2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷9含答案.pdf

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1、2 0 2 0 年数学（理）高考模拟卷新课标卷（9）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2 B铅笔将试卷类 型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保证答题卡的整洁。

2、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合4 =%|-l x 3,X GN,B=C C A ,则集合3中元素的个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出.【详解】解：因为集合4=XT X3,X GN,所以 4 =O,1,2）,因为 8 =C|C q A,所以3中的元素为A的子集个数，即3有2 3 =8个，故选：C.【点睛】本题考查集合，第合子集个数，属于基础题.2.己知a为

3、实数，若复数z=(a 2 l)+3+l)i为纯虚数，则 丝1_=()1 +iA.1C.1+iB.0D.1-i【答案】D【解析】因为z =(1l)+(a +l)i为纯虚数，所以“2 1 =0,0 +1 7 0,得a=i,则有*二(2(；”=一 故选 D.1 +1 (1 +1)(1-1)a+i20.6 1 +i20161+i 1+in3.已知实数x，y，z满足X=4 5,y =l ogs3,z =s i n(,+2),则()A.z x y B.y z x C.z y x D.X z 1，0 =log5l y=log53 log55=1,z=s i 万+2 j 0综上所述，故z y x故选C4.如图

4、的折线图是某公司2 0 1 8年1月 至1 2月份的收入与支出数据，若从6月 至1 1月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润(利润=收入-支出)都不高于4 0万的概率为()【答案】B【解析】【分 析】从7月 至1 2月 这6个 月 中 任 意 选2个月的数据进行分析，基 本 事 件 总 数 =盘=15,由折线图得6月 至1 1月 这6个 月 中 利 润（利 润=收入一支出）低 于4 0万 的 有6月，9月，1 0月，由此即可得到所求.【详 解】如图的折线图是某公司2 01 7年1月 至1 2月份的收入与支出数据，从6月 至1 1月 这6个 月 中 任 意 选2个月的数据进行分

5、析，基 本 事 件 总 数 =屐=15,由 折 线 图 得6月 至1 1月 这6个 月 中 利 润（利 润=收入一支出）不高于4 0万 的 有6月，8月，9月，1 0月，.这2个 月 的 利 润（利 润=收入一支出）都 不 高 于4 0万包含的基本事件个数?=C；=6,.这2个 月 的 利 润（利 润=收入一支出）都 低 于4 0万的概率为尸=2=,n 1 5 5故选：B【点 睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题.5.函 数/（x）=（x2 4 x+l），的 大 致 图 象 是（）【答 案】A【解 析】【分 析】用x 0排 除B,C；用x=2排 除 可 得 正 确 答 案

6、.【详解】解：当了0 ex 0 所以/（x）0,故可排除B,C；当x=2时，/（2）=-3e2 0,故可排除D故选：A.【点睛】本题考查了函数图象，属基础题.6.安徽怀远石榴（P“山自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润X （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）（参考数据：1.01

7、5loo4.432,lgll 1.041）A.y=0.04x B.y=L015*-l C.y=tan（三一 11 D.y=logH（3x-10）【答案】D【解析】【分析】根据奖励规则，函数必须满足：x s（6,100,增函数，y3,y 3不合题意；对于函数：y=1.0 1 5-l,当x=100时，y=3.432 3不合题意；对于函数：j =tanl-1 1,不满足递增，不合题意；对于函数：y=log”（3x70）,满足：x e（6,100,增函数,且yWlogu(3xl00-10)=logu290 0,4+2,4+5,%+1 3构成等比数列,即7-乩1 0,1 8 +”构成等比数列，依题意，有

8、（7-d）（1 8 +d）=1 00,解得d =2或d =1 3 （舍去），4。=%+（1 0 2）d =5+8 x 2 =2 1,故选 A.8 .如图，在A A B C中，若A 8 =a，A C=b BC=4 B D，用a,6表 示 器 为（）A.A“D=I a+1 b,4 43 1C.A D=-a+-b4 4,c 5 1 ,B.A D=a+b4 4,c 5 1 ,D.A D=a b4 4【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.【详 解】ADAB+BDAB+-BCAB+-(AC-AB-AB+-AC-a+-b4 4、,4 4 4 4本题正确选项：C【点 睛】

9、本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.2 2.9.如 图，,用 分 别 是 双 曲 线 三 春=1(a 0/0)的左、右焦点，过 月 卜 近 的 直 线/与双 曲 线 分别交于点A,8,若A 4 8 8为等边三角形，则 双 曲 线 的 方 程 为()5x2 5 y 2-7 2?B.-/=16 -D 5/5 y 22 8 7【答案】C【解析】根据双曲线的定义，可得|A F|A F 2|=2 a,A B F 2是等边三角形，即|A F 2|=|A B|.-.|B F i|=2 a又；|B F 2 H B F i|=2 a,；.|B

10、 F 2|=|B F|+2 a=4 a,:ZBFIF2 中，|B F i|=2 a,|B F2|=4 a,Z FIBF2=120.,.|FIF2|2=|BFI|2+|BF2|2-2|BFI|BF2|COS120O即 4 c2=4 a 2+1 6 a 2-2 x 2 a x 4 a x (-i)=2 8 a2,解得c2=7a2,又 0=所 以/=1 2=6 方程为无2一 二=16故选C点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.1 0.九章算术卷七盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价

