备战2023年上海高考黄金30题系列之数学选择题压轴题专题4 解析几何（含详解）.pdf

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1、专题4 解析几何1.（2022上海高二专题练习）已知圆 G：（x-2）-+（y-3厂=1 ,圆 C?:（x 3）-+（y 4）=9,M,N分别是圆G C上的动点，尸为x轴上的动点，则以|PM|+|PN|的最小值为（）A.5夜-4 B.V17-1 C.6-2 0 D./172.（2022上海市嘉定区第二中学高三开学考试）设4、8为圆V +y 2=上的两动点，且回AOB=1203 P为直线/：3苫-4丫-15=0上一动点，贝山两+方|的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.62 23.（2022上海高三专题练习）已知点P为双曲线-=力0）右支上一点，点”，工分别为双曲线的左右焦点，点/是 的 内

2、 心（三角形内切圆的圆心），若恒有SNPF、-S 哂=等 电，则双曲线的渐近线方程是（）A.y=士x B.y=x2C.y=y/3x D.y=-x32 24.（2022上海高三专题练习）已知6、B分别是双曲线：三-斗=1（0,6 0）的左、a h右焦点，且I耳6 1=2,若尸是该双曲线右支上一点，且满足1口；1=2|至则 耳 巴 面 积 的最大值是（）45A.1 B.-C.-D.23 35.（2022上海高三专题练习）已知实数x、y满 足/+（卜 一2）2 =1,。=黑 丝 的 取 值 范yx2+围 是（）A.（石,2 B.1,2 C.（0,2 D.ly-,12 26.（2022上海高三专题练习

3、）椭圆上+上=1上有10个不同的点,多,%,若点T坐标16 8为（1,0）,数列|有|（=1,2-,10）是公差为 的等差数列，则d的最大值为（）5+5-8-92A9-BCD7.（2022上海高三专题练习）若动点A、8分别在直线：x+y-7 =0和/z：x+y-5 =0上移动，则A 8的中点用到原点距离的最小值为（)a 5&2A.2上C.3-/2D.逑28.（2022上海高三专题练习）若A（sine,cos。），B（cose,sin。）到直线xcos。+ysin 9+/?=（）（，n B.m n D.fno）的右顶点为庆，而3,C是双曲线右支上的两点，若 是 等 边 三 角 形，则实数。的取值

4、范围是A.0a 43 C.0a311.（2022上海高三专题练习）已 知 尸2是双曲线W-!=l的焦点，尸。是过焦点耳的16 9弦，且 尸。的倾斜角为60为那么|尸玛|+|。段-IP Q I的值为A.16 B.12 C.8 D.随a变化而变化12.（2022上海高三专题练习）已知F为抛物线y?=4 x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当 丽+而+京=。时，则存在横坐标x 2的点A、B、C有（）A.0个 B.2个 C.有限个，但多于2个 D.无限多个r2 V213.（2022上海高三专题练习）设片，乃是椭圆一+乙=1的两焦点，A与B是该椭圆的右9 4顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，。是坐标

5、原点，记5=2而2-耳后.后方.在动点尸在第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到8的过程中，的大小变化情况为（）A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大14.（2022上海高三专题练习）设P为 双 曲 线=-y 2=i（o）的上一点，/片月鸟=a 3（斗 鸟为左、右焦点），则 的 面 积 等 于（）A 底 2 Q 8 2 百 nA.73cl B a C D.-33315.（2022上海,高三专题练习）设点M、N均在双曲线C:-=l上运动，、心是双4 3曲线C的左、右焦点，则|砒+近 一2丽|的最小值为（）A.2#B.4 C.2币 D.以上都不对2 216.（2 0 2 2上海

6、高三专题练习）椭圆C：二+2=1的左右顶点分别为4，4，点P在C上4 3且直线P 4斜率的取值范围是1-2,7,那么直线尸 从 斜率的取值范围是rA.弓 1 ,3/,B,r3 3,C,r-1 ,1-D,r-3,1一17.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知e R,H 0,函数x）=?+仇R）.若,f（s T）,f（s）J（s+。成等比数列，则平面上点（s j）的轨迹是（）A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线18.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知抛物线2=2 px（p 0）,尸为其焦点，/为其准线，过户任作一条直线交抛物线于A B两点，A、B 分别为A 8在/

