四川省泸州市江阳区2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷.pdf

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1、四川省泸州市江阳区2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷阅卷人-、单选题（共12题；共24分）得分1.（2 分）已知集合力=久|/一%一2 W 0,集 合 B 为整数集，则 4CB=（）A.-1,0,1,2 B.-2,-1,0,1）c.0,1 D.-1,0【答案】A【解析】【解答】1 =x|-1%0 ,a/、X C O S X 、八 .H A.,，*/(%)=2X_ 1 _ 2_X。排除 D,故答案为：C.【分析】根据函数的奇偶性及函数在0 x 2 0 2 0不成立，S=1 +1 =2；1.X Z第二次循环，=2 2 0 2 0不成立，s =+/，几=2 +1 =3；以此类推，执行最

2、后一次循环，n=2 0 2 0 2 0 2 0不成立，S=+与 +神 八 二 n=J.X Z Z X J ZU/UXZUZJL2 0 2 0 +1 =2 0 2 1；?1 =2 0 2 1 2 0 2 0成乂，输出S=+J.X，X J2 0 2 0 x 2 0 2 11 11 1=b c B.a c b C.c a b D.c b a【答案】C【解析】【解答】|=1 l og2 0 1 92 0 1 9 a =l og2 0 1 9V2 0 2 0 =1 l og2 0 i g2 0 2 0|l og2 0 92 0 1 92=1 ;,_ _ _ _ 111 10 b=l og2 0 2 0v

3、 2 0 1 9 =2 l og20202 0 1 9 1.故答案为：c.【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利 用 I 和 1进行分段，由此比较出三者的大小关系.1 1.(2 分)若函数/(X)=In，且/(2 a)+/(a -1)0 ,则 a 的取值范围是()1 1 1 1 1A.(-8,可)B.(-2-3)C.(0，w)D.(0,2)【答案】C【解析】【解答】由题知/(x)的定义域为(1,1)，且/(x)=In%=1)x ,所 以/(%)为奇函数且在(-1,1)上单调递减，由 /(2 a)+/(a -1)0 ,1 1 -Q f(a-1),于是有 一 1 V 2 a V 1 ,解得 0

4、V a V 司.2a 1-a故答案为：C【分析】首先求出函数的定义域，判断函数出/(x)为奇函数且在(-1,1)上单调递减，利用单调-1 V 1 a 1性以及奇偶性可得-I V 2 a V I ,解不等式组即可.2 a 0/）的左、右焦点，。是坐标原点，过 尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若PFX=V 1 3|PF2|，则C的离心率为（）A.V5 B.2 C.V3 D.孥【答案】D【解析】【解答】由题可得双曲线的渐近线方程为bx-ay=0,F2（C,O）be=b，|0|=6,0P=a,因为 PFr =V T 3|PF2|，所以 IP%/=1 3仍 尸2=1 3属,在 K O P F?中，

5、COSZPOF2=,/0P a中，c o s”.%=产安竺小，因为 Z-POF1 4-Z-POF2=n f 所以 cosz.POF1+cosz.POF2=0，所以 a 2+c 2|P/|2 a_0c c可得 PFi2=3a2+c2，所以 1 3c 2 1 3a 2 =3Q2+,所以工=g ,所 以e=，a 3 3故答案为：D【分析】双曲线的渐近线方程为b x-a y =0,则I PF z l =6 ,|0&|=c,0P=yjba,在 4 0PF2 中，COSAP0F2=,AOPF1 中，cosZpOF1=a2+c2-PFi2,利用C 0 S 4 P0 F 1 +C O S N PO F 2 =

6、o，可得|PF 1/=3a 2 +c 2 ,再利用I PF 1 I =A/H|PF2|即可求得结果.阅卷人-二、填空题（共4题；共4分）得分%+3 01 3.（1分）已知变量,y满 足%一丁+4之0,则z =%+3y的最大值为.2%+y 4 0【答案】12(%+3 2 0【解析】【解答】作出 y +44o表示的可行域，如图,(2%+y 4 0时，/(%)3/+2x-1 的解集是.【答案】(一 1,1)【解析】【解答】由/(2%)-/(%-1)3/+2 x -1 可得：/(2 x)-(2 x)2 f(x-1)-(x -l)2,令y=/(%)-/,又f(x)2x，即f(x)-2 x 0，所以y 在

