2016年数学理高考真题分类02导数.pdf

《2016年数学理高考真题分类02导数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年数学理高考真题分类02导数.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、导数1.12016高考山东理数】若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=/(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()(A)y =sinx(B)y =lnx(C)y =e*(D)y =d【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当y=sinx时，j=c o s x,有cosO-cos兀=-1,所以在函数y =sinx图象存在两点x=Q x=使条件成立，故A正确；函数y=lnx,1y=/j =V的导数值均非负，不符合题意，故 选A.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【

2、名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幕函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2.【2016年高考四川理数】设直线/”6分别是函数式x尸 图象上点修，P2处的切线，/1In x,x 1,与/2垂直相交于点P，且A，L分别与 轴相交于点A，B,则以B的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(l

3、,+oo)【答案】A【解析】试题分析：设(芭，ln x j,打(，一 心 )(不妨设玉1,0马1)，则由导数的儿何意义易得切线Z,12的 斜 率 分 别 为 由已知得堆2 =T，；再 无2=l,.,.x2=.切线4的方程分别为xx x2 玉1 1 ，1、y In玉(x 玉)9切线乙的方程为y+In/=-(x x2)即y In%=斗x-.分别令占x2 1x x=0 得 A(0,l+ln x J,B(，l+ln x J.又4 与 4 的交点为 P1 +-I X,1 ,i 2x 1 +1*二 S,PA6 一%卜./=1 V ；=1，.二 0S 弘8 1)，与函数y=l n(x+1)相切于点P2,y2

4、)，则 凶=I n%+2,y2=+1),则点4(4)。在切线上得-(I n再+2)=(x-j q),由鸟(项,必)在切线上得1 1 -l n(X 2+l)=(x-Xj),这两条直线表不同一条直线，所以，三+1%电+1 ,解之得I n +1)=I n 玉-、巧+1j q =,所以左=2,所以方=l n;q+2 1 =1 l n 2.2%考点：导数的几何意义.【名师点睛】函数次x)在点刈处的导数/(沏)的几何意义是在曲线y=/(x)上点尸(X。，儿)处的切线的斜率.相应地，切线方程为丫一=/。0)。一 沏).注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过尸点的切线的不同.4.12016高考新课标3理

5、数】已知 X)为偶函数，当x 0时，-x 0时，函数y=/(x),则当x 0时，求 函 数 的 解 析 式 有如下结论：若函数/(x)为偶函数，则当x 0时;函数的解析式为y =-/(x)；若/(X)为奇函数，则函数的解析式为y =/(%).5.2 0 1 6高考新课标1卷】(本小题满分1 2分)已知函数 有两个零点.(I)求”的取值范围；。1)设为也是/(X)的两个零点,证明：x1+x2 2.【答案】(0,+8)【解析】试题分析：求导，根据导函数的符号来确定，主要要根据导函数零点来分类；(H)借组第一问的结论来证明,由单调性可知玉+Z /(2 /)，即/(2-x2)1 时，g (x)0，而

6、g(l)=0，故当 xl 时，g(x)0 .从而g(%)=/(2-)0,故 0,则当X G(-OO,1)时，/(x)0.所以/(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+0。)上单调递增.又/(1)=e,/(2)=。，取b 满足b 0 且b-(b-2)+a(b-l)2=a(b2-Z?)0,故 存 在 两 个 零 点.(i i i)设 0,因此/(x)在(l,+o o)上 单 调 递 增.又 当时,/(x)0,所以/(%)不存在两个零点.若 a 1,故当 x e(1,l n(2 a)时，/(x)0 .因此/(x)在(l,l n(-2 )单调递减，在(l n(2 a),+8)单调递增.又当无 1时,

7、/(x)0,所以/(x)不存在两个零点.综上，。的取值范围为(0,+8).(II)不妨设玉 乙,由(I)知%8,1),e(l,+8),2 -e(-,l),/(x)在(-0 0,1)上单调递减，所以/(2-%),即/(2-)l时,g (x)0,而g =0,故当xl时,g(x)0.从而 g(%2)=/(2-2)0，故尤1+工2 尸(X)+Q对于任意的x e l,2 成立.【答案】(I )见解析；(II)见解析【解析】试题分析：(I )求/U)的导函数，对a进行分类讨论，求/(x)的单调性；3 3(II)要证/(x)/(x)+对于任意的x e l,2 成立，即证/(x)-/z(x)-,根据单调性求解

