北京市东城区2022年中考一模数学试题（含答案与解析）.pdf

《北京市东城区2022年中考一模数学试题（含答案与解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市东城区2022年中考一模数学试题（含答案与解析）.pdf（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022年北京市东城区中考一模试题数学试卷注意事项1.本试卷共8 页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答5.考试结束，请将答题卡交回一、选择题（本题共16分，每小题2 分）第 1一8 题均有四个选项，符合题意的选项区有一个.1 .下列立体图形中，主视图是圆的是（）2 .国家统计局发布2 0 2 1 年国内生产总值达到1 1 4 0 0 0 0 亿元，比上年增长8.1%.将 1 1 4 0 0 0 0 用科学记数法

2、表示应为（）将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若/2=4 0 ,则/I的度数是（A 114xl04 B.H.4xlO5 C.1.14xl06 D.1.14xl05氏/A.6 0 B.5 0 C.4 0 4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”多边形，为轴对称图形的是（）0A./XX/KD.3 0.将右图的七巧板的其中几块，拼成一个7|C./D.5.五边形的内角和是（）A.360B.540C.720D.108006.实数a,匕在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（)0 12A abB.-a bC.|a k闻D.a+b 07.某班甲、乙、丙三位同学5次数学成

3、绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断管用的是（）A.甲的数学成绩高于班级平均分 B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动 C.丙的数学成绩逐次提高 D.甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定8.将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示,则小水杯水面的高度（cm）与注水时间s）的函数图象大致是（）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若G二在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.10.分解因式：2%22y2=2 311.方 程 三 的 解 是x-3 x12.请写出一个大于1且小于2的无理数：.13.北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰

4、墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱.即将在2022年9月举行的杭州亚运会的吉祥物 宸宸”“踪踪”“莲莲”也引起了大家的关注.现将五张正面分别印有以上 5 个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上并洗匀，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是.彳JR多才皋冰墩墩 雪容融 宸宸 琮琮 莲莲1 4 .如图，点 4,B,C是。0上的三点.若N A O C=9 0。，Z B A C=3 0 ,则NAOB的度数为1 5 .已知%2-%=3，贝 I J 代数式（x+l）（x-l）+x（x-2）=.1 6.我国古代天文学和数学著作 周髀算经中提到：一年有二十四个节气，每个节气的号（gui）长损益

5、相 同（号是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示.从冬至到夏至唇长逐渐变小，从夏至到冬至暑长逐渐变大，相邻两个节气暑长减少或增加的量均相同，周而复始.若冬至的号长为1 3.5 尺，夏至的号长为1.5 尺，则相邻两个节气号长减少或增加的量为 尺，立夏的号长为 尺.昙长逐渐变大二十四节气三、解答题（本题共68分，第1721题，每小题5分，第2223题，每小题6分，第24题5分，第2526题，每小题6分，第2728题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1 7.计算：V 1 2 +2 s in 60 0-2 0 2 2 0 x 31 8 .解不等式组

6、-彳-2 x-l1 9 .已知：线段A 8.AB求作：RtAABC,使得 N84C=90,ZC=30.作法：分别以点A和点B为圆心，A 2长为半径作弧，两弧交于点。；连接BD,在 BD的延长线上截取D C=BD ；连接A C.则AABC为所求作的三角形.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明：连接4 D,/A B =AD =BD，.A B O为等边三角形().(填推理 依据)ZB =z S 4 D B =6 0 .,:CD=BD,AD =CD .二ZDAC=().(填推理的依据)Z AD B=Z C+Z D AC=60.ZC=30.在AABC中，ABA

7、C=180-(ZB+ZC)=90.2 0 .已知关于x的一元二次方程x2-2 x+k-2 =0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根.k2 1 .在平面直角坐标系x O y中，一次函数y =x -2的图象与X轴交于点A,与反比例函数y =(Zw O)的xk图象交于点，点尸为反比例函数y=(攵H0)的图象上一点.x(1)求 相，k的值；(2)连接OP,AP.当SQ AP=2时，求点P的坐标.22.如图，在四边形ABC。中，AC与 8 0 相交于点。，且 AO=C O,点 E 在 8。上,ZEAO=ZDCO.(1)求证：四边形