7、上的射影，M为4 8 的中点，给出下列命题:4尸,3/;A M，3”;A F/3A/;A午 与A M的交点在 轴上;A 9与4 8交于原点.其中真命题的个数为（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个19.（2 0 2 2上海高三专题练习）设AA“B“C“的三边长分别为a“也,%,”,纥C”的面积为5.，=1,2,3.若4，4+4=2%,an+l=a,鼠 产 苦 ,爱，则A.为递减数列B.S,为递增数列C.%-为递增数列，版2“为递减数列D.S 2 T 为递减数列，假2“为递增数列2 0.（2 0 2 2上海高三专题练习）如图，在正方体A B C D-A A G A中，E是A 4的中点，尸为底

8、面A B C D内一动点，设PR,PE与底面A B C D所成的角分别为3 2（4,2均不为。）.若4=2,则动点P的轨迹为A.直线的一部分C.椭圆的一部分B.圆的一部分D.抛物线的一部分2 1.（2 0 2 2上海高三专题练习）在平面直角坐标系火力中，已知两圆:丁 +;/=12和G：/+y 2=1 4,又点A坐标为（3,-l）,M、N是G上的动点，。为G上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个2 2.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知异面直线。、成60。角，其公垂线段为EF,EF=2,长为4的线段4?的两端点分别在直线。、b上运动，则4 3中点

9、的轨迹为A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.以上都不是2 3.（2 0 2 2上海高三专题练习）若对于任意角6,都有xcos9 +（y-2）sin0 =l,则直线/：8 5。+（y-2）0 11，=1围成的正多边形的最小面积是（）A.2下 B.4 C.36 D.不确定2 4.（2 0 2 2上海高三专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点y/）,Q（&,”）,则d（P,。）=|x/-X2|+|y/-”|叫做P、。两点的“垂直距离 ，己知点yo）是直线以+y+c=0外一定点，点N是直线a x+8y+c=0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（）瓯+妤o+d 闷+双）+dA，加 奴（

10、同胴）B I 电+/%+c|r.,c.印M D-I以仆力泗I2 5.（2 0 2 2上海市实验学校高三阶段练习）如图，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Genninaldandelin（17 9 4-1847 ）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E,F,在截口曲线上任取一点A,过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C 8,由球和圆的几何性质，可以知道，A E=A C,A F =A B，于是AE+AF=A 8+4C =8C.由5,C的产生方法可知，它们

11、之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E F为焦点的椭圆.如图，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P,则球在桌面上的投影是椭圆，己知A 4是椭圆的长轴，PA垂直于桌面且与球相切，班=5,则椭圆的焦距为（）A.4 B.6 C.8 D.122 6.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知点A（l,l）,8（5,5）,直线乙：x=0和:3x+2 y-2=0 ,若点片、鸟分别是乙、人上与A、B两点距离的平方和最小的点，则|匾|等 于（）A.1 B.2 C.晒 D.-12 7.（2 0 2 2上海高三专题练习）在正四面体A-3 C D中，点P为&9 CD所在平面上的动点，若AP与

12、A 8所 成 角 为 定 值 则 动 点 尸 的 轨 迹 是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线2 8.（2 0 2 2上海高三专题练习）关于x的实系数方程x2-4 x+5=0和J +2 ir+?=0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（）A.5 B.-1 C.（0,1）D.（O,1）U-12 9.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知耳，用为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且 闺 用=4,，则 而.凡 的 取 值 范 围 为（）A.1冬0）B.C-.-H 30.（2 0 2 2上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知抛物线E：V=2x的焦点为尸，A