7、(0,+8)上为减函数，因为/X x)=，(一 x)，易知/(久)为偶函数，所以/(T)(一乃2 =/5)-产,故y 也为偶函数，所以y 在(一 8,0)上为增函数，综上所述，解得-1.3x2+2 x-1的解集。三 解答题(共7题；共70分)绝对值不等式求解方法阅卷人得分17.(10分)已知数列 an 是等差数列,前n 项和为S ,且S5=3。3，a4+a6=8.(1)(5 分)求斯；(2)(5 分)设 b=2-须，求数列%的前”项和【答案】(1)解：由题意，数列 的 J 是等差数列，所以S5=5(.勺 拦5.)=5a3,又 S5=3。3，所 以=，由。4+&6=8=2a5，解得。5=4,所以

8、&5 3=2d=4,解得d=2,所以数列的通项公式为册=a3+(n 3)d=2(n 3)n e N*.(2)解：由(1)得bn=2-an=(n 3)-2n+i,Tn=(-2)-22+(-l)-23+0-24+-+(n-3)-2n+1,2Tn=(-2)-23+(-1)-24+-+(n-4)-2n+1+(n-3)-2n+2,两式相减得 2-7 =2-22-(23+24+-+2n+1)+(n-3)-2n+2,=8-8。7；1)+(n-3)-2n+2=(n-4)-2n+2+16，所以 7=5-4)-2 计2+16.【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列的前n 项和公式，再结合等差数列的性质，进

9、而得出公差的值，再结合等差数列的性质求出等差数列的通项公式。(2)利 用 即 的通项公式结合砥=2-须，进而得出数列%的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列 d 的前几项和。18.(10分)近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达 13.2万千米，这个数字比1949年增长了 5 倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位.如表截取了2012-2016年中国高铁密度的发展情况(单位：千米/万平方千米).年份20122013201420152016已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式y=axb（a,b为大于0 的常数

10、）.年份代码12345高铁密度9.7511.4917.1420.6622.92参考公式：设具有线性相关系的两个变量,y的一组数据为（%，%）（i=l,2,n）,则回归方程 =+我的系数：y-a=y bx（勺 一 无）i=参考数据：5 Inx；lny(.51nx-Iny 0.92,(Inx,)2 5(lnx)2 1.6,产 5,Z5Iny.工 14,e2,1 x 8.2,ln32 a 3.46.(1)(5分)根据所给数据，求y关于的回归方程(精确到0.1位)；（2）（5 分）利 用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过32千米/万平方千米.【答案】（1）解：）对 =61/（10,b 0）两边

11、取自然对数得：Iny=blnx+Ina.令%=ln%i，=Iny.,t=1,2,3,，n,贝以与 具有线性相关关系;5 _“1呼 5即2：=-5fv-1 7 12L1(%一 切(汾，I-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ZTI()2i=l0 92年=。.575。.6,4I 41.Ina=口 一 5方=飞 0.575 X 1=2.225 2.2二 Iny=0.61nx+2.2,二 y关于x的回归方程为:,y=e0-61nx+2-2,g|y=e22-x0 6.(2)解：由(1)知：y=e22-X0 6,高铁密度超过 32 千米/万平方千米,即eanx+2.2 32,BP0.61nx

12、+2.2 ln32 3.46,.ln x 2.1,解得：x e21 8.2,即当x=9时，高铁密度超过32千米/万平方千米.预测2020年，高铁密度超过32千米/万平方千米.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合最小二乘法求出y 关于x 的回归方程。（2）利用已知条件结合代入法和指数与对数互化公式以及对数函数的单调性，进而预测2020年，高铁密度超过32千米/万平方千米。19.（10分）如图，已知直四棱柱A B CD-4遇1 G 5 的底面是边长为2 的正方形，E,F 分别为441,A B 的中点.(1)(5 分)求证：直 线 DAE,CF,D A交于一点;(2)(5 分)若 直 线D.E与平

13、面A B C D所成的角为J，求二面角E-C%B的余弦值.【答案】(1)解：证明：连 接EF，,因 为 E ,F分别为,A B的中点,所以 EF/AXB,且 EF=ArB,因为力B C D A B i C i D i 是直四棱柱，且底面是正方形，所 以BCADAiD,且BC=AD=,即四边形A1BCD1是平行四边形，所以 AiBDC,且 48=。住，所 以EF/IDCr,且 EFH DC i ,即四边形E F C%为梯形，所 以D i E与C F交于一点，记 为P,因 为P G 平 面ABCD,P G 平 面A D D ,所 以P在平面A B C D与平面A D D 的交线上，又因为平面ABC