8、AEC。是平行四边形；2(2)若 A B=B C,CD=5,AC=8,tan Z A B D =-,求 BE 的长.323.如图，在AABC中，A B A C，以AB为直径作O。，交 B C 于点D,交 AC于点E,过点B 作。的切线交0 D的延长线于点立(1)求证：NA=N 5 Q F；(2)若 AB=4，D F =1,求 4 E 的长.24.2022年是中国共产主义青年团建团100周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有 300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：a.七年级学生的成绩整理如

9、下(单位：分)：57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96b.八年级学生成绩的频数分布直方图如下(数据分成四组：60 x70,70 x80,80 x90,9 0 x 1 0 0）：其中成绩在8 0 4 x 9 0 的数据如下（单位：分）：8 0 8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 9c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:根据所给信息，解答下列问题：（1）m=,=；年级平均数中位数众数七年级7 9.0 57 9m八年级7 9.2n7 4（2）估计 年级学生的成绩高于平均分的人数

10、更多；（3）若成绩达到8 0 分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数.2 5.某公园内人工湖上有一座 拱 桥（横截面如图所示），跨度AB为 4 米.在 距 点 A水平距离为d 米的地点，拱桥距离水面的高度为米.小红根据学习函数的经验，对 d 和 6 之间的关系进行了探究.下面是小红探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了“和的几组对应值，如下表.在”和 这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数;d/米00.611.82.433.64h/木0.8 81.9 02.3 82.8 62.8 02.3 81.6 00.8 8（2）在下面的平面直角坐标系X。），中，画 出（1）中

11、所确定的函数的图象;（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：桥墩露出水面的高度4 E为 米；公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽 为1.5米，露出水面高度为2米 游船.为安全起见，公园要在水面上的C,。两处设置警戒线，并且C =Ob,要求游船能从C,。两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离C E至少为 米.（精确到0.1米）2 6.在平面直角坐标系x O y中，抛物线）=/-2/研+加2 +1与 轴交于点4.点8（%,凶）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线=依+。/工0）经过A,B两点.（1）求抛物线的顶点坐标（用含，的式子表示）；（2）若点C（加一2,。），。（m+2,加 在抛物线

12、上，则a b（用“”填空）；（3）若对于西 一3时，总有女C ）,连接BE,DE.（1）求证：B E =D E;（2）过点E作E R _ L A C交B C于点孔 延长B C至点G,使得C G =B F ,连接。G.依题意补全图形；用等式表示8 E与。G的数量关系，并证明.2 8 .对于平面直角坐标系x O y中的点C及图形G,有如下定义：若图形G上存在A,B 两 点,使得AABC为等腰直角三角形，且N A B C =9 0。，则称点C为图形G的“友好点”.(1)已知点0(0,0),M(4,o),在点 G(0,4),C2(l,4),C3 Q,1)中，线段 0M 的“友好点”是（2）直 线 =一

13、1+人分 别 交x轴、y轴 于 尸，Q两 点，若 点C（2,l）为 线 段PQ的“友 好 点”，求6的取值范围:（3）已知直线y =x +d（d 0）分 别 交x轴、y轴 于E,F两 点,若 线 段E F上的所有点都是半径为2的0。的“友 好 点”，直 接 写 出d的取值范围.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.【解 析】主 视 图 是 圆 的 是（）【分 析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论.【详 解】解：棱 柱 的 主 视 图 是 矩 形（中间只有一条线段），不符合题意;圆柱的主视图是矩形，不符合题意;圆锥的主视图是