13、、B、C为抛物线E上三点，当 丽+丽+方=6时，称 为 特 别 三 角 形 ，则 特别三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个专题4 解析几何1.（2022,上海高三专题练习）已知圆 G：（X-2）-+（y-3）2=1 ,圆：（X-3）2+（y 4尸=9,M,N分别是圆G C上的动点，P为x轴上的动点，则以归M|+|PN|的最小值为（）A.572-4 B.V17-1 C.6-2/2 D.717【答案】A【解析】【分析】求出圆G关于x轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径，然后求解圆A与圆C?的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出12例1 +1尸N|的最小值.【详解】圆G关于x轴的对称圆的圆心坐标

14、A（2,-3）,半径为1,圆G的圆心坐标为（3,4）,半径为3,易知，当P,M,N三点共线时，|PM|+|P N|取得最小值，1PMi+1 PN|的最小值为圆A与圆G的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC21-3-1=/（3-2）2+（-3-4）2-4 =5/2-4.故选：A.2.（2022上海市嘉定区第二中学高三开学考试）设4、8为圆x2+y 2=上的两动点，且财08=120。，P为直线/：3 x-4），-15=0上一动点，则|丙+方|的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】取A B中点C,求出C点轨迹方程，PA+PB=2PC，转化求C点到直线/上点的距离的最小

15、值，由此计算可得.【详解】设C是A B中点，因为NO3=120。，所以|0 1 =|0邓亩30。=；,即C在以原点为圆心，g为半径的圆上，PA+PB=PC+CA+PC+CB=2PC PA+PB=2PC,.|0 0 15|i 5 _ _ 5又 才所以俨比-=3-5 =5 所以1%+PBI1nL2 x =5.故选：C.【点 睛】关键点点睛：本题考查圆上两动点A B与直线上动点尸间的“距离”的最小值问题，解题关键是 取A 3中 点C,把 刀+而 用 定 表 示，这 样A B两动点转化为一个动点C,求 得C点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可.3.（2 0 2 2上海高三专题练习）已 知 点?为 双

16、 曲 线5 营=1（“0/0）右支上一点，点6，工分别为双曲线的左右焦点，点/是 P KK的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有s m-s 牝=生 巧 一 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是（）A.y=xB.y=xD.y=土 马C.y=土布x【答 案】D【解 析】根据三角形的面积关系寻求a，c等量关系，再推导出4,关系即可.【详 解】：S&PF、-SAF2=与SF岛，且/是APK用 的 内心,设内切圆的半径为r,则;归 用 一:|P/|/=x；x2 cx r,用-飓二辰,即2。=病,即”且,cr cr 3 a 3渐近线方程是y =土包x.故选：D.【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结

17、合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2 24.（2 0 2 2 上海高三专题练习）己 知、B分别是双曲线E：-4=1（。0,匕 0）的左、a b右焦点，且I 耳6 1=2,若尸是该双曲线右支上一点，且满足1 尸 6 1=2|所|,则 AP 6鸟面积的最大值是（）4 5A.1 B.-C 一 D.23 3【答案】B【解析】设|以=初，|=,N F f =。，由双曲线定义得=勿，根据2 a 2 c 。=1-“得2 ,根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于 2 的函数，根据二次函

18、数知识可求得结果.【详解】设|P耳|=加，|P F21=n,公 产 2=9,由题意得 2 =2，c=由双曲线定义得z-=2。，回 =2 ，所以2 a N c-a =l 。，所以所以 z|,所以4-_ 4 c 2 5 九 2 4由余弦定理得c o s e=,2mn 4nSN F岛-2 f ms1 皿-“卜（4/j 2）2=-J-9/+40 n2-1 6=-J-9（n2-）2+,44 V 9 97 0 A A当2=三 时，?耳心面积的最大值是:，故选：B.【点睛】关键点点睛：根据余弦定理和三角形面积公式得到面积关于“1,2 的函数是解题关键.泮的取值范5.(2022上海高三专 题 练 习)已 知

