高中数学选择性必修二 4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计.pdf

《高中数学选择性必修二 4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选择性必修二 4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、4.3.2 （第 1 课时）等比数列的前n 项和教学设计课题等比数列的前n项和单兀第一单元学科数学年级高二教材分析 等比数列前n项和是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。本节教材的编排与 等差数列前项和类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式

2、的能力。最后举例说明前八项和公式在解决问题中的应用。教学目标与核 心素养1数学抽象：等比数列的前n项和公式2逻辑推理：等比数列的前项和公式的推导3数学运算：等比数列的前项和公式的应用4数学建模：等比数列的前项和公式5数据分析：从”等比数列的通项公式”到“等比数列的前n项和”再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性重点等比数列前n项和公式及其应用难点等比数列前n项和公式的推导教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课 4 AS国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第

3、3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g,据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.情景引入以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生的学习兴趣、探究欲望。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。讲授新课让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1,公比是2,求 第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等

4、比数列前 64项的和.“错 位 相 减通过层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养，增强学 生 的 应 用 意识。的前等比数列前n项和公式推导“错位相减法”一般地，如何求一个等比数列的前n 项和呢？设等比数列%的首项为的,公比为q,则 ann 项和是Sn=+Qn根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn=%+arq+axq2 H-F ajQ71-1 我们发现，如果用公比q 乘的两边，可得法”是研究数列求和的一个重要方法。qSn=+172+%q n T T卜 arqn.两式的右边有很多相同的项，用的两边分别减去的两边，就可以消去这些相同的项，可得Sn-

5、qSn=ar-axqn,即(l q)Sn=%(l-qn).因此，当q 力1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式当 q=l时，等sn=P(qwi)A*1(1)比数列的前n项和治等于多少？因为册=1qT所以，公 式（1）还可以写成Sn=a1-q g w 1)(2)公式推导方法二S =%+。2 +。3 +a=%+q(%+a2+a3+册-1)=i +q S n-i =%+q(Sn-an)=(1 -q)Sn=%-anq(结论同上)公式推导方法三_ Q/_+an由 a2斯-1_ S 一 出SnQ1+-%-1当q#1时，Q _。1一 四 过n-1-7_q)1-Q运用比例的性质推导当 q=l 时，Sn=na

6、1注：1 .在运用等比数列的前n 项和公式时，定要注意对公比q的讨论（q=1 或 q,l）.2 .当q,l 时，若已知的及 q,“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量直接搭起桥梁，使问题得到解决。则用公式&=韦 较好;若已知a”则用公式&告 学 较 好，有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了.由 的=1 ,q=2,n=6 4,可得1 x(1 -26 4)“Sn=；二2一 =2 126 4-1这个数很大,超过了 1.8 4 x 1 0 1 9 .如果一千颗麦粒的质量约为4 0 g,那么以上这些麦粒的总质量超过了 7 0 0

7、 0 亿吨，约是2 0 1 6 2 0 1 7 年度世界小麦产量的9 8 1 倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.例 7 已知数列 册 是等比数列.(1)若=.求Sg;(2)若的=2 7 ,q 0,求S&;(3)若a1=8,Sn=j i,n.解：(1)因 为 的=：,q=|,所以S _ 品 1 _(珀_2 5 5品-J-(2)由臼=2 7 ,刖=击，可得2 7,I9对于等比数列即 q8=(1)8又由 q 求公比q.解：若 q=l,则1 2 _ 1。的=2 w 卫，S5 5al 32所 以 q。1 .当 q R l时，由乎，得(-1)(1-,i-in个答：(|)错 当 要 21 2(2)错弋？

8、)(3)错 5n2在等比数列%J 中：(1)若%=1,a5=1 6,且 q0,求S7.(2)若。3=|,5 3 =，求心和公比 q.解：(1)V an 为等比数列且%=1,as=1 6 ,a5=a1 q4 q4=1 6*Qi=2,qr=-2(舍去)Si=aq7)=127.1 q 1 2(2)当q#l 时，s 丝1-冷=号1 q Z又。3=arq2=|ai(l+q+q2)=y3即/(l+q+q 2)=，解 得 q=-l (q=1 舍去)Qi=6 当 q=l 时，S3=3al3 1=2综上得产 1 =6(a1=1 一 1或+2q=-y (q =i3 已知等比数列 册 满足=J,且 弩=；2。2+。

9、3 8(1)求 册 的通项公式及前n 项和Sn(2)若bn=1l-o-g-r-，求%的前.n 项和2anlog2an+1 n j n分析(1)直接利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出通项公式和求和公式；(2)利 用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.解：(1)设数列 册 的公比为q,由 弩=；,可得q 3=。2 +。3 8 8所以q=；,所以即=或所 以 又=寻=1 去2(2)由(1)可得,1 1 1=-=-=-=Iog2 anlog2 an+1(-n)(-n-l)n(n+l)1 1n n+1则=(i-3+mu)+n n 4-1/n+lnn+14

10、已知首项为|的等比数列 七 的前n 项和为Snm eN ),且一2 s 2,S3,4 s 4 成等差数列.(1)求数列 册 的通项公式；(2)证明：Sn+(n G N*).sn 6解：(1)首项为|的等比数列 册 的前n 项和为SnS eN*),且一2 s 2,S3,4 s 4成等差数列所以 S3+2S2=4 s 4 -S3,整理得 2 a4 =-a3,所以 q=-2 1=-iO3 2所 以 斯 二|x(-yT=(_ iy，！/(2)由(1)得3 1 n2口 一(一 力 、”S”=-/=1 一(一5)1+去故1 1 n 1S+l(2)+一+-当n为奇数时，Sn+s L+G)+“(T+J2n1=2 +-l+2n 2n(2n+l)当n为偶数时，S ；=l +4-=2n(2n-l)当n为奇数时，Sn Si 6当 n 为偶数时，Sn+-S2+-=SJI S2 12 6综 上，Sn+W?(n E N*)成立.sn 6课堂小结1 等比数列前n 项和公式已知量首 项4、公比q和项数n首项。1、末项即和公比q求和公式S“piQi(q=1=I a A1lJ-qn)Sn”1(q=1)=午等(q#DI 1 q2 例题3 课堂练习板书1 引入2 等比数列前n 项和公式推导3 例题讲解4 课堂练习教学反思