2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷7含答案.pdf

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1、2 0 2 0 年数学（理）高考模拟卷新课标卷（7）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2 B铅笔将试卷类 型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。

2、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合4 =%|2 x 2,8 =-1,1,2,3,则A B=（）A.1 B.0,1 C.0,1,2 D.0,1,2,3【答案】A【解析】【分析】求出集合A，然后利用交集的定义可求出集合A B.【详解】A =x e N|-2 c x bc B.b c a C.a c b D.c b a【答案】D【解析】V*分析：三个对数的底数和真数的比值都是2,因此三者可化为/(力=巧 的形式，该函数为(),+e)上的单调增函数，从而得到三

3、个对数的大小关系.律 版 d 晦3 b 9 5 5 1呜7l +l o g23 l +l o g25 l +l o g27r1令 x)=q=l-L,x0,则“X)在(o,+8)上是单调增函数.X 0 l o g2 3 l o g2 5 l o g2 7 ,所以/(1 0 g23)/(l o g25)/(l o g 2 7)即a bc.故选 D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.3.设有下面四个命题P i：若复数z满足则zeR；z外：若复数z满足z 2 e R，则zeR；“3：若复数

4、4:2 满足 Z|Z 2 e R ,则 Z 1=Z 2；p4：若复数Z GR，则2 e R.其中的真命题为A.Pi，Ps B.Pi，Pqc.p2,p3 D.PPA【答案】B【解析】z =a +b i(a,0 e R),则由一=-二:一之 R得 b=0,所以 zeH,故口正确；z a+bi a+b当z =i时，因为z 2=i 2=l e R，而2 =1 0/?知，故P 2不正确；当Z =Z 2=i时，满足Z|-Z 2 =-l e A ,但Z H Z 2，故P 3不正确；对于“4,因为实数的共扼复数是它本身，也属于实数，故P 4正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轨复数，化

5、简成z=a+/(a,b e R)的形式进行判断，共挽复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4.如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈(一丈=1 0 尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，间折断处离地面的高是()A.2.55 尺 B,4.55 尺 C.5.55 尺 D.6.55 尺【答案】B【解析】【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边.【详解】已知一直角边为3 尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10-尤尺，由勾股定理可得：

6、X2+32=(10-X)2,可得x=4.55尺.故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5.函 数/(%)=方-1在区间-4,4 附近的图象大致形状是()1 +x【解析】【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.【详解】/(%)=/丁-1 过点(1，0),可排除选项A,D又 2)0,排 除 C.1 +X故选:B【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4 门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一

7、门被选中的概率是(1A.-6【答案】D【解析】【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1 个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.【详解】)5D.-62C.一3B-?设 人=两门至少有一门被选中,则 =两门都没有选中,入 包 含 1 个基本事件,1 1 1 5则 P(A)=z，所以 P(A)=1 =一，故选 D.J 6 6 6【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.若向量4,匕满足|a|=l,|b|=2,且|二|=6，则向量

8、a/的夹角为（）A.3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0【答案】B【解析】【分析】由|-笳=百，平方求出a力,代入向量夹角公式，求 出 的 夹 角 余 弦 值，即可得结果.【详解】设a,b 的夹角为。1 1 r-r r r r r2 r r r2 r ra-b=y/3,a-h1=（a-h）2=a-2a-h+h=5-2a-h=3,r rr r a-b 1 八a b=,:.cos0 =-f-f-=-,O 0 1 0 0?C.是偶数？，”1 0 0?【答案】DB.是奇数?，1 0 0?D.是奇数？，n 1 0 0?【解析】根据偶数项是序号平方再除以2,奇数项是序号平方减1 再除以2,可

9、知第一个框应该是“奇数”，执QQ2 _ 1 1 ()()2行程序框图，=1,S=0;=2,S=2;=3,S=4;；=99,S=-n =1 0 0,5 =-;2 2 =1()1 1 0 0 结束，所以第二个框应该填 1(X),故选D.9.以a?1,分别表示等差数列 q网 J 的前项和，若 干=Q，则/的 值 为A.7 B.旦 C.卫 D.24 8 3【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前n项和的性质，当 n为奇数时，$=也 也，即可把自转化 为 言 求解.24【详解】2 2C,土+匕=14 32 2D.二 +匕=15 4因为数列是等差数列，所以c 八 4 9 a s Sg 7 x 9 2 1S