19、实 数x、y满 足Y+(y 2)=1,3=围 是()A.(V3,2B.U c.(0,2【答 案】B【解 析】设P(x,y)为 圆x2+(y-2)2=1上的任意一点，将0 =云答转 化 为 点p到直线X+=0的 距 离 和 点P到 原 点 的 距离比值的2倍，利用数形结合法求解.【详 解】如图所示:则 点P到 直 线x+=0的 距 离 为P M =x+心点P到原点的距离为PO=”2所 以0 =孚9 =町25皿/尸。闻,P O设 圆f+(y-2)2=1与 直 线y=fcr相切,解得 k=5/3，所 以NP。河 的 最 小值为3(T,最大值为9 0，所 以L 4 sin 2POM 12所以 1 2

20、sin APOi),B(c o s 0,s i n，)到直线x c o s +y s i n 6+p =0(p n B.m n D.m n【答案】A【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案.【详解】|s i n c o s 0 +c o s 0 s i n 0+p,|c o s2 6,+s i n2 0 +p|1V c o s20 +s i n2 J c o s 2 e +s i M /s i n 2 0 1,故加 N .故选：A.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，同角三角函数关系，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.(2 0 2 2上海

21、高三专题练习)已知点。(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|%|-P B=2,且P为函数片3 4-丁 图像上的点,则|。|=()A.B.她 c.77 D.Vio2 5【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y=3/的图象上，即可求出点尸的坐标，得到|0 P|的值.【详解】因为|P A|-|P 8|=2 0）,而点P还在函数y=367的图象上，所以，y=3yl4-x2 x=半 r-由 ,丫2 ,解得 2 即|。刊=X2-2_=I（XO）、=地 1 1 V4 431 7-故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，

22、意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.10.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知双曲线/-3 2=（。0）的右顶点为人，而5,C是双曲线右支上的两点，若AA8C是等边三角形，则实数”的取值范围是A.0。上 C.0 3【答案】D【解析】先求出A点坐标，根据双曲线的对称性，判断直线5 c垂直于x轴，设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，因为8,C点存在，所以方程有大于1的解，再利用判别式和对称轴即可求出。的范围.【详解】由题意可得A（l,0）.根据双曲线的对称性，AABC是等边三角形，则直线x轴所以直线A 3的倾斜角为30。，即 3等，设直线4 5的方程为：当1）由3-Q HO 且=(加-4(

23、3-)(-a-3)=3 6 03 C l 3 a+3 Y /,n/n CX 1 =-=-1,解得a 33)a a-3故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的性质应用，涉及二次方程的根的问题，属于中档题.1 1.（2 0 2 2上海高三专题练习）已知居，尼是双曲线-4=1 的焦点，PQ 是过焦点片的1 6 9弦，且P Q 的倾斜角为6 0。,那么|局+|。周-I PQ I 的值为A.1 6 B.1 2 C.8 D.随a 变化而变化【答案】A【解析】根据题意先由即=石 ,得出直线P。与双曲线的交点都在左支上，由双曲线的定义可得户闾T 尸周=2=8,|Q 闻|Q 凰=2=8,从而得出答案.【详解】由双

24、曲线方程3-5=1知，2 a=8,双曲线的渐近线方程为？丸1 6 9 4直线P Q 的倾斜角为6 0。，所以即=石 :，又直线P Q 过焦点耳，如图所以直线P Q 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，|学|-帜 用=勿=8.，QF2-QFt=2a=8.由+得I 飓 1+l M l Y Q 用+1 尸制）=1 6,.尸闾+|凿|一|叫=1 6.故选：A【点睛】本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的定义，分析出两个交点的位置是本题的关键，属于中档题.12.（2022上海高三专题练习）已知为抛物线y?=4x的焦点，A、8、C为抛物线上三点，当 西+而+定=0时，则存在横坐

