考点06分式方程-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf

《考点06分式方程-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点06分式方程-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、考点0 6分式方程命题趋势本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查,分值为10分左右，预 计 2022年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。知识梳理1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据.2.分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母.（2）解分式方程的步骤：

2、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；解整式方程；验根.注意：解分式方程过程中，易错点有：去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.3.增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根.注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根.若这个整式方程本身无解，当然原分式方

3、程就一定无解.4.分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等.每个问题中涉及到三个量的关系，如：工 作 时 间*;，时 间=萼 等._L作效率 速 技（2）列分式方程解应用题的一般步骤：设未知数；找等量关系；列分式方程；解分式方程；检验（一验分式方程，二验实际问题）；答.重点考向考 向 1解分式方程分式方程的解法：能化简的应先化简；方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；解整式方程；验根.典例引领2-x 11.（2021四川成都市中考真题）分式方程-+=1的 解 为（）x-3 3-xA.x-2 B.x 2 C.x =l D.x =-1【答案】A【分析】直接通分

4、运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解.2尤 1 2尤 1 2-x-1【详解】解：-+=1,-=1,-=1,2-1 =%-3,解得：x =2,x 3 3 -x x 3 x-3 x 3检验：当x =2 0寸，x 3 =2 3 =1*0,，x =2是分式方程的解，故选：A.【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验.Y J-1 42.（2021江苏连云港市中考真题）解方程：-Z-=1 .x-1 X-1【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可.【详解】解：去分母得：（x+l）2-4=-1整理得2 x=2,解得x=l,经检验，x=l是分式方

5、程的增根，故此方程无解.【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键.变式拓展a k m1.（2021广东中考模拟）定义一种新运算：J 尤 a公=优-，例如：J 2 M x =公一力2,若J 一厂2公=一2 ,b h 5 m则机二（）2 2A.-2 B.-C.2 D.一5 5【答案】B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.5 ，1 1 2 详解】根据题意得，/-x2dx=tn-(5 m Yl=-=-2,则m=一一，m m 5 m 5经检验，加=-|是方程的解，故选B.【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.X 1 32.(2 0 2

6、 1陕西中考真题)解方程：-=1.尤+1 X 1【答案】X=2【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可.【详解】解：去分母(两边都乘以(x+l)(x-l),得，。一1)2-3 =/-1.去括号，得，X2-2X+1-3=X2-1.移项，得，X2-2X-X2=-1-1+3.合并同类项，得，-2 x=L系数化为1,得，x=-:.2检验：把 X =代入(x+l)(x-l)o().x=-2是原方程的根.【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验.考向2分式方程的增根与无解问题(1)求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大

7、了未知数的取值范围,可能产生增根.(2)验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0,这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.(3)如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例引领4-4 3 X1.（2021广西贺州市中考真题）若关于的分式方程=-；+2 有增根，则”?的 值 为（）%-3%-3A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】根据分式方程有增根可求出 =3,方程去分母后将 =3

8、 代入求解即可.【详解】解：分式方 程-二1-4 =上3 一X+2 有增根，x=3,x-3 x-3去分母，得加+4 =3 x+2（x-3）,将 x=3 代入，得加+4 =9,解得加=5.故选：D.【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键.Y-1-2.（2021浙江中考模拟）已知关于x的分式方程土=-1 =2无解，则 机 的 值 是（）x-3 xA.-2 B.-3 C.-2 或-3 D.0或 3【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出加的值.【详解】解：两边都乘以x（x-3）,得：x（

9、x+nj）-x（x-3）x-3,3整理，得：（加+2）x=-3,解得：x=-一一，m+2当加+2=0,即拉=-2时整数方程无解，即分式方程无解，.关于X的分式方程y-1 =2 无 解，-=0或=3,即无解或3 （加+2）=-3,x-3 x m+2 m+2解得，=-2或-3.的值是-2或-3.故选C.【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件.变式拓展X irj1.（2021四川宜宾市中考真题）若关于”的 分 式 方 程-3 =-有 增 根，则 次 的 值 是（）x-2 x-2A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【分析】先把分式方程