14、D C l 平 面A D D =AD,所 以P 直 线AD,故直线。正，CF,D A交于一点；(2)由题意可知=今，所 以AXE=力 必=2 ,所 以 4 4 =4,以D为原点，分别以,DC,D D i所在直线为x ,y ,z轴，建立空间直角坐标系,所以 0(0,0,0),01(0,0,4),C(0,2,0),B(2,2,0),F(2,1,0),所以 CF=(2,-1,0),CB=(2,0,0),CDi=(0,-2,4),设平面P C D 1的法向量为n=(x,y,z),贝！J-y+z=o,故元=(1，2,1),2 0_2y +4zi=0故 m=(0,2,1),所以 cos Wn-m l=76

15、4+715 _=-V630-故二面角B-C D 的余弦值为簿.6【解析】【分析】（1）连结EF,A iB,利用中位线定理以及平行四边形的性质，证明E F/D G,且EFKDCi,从而得到D iE与CF交于一点P,然后再证明P C直 线AD,即可证明;（2）建立合适的空间直角坐标系，然后求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PCDi和平面BCDIAI的法向量，利用二面角的计算公式求解即可.20.（10分）设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F,准线为1.已知以F为圆心，半径为4的圆与1交于A,B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，ZEAB=90.（1）（5分）求p的值；（2）（5分）已知

16、点P的纵坐标为一1且在抛物线C上，Q,R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为一1,试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由.【答案】（1）解：如图：由题意及抛物线定义，得|AF|=|EF|=|AE|=4,AEF为边长为4的正三角形，设准线1与x轴交于点D,因为NE4B=90,Z.EAF=6 0 ,所以/FAD=30,则|FD|=p=1|A F|=1 x 4=2.(2)解：设直线QR的方程为*=1町+3点 Q(x i,y i),R(X 2,y a),由x=m y +ty 2 _ 4%，得 y?4m y-4t=0,则=1 6 m 2+1 6

17、t ,y i+y 2=4m,y i y 2=-4t,4yP-yl _ yP _yi _ 4又点P在抛物线C上，则 k P Q=X p-%一为2 y 1 2 一力+%一 y l，同理可得k P R4yF1)因为 k P Q+k P R=-l,所以_ _ 4(n+、2)-81 6 m 8+-=-=_=1-1 y 2 T 丫 1 丫 2 一 01+丫 2)+1 -4t-47 n+l4解得t=3 m 番=1 6 m2+1 6 t 0由，t =3 m-J1 74 H n t x (1)+3 7 7 i 47 1解得 m (-8,)U(2，1)U (1,+c o),所以直线QR的方程为x=m(y +3)4

18、则直线QR过定点(一：，-3).【解析】【分析】(1)由题意及抛物线定义，得|A F|=|EF|=|A E|=4,进而判断出三角形 A E F 为边长为4 的正三角形，设准线1 与x 轴交于点D,再利用NEA 8=90。，/EA F=6 0。结合三角形内角和为 1 80度的性质，所以求出/凡4。的值，再结合中点的性质得出p 的值。(2)设直线QR的方程为x =m y+t,点Q(x”y i),R(x2,y2),由 广?+结合判别式法和韦达定理，得出A=1 6 m 2+1 6 t 0,y i+y 2=4m,y i y 2=4t,再利用点P在抛物线C上结合两点求斜率=1 6 m2 4-1 6 t 0

19、t =3 m -,4 r T H x (1)+3 m 4从而得出m的取值范围，进而得出直线QR的方程为x =m(y +3)番 从而判断出直线QR过定点(一(,-3)。2 1.(1 0分)已知函数/(%)=e*-x l n x +Q X,f (%)为/(%)的导数，函数f (%)在 =&处取得最小值.(1)(5 分)求证：In%。+&=0；(2)(5 分)若%)工。时，1恒成立，求Q的取值范围.【答案】(1)证明：由题意/(%)=e*In%+a 1，令9(%)=-In%+a-1，则g(x)=e*知g(%)为(0,+8)的增函数，因为g(1)=e 1 0 g 8)=Ve-2 0,所以，存 在 卜