25、标x 2的点A、B、C有（）A.0个 B.2个 C.有限个，但多于2个 D.无限多个【答案】A【解析】【分析】首先判断出厂为的重心，根据重心坐标公式可得%+占=3-为,%+%=-%，结合基本不等式可得出y：V2（+）,结合抛物线的定义化简得出X,4 2,同理得出 42，w =为+4+2%V 2（货+货），y；2（+y；）,2/2 2 0）的上一点，ZF,P F,=,a-3（小 鸟为左、右焦点），则 耳 尸 心的面积等于（）A.y/3a2 B.a2 C.D.-3 3 3【答案】C【解析】【分析】先利用双曲线的定义，得|尸”|-1”上2%利用余弦定理求出|P E IP E I的值，结合三角形的 面

26、 积 公 式 即 可 求 出 鸟的面积.【详解】双曲线-丁=1（40）,贝油=1a不妨设P是双曲线的右支上一点，则由双曲线的定义，得|户耳-|尸乙|=2则N 耳 尸6号2乃所以4c2 =|PF+PF212-2|尸 入 Ic o s y=PF+PF2+PFt-PF2=（|P/2a=4,umr IUIX umr,即四月+MF2MN 的最小值为4.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.2 216.(2 0 2 2上海高三专题练习

27、)椭圆C：三+匕=1的左右顶点分别为A，4,点P在C上4 3且直线时 斜率的取值范围是1-2,-1 ,那么直线尸4斜率的取值范围是1 3 3 3 1 3A.弓,/分/匚 勺 川 D.勺,1【答案】B【解析】【详解】设P点坐标为(,%),则 至+应=1,%=4 3.%-2叫 小-2,-1 叫&故选B.8 4【考点定位】直线与椭圆的位置关系17.(2 0 2 2上海高三专题练 习)已 知 匕eR,他 0,函数f(x)=G?+伙xe R).若/(s )J(s)J(s +。成等比数列，则平面上点(s j)的轨迹是()A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线【答案】C【解析】【分

28、析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得 f(s-t)f(s+t)=f(s)2,即”(S T)2 +d a(s+f)2 +句=(&/+町，对其进行整理变形：(a s2+a r-la s t+b(as2+at1+last+b=as2+j .+at2+b-(Za yf)?-(a s?+b)=0 .(2as2+a f+2bat2-4 a2s2t2=0,-2a2s2t2+a2/4+2ahr=0 ,所以一2 a s2 +“产+2匕=0或，=0,2,2其中万一羽 二1为双曲线，f=0为直线.a a故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处

29、在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.18.（2022上海高三专题练习）已知抛物线V=2 p x（p 0）,尸为其焦点，/为其准线，过万任作一条直线交抛物线于A B两点，A、3 分别为A 3在/上的射影，M为 的 中 点，给出下列命题:A F B F;4 0，8W:AF/BM;（4）AF与A M的交点在 轴上;A/T与AB交于原点.其中真命题的个数为（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义和平行可以证明NA4F=NAFO且=,从而TTZAFO+ZBFO=即 A尸 _L 8尸；根据抛物线定义和梯形

30、的中位线证明点M在以AB为宜彳仝的圆上，从而有4 0，身0;通过证明A M _LA A M A.BM,从而证明 由 知A尸与A 的交点是4尸的中点，由A尸与丁轴的交点也为A尸的中点，从而证明AF与A M的交点在）轴上；通过设而不求将直线4 8，A 8与丁 轴的交点都在原点，从而证明4B 与A 8交于原点.【详解】如图所示：对 ，由抛物线的定义得：|A 4|=|4 l,所以WF =ZAE4,乂因为A 4x轴，所以NAAF=NA尸O,所以 NAFO=NAE4,同理因为忸m=忸耳，所以NB/E=ZBFO,所以ZAFO+ZBFO=|W A F 1 B F,故正确;对 ，M为A 的中点，取 N 为A 3