10、化为整式方程，再把增根k 2 代入整式方程，即可求解.【详解】解：一3=,去分母得：x-3（x-2）=m,x-2 x-2 7.关于x 的分式方 程 一 一一3=一2 一有增根，增根为：户2,，2-3（2 2）=w，即：m=2,故选C.x2 x2【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键.2.（2021内蒙古呼伦贝尔市中考真题）若关于x 的分式方程二一+三 =2 无解，则。的 值 为（）x-3 3-xA.3 B.0 C.-1 D.0 或 3【答案】C【分析】直接解分式方程，再根据分母为0 列方程即可.【详解】解：+-=-=2,去分母得：2-.a=2（x-

11、3）,解得：*=匚:x-3 3-x 3当8 Q=3 时，方程无解，解得。=一1.故选：C.3【点睛】本题考查分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0 列方程.考 向 3分式方程的特殊解问题典例引领1.（2021湖北荆州市中考真题）若关于工的方程生 上 +土=3 的解是正数，则，的取值范围为x-2 2-x【答案】例 7 且答 3【分析】先用含机的代数式表示x,再根据解为正数，列出关于?的不等式，求解即可.、立,2x+m x-1-3 m+7,【详解】解：由-+-=3,得：x=-且*2,x-2 2 x 2.关于X 的方程”上生+二 二=3 的解是正数，.%工 0 目.空

12、 2 声2,解得：，-7 且加齐3,x-2 2-x 2 2故答案是：，-7 且/n/-3.【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键.3x2 2（x+2）2.（2021重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组 的解集为x 2 6,且关于y 的分a-2 x -5式方程2号+孚R =2的解是正整数，则所有满足条件的整数。的值之和是（）y-l l-yA.5 B.8 C.1 2 D.1 5【答案】B【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得 到 6解得。-5，目.a+5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数的值，最后求和.【详解】解：7 解不等式得，x

13、6,解不等式得，x a-2x 6.-.6.-.a -1 y-i 2一1。0,则。丁x 1,，a x-3,分式方程的解是正整数，.丝30二。-5,且。+5是2的倍数，.一5。-4 B.且加。-3 C.m-4 D.，-4且加。一3【答案】B【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解.772+3 772+4 1【详解】解：由关于X的分式方程-3 =1可得：X =，且2 x-l 2 27 7?4-4 7 +4 方程的解为非负数，一一 0,且一一丰一、解得：“2-4且WH 3,故选B.2 2 2【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及

14、-元一次不等式的解法是解题的关键.考向4分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行.典例引领1.（2 0 2 1山东淄博市中考真题）甲、乙两人沿着总长度为H）k m的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前1 2分钟走完全程.设乙的速度为x k m/h,则下列方程中正确的是（）1 0 1 0 1 0 1 0 “1 0 1 0 S 1 0 1 0 ”A.-=1 2 B.-=0.2 C.-=1 2 D.-=0.2x 1.2 x 1.2 x x 1.2%x x l.2x【答案】D【分析】根据题

15、意可直接进行求解.【详解】解：由题意得：此 一 里 =0.2；故选D.x 1.2%【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键.2.（2 0 2 1江苏徐州市中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用4 0 0元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问：该商品打折前每件多少元？【答案】5 0【分析】该商品打折卖出x件，找到等量关系即可.【详解】解：该商品打折卖出X件=-解得广8经检验：x =8是原方程的解，且符合题意x 1 0%+2商品打折前每 件 萼=5 0元答：该商品打折前每件5 0元.O【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等

16、量关系是解题的关键.3.（2 0 2 1江西中考真题）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2 4 0 0元购买的商品数量比乙用3 0 0 0元购买的商品数量少1 0件.（1）求这种商品的单价；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了 2 0元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 元/件.（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结 合（2）的计算结果，建议按相同 加油更合算（填“金额”或“油量”）.【答案】这种商品的单价为6 0元/件；（2

17、）4 8,5 0；（3）金额【分析】（1）根据题意设这种商品的单价为X元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式方程进行求解即可；（2）利用两次购买总价?两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可；（3）对 比（2）中的计算数据总结即可得解.【详解】（I）设这种商品的单价为N元/件，3 0 0 0 _ 2 4 0 0 =1（）1解得 =经检验x =6 0是原分式方程的解，x x则这种商品的单价为6 0元/件；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为6 0 2 0 =4 0元/件，2 4 f）f）2 4 0 0 甲两次购买总价为2 4 0 0 x 2 =4