10、2“+=（2 +1）Q“+,故,=言=黄=工=工，选B.【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和的性质，属于中档题.1 0.已知椭圆。的焦点为K（一 1,0）,6（1,0）,过工的直线与。交于A 8两 点.若|A曰=3|8勾,忸用=5|8勾，则C的方程为（）.x2 2 _ x2 y2A.-F y =1 B.-F =12 3 2【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得=也，b=,可得椭圆的方程.【详解】解：|伍|=3|8鸟|,:AB=4BF2,又忸耳卜5忸闾,又|8片|+|由 =2*门8鸟|=，.J AF2=a,AFx+AF2=2a,AF,=a,.I M RA g l,.）

11、在y轴上.在 放 4尸,。中，COSN4F,O=L,a4 +在4 8月居中，由余弦定理可得C O S N B 86=2 x 2 x-3根据c o s N A E O +c o s N B E片=0,可得一+=0,解得/=2，a ab2=a2-c2=2-1 =1 .所以椭圆C的方程为：y+/=l.故选：A-【点 睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题.11.设 函 数/(x)=3x+l,x0若 关 于x的 方 程/2(x)-(+2)/(x)+3=0恰好有六个不同的实数解，则 实 数”的取值范围为3A.(2y/3 2,B.(2月-2,2 G 2)C.(y,+oo)D.(2 6-2,+oo)【

12、答案】A【解析】【分 析】画 出 了(X)的图像，利 用“X)图像，利用换元法，将 方 程/(同 一(a+2)/(x)+3=0恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得。的取值范围.【详解】画 出“X)的图像如下图所示，令”x)=f,则 方 程/一(a+2)/(x)+3=0转化为户一(a+2)f+3=0,由图可知，要 使 关 于x的将方程/(另 一(a+2)f(x)+3=0恰好有六个不同的实数解，则 方 程*一(。+2+3=0在(1,2内有两个不同的实数根，所以 =(“+2)2-120a+2/3-2 02?-(a+2)x2+3

13、N0故选：Ay【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.12.过球。表面上一点A引三条长度相等的弦A 3、A C.AD，且A3、A C.AZ）两两夹角都为6 0,若 BD二二、历，则该球的体积为（)A.叵口 26兀c县D.叵23 T2【答案】A【解析】【分析】根据题意可分析四面体A-BCD是正四面体，各条棱长均为0,依据正四面体外接球半径的求法即可得解.【详解】由题：在四面体 A 6C。中，A B =AC=A D,A B A C =A BAD =ACAD=60,所以MAC,BARAGA。均为等边三角形，且边长均为血，所以四面体A

14、 BCD是正四面体，棱长为、历，如图：A根据正四面体特征，点A在底面正投影a是底面正三角形的中心，外接球球 心。在 线 段A。上,设 外 接 球半径为R,取CO中 点 过 点 的 截 面 圆 的 半 径r=O6=2B=2 x 0 x =4 5,3 3 2 3在仆 a 中，0 A=q B A2 _ B O；2.|二则 球 心 到 截 面 的 距 离d=OQ=当 R在AOIOB 中，0.B1+0 0；=0 B2,R2,解 得R=，2所 以 球 的 体 积 丫=一4）（白 丫&3。2故选：A【点 睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可

15、求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第n 卷（非选择题）二、填 空 题：本 大 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。1 3.曲 线y=xe在 点（0,0）处 的 切 线 方 程 为.【答 案】y=x【解 析】【分 析】利用导数求出曲线y=x/在 点（0,0）处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详 解】依题意得y =e +x,因此曲线y=x/在 x=0处的切线的斜率等于b所以函数丁=址 在点（0,0）处的切线方程为丁=二故答案为：丁 =%.【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识

16、，考查运算求解能力.属于基础题.31 4.记 S”为等比数列 如 的前项和.若q =1,S3=,贝 ij S4=.【答案】f.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比4的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到S 题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】详解：设等比数列的公比为4,由已知3 13=4 1+%q+=1 +g +q-=f 即（j 4-4-=0解得q=-g，所以 44(1-(-5)_ 5l -q1-(-)【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及累的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误.一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用

17、已知计算 4 =5 3+%=邑+4/=：+（；=|,避免繁分式计算.1 5.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数6,按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把修乘以2后再减去1 2,：如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把卬除以2 后再加上1 2,这样就得到一个新的实数的，对实数生仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数由，当 阳 4 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为二3，则q 的取值范围是4【答案】（,12 口 24,”）【解析】【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给