31、的中点，g、“|1 +忸0|AF|+lBF|1.所以|MN|=J =J LJ_ _ =式 AB,所以点M 在以A 8为直径的圆上，从而有故正确;又MN/A AZ A M N=NA AM所以NM47 V=N A A W,又|A4=|4F|所以AM _L 4/,由知AW _L 8”A!FHBM,故正确；对 ，由 知 A F 与 A M 的交点是A N 的中点，由A 尸与y 轴的交点也为A 尸的中点，故A N 与 A M 的交点在V轴上，所以正确；对 ，设直线A 8方程为：x=my+-,4 3,）,2（在,必），则4（_ 4,凹）2 2p 2p 2_、E联立 my+2 w /-2pmy-p2=0,由

32、韦达定理得：yy2=p2y2=2px又 泗 4.P%+P，2P 2所以直线A B 方程：y=2p（v厂*2）*+）+%整理得：y=2p（）x+/（）1）+y必+p%+py2+=2以 上 之 口，所以直线A8 过原点,同理可以证明直线4 8 过原点，所以A 9 与 交 于 原 点；故正确；故选：D.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系:(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|4 3|=x/+x 2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.19.(2022,上海高三专题练习)设AA“纥G

33、的三边长分别为4 也,c“，的面积为九 =1,2,3.若伉0,+q=2 q,a+,=a,%=与 ,，则A.S.为递减数列B.S,为递增数列c.%-为递增数列，“为递减数列D.1 为递减数列，“为递增数列【答案】B【解析】【详解】由题意得4中=%，所以数列 凡 是常数列，故4 =4.c+an b+a”bn+c团n%+1 r+l+1,+i=-+2 -=2 -+a,回 ,+i+c”+i-2q=；(2 +c“_2 q)=/(b“T+c-2ai)=,=7(i+Cj-2,)=0,*+%=2印,即4纥|+IAC|=.13M,纥,是以点纥，G为焦点，长轴长为2 的椭圆的焦点三角形，又仿 4，所以A A“纥C”

34、的形状和位置如卜图所示：V她,一=曲一。)(一:严，故当 一+0时，c -0,Z?cn,团点4的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点P.回A 4 5 C,的边B a c”上的高hn单调递增，回5“=；忸,6也=%，也单调递增，团数列 S,为递增数列.选B.点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力.首先，在数列运算的基础上，要处理好数列 叫，也,%之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分析上，确定出点4,的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决.2 0.（2 0 2 2上海高三专题练习）如图，在正方体4 8 C O-A 4 G R中，E是A 4的

35、中点，P为底面ABCD内一动点，设尸R,PE与底面A8C。所成的角分别为4 0 0均不为0）.若4=2,则动点尸的轨迹为A.直线的一部分C.椭圆的一部分【答案】B【解析】【详解】B.圆的一部分D.抛物线的一部分以线段R E为x轴,其中垂线为）轴，如图，建立平面直角坐标系xOy,设4A=2,尸（羽y）,则RE=小,E(-与,0),0吟,0),所以。-4产 +丁=4(x+)2+4y2 ,即3/+3 丁+5氐+3(苧/=0,则动点P的轨迹是圆，故应选答案8点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的

36、巧妙运用.2 1.(2 0 2 2上海,高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两圆G：V +y 2=12 和C：x2+y2=1 4,又点A坐标为(3,-1),M、N是G上的动点，。为G上的动点，则四边形AMQV能构成矩形的个数为A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，通 过 计 算 得 出 公 共 弦 也 是 以 AQ为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形A M Q N能构成矩形的个数为无数个.【详解】解：如图所示，任取圆G上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆G与两点，有 加+2 =14,以AQ为直径的圆的方程为。一 加)。-3)+(y-)(y

37、+1)=0 ,B|J x2-(3 +m)x+y2-(n-l)y=n-3m,用G的方程减去以AQ为直径的圆的方程，可得公共弦MN所在的直线方程,即(3 +m)x+(-l)y =12-九+3 加，将 AQ中点坐标(等，与 J)代入上式得:左边=(3+m)m +32,.、n-+(n-l)-=m2+6m+9+，/-2+126m-2n+242=3?一 +12=右边,所以公共弦M N也是以AQ为直径的圆的直径，则 MN=AQ,根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形A M Q N是矩形,由。的任意性知，四边形A M Q N能构成无数个矩形，故选D.【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题