14、等腰三角形，不符合题意;球体的主视图是圆，符合题意;故选：D.【点 睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.2.国家统计局发布2 0 2 1年 国 内 生 产 总 值 达 到1 1 4 0 0 0 0亿元，比上年增长8.1%.将1 1 4 0 0 0 0用科学记数法表 示 应 为（）A.1 1 4 X 1 04B.1 1.4 X 1 05C.1.1 4 X 1 06D.1.1 4 X 1 05【答 案】C【解 析】【分 析】1 1 4 0 0 0 0用科学记数法表示成a x 1 0 的形式，其 中a =1.1 4,=6,代入可得结果.【详解】解：1 1 4 0 0 0 0

15、的绝对值大于1 0表 示 成a x 1 0 的形式,V 6；=1.1 4 ,=7-1=6,1 1 4 0 0 0 0 表示成 1.1 4 x 1 0 6,故 选C.【点 睛】本 题 考 查 了 科 学 记 数 法.解 题 的 关 键 在 于 确 定 的值.3.如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若N2=40,则N 1的 度 数 是（)B.50C.40D.30【答案】B【解析】【详解】如图,VZ2=40,.,./3=/2=40,.*.Zl=90-40o=50.故 选B.4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被 誉 为“东方魔板”.将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对

16、称图形的是（）【答案】C【解析】【分析】根据在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形对各选项进行判断即可.【详解】解：由题意知，C中图形为轴对称图形；故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形的定 义.解题的关键在于熟练掌握轴对称图形的定义.5.五边形的内角和是（）A.360 B.540 C,720 D.1080【答案】B【解析】【分析】根据边形的内角和为（八-2）x 1 8 0,将=5代入，计算求解即可.【详解】解：由题意知，五边形的内角和为（5-2）x l 8 0 =54 0,故选：B.【点睛】本题考查了多边形的内角和.解题的关键在于明确边形的内角和为（

17、-2）x 1 8 0.6.实数a,6在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）ii ill I r-2 -1 0 1 2A.a b B.-a h C.|。|屹|D.a+b 0【答案】D【解析】【分析】由数轴可知，一2a可判断A的正误；根据b l a2,可判断B的正误；根据网 1 同 2,可判断C的正误；根据-1,a+b -l +b Q,可判断D的正误.【详解】解：由数轴可知，一2a 1 0 1,：.a b,故A错误，不符合题意；*.*Z?1 6/b,故B错误，不符合题意；*/|1 同 b,故C错误，不符合题意；n -1,a +Z?1+/?0,A a+b 0,故D正确，符合题意；故选D

18、.【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴的位置判断式子的正负，不等式的性质等知识.解题的关键在于明确2a 1 0。2【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求得.【详解】解：在实数范围内有意义:.x-2 Q解得尤22故答案为：x 2【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键.10.分解因式：2-2/=.【答案】2(x+y)(x-y)【解析】【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.【详解】2x2-2y2=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).故答案为2(x+y)(x-y).【点

19、睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底.11.方 程 三2=士3的 解 是x-3 x【答案】x=9【解析】【分析】观察可得最简公分母是x(x-3),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.【详解】解：方程的两边同乘x(x-3),得3x-9=2x,解得尸9.检验：把户9 代入尤(x-3)=540.原方程的解为:x=9.故答案为：x=9.12.请写出一个大于1且小于2 的无理数：.【答案】72(答案不唯一).【解析】【分析】由于所求无理数大于1且小于2,两数平方得大于2 小于4,所以可选其中的任意一个数开平方即可.【详解】大

20、 于 1且小于2 的无理数可以是J 5,百/-2 等，故答案为：夜(答案不唯一).13.北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱.即将在2022年 9月举行的杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“踪踪”“莲莲”也引起了大家的关注.现将五张正面分别印有以上 5 个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上并洗匀，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是.【答案】g【解析】【分析】根据概率公式即可求得.【详解】解：从 5 张卡片中，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是:故答案为：【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握和运用概率公式是解决本题的关键.14.如图，