18、8 0 0元，购买总数量为+=1 0 0件，6 0 4 0二甲两次购买这种商品的平均单价是 生 四=4 8元/件；1 0 0.乙两次购买总价为3 0 0 0+迎&x 4 0 =5 0 0 0元，购买总数量为型 型x 2 =1 0 0件，6 0 6 0二乙两次购买这种商品的平均单价是一=5 0元/件；故答案为：4 8,5 0；1 0 0（3）V 4 8 5 0,.按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算,.建议按相同金额加油更合算，故答案为：金额.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，通过题目找准数量关系，利用总价-数量=单价的基本等量关系式进行求解是解决本题的关键.变式拓展1.（2021

19、湖北十堰市中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天,设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（）400 450,450 400,400 450“450 400 1A.-=1 B.-=1 C.-=50 D.-=5x x-50 x-50 x x x+1 x+1 x【答案】B【分析】设现在每天生产x 台，则原来可生产（x-50）台.根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天，列出方程即可.【详解】解：设现在每天生产x 台，则原来可生产（厂50）台.450 400,依题显得：-=1.故选：B

20、.x-50 x【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键.2.（2021湖南永州市中考真题）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在 2022年将30亩土地全部用于种植A,B两种经济作物.预计B种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2 万元，为实现2022年 4 种经济作物年总产值20万元，B 种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年 4,B 两种经济作物应各种植多少亩？【答案】2022年 A,8 两种经济作物分别种植20亩 和 10亩【分析】设 A,8

21、 两种经济作物分别种植x 和（30-x）亩，根据8 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2 万元，建立分式方程即可求解.【详解】解：设 2022年A,B 两种经济作物分别种植x 和（30-x）亩,20 30由题意可知：A 种经济作物市产值 为 一 万元，B 种经济作物亩产值为-万元，x 30-x由“B 种经济作物市产值比A 种经济作物亩产值多2 万元”可知：=+2 解得：x=20或x=-1 5（负值舍去），30-x x经检验，当x=20时原分式方程的分母不为0,故 2022年 A,8 两种经济作物分别种植20亩 和 10亩.【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是要审题仔细，找到题中隐藏的

22、等量关系进而建立方程求解.热点必刷1.（2020四川广元市中考真题）按照如图所示的流程，若输出的二一6,则输入的m 为（)A.3 B.1 C.0 D.-1【答案】C【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题.A【详解】解：当m22m20时，-=-6,解得m=0,m-1经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m?0,当m22mV0时，m-3=6,解得m=-3,不满足rrP-ZmVO,舍去.故输入的m为0.故选：C.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的冲算方法.x 32.（2021湖北恩施中考真题）分式方程+1=的 解 是

23、（）x-1 x-13A.x=l B.x=2 C.x=D.x=24【答案】D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可.x 3【详解】解：-+1 =去分母：x+x-l=3,工=2,X-1 X 1经检验：x=2是原方程的解；故选D.【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.k x 33.（2020四川成都市中考真题）已知x=2是分式方程一+=1的解，那么实数后的值为（）x x-1A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】将X=2代入原方程，即可求出上值.k r-3 k 2-3【详解】解：将x=2代入方程一+=1中，得一+=1解得：k=4.故选：B.x x-1 2

24、2-1【点睛】本题考查 方程解的概念.使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.“有根必代”是这类题的解题通法.x 24.（2021湖南益阳市中考模拟）解分式方程-+-=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是2x-2xA.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-1)D.x+2=3(2x-1)【答案】c【分析】最简公分母是2x-1,方程两边都乘以（2x-I）,即可把分式方程便可转化成一元一次方程.【详解】方程两边都乘以（2x-1）,得x-2=3（2x-1）,故 选C.【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

25、m 35.（2020四川遂宁市中考真题）关于x的 分 式 方 程=-=1有增根，则 根 的 值（）x-2 2-xA.in=2 B.m 1 C.m3 D.m-3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出，”的值即可.【详解】解：去分母得：?+3=x-2,由分式方程有增根，得到x-2=0,即x=2,把x=2代入整式方程得：加+3=0,解得：m=-3,故选：D.【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.6.（2021 浙江模拟预测）已知关于尤的方程=无解，则，的值为（）x-3 x-3A.4

26、 B.3 C.2 D.1【答案】C【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即4 3,据此即可求解.【详解】解：去分母得：解得：xm+,根据题意得：，“+1=3,解得：，=2,故选：C.【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容.7.（2021黑龙江绥化市中考真题）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（）6000 4500 6000 4500 60