8、.试题解析:(I )/(X)的定义域为(Q+8)；,/、。2 2/(力 必 一 二 丁 十/(OX2-2 XX-1)当a W O,x c(O,l)时，/(x)0,/(x)单调递增xcQ田)时J(x)0时，/(x)=(x+j-Xx-(1)0 a 1,a当x e(0,l)或XG(J1,+8)时，/,(%)0,/(x)单调递增;当时，/(x)0,/(x)单调递增;a(3)a2时，0，2 1,当x e(0,、2)或x e(1,+8)时，/(工)0,/(尤)单调递增;V a当x e(2,1)时，r(x)o,/(X)单调递减.a综上所述,当aWO时,函 数/(X)在(0,1)内单调递增,在(1,+8)内单

9、调递减;当0 a0,尤(/,2)时,(p(x)g(i)+碎)=5，,3即/(尤)/(x)+对于任意的xe l,2恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.7.12016高考江苏卷】(本小题满分16分)已知函数/(x)=ax+b(a O,b O,a H

10、l,b*1).设 a =2,=；,(1)求方程x)=2的根；(2)若对任意x e R,不等式/(2%)2m氏%)-6恒成立，求实数加的最大值；若函数g(x)=/(x)-2有且只有1个零点，求“0的值。【答案】(D0 4(2)1【解析】试题分析：(1)根据指数间倒数关系2、-27=1转化为一元二次方程(2)-2x 2,+1 =0,求方程根根据指数间平方关系22、+2-2,=(2,+2-*)2-2,将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，即加4的最小值,最后根据基本不等式求最值(2)先分析导函数零点情况：唯一/(x)零点七，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯

11、一零点必在极值点小取得，而g(0)=/(0)-2=a +-2=0,因此极值点尤。必等于零，进而求出的值.本题难点在证明x=0,这可利用反证法：若/0,则可寻找出一个区间(西,)，由g(%)0结合零点存在定理可得函数存在另一零点，与题意矛盾，其中可取玉=5,X 2=b g“2；若 毛 0,同理可得.试题解析：(1)因为。=2,匕=；,所 以/(尤)=2*+2-*.方程 f(x)=2,即 2、+2r =2,亦即(2 y -2 x 2*+1 =0,所以(2-1)2=0,于是2*=1,解得x =0.由条件知/(2x)=22X+2-2X=(2*+2-)2 2=(y(x)2 _ 2.因为f(2x)何(x)

12、-6对于x e R恒成立，且/(%)0,(+4所以2 W 3 对于x e H恒成立./(x)/(X)+47 wV fM所以加4 4,故实数机的最大值为4.2)因为函数跃x)=/(x)-2只有 1 个零点，而g(0)=/(0)2=a+6 2=0,所 以0是函数第x)的唯一零点.因为 S(x)=axlna+bzlnb,又由 0 a1知lna0,所以g(x)=0有唯一解XQ=bg i(粤).G Inb令力(x)=g(力,h(x)=(azn a+bx In b)=azQna)2+bz(nb)2,从而对任意x e R,方(x)0,所以义(力=网工)是(一叫+8)上的单调增函数，于是当X C(-B，W),

13、g(x)g(F)=0.因而函数g(x)在(-00,凝)上是单调减函数，在(凝,包)上是单调增函数.下证/=0.若 不 0,则 当 0,于是g(，)。脸2 _2=0,且函数g(x)在 以 包 和log,2为端点的闭区间上的图象不间断，所 以 在 会 和log0 2之间存在g(x)的零点，记为王.因为0。1,所以log 2 0,又 会0,所以不 0,同理可得，在，和log”2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.因此，x0=0.于是一股=1,故lna+ln0=0,所以ab=l.nh考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函

14、数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.8.【20 1 6 高考天津理数】(本小题满分1 4 分)设函数/(x)=(x-l)3-a x-b,x e R ,其中求/(x)的单调区间；(I I)若/(x)存在极值点尤0，且/(玉)=/(%0)，其中石。玉)，求证：+2/=3；(I I I)设。0,函数g(x)=|/(x)|,求证：g(x)在区间 一1 上的最大值不小于!二,4【答案