38、22.（2022上海高三专题练习）已 知 异 面 直 线 匕成60。角，其公垂线段为EF,l J=2,长为4的线段A 8的两端点分别在直线。、分上运动，则A B中点的轨迹为A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.以上都不是【答案】A【解析】【分析】根据条件画出合适的示意图，确 定 的 中 点O,P所在的平面，建立合适坐标系，先根据 余 弦 定 理 求 出 之 间 的 关 系，然后利用P的坐标形式表示出。用，QN之间的关系,由此得到对应的轨迹形状.【详解】如图所示：设E F的中点为O,过O作E F的垂面a,则A 8的中点P必在平面a内，设A,B在平面内的射影点为M，N,因为AP=8P=2,A M =B

39、 N =T,所以用2=2 6，以NMON的角平分线为X轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示:设 0 M=2,ON=n,由余弦定理可知：MN2=2=m2+n2 2mcos6()所以nr+n2 inn=12,乂因为NA/Or=NM2r=30,设尸(x,y),所以，2x=+，所以m=-x +2yn=-x-2 y将上述结果代入等式帚+/_ 利=12中化简可得：+/=1,故轨迹是椭圆.故选A.【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段

40、间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.23.（2022上海高三专题练习）若对于任意角6,都有xcosd+（y-2）sin9=l,则直线/:xcos6+（y-2）sin6=l 围成的正多边形的最小面积是（）A.2石 B.4 C.36 D.不确定【答案】D【解析】【分析】先根据点尸（。，2）到直线xcose+（y-2）sin6=l 的距离为1,确定直线为以（0,2）为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC即得选项.【详解】解：由对于任意角8,都有xcos，+（y-2）sind=l,贝 1 J 点 P（0,2）到直线 xcos。+（y-2）sin。=1 的距离为/,“=1

41、,即此直线为以（0,2）为圆心，1为半径的圆的切线,当三条切线如图所示时，则正三角形4 5 c的 面 积S，又巫xl=B,2 3 3即存在直线，：xcos。+（y-2）sin。=1围成的正多边形的面积为 立，即选项A,B,C错误,3故选D.也+蛆+d日+庐D.axoby(c本题考查了直线系方程及数形结合的数学思想方法，重点考查了点到直线的距离，属中档题.2 4.（2 0 2 2上海高三专题练习）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（切，y/）,Q（也，”），则d（P,Q）=|制-玄|+|与-”|叫做P、。两点的“垂直距离”，已知点M（xo,yo）是直线a r+“y+c=0外一定点，点N是直线

42、a r+hy+c=0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（）瓯+蛆+dA*/“ox（同，胤血）+如+。|H+H【答案】A【解析】【分析】设 N（-,-y ）,则 M、N两点的 垂直距离 为：|+|-|a a b a a b=-t-c-axA|y（）+d 嬴ax+b篇ya+c）.由此能求出M、N两点的“垂直距离”的最小值.【详解】由题意，点 物（入0,九）是直线以+by+c=0外一定点，点N是直线如+外+。=0上一动点，可设 N（L-二一；），a a b则M,N 两点的“垂直距离 为：t c t|r-c-|y0+z|ar()+by0+c|厂丁、+一厂%+不-丽 axn+by,+cl所以

43、M,N 两点的“垂直距离”的最小值为:黑(同网)故选A.【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题.25.(2022上海市实验学校高三阶段练习)如图，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Gemiinaldandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于瓦尸，在截口曲线上任取一点A,过 A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,B,

44、由球和圆的几何性质，可以知道，A E A C,A F =A B,于是A+A尸=A8+AC=3 C.由8,C 的产生方法可知，它们之间的距离3 c 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以瓦尸为焦点的椭圆.如图，一个半径为2 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P,则球在桌面上的投影是椭圆，已知A&是椭圆的长轴，户 4 垂直于桌面且与球相切，出=5,则椭圆的焦距为()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】2设球。与P4,相切与点E,可得lanNOPE=,利用二倍角正切公式可得tan幺 叫，由此可得。，由4 歹二。-C可求得焦距.【详解】设球。与相切与点E,作出轴截面如下图所示,4