27、00 4500 6000 4500A.-=-B.-=-c.-=-D.-=-x x+500 x-500 x x x-500 x+500 x【答案】D【分析】设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产（x+500）箱药品，再根据“生 产 6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同“建立方程求解即可.【详解】解：设原计划平均每天可生产X箱药品，则实际每天生产（X+5 0 0）箱药品,原计划生产4 5 0 0 箱所需要的时间为：竺 竺，现在生产6 0 0 0 箱所需要的时间为:x6 0 0 0 x +5 0 0由题意得:6 0 0 07+5 0 04 5 0 0 ,-;故选：D

28、.X【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.8.（2020四川绵阳市中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶1 8 0 k m”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶8 0 k m”.从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A.1.2 小时 B.1.6 小时 C.1.8 小时 D.2小时【答案】C1 8 0【分析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3-x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为一k m/h,x乙的速度为k m/h,根据“各匀速

29、行驶半路程”列;H 方程求解即可.3-x【详解】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3-x）小时，8 0 8 0根据两人对话可知：甲的速度为一k m/h,乙的速度为k m/h,x 3-x根据题意得：18O（3-X）=1 2）解得：x i =1.8 或 X 2=9,x 3-x经检验：x i =1.8 或 X 2=9 是原方程的解，X 2=9 不合题意，舍去，故答案为：C.【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系.9.（2021湖南衡阳市中考真题）“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木60 0 0

30、棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了 2 5%,结果提前3 天完成任务.则实际每天植树_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 棵.【答案】50 0【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（l +2 5%）x,根据工作时间=工 作总量+工作效率，结合实际比原计划提前3 天完成，准确列出关于的分式方程进行求解即可.【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（l +2 5%）x,60 0 0 60 0 0 =3%=4 0 0,经检验，x =4 0 0是原方程的解，x 1.2 5%实际每天植树4 0 0 x 1.2 5=50 0棵，故答案是：50 0.【点 睛】本题考查了分

31、式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程.1 0.（2 0 2 1辽宁本溪市中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同 学 颁 奖.在 购 买 奖 品 时发现，A种奖品 的 单 价 比B种 奖 品 的 单 价 多1 0元，用30 0元购 买A种 奖 品 的数 量 与 用2 4 0元 购 买B种 奖 品 的 数 量 相 同.设3种奖品的单价是x元，则可列分式方程为【答 案】30 0 2 4 0 x+1 0 x【分 析】设B种奖 品 的 单 价 为x元，则A种 奖 品 的 单 价 为（x+1 0）元，利用数量=总价+单价，结 合

32、用30 0元 购 买A种 奖 品 的 件 数 与 用2 4 0元 购 买B种奖品的件数相同，即可得 出 关 于x的分式方程.【详 解】解：设B种 奖 品 的 单 价 为x元，则A种 奖 品 的 单 价 为（x+1 0）元,依题意得:30 0 2 4 0 x +1 0 x故答案为:30 0 2 4 0 x +1 0 x【点 睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.3 X m1 1.（2 0 2 1黑龙江齐齐哈尔市中考真题）若 关 于x的分式方程=+2的解为正数，则?的取值范x-1 l-x围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】机 0,解 得

33、机 一2,2/1,即 加。一3，二团的取值范围是加 -2且 机。一3,故答案为：加-3且“印-2【分 析】先利用，表 示 出x的值，再 由x为 正 数 求 出，”的取值范围即可.【详 解】解：方程两边同时乘以六1得，2 x-3（x-l）-m,解 得 =机+3,为正数，：.m+3 0,解 得，-3.，”+3广，即成齐2.的取值范围是，”-3且小齐2.故答案为：?-3且 小齐2.【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键.x 113.（2021广西玉林市中考真题）方程=-的解是.x 1 2%-2【答案】X=1

34、2【分析】先去分母，再解整式方程，检验即可.V 11【详解】解：=-，两边同乘2 x-2去分母得，2 x=l,解整式方程得，户 一；x 1 2 x 2 2经检验，kL是原分式方程的解；故答案为：2 2【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题关键是熟练运用解分式方程的方法进行求解，注意：分式方程要检验.1 1-r14.（2021湖北黄石市中考真题）分式方程一二+93=3的解是_ _ _ _ _.x-2 2-x【答案】x =3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】解：为+芸=3去分母得：1 （1 x）=3（x 2）,去括号化简得：2 x