21、点 A,B,C 是。上的三点.若/AOC=90。，ZBAC=30,则/A O B 的度数为【答案】30#30度【解析】【分析】由圆周角定理可得NBOC=2NBAC=60,继而NAO8=NAOC-NBOC=90-60=30.【详解】解：与N8OC所对弧为B C，由圆周角定理可知：ZB9C=2ZBAC=60,又NAOC=90。，ZAOB=ZAOC-ZBOC=90-60=30.故答案为:30.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键.圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.15.已知/一 无=3,则代数式(x+D(x-l)+x(x

22、 2)=.【答案】5【解析】【分析】根据(x+l)(x-I)+x(x-2)=2(d一%)一1,将代数式/一=3代入求解即可.【详解】解：(x+l)(x l)+x(x 2)=X 2 i +x?-2 x =2(x?-1,将无2 x =3代入得，原式=2 x 3 1 =5,故答案为：5.【点睛】本题考查了代数式求值，平方差公式.解题的关键在于将代数式进行正确的化简.16.我国古代天文学和数学著作 周髀算经中提到：一年有二十四个节气，每个节气的暑(9U1)长损益相同(号是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长度)，二十四节气如图所示.从冬至到夏至号长逐渐变小，从夏至到冬至野长逐渐变大，相邻两个

23、节气号长减少或增加的量均相同，周而复始.若冬至的号长为13.5尺，夏至的署长为1.5尺，则相邻两个节气号长减少或增加的量为 尺，立夏的号长为 尺.昙长逐渐变小二十四节气【答案】.1 .4.5【解析】【分析】设相邻两个节气号长减少的量为x尺，由题意知，1 3.5-1 2 x =1.5,计算求出相邻两个节气号长减少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的暑长即可.【详解】解：设相邻两个节气号长减少的量为x尺，由题意知，1 3.5 1 2 x =1.5,解得，x =l,.相邻两个节气号长减少或增加的量为1尺；1.5+3 x 1 =4.5,.,立夏的号长为4.5尺；故答案为：1；4.5.【点睛】本

24、题考查了一元一次方程的应用.解题的关键在于根据题意列方程.三、解答题(本题共68分，第 1721题，每小题5 分，第 2223题，每小题6 分，第 24题 5 分，第 2526题，每小题6 分，第 2728题，每小题7 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.1 7.计算：V1 2 +2 s i n 6 0 0-2 0 2 2 0 -1-|.【答案】2百-1#-1 +2百【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简，计算正弦，零指数塞，绝对值，然后进行加减运算即可.【详解】解：原式=2 7 3 +2 x -1-7 3 =2 -1.2【点睛】本题考查了二次根式的性质，正弦，零指数幕，绝对值.解

25、题的关键在于正确的计算.x 3-x-l【答案】3 W x 5【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可.f x-3 ,-x-l解 不 等 式 二 1得，x -3；不等式组的解集为一3 x 5=60.,:CD=BD,：.AD=CD.ADAC=（）.（填推理的依据）/.ZADB=ZC+ZDAC=60./.ZC=30.在AABC中，ABAC=180。一 （ZB+ZC）=90.【答案】（1）见解析（2）等边三角形的定义；ZC；三角形中等边对等角【解析】【分析】（1）根据题意和作法即可画出图形；（2）连接AZ）,根据等边三角形的定义及性质，可得N3=ZAD8=60。，再根据三角形

26、中等边对等角，可证得NZMC=N C,根据三角形外角的性质即可求得NC=3 0 ,据此即可证得AABC为所求作的三角形.【小 问1详解】解：如图：作法：分别以点A和点B为圆心，A8长为半径作弧，两弧交于点Q；连接B。，在8。的延长线上截取连接A C.则AABC为所求作的三角形.【小问2详解】证明：如图：连接AO.Z)-AB=AD=BD，A B O为等边三角形(等边三角形的定义).，ZB=ZAD8=60.,;CD=BD,：.AD=CD.N D 4 C =N C (三角形中等边对等角).ZADB=NC+ZDAC=6 0.ZC=3 0 .在AABC中，.ABAC=1 8 0 -(N B+N。=1 8

