专题10 几何图形的翻折变换（讲+练）（解析版）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练.pdf

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1、专题1 0几何图形的翻折变换折叠型问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。同样的翻折类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同。本专题整理这类题目，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，从而找到这类问题特有的解题方法。题型一、直角三角形中的折叠问题例 1.如图1,在 R 0A 8C 中，ZACB=90,ZB=30,8 c=3,点。是 3 c 边上一动点（不与点8、C 重合）,过点。作力8 c 交 AB边于点E,将 沿 直 线。E 翻折，点 B 落在射线8 c 上的点尸处，当AAE/为直【答案】2 或 1【解析】当NEAF

2、=90。时，如图2 所示.VZB=30,BC=3A AC =tan30 xB C =x 3=g，AB=2 A C=2/3V ZEAF=90,NAFC=60。，ZCAF=30在 RSACF 中，有：AF=AC cos Z C 4F=73-e-=2-BF=2AF=42由折叠性质可得：ZB=ZDFE=30,BD=DF=BF=22当/AFE=90。时，如图3 所示.由折叠性质得：ZB=ZDFE=30,BD=DF=、BF=22/.ZAFC=60,ZFAC=30；CF=tanZ f lC xA C =xV3=l3所以，BF=2,BD=DF=、BF=1,综上所述，BD的长为2 或 1.2【变式训练1】如图在

3、AABC中，Z C=9 0,将4ACE沿着AE折叠以后C 点正好落在A B 边上的点D 处.(1)当NB=28。时，求NCAE的度数；(2)当 AC=6,AB=10时，求线段DE的长.【答案】(1)ZCAE=31；(2)DE=3【解析】(I)在 RSABC 中,ZABC=90,ZB=28,ZBAC=900-28o=62,VA AC E沿着AE折叠以后C 点正好落在点D 处，,NCAE=J NCAB=1 x62=31；(2)在 RsABC 中，AC=6,AB=10,BC=y/A B 2 AC2=0 02 62=8,.ACE沿着AE折叠以后C 点正好落在点D 处，；.AD=AC=6,CE=DE,.

4、B D=A B-A D=4,设 D E=Z,则 EB=BC-CE=8,RtABDE 中，D E2+BD2=B E2，.-,3；2+42=(8-X)2,解得/=3,即 DE 的长为 3.【变式训练2】如图，在 RSABC中，ZACB=90,AC=3,BC=4,点。是边BC的中点，点 E 是边A 8上的任意一点(点E 不与点8 重合)，沿 QE翻折O8E使点8 落在点尸处，连接A F,当线段AF=AC时，BE的 长 为.【答案】致【解析】连接A。，作 EG_L8O于 G,如图所示：则 EGAC,.BEGs区4C,.或=些=地AC AB BC设 BE=x,V ZACfi=90,AC=3,BC=4,r

5、2,Rr2=5,EG-X-BG,解得：EG=-x,BG=-x,V A C +B C 3 5 4 5 5点。是边BC的中点，C=8/)=2,二/相二？-生r,山折叠的性质得：DF=BD=CD,NEDF=NEDB,5 和AFQ 中，2=AC2+CD2=32+22=13,D2=DG2+EG2=(2-Ax)2+(旦x)2,5 5.13+(2-A r)2+(当)2=(5 7)2,解得：尸 空，即 空；5 5 1 7 1 7故答案为：20.1 7【变式训练3】如图，在R/AABC中，Z A=90,A B =A C ,8C =行+1,点时，N分别是边5 C,A 3上的动点，沿M N所在的直线折叠N 8,使点

6、8的对应点8始终落在边A C上.若M 8 C为直角三角【解析】通过观察及分析可知,C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.当N C M夕=90。时，如图2所示.由折叠知：NBMN=NBMB=45,又因为/8=4 5 ,所以/8NM=90,NMNB=90即/8 N M+/M N B，=180。，所以8、N、8,三点共线，此时方与点4重合.所以，B M -B C=2+12 2当/C 9 M=90。时，如图3所示.由折叠知2 8=/9=4 5。，因为NC=45。，可得NB，MC=45。，所以ABMC是等腰直角三角形B M=BM=x,BC=x,则 MC=y/2 x因为 8 C=J +1,所以 x+J x