20、to 1使得g(to)=0,即十。一,=0.所以，当 久 e(0,to)时g(x)g(to)=0,g(x)为增函数，故当x=to时，g(x)取得最小值，也就是/(工)取得最小值.1 1故/)=%，于是有梦。一白=0,即 呼=白，x0 x0所以有In%。+%o=0,证毕.(2)解：由(1)知，/(X)=e-lnx+a-1的最小值为访+%0+。一 1，当/+%o+a 1 。，即a 1 一(9+%o)时,/(x)为 岛，+8)的增函数，所以f (%)min=/(&)=e”-x0nxQ+xoa=+x02+xoa,x0；+&2+xol-d+Xo)=；+%o _ 1,xoxo xo由 中 与 1.故a 1

21、 +%。)满足题意.当a +a-1 V。，即Q V 1-(/+Xo)时，/(%)有两个不同的零点勺，=2,且 Xo a=ln%2 eZ2+1 若x e(x0,&)时f(x)f(X 2)=o./(%)为增函数，所以/(x)的最小值为/(%2)注意到/(I)=e+a=1时，a=1-e,且此时f (1)=e+a-l =0，(i)当a 2 1-e时，/(l)=e+a-1 0=/(x2)-所以0%2 0,所以(1 一%2)(e*2 1)+1 1,即/(%2)1.由于在g v%。v 1 下，恒有(/+x0)e,所以1 e l (/+%0).(i i )当a V l e时 f(1)=e+a 1 1%o 所以

22、由(*)知 w(l,g)时，/(%)为减函数，所以/(x)V/(I)=e+a V 1,不满足X)o 时，f (%)1 恒成立，故舍去.故1 -e(a V 1 -(/+%。)满足条件.综上所述：Q的取值范围是 l-e,+c o).【解析】【分析】(1)由题意/(%)=1-I n x +a -1，令g(x)=e*-I n x +a -1,再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合g (l)=el 0,g&)=20,所以，存在:1 使得g (t o)=O,即弋=0,再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出当x =t。时，g(x)取得最小值，也就是/(%)取得最小值，故%o =t o,贝 卜配=；,从

23、 而证出l n 与+Xo =O成立。(2)由 知，/(%)=e*I n x +a 1 的最小值为4+Xo +a -1，当a1 一。+%()州 寸，/(%)为，+8)的增函数，再结合函数的单调性得出/(X)m i n 上+%0 1，由 中：出 1,故a 1 (/+%o)满足题意；当a 且 1%0 0=f(%2)，所以1%2 之。，再利用/(x2)=(1 -x2)(eX2-1)+1.而6 九一1 0,所以/(X2)1,由于 1,恒有(专+见)1e,所以 1 e V l (+&)；xo(i i)当a 1%0，所以当 6(1,次)时，/(%)为减函数，所以/(x)Vf(l)=e+a V I,不满足工&

24、时，恒成立，故舍去，故1 一ea l (：+x0)满足条件，进而得出实数a的取值范围。22.(10分)在平面直角坐标系“Oy中，曲线C的参数方程为为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为psin(O+$=2VL(1)(5分)求曲线C的极坐标方程和直线1的直角坐标方程；(2)(5分)若射线0=a(0 a 刍 与曲线C交于点A(不同于极点0),与直线2交于点8,求卜 膏的最大值.【答案】解：曲线c的参数方程为；：二为参数)，消去参数w得曲线C的普通方程为0 -l)2+y2=1,即+y2-2x=0,由p2=%2+y2,pC0SQ =X f psin。=y得曲

25、线C的极坐标方程为p2=2pcos。，即 p=2cos8.因为直线 的极坐标方程为psin(。+勺=2 V 2,所以p(sinJcos左+cosJsi埠=2近，所以苧。$苗8+号pcosB=2鱼，所以+y=4(2)解：设4(p i，a)9 B(p2,a),2y1则P L 2cosa,p2=砌 第,所以0A 2cosasin(a+*)2cosasin(a+*)sinacosa+cos2a 1.,1 ,1 A/2.0B=-2/2=-2V2=-2-=4 sin2a+4802。+4=-4 sm(2a+*)+/由。a 2，得/2 a +*竽,所以一孝 sin(2a+/)1，所以黑I的最大值为里.【解析】