27、 0 -(6 0 +3 0 )=9 0.【点睛】本题考查了作直角三角形，等边三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理及外角的性质，按要求作出图形是解决本题的关键.2 0.已知关于x 一元二次方程/一2+左一2 =0有两个不相等的实数根.(1)求 上 的取值范围；(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求4的值及方程的两个根.【答案】(1)k0,解不等式即可求得；(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2,分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答.【小 问1详解】解：.关于x的一元二次方程/一2%+左一2 =0有两个不相等的实数根,A =(-2)2-4(A:-2)

28、0解得左 3故女的取值范围为Z 3【小问2详解】解：.Z(I)、土石2 方程的两个根均为整数，仁1不合题意，舍去当上2时，方程为丁2工=0解得士=o,i2=2方程的两个根均为整数，符合题意故4=2,方程的两个根为玉=0,2=2【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键.k21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数丁=%-2的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(Z。0)的xk图象交于点8(3,m),点 P为反比例函数y=(攵。0)的图象上一点.x(1)求，律，后的值；(2)连接。P,AP.当反。”=2

29、时，求点P的坐标.【答案】Q)?的值为1，%的值为3加或V【解析】【分析】将(3,咐 代 入y=x 2,可求得加=1,则3(3,1),将8(3,1)代入y=，计算求解人值即可;(2)设尸 一,则P到X轴的距离。为:,将 y=0 代入 y=x-2,解得X=2,则 A(2,0),04=2,根据SQ AP2 x O A x h-2 x2xill2计算求解满足要求的a值，进而可求P点坐标.【小 问1详解】解：将(3,加)代入y=x-2得，机=3 2,解得m =,8(3,1),k k将8（3/）代入y =一得，1 =；,x 3解得左=3,/.y =-.X.加的值为1,1的值为3.【小问2详解】解：设尸则

30、P到X轴的距离为科，将y =0代入y =x-2,解得彳=2,A（2,0）,*.O A=2,/.S CAP 一 x O A x h=x 2 x =2,M A P 2 2 I。3 3解得a =或a =,2 2*.p点坐标为（鼻,2）或1-5,-2）.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合.解题的关键在于对反比例函数的解析式、图象等的熟练掌握与灵活运用.2 2.如图，在四边形4 B CD中，A C与8。相交于点0,且A O =C O,点E在B O上，Z E A O Z D C O.（1）求证：四边形A EC。是平行四边形；2（2）若 A B =3 C,8

31、 =5,A C=8,t a n Z A B D =,求 B E 的长.3【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由 Z E A O =Z D C O,可知 A E/C D,证明 4*AO C O（A S A）,则 A E=8,进而结论得证；（2）由4?=3 C,A O =C O,可知8 0 _ L AC,由平行四边形的性质可知O E=O D,N C Q D=Z B Q 4=9 0 ,在 RCO)中，由勾股定理得0 =J c 5r，求出。的值，根据An 2tanZABO=tan ZABD =,求解8 0 的值，根据BE=8O O E,求解砥的值即可.B 0 3【小 问 1详解】证明

32、：N E 40=N)C 0，.A E/C D,在AEA。和AOCO中，NEAO=NDCO“CO=A 0,Z A O E Z C O D：.E A O D C O(A S A),:.AE-CD,四边形AECD是平行四边形.【小问2 详解】解：A B=3C,AO =C O,：.BO V A C，V 四边形AECD是平行四边形，：.OE=OD,ZC O D =ZBO A=9 0,V C D =5,AC=8.C 0 =4 0 4 c =4,2在 R tC O D 中，由勾股定理得OD=VCD2-C O2=3-:.OE=OD=3,：.tanZABO =tanAABD=-,即=2,BO 3 BO 3解得8