7、=+1,解得：A-1.B P BM-l.综上所述，8 M的值为或1.2【变式训练4】如图，平面直角坐标系中，已知矩形0A B C,。为原点，点 A、C 分别在x 轴、y 轴上，点 B 的 坐 标 为（1,2）,连 接。B,将AOAB沿直线0 B 翻折，点 A 落在点。的位置，则 cosNC。的A.3/5 B.1/2 C.3/4 D.4/5【解答】作。尸 _Ly轴于凡轴 于 E,8。交 0 C 于 G.在A8CG 与AODG 中，N B C G=N O D F,OD=BC,N D O F=NGBC,A ABCGAODG,：.GO=GB,.*.设 G O=G B=x,则 CG=G)=2-x,于是在

8、 RSCGB 中，(2-x)+1=x：解得 x=5/4.GO=2-x=2-5/4=3/4；轴，QF_Ly 轴，：.Z B C G =ZDFG,：Z B G C=Z D G F,.CBGAFDG,：.DF/BC=DG/BG,:.D F=3 5；5Z./D0=1,:.OF=J12_(1)2=1.COSNDOC=耍=2.故造：D.Y 丁 5 O D 5题型二、等腰或等边三角形中的折叠问题例 1.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P 为边A D 上一动点，连接B P,把AABP沿 BP折叠，使 A落在A，处，当AADC为等腰三角形时，AP的 长 为（）C.2 或 孚D.2 或 迪3【答案】C

9、【详解】如图，当 AD=A，C 时，过 A作 EF_LAD,交 DC于 E,交 A B 于 F,则 EF垂直平分CD,EF垂宜平分 AB,；.AA=ABA由折叠得，AB=AB,ZA B P=ZA B P,二 4ABA是等边三角形，A ZABP=30AB 2 2 r-AP=-=，3;如图，当 AD=DC 时，A D=2,由折叠得，AB=AB=2,/.AB+AD=2+2=4连接 B D,则 RsABD 中，BD=yjAB2+AD2=A/22+42=2A/5，AB+AD=3,点 E 在 BC上 运 动（不与B,C 重合），将四边形AECO沿直4线 AE翻折后，点 C 落在。处，点。落在。处，与 AB

10、交于点F,当 C 77L4B时;CE长为 此 .一 7 一【解析】如图，作 A，_LC于 H,交 8 C 的延长线于G,连接4 c.由题意：AD=AD,ZD=ZD,ZAFD=ZAHD=90,：./XAFDAHD(A4S),:./热D=NHAD,.NE4O，=NE4O,.NE48=NE4G,.姻 二 些(角平分线的性质定理，可以用面积法证明)A G E GJAB/CD,AH LCD,：.AHLAB,：.ZBAG=90,；NB=ND,.tan5=tan=8,.壁=旦，；.4G=生，A B 4 5 4 4 8 G WA B2+A G 2=、5 2 +（号）2哼,-.BE：EG=AB：AG=4：3,.

11、G 申G啜,在 RSA。“中，V tan=-,AD=5,：.AH=3,CH=4,：.CH=,D H 4：CG/AD,；.C G-C H,，C G-5,：.EC-EG-C G=此.故答案为四.A D D H 4 2 8 4 7 7【变式训练1】如图，在菱形纸片ABCQ中，AB=15,tan/A 8c=3,将菱形纸片沿折痕尸G 翻折，使点84落 在 边 上 的 点 E 处，若 CEJ_A。，则 cos/E F G 的值为 色 座 .VAS=15,tan/ABC=3,：.AH=9,BH=2,：.CH=3,4:四边形 ABC。是菱形，.8=8C=15,AD/BC,：AH1BC,：.A H A D,且

12、A”J_8C,C E 1 A D,，四边形 A”CE 是矩形：.EC=9,AE=CH=3,：.B=JgC 2+B(-.2=225+81=3A/34,.将菱形纸片沿折痕FG 翻折，使点B 落在AD 边上的点E 处,:.BF=EF,BELFG,BO=EO=l.2AD/BC,：.ZABC=ZPAE,：.tanZABC=tanZPAE=-,且 AE=3,：.AP=-,4 5.EPEr+PF2,产(15-EF+至)225 5：.E F=-29F0=EF2=65025 153=E 0 V 841 2 58.COS/E F G=F 0=W ,故答案为：色 叵EF 170 170【变式训练2】如图在菱形ABC