15、】(I)详见解析(I I)详见解析(I I I)详见解析【解析】试题分析：(I)先求函数的导数：f(x)=Xx-T)2-a再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有/(x)2O恒成立，所以/(x)的单调增区间为(一叫8).当a 0时，存在三个单调区间 1 1)由题意得(f1尸=(,计算可得了(3-2七)=/&)再 由/(=/1)及单调性可得结论(山)实质研究函数以x)最大值：主要比较/(D J(T)(丁 一 亍 的大小即可，分三种情况研究当aN3时，1 一WO2M1+叵，当 之 弓.3时，3 3 42 楞a 2-3a _ .3 .B a1-0 l-1 +21+-,当0 a 2时，0 l-

16、1+0时，令 r(x)=0,解得=1 +然，或x =l 一 邙.当x变 化 时,_ f(x),/(x)的变化情况如下表:所以/（尤）的单调递减区间为（1 一 半,1 +率），单调递增区间为（一8,1-孚），（1 +孚,+8）.X,1 V 3 a(-0 0J )6a1-3“y3a M a、(1-,1 +)3 36a1 H-3/、(l +-y-,+O O)/（X）+00+/单调递增极大值单调递减极小值单调递增（I I）证明：因为/（X）存在极值点，所以由（I ）知40,且玉）H 1,由题意，得 了 （尤0）=3（%1）2。=0,即（工0 -1）2 =,进而/（尤0）=（X。_ 1）3 _ _人=_

17、彳X。_1_ 6Qa又/（3 _ 2/）=（2 _ 2/）3 _。（2 _ 2%）_分=餐（1 7 0）+2%_ 3 /_。=-x0-b f（x0）,且3-2%0彳/，由题意及（I）知，存在唯一实数满足/（%）=/（%），且%产 题，因此玉=3-2%），所以玉+2%=3；（I I I）证明：设g（x）在区间 0,2上的最大值为M,m a x x,y 表 示 两 数 的 最 大 值.下面分三种情况同理：（1）当时，1浮W O 0 _ _,所以=a-l+a +b 之2.一 1一(4 +。),4 +。0 当%a3时，1 一半W O 1-浮 1 +与2+毕由（I ）和（H）知,/（0R川-空）=川+华

18、），/少（1 +空）=川-浮）,因 止 匕所以f(x)在区间 0,2 上的取值范围为/(I+芍)，/(I 一M-m a x|/(1H )|J/(I-)1 -mx y3aa h9 yl3a a-b 3 3 y y=m a x|-Y3a-(a +0)|J3 a -(a +0)|9 92a r-,-2 3 1=J3 a+/?2 x x ，3 x=一.9 9 4 V 44(3)当 0 a 3 时，01 叵 1+跑 2,由(I)和(I I)知，4 3 32超a J3a 2-J3a J3a/(0)/(I+-y-)=/(l-?),所以/(x)在区间 0,2上的取值范围为/(0),/(2),因此M =m ax

19、|/(0)|J/(2)|=m ax|-l-fe|3|l-2a-Z?|)=max|l-a+()|,|l-a-(a+i)|)=1 a+1 a+b|综上所述，当a0时，g(x)在区间 0,2 上的最大值不小于.4考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数大刈的定义域(定义域优先)；(2)求导函数/(x)：(3)在函数段)的定义域内求不等式/(x)0或/(x)V O的解集.(4)由x)o(r a)o)的解集确定函数y(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间.2.由函数式X)在3,3上的单调性，求参数范围

20、问题，可转化为了(x)K)(或了(正0)恒成立问题，要注意“=”是否可以取到.9.1 2 0 1 6高考新课标3理数】设函数/(X)=a c o s 2 x +(a-l)(c o s x +l),其中。0,记|/(x)|的最大值为A.(I )求(H)求A；(III)证明|/(x)区 2A.【解析】2 一 3a,0 试题分析：(I)直接可求r(x)；(I I)分两种情况，结合三角函数的有界性求出4,但须注 意 当0。1时 还 须 进 一 步分为两种情况求解；(山)首 先 由(1)得到5 5f(x)2 a+a-,然后分a Z l,0 a W a 1 三种情况证明.试题解析：(I)/(x)=-2si

21、n2x-(a-l)sinx.(I I)当时，|/(x)|=|osin2x+(a l/cosx4-1)|a+2(a-1)=3a-2=/(0)因此，A=3a-2.4 分当0 a l时，将/(幻 变 形 为/(力=2。852+(7-1)：05%一1.令g(f)=2 a*+(a-D f-l,则4是|虱。)|在 T”上的最大值，g(-T)=a,g(l)=%-2,且当，时，英)取得极小值，极小值为g(厂)=一 丝 龙 一1 =一 号 匕 口.4a 8。8a1 -T 解得4a 3 5(i)当 时，g)在(1,1)内无极值点，|g(1)|二。，|双1)|二2 3。，|展1)|展1)|,所以A=2 3a.，.1