33、 0 =6,/.BE=B O OE=3,B E的长为3.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.2 3.如图，在AABC中，A B A C,以AB为 直 径 作 交 BC于点。，交AC于点E,过点B 作。的切线交。的延长线于点F.c（2）若4?=4,DF=1,求AE的长.Q【答案】（1）见解析（2）AE=：3【解析】【分析】（1）首先根据等边对等角可证得NC=N O D 3,再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；（2）首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得NAB=N03/，即可证

34、得A5S4OEB,再根据相似三角形的性质即可求得.【小 问1详解】证明：-.-ABAC:.ZC=ZABC;OB=ODZ.ODB=Z.OBD4C=/ODBAC/OD：.ZA=ZBOF小问2详解】解：如图：连接BEQ A3是0。的直径，AB=4:.ZAEB=90,0B=0D=AB=22BF是Q O的切线N O BF=9 0。:.Z A E B =N O BF又,：AA=/BO F:ABESOFB.A E A B O B O F又.。尸=0 +。尸=2 +1 =3A E 4.n/,8.,解得 A E 2 3 3【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形

35、的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键.2 4.2 0 2 2 年是中国共产主义青年团建团1 0 0 周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有 3 0 0 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 2 0 名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：5 7 6 7 6 9 7 5 7 5 7 5 7 7 7 7 7 8 7 8 8 0 8 0 8 0 8 0 8 6 8 6 8 8 8 8 8 9 9 6近八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组：6 0 x 7 0,7 0 V x 8 0 ,

36、8 0 x 9 0,9 0 x 1 0 0）：其中成绩在8 0 4 x 9 0 的数据如下（单位：分）：8 0 8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 9c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:根据所给信息，解答下列问题:年级平均数中位数众数七年级7 9.0 57 9m八年级7 9.2n7 4(1)m =,=；(2)估计 年级学生的成绩高于平均分的人数更多；(3)若成绩达到8 0分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数.【答案】(1)8 0；8 0 (2)八(3)3 1 5【解析】【分析】(1)根据众数 定义确定七年级学生的成绩中出现次数

37、最多的即可；根据中位数是八年级学生的成绩中第1 0、第1 1位数字的算术平均数，计算求解即可；(2)分别求出七、八年级的成绩在平均数以上人数的占比，然后乘以总人数可得七、八年级的学生的成绩高于平均分的总人数，然后比较大小即可；(3)由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为;；八年级成绩优秀的人数占比为卫；根据2 2 03 0 0 x 1 +3 0 0 x 口 计算求解可得七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数.2 2 0【小 问1详解】解：由七年级学生的成绩可知，机=8 0,由题意知，八年级学生的成绩中第1 0、第1 1位数字分别为8 0,8 0,故答案为：8 0,8 0.【小问2详解】解：由题意

38、知，七年级成绩在平均分以上的有1 0人，占总人数的.估计七年级学生的成绩高于平均分的人数为3 0 0 x =1 5 0人；2八年级成绩在平均分以上的有1 1人，占总人数的口，2 0 估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为3 0 0 x口 =1 6 5人；2 0V 1 5 0 b,要求游船能从C,。两点之间安全通过，则 C处距桥墩的距离C E 至少为 米.（精确到0.1 米）【答案】（1）d,h（2）见解析（3）0.8 8；则 C处距桥墩的距离C E 至少为0.7 米.【解析】【分析】（1）根据函数的定义即可解答；（2）描点，连线，画出图象即可；（3）观察图象即可得出结论；求出抛物线的解析式，令

39、=2解答d的值即可得答案.【小 问 1 详解】解：根据函数的定义，我们可以确定，在 d 和/7 这两个变量中，d是自变量，是这个变量的函数;故答案为：d,h；【小问2 详解】解：描点，连线，画出图象如图：【小问3详解】解：观察图象，桥墩露出水面的高度4 E 为 0.8 8 米;故答案为：0.8 8；设根据图象设二次函数的解析式为红。屋+4+0.8 8,把(1,2.3 8),(3,2.3 8)代入得:2.3 8 =。+8+0.8 82.3 8 -9 a +3b+0.8 8解得：c i -0.5b=2二次函数的解析式为/7=-0.5 4 f+24+0.8 8,令 6=2 得：解得 d，3.3 或