13、。中，NA=60。,4 0=遮，点 P 是对角线AC上的一个动点，过点P 作 EFLA C交 CC于点E,交 4 B 于点F,将AAEF沿 E F折叠点A 落在G 处，当ACGB为等腰三角形时，则AP的长为，【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：CG=CB,GC=GB分别计算即可.详解：四边形ABCD是菱形,.AB=BC=CD=AD=V3,ZDAC=ZBAC=|乙4=30。，A C=3,如图,V E F 1 A G,二 NEPA=NFPA=90,ZEAP+ZAEP=90,ZFAP+ZAFP=90,，NAEP=NAFP,；.AE=AF,.AEF 是由 AAEF 翻折，；.AE=

14、EG,AF=FG,AE=EG=GF=FA,，四边形AEGF是菱形，/.AP=PG当 CB=CG 时，；AG=A C-CG=3-g,，APA G=F 当 GC=GB 时，V ZGCB=ZGBC=ZBAC,/.AGCBABAC,AB AC.-.G C=1,，AG=3-1=2,，APWAG=1.故答案为 1 或U.2 2题型四、矩形中的折叠问题例 1.如图，矩形纸片A8CQ,A3=4,8C=3,点尸在BC边上，将ACQP沿。尸折叠，点 C 落在点E 处，PE、D E分别交A 8于点0、F,且 0 尸=0 尸，则r 的值为17D.19【答案】C【详解】根据折叠，可知：AOC尸丝P，：.DC=DE=4,

15、CP=EP.2 EOF=/BOP在AOEF和 08P 中，V*Z B =Z E =90,：./O E F O B P （AAS）,：.OE=OB,EF=BP.OP=OF设 E F=x,则 BP=x,DF=DE-EF=4-x.XBF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,：.AF=AB-BF=+x.在 R jD A F 中，A产+4）2=。尸，即（i+x）2+32=（4,%）2,AO 15解得：A=0.6,.DF=4-x=3.4,-=.DF 17故选C.【变式训练1】矩形ABCD中，AB=3,B C=4,点 E 是 BC边上一点，连接A E,把/B 沿 A E折叠，使点

16、B 落在点B，处，当ACEB，为直角三角形时，B E的长为（）DBB E C3 3A.3 B.-C.2 或 3 D.3 或一2 2【解析】D【详解】当ACEB，为直角三角形时，有两种情况：当点B，落在矩形内部时，如 图 1所 示.连 结 AC,在 RSABC 中，AB=3,BC=4,A AC=42+32=5-沿 A E折叠，使点B 落在点B，处，.NAB，E=NB=90。，当ACEB，为直角三角形时，只能得到NEB，C=90。，.点A、B C 共线，即N B 沿 AE折叠，使点B 落在对角线AC上的点B，处,.,.EB=EB AB=AB=3,，CB，=5-3=2,设 B E=x,贝 I EB，

17、=x,CE=4-x,3 3在 RtzCEB中，VEB，2+CB，2=CE2,：.x2+22=(4-x)2,解得 x=二，.-.B E=-；2 2当点B，落在AD边上时，如图2 所示.图23此时ABEB，为正方形，；.BE=AB=3.综上所述，BE的长为二或3.故选D.2【变式训练2】如图，在一张矩形纸片ABCD中，对角线A C=1 4,点 E、F 分别是C D 和 A B 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF上的点G 处，折痕为A H,若 H G 的延长线恰好经过点D,则点G 到对角线 A C的距离为（）【答案】B【解析】设 AC交 DH于点O,过点G 作 GKLAO于点K,如图所示：:

18、点 E、F 分别是CD 和 A B的中点，.ERLAB,，EFBC,；.EG 是ADCH 的中位线，DG=HG,由折叠的性质可得：NAGH=NABH=90,NAGH=NAGD=90。，/.ADGAAHG(SAS),；.AD=AH,/D A G=/H A G,由折叠的性质可得：/B A H =NHAG,/B A H =NHAG=NDAG=J NBAD=30。，o：.A B=-A H ,设 AH=AD=BC=2,则/8 =容立，在 R sA B C 中，则有14?=/+,解得了=4，7 或 一(舍 弃)，,B C =A H =4 y/7,A B =2y/21./.=.tan30=2 y 7 ,：,