45、./_ 2 tan/.OPE 3 12tan N4PA=tan(2ZOP)=-=-=一,一 l-tan2ZOP,4 51-9又夕 4=5,W=12,.=6,又 4 尸=。一。=2,*.c=4,椭圆的焦距为2c=8.故选：C.26.(2022上海高三专题练习)已知点A(1/)I(5,5),直线(：x=0 和：3x+2y 2=0,若点 巴、巴分别是J 4 上与A、B两点距离的平方和最小的点，则|丽|等 于()A.1 B.2 C.710 D.【答案】B【解析】【分析】设(OM),P2m,n)贝 iJ3/n+2-2 =0;.=l 1”?，A?+片 1=2/-12a+52 得到(0,3),P2A2+P2

46、B2=,+4 2 得到4(0,1),再计算|月司得到答案.【详解】3设 6(0,a),6(?,)则3m+2-2 =0.”=1一 1/+晒=l+(a-l)2+52+(a-5)2=2a2-12a+52,当 a=3时有最小值，故 6(0,3)P2Ai+P2B2=(Z-1)2 +(/7-l)2+(Z-5)2 +(n-5)2=y/n2+4 2当加=0 时有最小值，故 2(0,1),故|丽|=2故选：B【点睛】本题考查了距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.2 7.(2 0 2 2上海高三专题练习)在正四面体A-8 8 中，点户为A f i C。所在平面上的动点，若赫与所成角为定值则动点P的轨迹是

47、()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】B【解析】把条件转化为AB与圆锥的轴重合，面 88与圆锥的相交轨迹即为点尸的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令A 3与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与A 3所成角为定值，所以面8 8 与圆锥的相交轨迹即为点尸的轨迹.根据题意，A 3不可能垂直于平面3CD即轨迹不可能为圆.面B C D 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算A 3与平面B C D 所成角为arctany/2，即0 =arctang时，轨迹为抛物线，*a r c t a n&时，轨迹为椭圆

48、，：W)，所以轨迹为椭圆.【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.2 8.(2 0 2 2 上海高三专题练习)关于x的实系数方程了2 一 4%+5 =0 和工 2+2 如+2 =0 有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则 m 的取值范围是()A.5 B.-1 C.（0,1）D.（O,1）U -1【答案】D【解析】【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABC。，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2-4 x+5=0 的解为2 i,设对应的两点分别为A,B,得 A（2,1）,B（2,-1）,设x 2+2 mx+m

49、=0 的解所对应的两点分别为C,D,记为C （xi,力），D（X 2,J/2）.（1）当 回 0,即 0 m 0,即 m l 或 m (8而”=8-2。；，由于4 q 2U，-1 8-2,20,42 4=0所以 4 a；,8 2a；,故 -2a；8所以_g8_2a；0,即 两 母=8_2a；e(_|,0：故选：D.如图2,不妨设点P在第一象限，由 正 弦 定 理 得 三 角 形 尸工外接圆的半径为 拽，3所以在:半径为红会，圆心为。，-2裂 的圆在第一象限的圆弧MF,（不包含端点）上,3I 5）2所以。，=拽.，所以。例=2叵，3 3所以,由向量数量积定义得尸件P M =P F,-P F2 c

50、 o s l2 0=-1 P R -P F2由三角形面积公式得：%”=3恒 巴 卜 闻=2|,伤 同网s i n l2（T=亨丽丽，所 以 曲 曲=孥|力|,所 以 曲网=竽回归喈）所以尸T耳T/玛=-/9T PTF（8、26 -1,o l.故选：D.本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将仍用，|尸 鸟|用椭圆的长半轴为与双曲线的实 半 轴 表 示，并在焦点三角形中结合余弦定理得力：+片=1 6,故 曲.丽=8-2片，再根据4 “；与 即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点P在第一象限，进而得户在半径