面B D

19、M 所成锐二面角的余弦值。12 1.(1 0 分)已知函数/(x)=xexr+2 3 2 x2.(1)(5 分)求函数/(x)的单调区间；(2)(5 分)若x 0,g(x)2 a f(久)恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)解：/(x)=l-2 x =i(x0)令/(%)0，则 尤 C(0,孝)；令/(x)a/(x)在x e (0,+8)恒成立，1一即x e*T +-2 x a(lnx /)在 e (0,+8)恒成立，即e T +2%2 a(竽%)在 e (0,+8)恒成立，令八(久)=ex-1+；/_ 2 x,(%)=ex-1+x 2,h(x)=ex-1+1 0,y =(%)在(O,

20、+8)上单调递增且h(i)=0，(%)/i(x)0 时，%G (1,+8),y =/i(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，y-/l(x)在X -1 处取得最小值，即 h(x)min=h(l)=-1)令 (P(x)=x.-.(p(x)=-分-，令(%)=1 仇 一土 一 2%V 0,.丫 =1(%)在(。，+8)单调递减,因为 t(l)=0,当0ct 1时，0；当tl时，(p(x)%?(尤)在x G (0,+8)恒成立，则a 称 得 ma x，只需考 虑 黑 0，因为W(X)0,则力(%)0,当久=1时，|/l(X)l ma x =/l min=1火1)1 =1，所以/!(%

21、)_ h(x)|/l(X)|(1)1 _ 1 物 1【解析】【分析】(1)利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数f(x)的单调区间。(2)利用 g(x)2 a/X%)在x e (0,+8)恒成立，即e*T+4 X 2 2%2 a(苧%)在X e (0,+oo)恒成立，令九(无)=靖-1 +2 -2%,再利用两次求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，令少(久)=竽-%,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，要使九(x)2 a S。)在 C (0,+8)恒成立，则a 2 黯ma x，再利用不等式恒成立问题求解方法，即而得出实数a的取值范围。2 2.(

22、1 0分)在直角坐标系久O y中，直线1的参数方程为 久=h 跖(t为参数).以坐标原点为极(y =1 +tsina点，以 工 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为p c os 2。=4 s)仇(1)(5分)求曲线C的普通方程；1 1(2)(5分)已知直线 与曲线C交于4,B两点，M(0,1)，求证：两+p(画 为 定值.【答案】(1)解：由已知p c os 2。=4 s in。两边同乘p得p 2 c os 2。=4 p s in。，由(：=七 既 得曲线的普通方程为d=4 y(y =p s int/J(2)证明：设交点4 B两点对应的参数分别为G，以，将（x =tcosa4寸

23、 y =1+t s i n a（t为参数）代入%2 =4y得12 c o s 2 a 4s i n a t 4=0,由韦达定理得 +以=挈，e,i I=/（1+七）2-4“亡2 =l b s i M a +66 _ 4c o s 4a c o s 2 a c o s 2 a4c o s2a，1 I 1 _ 1 I 1 _ iGl+lbl _ !,一 勿1 _ cos2a _ 1 两十两一屈十向一|五51 _ 忑 _ 手一】cos2a故 向 i+而 i为定值L【解析】【分析】(1)利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法和极坐标与普通方程的转化公式，进而得出曲线C 的普通方程。(2)利用直线

24、与曲线相交，联立二者方程求出交点A,B 的坐标，再利用已知条件结合两点求距离公式，进而证出 向 J+扁 为 定 值。23.(10 分)已知函数/(x)=|x-1|+|x+2 x,g(x)=x-a|(a G R).(1)(5 分)求不等式/(x)W 6的解集；(2)(5 分)若存在x e R使f(x)g(x)成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)解：由/(%)6得f xW-2 或(-2%l即 靠27或 三方或腹，解得：4 工4 5,7./(x)6的解集为%|-可工工工5.-3x 1,x 23-%,-2 x 1画出/(%)和g(x)的图象如下图所示,通过平移g(x)的图象可知：要使“存在x e

25、 R使/(%)g(x)成立”，需满足a 3.【解析】【分析】(1)利用已知条件结合零点分段法，进而得出不等式/(%)6的解集。(2)利用已知条件结合绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，通过平移g(x)的图象结合“存在x e R 使/Xx)Wg(x)成立，进而得出实数a 的取值范围。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：98分分值分布客观题（占比）26.0(26.5%)主观题（占比）72.0(73.5%)题量分布客观题（占比）14(60.9%)主观题（占比）9(39.1%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题4(17.4%)4.0

26、(4.1%)解答题7(30.4%)70.0(71.4%)单选题12(52.2%)24.0(24.5%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(56.5%)2容易(17.4%)3困难(26.1%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1函数的周期性2.0(2.0%)112二项式定理的应用1.0(1.0%)133复数代数形式的混合运算2.0(2.0%)14利用导数求闭区间上函数的最值12.0(12.2%)12,215等比数列的通项公式12.0(12.2%)4,186古典概型及其概率计算公式2.0(2.0%)67两点间的距离公式10.0(10.2%)228图形的对称性3.0

27、(3.1%)11,169平面与平面平行的性质2.0(2.0%)310同角三角函数间的基本关系1.0(1.0%)1411数列的求和10.0(10.2%)1812正弦定理10.0(10.2%)1713点的极坐标和直角坐标的互化10.0(10.2%)2214两角和与差的余弦公式1.0(1.0%)1415由三视图求面积、体积2.0(2.0%)916点到直线的距离公式2.0(2.0%)1217存在量词命题2.0(2.0%)1218数列的概念及简单表示法10.0(10.2%)1819分段函数的解析式求法及其图象的10.0(10.2%)23作法20三角函数的周期性及其求法2.0(2.0%)1221余弦定理1

28、0.0(10.2%)1722直线与平面平行的判定2.0(2.0%)323平面向量数量积的含义与物理意义2.0(2.0%)824函数的零点1.0(1.0%)1625离散型随机变量及其分布列10.0(10.2%)1926函数恒成立问题12.0(12.2%)12,2127平面与平面平行的判定2.0(2.0%)328函数奇偶性的性质2.0(2.0%)1129等比数列的性质2.0(2.0%)430分类加法计数原理2.0(2.0%)631绝对值不等式的解法10.0(10.2%)2332直线与平面垂直的判定10.0(10.2%)2033组合及组合数公式2.0(2.0%)634独立性检验的应用10.0(10.

29、2%)1935基本不等式在最值问题中的应用2.0(2.0%)1036直线与平面平行的性质2.0(2.0%)337对数函数的单调性与特殊点2.0(2.0%)538利用导数研究函数的单调性12.0(12.2%)12,2139交集及其运算2.0(2.0%)240由y二A sin（3x+（p）的部分图象确定其解析式2.0(2.0%)741平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.0(2.0%)842参数方程化成普通方程10.0(10.2%)2243球的体积和表面积1.0(1.0%)1544用空间向量求平面间的夹角10.0(10.2%)2045函数的定义域及其求法2.0(2.0%)246等比数列10.0(10.2%)1847离散型随机变量的期望与方差10.0(10.2%)19