35、 =6,解得：x =3，经检验x =3是分式方程的根，故填：无=3.【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.a b a b15.（2021浙江杭州中考模拟）符号”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：乂 =cid-bc,请c a c a2 1你根据上述规定求出下列等式中x的 值.若1 1 =1,那么工=_.1-x X-1【答案】4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案.2 12 1【详解】解：:1 1 =1,一-=1,-x-x x x方程两边都乘以X-1得：2+l=x-1,解得：x=4,检验：当x=4时，x -1川，1 -x/）,即

36、x=4是分式方程的解，故答案为：4.【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键.x 416.（2020湖南郴州市中考真题）解方程：一+1x-1 x-1【答案】X=3.【分析】观察可得方程最简公分母为（X2-1）,去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.y A【详解】解：+1去分母得，x（x +l）=4 +f l 解得，x=3,x-x2-l经检验，X=3 是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3.【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验.x-2 317.

37、（2020陕西中考真题）解分式方程：-=1.x x-24【答案】、=二.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.x-7 3【详解】解：方 程-=1，x x-2去分母得：x2-4 x+4 -3xx2-2x,移项得：-5 x=-4,4系数化为1得：x=1，4经检验X=二是分式方程的解.【点睛】本题考查了解分式方程.利用了转化的思想，解分式方程要注意检验.2 r 518.（2021江苏泰州市中考真题）（1）分解因式：x3-9 x；（2）解方程：-+1=-.x-2 2-x【答案】（1）x （x+3）（x-3）；（2）x=-【分析】（1）先提取公因式

38、x,再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可.【详解】解：（1）原式=x （N-9）=x（x+3）（x-3）,（2）等式两边同时乘以（x-2）得 2 x+x-2=-5,移项合并同类项得3 卡-3,系数化为1得 4-1检验：当户-1时，*2。0,.x-l是原分式方程的解.【点睛】本题考查因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检验.19.（2021浙江九年级模拟）对 于 分 式 方2-程x +3 =二2，牛牛的解法如下：x-3 3-x解：方程两边同乘（X 3）,得 2-x+3 =-2（x-3）去括号，得 2-x+3=-2 x+

39、6 解得x=l 二原方程的解为X=1 （1）上 述 解 答 过 程 中 错 误 的 是（填序号）.（2）请写出正确的解答过程.【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（D 根据分式方程去分母法则即可得：（2）先通过去分母，将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得.【详解】解：（1）方程两边同乘（x-3）,得2-x+3（x-3）=-2,则步骤错误,步骤未经检验，得出原方程的解，则步骤错误，故答案为：;(2)3+3 x-3 3-x方程两边同乘（X 3）,得 2-x+3（x-3）=-2,去括号，得 2-x+3 x-9 =-2,移项、合并同类项，得2 x =5,系数化为I,得工 二 9，经检验，x

40、 =g是原分式方程的解，故方程的解为x =g.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键.x X2 0.（2 0 2 1广西来宾市中考真题）解分式方程：=-+1.x +1 3 x +3【答案】x =-3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.X x【详解】解：=-+1去分母，得 3 x =x+3（x+l）,解此方程，得x =3,x +1 3 x +3经检验，x =-3 是原分式方程的根.【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验.2 1.（2 0 2 1湖北中考真题）（1）计算：（

41、3 夜）*4 一（2 百 一 6）+4+疝；（2）解分式方程：-2-+一x一=1.2x-1 1 -2x【答案】（1）8；（2）x =l.【分析】（1）先计算零指数幕、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得;（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得.【详解】解：（1）原式=1*4-2 百+6-2 +2 6=4+4=8；方程两边同乘以2 x-l 得：2-x =2 x l,移项、合并同类项得：一 3%=-3,系数化为1得：x =l,经检验，x =l是原分式方程的解，故方程的解为x =l.【点睛】本题考查了零指数帚、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和

42、方程的解法是解题关键.22.（2021辽宁中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20 米，甲队改造40 0 米的道路与乙队改造30 0 米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是8 0 米，乙工程队每天改造的道路长度是6 0 米.【分析】根据题意列出方程求解即可.【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：=-300-,解得：x=8 0.8 0-20=6 0.x x-2 0答：甲工程队每天改造的道路长度是8 0 米，乙工程队每天