40、4 x0.7,.则C处距桥墩的距离C E 至少为0.7米.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式.26.在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y=%22m*+加 2+1 与 轴交于点4.点 8（占,必）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线丁 =丘+。/羊 0）经过A,B两点.（1）求抛物线的顶点坐标（用含，的式子表示）；（2）若点C（m-2,。），。（?+2,份 在抛物线上，则a b（用，=或填空）；（3）若对于王一3时，总有人0,求相取值范围.【答案】（m,l）（2）=3（3）m 2【解析】【分析】（1）由y =/-2 mx +z?+1

41、=（x-加,+1,可得抛物线的顶点坐标；（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线工=根，可知-2,a）关于对称轴对称的点坐标为（m+2,a）,进而可知a/的关系；（3）将x =0代入了 =/一2肛+/+1,得y =/+l,则A（O,+1）,过A,8两点的直线解析式为了=+根？+1,当帆wo时，由题意知，当 机时，y随x的增大而减小，%0,即%=3+疗+1 加1+1，可得女0，可得mNO；当机0时，由题意知，当x 机时，y随x的增大而减小，点A（O,，2 +1）关 于 直 线 犬=机 的 对 称 点 为+则一3 2加，计算求出此时机的取值范围；进而可得加的取值范围.【小 问1详解】解：V y-x

42、2-2mx+m2+1-（x m）+1,抛 物 线 顶 点 坐 标 为（机）.【小问2详解】解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线x =，/.C（m-2,）关于对称轴对称的点坐标为（加+2,a）,:a=b,故答案为：=.【小问3详解】解：将X =0代入y =工2 -2相X +根2+1,得 丁 二?2+1,A（0,m2+l）,将4（0,+1）代入y =H+，解得=/+1，/.y=kx+m2+1,当?2 0时，由题意知，当犬根时，y随x的增大而减小，%)-3 y.0,即 x =Ax 1+1 加？+1,解得人 互，玉：.k 0；当机 0时，由题意知，当 +1）,.对于王 一3时，总有女 0,3 一 一

43、 ,23 ,、m -二.2【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.2 7.如图，在正方形A 8 C Q中，E为对角线A C上 一 点（A EC E）,连接B E,DE.（1）求证：B E =D E；（2）过点E作E/_ L A C交8 c于点凡 延长B C至点G,使得CG=B F ,连接O G.依题意补全图形；用等式表示8E与DG的数量关系，并证明.【答案】（1）见解析（2）见解析；DG=6BE【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得A 3 =4）,Z B 4 =N Z M,依据S 4 S证明=即可得

44、出结论；（2）根据题中作图步骤补全图形即可；连接E G,证明BEFMADEG,得G E=8E,NBEF=NGEC,由（1）得DE=EG,NDEG=90。,再运用勾股定理可得出结论.【小 问 1详解】:四边形ABC。是正方形，AD=AB,/BAD=NBCD=90,是正方形的对角线，Z.ZBAC=ZDAC=ZBCAx 90=45,2在 M E 和中，ADAB=x+力分别交x 轴、y 轴于P,。两点，若点C(2,l)为线段PQ的“友好点”，求 6的取值范围；(3)已知直线y =x +d(4 0)分别交x 轴、y 轴于E,F两 点,若线段E F 上的所有点都是半径为2的。的“友好点”，直接写出d的取值

45、范围.【答案】(1)Ci、C3(2)1 9 32亚 独2叵+2【解析】【分析】(1)根 据“友好点”的定义逐个判断即可；(2)分两种情况讨论，直线尸。在点C上方或下方.过B作 PQ的垂线，垂足为8,交 x 轴于H,根据题目中的定义知：80或 B P 的长度要大于或等于B C的长度，求解即可；(3)首先分析得到E点的运动范围，作出图形知。应 2,当 EH平分N F E。时，其中(2,0),是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为20+2,即得结论.【小 问 1 详解】解：如图所示，由题意知三角形OGM为等腰直角三角形，G符合题意：过C 2作CMLOM于A,则A M=3,C乂=4,三角形A M C