18、的甲获胜的3概率为一，解出功的结果.4【详解】内的结果有四种，每一个结果出现的概率都是41.2 i-12 2（2。1 -12）-12=4671-36=。3,2 a-1 22.c i -12-F12=I+6=3,2a,2a.+12 a3.F 12-F12=F 8=俏，2 2 44.-+12 2（-+12）-12=1+12=。3,2 2*.*ai+18ai,ai+36ai,3 要使甲获胜的概率为二，43即 4341的概率为一，4*.4tzi-36的，-+18%i,4或 4i-363“，+18 ，4解得 E 12或 mN24.故选：D.【点睛】本题考查新定义问题，考查概率综合，意在考查学生的读题审题

19、能力，考查转化能力，是中档题2 21 6.已知双曲线C：，一本=1（。0,。0）的左右焦点分别为，F2,过冗的直线/与圆/+）,2=/相切于点T，且直线/与双曲线C的右支交于点p,若耳尸=4耳T，则双曲线。的离心率为.【答案】一3【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形MP居中，化简求值即可【详解】如图，由题可知|0耳|=|0周=0,|。1=。，贝1耳刀=/?,又Q f；P=46 T，.|T”=3b,.忻月=4仇又 PF-PF2 =2 a,：.PF2=4 b-2a作 用W/O T,可得后M|=2a,17Ml=，PM =2b在AMP巴，|尸照2+明

20、 引2=俨用2,即。2=（4一。）2,2h=a+c又 c2=a2+b2,化筒可得3 c 2-2 a c-5/=0,同除以/，得3e2-2e-5=0解得e=33双曲线的离心率为之3【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形MP居中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体三、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分1 7.如图所示，在 ABC

21、中，N A,N B,NC的对边分别为a,b,c,已知2/?s i n A c o s 8 +a s i n 8 =0,a =l,c=2.(1)求6和s i n C ；(2)如图，设。为4 c边上一点,=,求人 钻。的面积.C D V 7【答案】(1)6 =J 7,叵;立.47【解析】【分析】(1)通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B的值，再利用余弦定理，求出。，根据正弦定理,求出s i nC；(2)根据正弦定理得到s i nN C B D =l,即N C B D =-,根据勾股定理得到8 0 =，22根据三角形面积公式，求 出 的 面 积.【详解】(1)因为2Z?s i nA cos 8

22、+as i nB =0,a b c所 以 在ABC中，由正弦定理sin A sin B sin C 得 2 s i n B s i n A cos B+s i n A s i nB =0,因为 s i n A s i n 3 w0,所以 2cos 3+1 =0,所以cos B =22万又0B0,可得 yi+y2=8k,y iy2=-16.lyz=8x,又加=(X 1，y i)，OB=(X2,y2),:.OA-OB=iX2+yi y2=(ky i+2)(ky2+2)+y y2=k2y i yz+2k(y i+y2)+4+y y2=-l 6k2+16k2+4-16=-l 2,加,而是一个定值【点睛

23、】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数 的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.2 0.已知函数f(x)=a rc o sx-l在 0,$上的 最 大 值 为 叵-i._ 6 J 6(1)求。的值；(2)证明：函数”X)在区间(0,5 J 上有且仅有2 个零点.【答案】(1)。=2(2)证明见解析【解析】【分析】求导后利用xw 0,可得导函

24、数的正负与原函数的单调性，再 利 用 最 大 值 为 叵-1 进行求解即6 6可.(2)求导分析单调性后，根据零点存在定理求解的正负即可.【详解】(1)f (x)=6/(cosx xsin x),71因为X E 0,，所以cosx sinx、0,又 1 x 2 0,6所以 1 c o s x x s i n x，即 c o s x-x s i n x 0.当a 0时,/()(),所以/(X)在 区 间0,上递增，所以/(x)=/四=8生.1 =叵1,解得 a =2.v 7 m a x L 6 J 6 2 6当”0时,/(x)0,所以/(x)在 区 间0,弓 上递减，所以x)a =/(0)=T，

25、不合题意当。=0,/(=一1,不合题意.综上,=2.(2)设g(x)=c o s x-x s i n x,则g (x)=-2 s i n x-x c o s x 0 0 x 0*(5)=一 0,即，(x)=2 g(x)0,所以x)在(0,与)上单调递增；当x o x /时,g(x)0,即f(x)=2 g(x)0,所以x)在(0,x 0)上单调递减2)所 以 力 在 与 上 各 有 一 个 零 点，综上，函数x)在区间 上有且仅有两个零点.乂/(0)=一1OJ【点睛】本小题主要考查导数及其应用、函数的零点、函数的最值与值域等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程

26、思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等2 1.某医药开发公司实验室有n (n e N*)瓶溶液，其中m(加e N)瓶中有细菌R ,现需要把含有细菌 R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验“次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R,则瓶溶液全部不含有细菌R：若检验结果含有细菌R,就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为+1.(1)假设=5,加=2,采用方案一，求恰好检验3 次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；(2)现对n瓶溶液进行检验，己知每瓶溶液含有细菌R的概率