22、 -a(i i)当彳 。g g().5 4a又T 7 I g(,1 丁 a)、Ii TI z 八 (1 a)(l+7a)_ CCrl.1 a.a+6a+1g(l)1=-3-0,所以 A=|g(丁)|=-4a 8a 4a 8a综上，A=2 3a,0 d?a+6a+1 1-,a 8。59分3a-2,4 21(III)由(I)得|/(x)|=|-2asin2x-(a-l)sinx区 2Q+|Q-1 .当 0 a V 时，|/(尤)区 1 +a V 2-4a 2(2-3a)=2A.当上 a 1,所以|/(x)区l+a2A.5 8 8a 4当 aNl 时，|/(x)区 3a 146a 4=2 A,所以|

23、f(x)区 2A.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性.【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：(1)利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如y=Asin(0 x+0)+5的形式；(2)结合自变量x的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解.10.【2016高考浙江理数】(本小题15分)已 知。2 3,函数F(x)=min2|厂1|,?-2ar4-4a-2),其 中min仍,q=p,pq,q,p,q(I)求使得等式尸(x)=x2-2ar+4a-2成立的X的取值范围;(II)(i)求)(x)的最小值加(a)；(ii)求F(x)在区间 0,6上的最大

24、值M(a).【答案】(I)2,2a；(ID(i)z(a)=0,32+V2(ii)M(a)=2+y34-8a,3 a4【解析】试题分析：分别对xWl和x l两种情况讨论F(x),进而可得使得等式F(X)=X2 2GC+4 2成立的x的取值范围；(ID 先 求 函 数/(x)=2|x 1|,g(x)=f 2公+4a 2的最小值，再根据F(x)的定义可得F(x)的最小值皿a)；(ii)分别对04xW2和24xW6两种情况讨论F(x)的最大值，进而可得F(x)在区间 0,6上的最大值M(a).试题解析：(D由于。2 3,故当 xK 10寸，(x?2,cix+4a 2)2|x 1|=+2(a 1)(2

25、x)0)当x1 时，(x?2ax+4ci 2)2 k 1|=(x 2)(x 2a).所以，使得等式F(x)=x2-2ax+4 a-2成立的x的取值范围为2,2a.I I)(i)设函数/(x)=2|x-l|,g(x)=x2-2 a x+4 a-2,则/(XU=/(1)=0，g EL=g(。)=一/+4。-2 ,所以，由F(x)的定义知加(a)=mi n/(l),g(a),即.、0,3 Wa M 2 +夜m a)=2 +J 2(i i)当0 4 x 2时,F(x)/(x)ma x/(0),/(2)=2 =F(2),当2 4 x 4 6时，F(x)g(x)ma x g(2),g(6)=ma x 2,

26、3 4-8 a =ma x|F(2),F(6)J .所以，M(a)=,3 4 8 a,3 Wa 4考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数：3、不等式.【思路点睛】(I)根据x的取值范围化简F(x),即可得使得等式F(x)=%2 2ax+4 a-2成立的x的取值范围；(II)(i)先求函数/(x)和g(x)的最小值，再根据F(x)的定义可得?(“)；(ii)根据尤的取值范围求出F(x)的最大值，进而可得M(a).11.2016高 考 新 课 标2理 数(I)讨 论 函 数f(x)=上 ex的 单 调 性，并 证 明 当x 0时，x+2(x 2)e+x+2 0；(1Y a(II)证 明:当。0

27、,1)时，函数g(x)=与一元0)有最小值,设g(x)的最小值为以),求函X数 力(4)的值域.【答案】(I)详见解析；(II)d,1.2 4【解析】试题分析：(I)先求定义域，用导数法求函数的单调性，当xe(0,+oo)时，/(x)/(0)证明结论；(II)用导数法求函数g(x)的最值，在构造新函数h(a)=又用导数法求解.%+2试题解析：(I)/(幻 的定义域为(re,-2)u(-2,+8).(xT)(x+2)e，-(九-2)e*x2eAJ(x)=-z-=-7-U，(x+2)2*+2)2且仅当x=0时，/(x)=0,所以/(x)在(8,2),(2,+8)单调递增，因此当 xe(0,+oo)