26、【分析】(1)利用已知条件结合参数方程与普通方程转化方法以及极坐标与直角坐标互化公式，进而得出曲线C的极坐标方程和直线1的直角坐标方程。(2)利用已知条件结合射线与曲线相交，联立二者方程求出交点A的坐标，再结合射线与直线相交，联立二者方程求出交点B的坐标，再利用两点距离公式结合正弦型函数的图象和角a的取值范围，进而求出正弦型函数的值域，从而得出陶的最大值。2 3.(1 0 分)已知函数/(%)=|%a|(a W R)(5分)若关于的不等式/(x)N|2 x +l|的解集为 一3,|,求a 的值；(2)(5分)若不等式/(%)-x+a|2 x+l|,B|J|x-a|2 x +l|,两边平方并整理

27、得3炉+2(2 +a)%+1 -a2 0,由已知一 3,/是关于x 的方程3/+2(2 +a)x +1 -a2=0 的两根，由韦达定理得又因为d=4(2 +a)2 -1 2(1-。2)0,(年=(-3)Xq解得a =2.(2)解：因为/(x)x+a=|x -a|x +a|(x a)(x +a)|=2|a|,所以不等式f(x)|x 4-a|a2 2 a 恒成立，只需2 1 a l a?2a,当a 之 0 时，2 a W a 2 -2 a,解得a 2 4 或a =0；当a 0 时，-2 a a2 2 a,解得a 0.综上可知实数a 的取值范围是(-8,0 U 4,+o o)【解析】【分析】(1)利

28、用/(x)|2x +l|,即反一。|2|2%+1|,两边平方并整理得3/+2(2+a)x +1 -a2 0,由己知一 3,*是关于x 的方程3/+2(2+a)x +1 -a?=0 的两根，由韦达定理结合判别式法，进而得出a 的值。(2)利用已知条件结合绝对值三角不等式得出/(吗-|%+。|4 2|0,所以不等式f(x)-|%+a|a 2-2a 恒成立，只需21 a l a?-2 a,再利用分类讨论的方法结合绝对值定义，进而求出实数a 的取值范围。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：98分分值分布客观题（占比）25.0(25.5%)主观题（占比）73.0(74.5%)题量分布客观题（占比）13

29、(56.5%)主观题（占比）10(43.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题4(17.4%)4.0(4.1%)解答题7(30.4%)70.0(71.4%)单选题12(52.2%)24.0(24.5%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(52.2%)2容易(30.4%)3困难(17.4%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1二项式定理的应用2.0(2.0%)32复数代数形式的混合运算2.0(2.0%)23利用导数求闭区间上函数的最值10.0(10.2%)214等差数列的通项公式10.0(10.2%)175直线与圆锥曲线的综合问题1

30、0.0(10.2%)206一元二次方程的解集及其根与系数的关系10.0(10.2%)237排列、组合及简单计数问题2.0(2.0%)98双曲线的简单性质2.0(2.0%)129同角三角函数间的基本关系1.0(1.0%)1410数列的求和10.0(10.2%)1711复数的基本概念2.0(2.0%)212正弦定理1.0(1.0%)1413点的极坐标和直角坐标的互化10.0(10.2%)2214简单线性规划1.0(1.0%)1315棱柱的结构特征10.0(10.2%)1916余弦定理1.0(1.0%)1417运用诱导公式化简求值2.0(2.0%)718函数的单调性及单调区间1.0(1.0%)151

31、9等差数列的前n项和10.0(10.2%)1720复数的代数表示法及其几何意义2.0(2.0%)221对数的运算性质2.0(2.0%)1022线性回归方程10.0(10.2%)1823函数恒成立问题20.0(20.4%)21,2324反函数1.0(1.0%)1525程序框图的三种基本逻辑结构的应用2.0(2.0%)826分类加法计数原理2.0(2.0%)927指数函数单调性的应用2.0(2.0%)1028二项分布与n次独立重复试验的模型2.0(2.0%)629函数零点的判定定理10.0(10.2%)2130绝对值不等式的解法10.0(10.2%)2331简单曲线的极坐标方程10.0(10.2%

32、)2232三角函数的最值10.0(10.2%)2233有理数指数基的运算性质2.0(2.0%)1034对数函数的单调性与特殊点2.0(2.0%)1035奇偶性与单调性的综合3.0(3.1%)11,1636利用导数研究函数的单调性10.0(10.2%)2137互斥事件与对立事件2.0(2.0%)438交集及其运算2.0(2.0%)139函数的图象2.0(2.0%)540两点间距离公式的应用10.0(10.2%)2241参数方程化成普通方程10.0(10.2%)2242回归分析的初步应用10.0(10.2%)1843绝对值三角不等式10.0(10.2%)2344用空间向量求平面间的夹角10.0(10.2%)19