27、均为P(O/?1).若采用方案一 需检验的总次数为久若采用方案二需检验的总次数为.若J与 的期望相等.试求P 关于的函数解析式P =/();(泊若p =l _ e 3,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望求”的最大值.参考数据：I n 2 k 0.69,l n31.1 0,l n5 1.61,l n7 =1.9 5【答案】(1)(2)(i )p =l 一 45)8【解析】【分析】(1)对可能的情况分类：1 前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，2 前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；(2)根据E(4)=E()，找到P 与的函数关系;5)根据E C)E得到关

28、于n的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：(1)记所求事件为A，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R”为事件8,“前三次均不含有细菌R”为事件C,则 A =8 C,且 8,C互斥，所以 P(A)=P(8)+P(C)=i+=:+2 =2A A 5 1 0 1 0)=,的取值为L +l,所以 E(m=(i-2)+(+1)i(1 py=n+-n(i-p y,由七(占)=七()得=+1 (1 P)”,所以 p=l干)(eN*)；In()尸二_e 所以 E()=H +l-n-e Z，一 7 2所以(+1)e ，X设 fM =Inx-(x 0),4小)=，x 4 4x当 x e(0,4)时，

29、/(%)0,/(x)在(0,4)上单调递增；当 x e（4,+8）时，f x）0,/（9）=ln 9-0,4所以的最大值为8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均 值（或期望）的相关计算公式要熟记.（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程24在极坐标系中，曲线Ci的极坐标方程是P=-在以极点为原点O,极轴为x轴正半4cos8+3sin8x=cos 0轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy

30、中，曲线C2的参数方程为 .（。为参y=sm数）.(1)求曲线C l的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程：x=2 5/2 x(2)将曲线C 2经过伸缩变换 后得到曲线C 3,若M,N分别是曲线C l和曲线C 3上的动y =2 y点，求附川的最小值.【答案】(1)G的直角坐标方程为4x+3 y2 4=0,C 2的普通方程为/+产=i；(2)2 4-2丙5.【解析】【分析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式，化简即可求得C i的直角坐标方程，结合三角函数的基本关系式，消去参数，即可求得C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经，过伸一缩变换得到曲线，C 3 c3一的参数方程为，=.co s a(z。为

31、,参,数,)，设Ny=2 si n。(2/co sa,2 s加a),利用点到直线的距离公式，求得d有最小值，即可求解.【详解】2 4(1)由题意，曲线C i的极坐标方程是Q=-,4co s8+3 sme即 4 pcos0+3 psin0=24,又由 X =C O S y =p si n。，所以4x+3 y2 4=0,故G的直角坐标方程为4x+3 y2 4=0.因为曲线C 2的参数方程为x-co s e(。为参数)，所以尤2+y2=l,y=sm 9故C 2的普通方程为好+)2=1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换-2 x/2 x后得到曲线C 3,y =2 y则曲线C 3的参数方程为x=2 及co

32、s a/,（a为参数）.y=2 si n a设N (2E cosa,2sina),则点N到曲线G的距离|4x 2 V 2 co sa +3 x 2 si n a-2 4|2 5/4T si n（a +（p）2 4|_ 24-2 741 si n（z+（p）N，_“2+3255足ta n/二 半)当si(a+夕)=1时，d有 最 小 值%-2闻5所以明川的 最 小 值 为24-2历5【点 睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着

33、重考查了推理与运算能力，属于中档试题.2 3.选 修4-5：不等式选讲已知函数/(x)=|x-2|+|x-3|.(1)求 不 等 式f(x)2的解集；(2)若/(司2目2彳+1 的解集包含3,5,求 实 数。的取值范围.【答 案】(1)j x|x 3(1)函数化简为分段函数/(x)=1,2 XW3分别解不等式得到答案.5-2 x22 V _ 5 _ 5(2)题 目 等价 于 当x e 3,5时不等式恒成立，得到不等式耳二产a,求8(刈=三 用 的最小值得到答案.【详 解】(1)/(x)=|x-2|+|x-3|=33 7l,2 x 3 ,由 x)2,解 得5 Vx 5,5-2 x,x 6r|2x+l|,即 2X-5 2Q(2X+1),2X-5因为2 x+l 0,所以-a,2x+l令 g(x)=2%-52x+l=1-2x+lx e 3,5,易知g(x)在3,5上单调递增,所以g(x)的最小值为8:：，因此aK；,即a的取值范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当x e 3,5时不等式恒成立是解题的关键.