28、时，/(%)/(0)=-1,所以(x 2)ex (x+2),(x 2)/+x+20z、(x-2)e、+a(x+2)x+2._,、皿小上心，一，(ID(x)=-乙_一-=-(/(%)+),学优高考网X X由(I)知，/(x)+a单调递增，对任意ae0,l),/(0)+a=a-l 0,/(2)+a=a20,因此，存在唯一/e(0,2,使得 f(x0)+a=0,即 g(%)=0,当0 c x /时，/(x)+a 0,g，(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.因此g(x)在x=x0处取得最小值，最小值为以。)=一?=7 =K于是h(a)=N-,由(一J)a+DJ (),一单调递增x0+2 x+2(尤

29、 +2)2 x+2所以，由 xe(0,2,得1 =e上 一 (=一 0(f(x)0)解出相应的x的范围.当f (x)0时，犬x)在相应的区间上是增函数；当f (x)0,即/(x)0,由此求得/(x)的单调区间.试题解析：(1)因为F(x)=x e -x+f o c,所以/(x)=(l x)e T+8.依题设,/(2)=2e +2,叩 b e12+2b=2e+2,八2)=e-l,I-eu-2+b=e-,解得a =2,0=e.(2)由(I )知 fx)=xe2x+ex.由 f(x)=e2-x(l-x+ex-)即 e2 f0 知，fx)与 1 一 x+ex-同号.令 g(x)=1 -x +e*T ,

30、则 g (x)=-l +e*T.所以，当xe(-8,1)时，g (x)0,g(x)在区间(1,+8)上单调递增.故g =1 是 g(x)在区间(-00,+0)上的最小值，从而 g(x)0,尤 e (-00,+o o).综上可知，fx)0,x e (-o o,+o o),故/(尤)的单调递增区间为(-8,+8).考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点.13.【2016年高考四川理数(本小题满分14 分)设函数

31、 J(x)=ax2-a-nx,其中。G R.(I )讨论人x)的单调性；(I I)确定。的所有可能取值，使得在区间(1,+8)内恒成立(e=2.7 18 为自然对数的底X数).【答案】(I )当x e(0,1=)时，fx)0,/(x)单si 2a J2a调递增；(I【)a?；,).【解析】试题分析：(I)对/(x)求导，对 a进行讨论，研究尸(x)的正负，可判断函数的单调性；(H)要证明不等式/.(x)L ei在(l,+o o)上恒成立，基本方法是设(x)=f(x)-f*)。口1),当x l 时，X XA 1 时，g(x)0,从而x e xe/(x)0,这样得出a 4 0不合题意，又0。,时，

32、/(x)的极小值点x =，=l,且21 2a/(/)x-1+-L-0,得此时(x)单调递增，从而有力(%)力=0,得出结论.x x X试题解析：/(x)=2a x-l =-(x 0).X X当a W 0H寸，/(x)0时，由尸(力=0,有x =-j L.yjla此时，当x e(0.志)时，/,(x)0,/(x)单调递增.(I I)令 g(x)=，5(x)=ex-1-x.x e则 s a)=e*T l.而当%1 时，sx)0,所以5(龙)在区间(L+o o)内单调递增.又由$(1)=0,有 s(x)0,从 而 当 时，/(%)0.当 a 4 0,xl 时，f(x)=a(x2-l)-l n x g

33、(x)在区间(1,+8)内恒成立时，必有Q0.当0。1.2 y/2a由有总)(/=,从而8(忐),所以此时/(x)g(x)在区间(l,+oo)内不恒成立.当。3 ；时，令(x)=f(_x)(x)(x 1),当、，,1 I时F.,h.x.)=2.ax-1 +-1 -e 1 v x-1 +1 -1 =-x-3-2；x-+-1-x-2-2-x-+-1 0.,x x x x x x x因此，/?(x)在区间(1,+口)单调递增.又因为=0,所以当冗 1 时，/?(x)=/(x)-g(x)0,即/(x)g(x)恒成立.综上，a?p ).考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性，基本方法是求f x),解方程/(x)=0,再通过/,(%)的正负确定/(x)的单调性；要证明函数不等式/(x)g(x),一般证明/(x)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数/z(x)=/(x)-g(x)的单调性.本题中注意由于函数(X)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到.有一定的难度.