19、C H =B C-B H =2y/7,：C H IIA D,=：.O G =G H-O H =2 7 =U D RI.)Z J o oA G=A B =2 /2 1，二 OA=y/A G2+O G2=6丫+俏=争，i i A.2 /2 T x-：G K O A,/.-G A-G O =-O A-G K,，G K=；=-=A/3.2 2 kJ A,一T【变式训练3】如图，在矩形A8C。中，AB=6,A D=26,E是A8边上一点，A E=2,尸是直线CD上一动点，将 AEF沿直线所折叠，点A的对应点为点4,当点E,A，C三点在一条直线上时，。尸的长为【解析】6-2币或6+2币【详解】解：如图，由

20、翻折可知，ZFEA=ZFEA,JCD/AB,:.NCFE=NAEF,：.ZCFE=ZCEF,:.CE=CF，在 RtMCE 中，EC=dBC?+EB。=小炉不=2万，:.CF=CE=2币,:AB=CD=6,：.DF=CD-CF=6-2 币，当点尸在OC的延长线上时，易知EFLE尸，CF=CF=2,DF=CD+CF=6+2 近故答案为6-2万 或6+2 .【变式训练4】如图，以矩形ABOD的两边OD、0B为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将AABE沿BE折叠后得到AGBE,延长BG交OD于F点.若OF=1,F D=2,则G点的坐标为（）yDA.3(52瓜、-)5B.(|,鸣5 5C.2(

21、?4瓜、-)5D.(|,阴【答案】B【详解】连结E F,作轴于“，如图，.四边形4?。为矩形，.*.A B=O =O F+H =l+2=3.,.A B E沿 3 E折叠后得至UAGBE,：.BA=BG=3,EA=EG,/2 G E=/A=9 0。.点 E 为 A Z)的中点，J.AEDE,:.GE=DE.在 R t A F 和 RSGEF 中，：E D=E G,A R t A D E F R t A G f F (H L),：.FI)=FG2,EF=EF，8 F=B G+G尸 =3+2=5.在 R S 0 8尸中，0 f=1,BF=5,：.OB=B F2-O F2=2 7 6 -G HV GH

22、/OB,:.丛FG H s 丛F B O,：.F HOB O FF G G H F H 2-,即-7=FB 2 Z B 沿 AE折叠，使点B 落在点B，处，；.ZAB,E=ZB=90,当ZkCEB，为直角三角形时，只能得到/E B，C=90。，.点A、B C 共线，即/B 沿 A E折叠，使点B 落在对角线AC上的点B，处，AEB=EB AB=AB，=3,CB，=5-3=2,设 B E=x,则 EB，=x,CE=4-x,在 RtK EB，中,3 3VEB，2+CB，2=CE2,.x2+22=(4-x)2,解得 x=，；.BE=；2 2当点B，落在AD边上时，如图2 所示.3此时ABEB，为正方

23、形，.BE=AB=3.综上所述，BE的长为一或3.故选D.22.如图，矩形ABCD中，己知点M 为边B C 的中点，沿 DM 将三角形CDM进行翻折，点 C 的对应点为点E,若AB=6,B C=8,则BE的长度为（【解答】D【解析】.矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，AB=6,BC=8,：.CD=AB=6,BM=CM=4,/.DM=y/CD2+CM2=2-/13,:沿 DM 将三角形 CDM 进行翻折，/.ME=CM=4,/EM D=/CM D,：.BM=EM,过M作MF_LBE于F,如图所示：由题意得 BE=2BF,ZBMF=ZEMF,/.ZEMF+ZDME=90,A ZBME+ZCM

24、D=90,.,/CMD+NCDM=90,/.ZCDM=ZBMF,BF-CMVZBFM=ZC=90,BM .BF _ 4DMJ 4 2713：.B F=,：.B E =2BF=JLo16/13133.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ZkABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F,连接E F,若CF=1,D F=2,则BC的 长 是（）A.3/3B.A/26C.5D.2A/6【解答】D【解析】过点E 作 EM LBC于 M,交 B F于 N,如图所示:.四边形 ABCD 是矩形，.,.Z A =ZABC=90,AD=BC,V Z E M B=90,二四边形 ABME 是矩形，A