46、 2不是等腰三角形，C 2不符合题意；过C 3作C 3 B L O M于B,则C 3 B=A B=1,三角形4B C 3是等腰直角三角形，符合题意；故答案为：C、G.【小问2详解】解：分两种情况讨论，当直线P Q在C点上方时，过C作C B J_尸。于B,延长B C交x轴于 ，如图所示，则A S P”为等腰直角三角形，BP=BHBC,故在线段P。上必存在A点，使得NA 8 C=9 0。，AB=BC,将x=2,产1代入产x+6得：6=3,即方 3；当直线P。在C点下方时，过C作C B L P。于5,C B延长线交x轴于，,则当8 Q N8 C时，符合题意,当直线P。过H点时，B Q=B C,如图所

47、示,此 时,-1+6=0,即 6=1,即 lb3,综上所述，。的取值范围为：1。3.【小问3详解】解：根据题意，A 8为。的弦，根据定义可知，.NAC6=45，4403=90。，当AB取得最小，点。在G）。上，此时A8=8C=22则2贝|J d=2y2当A 8取得最大值时，AB为。的直径，当A 3的长度变化时，总能 在 瓦 上找到点C使得乙4cB=4 5 ,则符合题意的点C在如图中阴影部分中运动，通过分析可知，当直线EF在下图中的位置时，取得最大值,此时，NHEO=22.5,即 E”为/E”厂的平分线，过 H 作 HM_L EF 于 则 H M=O H=2,：.FM=2,由勾股定理得：FH=2

48、五，即。=。尸=2 0 +2，即 d=2 0 +2,2 层 把 2 0 +2【点睛】本题考查了新定义的问题，涉及到一次函数与圆的性质的综合应用，所用到的数学思想方法为数形结合、分类讨论，该题综合性较强.解题关键是读懂题意，借助定义作出符合题意的图形.27.如图，在正方形A8CC中，E 为对角线AC上 一 点（A E C ）,连接BE,DE.（1）求证：B E =D E;（2）过点E 作上五_LAC交 BC于点F,延长BC至点G,使得C G=6/，连接。G.依题意补全图形；用等式表示2E与 CG的数量关系，并证明.【答案】Q）见解析（2）见解析；D G =y/2BE【解析】【分析】（1）根据正方

49、形的性质可得4 8 =A。，NE4E=ND 4E,依据&4S证明=即可得出结论；（2）根据题中作图步骤补全图形即可；连接E G,证明A B E F三A D E G,得GE=BE,N B E F =N G E C,由（1）得D E =EG,N D E G =90。,再运用勾股定理可得出结论.【小 问 1详解】.四边形A8CO是正方形，:.AD=AB,/BAD=ZBCD=90,；AC是正方形的对角线，NBAC=ZDAC=NBCA=-x90=45,2在ABE和 ADE中，AD=AB =一%+力分别交x 轴、y 轴于P,Q两点，若点C(2,l)为线段PQ的“友好点”，求 6 的取值范围；(3)已知直线

50、y =x+d(d 0)分别交x 轴、y 轴于E,F两 点,若线段E F 上的所有点都是半径为2的。的“友好点”，直接写出d 的取值范围.【答案】(1)G、C i(2)1 32&业2a +2【解析】【分析】(1)根 据“友好点”的定义逐个判断即可；(2)分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方.过B 作 PQ的垂线，垂足为B,交 x 轴 于 根 据 题目中的定义知：8。或 B P 的长度要大于或等于8c 的长度，求解即可；(3)首先分析得到点的运动范围，作出图形知。企 2,当 E4平分/F EO时，其中”(2,0),是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为2 夜+2,即得结论.【小 问 1 详解