43、改造的道路长度是6 0 米.【点睛】此题考查/分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程.23.（2021吉林长春市中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2 元，用 420 元购买的有机大米与用30 0 元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？【答案】每千克有机大米的售价为7元.【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（片2）元，根据“用 420 元购买的有机大米与用30 0 元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解.【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则

44、每千克普通大米的售价为（2）元，根据题意得：,解得：x=7,x x 2经检验：产7是方程的解，且符合题意,答：每千克有机大米的售价为7 元.【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键.24.（2021山东聊城市中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化.已知用6 0 0 元购买A种花卉与用9 0 0 元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5 元.（1）4,B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A,B两种花卉共6 0 0 0 盆，其中A种花卉的数量不超过8种花卉数量的g,求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，

45、最低费用是多少元？【答案】（1）A 种花弃每盆1 元，8种花卉每盆1.5 元；（2）购买A 种花卉1 5 0 0 盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8 25 0 元【分析】（1）设 A 种花弃每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验；（2）设购买A种花卉：f 盆，购买这批花卉的总费用为w元，则 二!（6 0 0 0-f）,w=t+1.5（6 0 0 0-r）=3-0.5 r+9 0 0 0,v v 随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值.【详解】解：（1）设 4 种花弃每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元.根据题意，得 眄 =&-.解这个方

46、程，得 x=l.x x +0.5经检验知，x=l是原分式方程的根，并符合题意.此时x+0.5 =1+0.5 =1.5 （元）.所以，A种花弃每盆1 元，B种花卉每盆1.5 元.（2）设购买A种花卉：/盆，购买这批花卉的总费用为卬元，则 正 二（6 0 0 0-/）,解 得：正1 5 0 0.由题意，得卬=f+1.5 （6 0 0 0-r）=-0 5+9 0 0 0.因为w是 f 的一次函数，氏=-0.5 0,w随 f 的增大而减小，所以当1=1 5 0 0 盆时，w最小.v v=-0.5 x 1 5 0 0+9（X）0=8 25 0 （元）.所以，购买A种花卉1 5 0 0 盆时购买这批花卉总

47、费用最低，最低费用为8 25 0 元.【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式及取值范围是解题关键.25.（2021湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A ,8 两种奖品，用于表彰在“童心向党 活动中表现突出的学生.已知A奖品比3 奖品每件多25 元预算资金为1 7 0 0 元，其中8 0 0 元购买A奖品，其余资金购买3 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3 倍.（1）求 A,3 奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八圻销售，学校调整了购买方案：不想迎预算资金且购买A 奖品的资金不少干7 2 0 元

48、，A,3两种奖品共1 0 0 件.求 购 买 A,3两种奖品的数量，有哪几种方案？【答案】（1）4，B奖品的单价分别是4 0 元，1 5 元；（2）购买A奖品2 3 件，8奖品7 7 件；购买A奖品2 4件，B奖品7 6 件；购买4奖品2 5 件，8奖品7 5 件.【分析】（1）设 B奖品的单价为x 元，则 A奖品的单价为（x+2 5）元，根据“购买5奖品的数量是A奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解；（2）设购买A奖品件，则购买8奖品（1 0 0-4 件，列 出 一元一次不等式组，即可求解.【详解】（1）解：设 8奖品的单价为x 元，则 A奖品的单价为（x+2 5）元,由题意得:3=1700

49、-800 x+25 x解得：x=1 5,经检验：尸 1 5 是方程的解，且符合题意，1 5+2 5=4 0,答：A,8奖品的单价分别是4 0 元，1 5 元；（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品（1 0 0-。）件,由题意得:40 x 0.8a+15 x 0.8(100-)720解得：22.5a25,Y a 取正整数，523,2 4,2 5,答：购买A奖品2 3 件，8奖品7 7 件；购买A奖品2 4 件，8奖品7 6 件；购买4奖品2 5 件，B奖品7 5 件.【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题的关键.26.（2021四川广安

50、市中考真题）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：水果单价甲乙进 价（元/千克）Xx+4售 价（元/千克）2 02 5己知用1 2 0 0 元购进甲种水果的重量与用1 5 0 0 元购进乙种水果的重量相同.（1）求X的值；（2）若超市购进这两种水果共1 0 0 千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3 倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）1 6；（2）购进甲种水果7 5 千克，则乙种水果2 5 千克，获得最大利润4 2 5 元【分析】（1）根据用1 2 0 0 元购进甲种水