25、E=BM,由折叠的性质得：AE=GE,ZEG N=ZA=90,；.EG=BM,VZENG=ZBNM,.,.ENGABNM(AAS),；.NG=NM,A CM=DE,是 AD 的中点，AE=ED=BM=CM,：EMC D,，BN:NF=BM:CM,.,.BN=NF,：.N M=C F=,：.N G=,；BG=AB=CD=CF+D F=3,1 5.BNBG NG=3 =,BF=2BN=5,B C =y/B F2-C F2-A/52-12=2/6.4.如图，正方形纸片ABCD沿直线B E折叠，点 C 恰好落在点G 处，连接B G 并延长，交 C D 于点H,延长 EG 交 AD于点F,连接FH.若

26、A F=F D=6,则 FH 的长为.DA【解答】FH=3/【解析】连接B F,如图所示:四边形 ABCD 是正方形，.NA=NC=90。，AB=BC=AF+FD=12,由折叠可知，BG=BC=12,ZBGE=ZBCE=90.AB=GB,在 RtAABF 和 RSGBF 中，BF=BF,AB=GB.BF丝RtAGBF(HL),A ZAFB=ZGFB.FA=FG,又：AF=FD,.,.FG=FD,同理可证 RtZkFGH丝RtAFDH,A ZGFH=ZDFH,.,.ZBFH=ZBFG+ZGFH=180=90,ZAFB+ZDFH=90,又,./AFB+NABF=90,/ABF=/DFH,AAB B

27、F又./A=/D=90,.,.ABFADFH,-=-=-7777，DF FH在 RtAABF 中，由勾股定理可得3 F =y/A B-+AF2=0 22+62=6V行，二 竽=瞥,.9=3遂.6 FH5.如图，矩形纸片ABC。，A8=5,BC=3,点P在BC边上，将ACDP沿。尸折叠，点C落在点E处,PE，O E分别交A 3于点O，F,且0P =0 F,则A b的值为.【解析】7【详解】解：.四边形 ABCD 是矩形，C D=A B =5.A O=8 C =3,N B =N C=NA=90 D E P 是由A C PP沿 O P 折叠而来的DE=CD=5.E P =CP 2 E =N C =9

28、0，:B =N E又；NFOE=NPOB,OP=OF,:.M)E F 塾 AOBP(AAS),EF=BP,OE=OB：.BF=B O+O F=EO+O P=E P =CP设 E尸=BP=%,则 DE=5 x,BF=CP=3 x,AF=AB BF=5 (3%)=2+x在 H fA A D E中，根据勾股定理得：AZ+A b?=。/2,即32+(2+%)2=(5 X)2,解得X=97/.A.F =2,+-6 =一20，故答案.为s,：一207 7 76.如图，将矩形纸片ABCD沿 M N折叠，使 点 B 与点D 重合，再将ACDN沿 DN 折叠。使点C 恰好落在M N上的点F 处。若 M N=5,

29、则 A D 的长为.【解析】由折叠可知：点 B 与点D 重合，.NEDN=90。，:四 边 形 ABCD是矩形，.,.NADC=90,:./ED M +/M D N=ZCDN+ZM DN,/E D M=ZCDN,V Z E=Z C=90,DE=DC,.,.DEM=ADCN(ASA),；.DM=DN,由折叠，可得NBNM=NDNM,ND NC=/DN M,/.ZBNM=ZDNM=ZDNC=X 180=60,ZDMN 是等边三角形，；.DM=M N=5,o1 5:点 C 恰好落在 MN 上的点 F 处，/.Z D F N=9 0,即 DF_LMN,；.M F=NF=5 MN=5 ,15 15AD=

30、AM+DM=AD .7.在矩形ABCD中，AB=10,P 是边AB上一点，把APBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G,过点B 作 B E L C G,垂足为E 且在AD上，BE交 PC于点F(1)求证：BP=BF；(2)当 B P=8时，求 BEEF的值.【解答】（1）见解析；（2）80【解析】（D 在矩形ABCD中，Z ABC-900,.BPC 沿 PC 折叠得到AGPC,ZPGC=ZPBC=90,ZBPC=ZGPC,V B E C G,，BEGP,A ZGPF=ZPFB,ZBPF=ZBFP,.BP=BF；（2）连接G F,如图所示：B C,：ZGEF=ZBAE=90,BFPG,B F

31、=PG,，四边形 BPGF 是平行四边形,V B P=B F,二平行四边形BPGF是菱形，BPGF,A ZGFE=ZABE,.GEFAEAB,二 苑=诙，.ME 0 =M G F =1OX8=8（）.8.已知一个矩形纸片O A C 8,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A(11,0),点 3(0,6),点、P为B边上的动点（点 P 不与点8、C 重合），经过点0、P 折叠该纸片，得点夕和折痕0 P.设（1）如图，当NBOP=30。时，求点P 的坐标；（2）（2）如图，经过点尸再次折叠纸片，使点C 落 在 直 线 匕 得 点 C，和折痕P Q,若 4。=?，求 胆（用含有f 的式子表示）；（3

32、）在（2）的条件下，当点C恰好落在边0A 上时，求点P 的 坐 标（直接写出结果）.在 RQ05P 中，由/3。尸=30,B P=t,得 0P=2r.：OP2=OB2+BP2,即(2/)2=62+巴 解得：“=2 ,，2=-2加(舍 去).，点尸的坐标为(2 ,6)；(2)夕尸、分别是由08P、QCP折叠得到的，:.OBPmOBP,QCP丝/XOCP,:.NOPBNOPB,ZQPC=ZQPC,：Z OPB+NOPB+NQPC+Z QPC=180,：.ZOPB+ZQPC=90,；NBOP+NOPB=90,：.ZBOP=ZCPQ,又,；NOBP=/C=90,：./OBP/PCQ,.毁=坦，PC C

33、Q由题意设 84 3 AQ=m,8c=11,AC=6,则 P C=ll-f,CQ=6-m.：=,ll-t 6-m:.加-旦 什 6(0 r ll)；6 6:.ZPEA=ZQAC=90,ZPCE+ZEPC=90,V ZPCE+ZQCA=90,：.ZEPC=ZQCA,：./P C E/C Q A,，茄、，/P E C，=ZOBZ C在APCE和 O C b中，/P C E=ZOCy B ，PE=OBy：.P C E/O C B （AAS）,：.PC=OC=PC,：.BP=AC,；AC=PB=t,PE=OB=6,AQm,EC=-2t,.2t m.片_ 1 1-4 1 什6,，3产-22/+36=0,

34、解得：6=I 1。13,1=ll+V 136 6 3 3故点P 的坐标为（I 1嗔,6）或（旦 亚 ，6）.3 39.如图正方形ABCD中，AD=8,点 F 是 A B中点，点 E 是 AC上一点，DE_LEF,连接D F交 A C于点G.(1)求ADEF的面积;(2)将AFEG沿 EF翻折得至SEFM,EF交 DM 于点N.求证：点 M 在对角线BD上；求M N的长度.【答案】(1)S QEF=20；(2)见解析；A/N=亘 O【解析】(1)如图，过 E 作 EP_LAP,EQJ_AD,VAC是对角线，.ZEAQ=ZEAP=45,.E P=E Q,四边形APEQ是正方形,V Z Q E P=

35、Z D E F=90,，NDEQ=NFEP,V ZEQD=ZEPF=90,.DQE丝FPE,；.D E=EF,D Q=FP,且 AP=EP,设=则。(？=8 2=?。=*一 4,解得 =6,所以 PF=2,/.A E -,6 2 +62-6 g D E =y/22+62=2-/1 0，:S4DEF=1X 2/10 X 2/10=20；CG DG D C(2)0 */DC/AB,DGCs/FGA,二,=.2 AG FG A F.4 C =8 v ,O F =4/,.CG=,x 8 v =,.4 G=z A C=日 口，J J o o过 G 作 GH_LAB,过 M 作 MK_LAB,过 M 作 ML_LAD,如图所示:则易证 GHFgAFKM,.GH=/K =8=M K=高4，J Jo on A on：M L=A K =A F +F K =4+=-,D L =A D-M K =8-=-,o o o o即 DL=LM,./LD M=45。，；.D M 在正方形对角线D B上；过N 作N/_ L 4 B,则=如图所示：设叫/研，器=怒J =宁，解 得 片3,.尸/=4 一 9=1,；./为 FP 的中点，；.N 是 EF 的中点，.E N=：F=，W,8小是等腰直角三角形，且8/=N/=3,：.BN=3y/2,BK=AB-AK=8-等=，O OOO O