11、各几何？”翻译为：“现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”.为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（）A.左20 B.k2C.k22 D.k23【答案】A【解析】【分析】根 据 程 序 框 图 确 定 表 示 的 含 义，从而可利用方程组得到输出时x的值，从而得到输出时攵的取值，找到符合题意的判断条件.【详解】由程序框图可知，表示人数，y表示养价5%+45=y该程序必须输出的是方程组 .的解，则x=21y=3+7x.4=21时输出结果,判断框中应填%20本题正确选项：A【点睛】本题考查根据循环框图

12、输出结果填写判断框内容的问题，关键是能够准确判断出输出结果时的取值，属于常考题型.1 1.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何 体 的 体 积 是()闾7.阳,9A.6 B.一2【答案】DD.1 73【解析】该几何体是正方体截去一个三棱台所得，体积为V =2 3 L x 2 x 2 +、2，+=,3 I V 2 2 j 3故选D.1 +I n x,0 x l根，则实数。的取值范围为A.(-o o,0)B.(0,+o o)C.(l,+o o)D.(0,1)【答案】D【解析】【分析】f(x)-(1 +(x)+a =0 等价于/(x)=a 或/(x)=1,由

13、 /(x)=1 有唯一解可得/(x)=a 有两个不同的根，转化为 =/(x),y =a的图象有两个交点，利用数形结合可得结果.【详解】/2(x)-(l +a)/(x)+=0 可变形为/(x)-1 =0,即/(x)=a 或 x)=l,由题可知函数/(X)的定义域为(0,+8),当x e(0,1 时,函数/(x)单调递增；当x e(l,+8)时，函数f(x)单调递减,画出函数/(%)的大致图象，如图所示，yi当且仅当x=l时，/(x)=l，因为方程/2(x)-(l +a)/(x)+。=0恰有三个不同的实数根，所以“X)=a 恰有两个不同的实数根，即丁 =/(%)，=。的图象有两个交点，由图可知0。

14、1 时，y =/(x),=a的图象有两个交点，所以实数。的取值范围为(0,1),故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、方程的根与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于难题.函数零点的几种等价形式：函数y =/(x)-g(x)的零点=函数y =/(x)g(x)在 x轴的交点o 方程/(x)-g(x)=0的根o 函数y =于(x)与 y =g(x)的交点.第 H卷(非 选 择 题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 2 0 分。把答案填在题中的横线上。1 3.在数列%中，=2 a“_ (N2,e N*),前项和为S“，则=。【答案】2【解析】由题意可得上 匚=2,故数列

15、 a n 为等比数列，且公比q=2,4(1-力故 区 i q _ 1-_ 1 5%a】q(1-q)2故答案为：一21 4.设 xO,y 0,x +2 y =2,则 孙 的 最 大 值 为.【答案】【解析】【分析】已知x0，y 0,x+2 y =2,直接利用基本不等式转化求解犯的最大值即可.【详解】X 0 .0,x+2 y.2,2 x y ,即 2.2 5/2 孙,两边平方整理得初，g,当且仅当x =l,y =L时取最大值L；2 2故答案为：2【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件.1 5 .设曲线 =2在点（1,1）处的切线与曲线丁=d+1在点P处

16、的切线垂直，则点P的坐标为.X【答案】（0,2）【解析】【分析】分别求出卜=,，y =e +l 的导数，结合导数的几何意义及切线垂直可求.X【详解】设 P（Xo，y ）,因为y=J的 导 数 为=所以曲线y=L在点（1,1）处的切线的斜率为一 1；因XXX为丁=已+1 的导数为丁=/，曲线y =e +l 在点尸处的切线斜率为e ，所以（l）x e&=1,解得%=0,代入 =e、+l 可 得%=2,故/0,2）.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数解决曲线的切线问题一般是考虑导数的几何意义，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.1 6 .己知抛物线。：丁 2=2a50）的焦点为尸，点 加

17、（面,2 回（/）是抛物线C 上一点，以M为 圆 心 的 圆 与 线 段 相交于点A，且被直线x =截得的弦长为若 犒 =2,则|A R|=【答案】14【解析】将 A f 点坐标代入抛物线方程得8 =2。,解得天=一,即“P上 2 ,P/MF、24P+(2 回2，由于|惆 为圆的半径，而|E|=G|M 4 ,所以=gPZ B D M=-,故 K =即=L6 P 2 2 3 p 2 34 p P 2,2+(2 夜，两边平4 D I方化简得不：=1,解得=2,故目=3,|叫=”耳=1.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查圆和直线的位置关系，考查特殊的等腰三角形中解三角形的方法.首先M点是

18、在抛物线上的，坐标满足抛物线的方程，由此求得X。的坐标，然后根据直线截圆所得弦长，得到点横坐标和圆半径的关系，由此列方程求解出P 的值.三、解答题：本大题共6 小题，共 7 0分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7-2 1题为必做题,每个考生都必须作答.第2 2/2 3 题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 6 0分1 7.在锐角三角形ABC 中，B C=1,A 6 =J5，s i n(万一 8)=理(1)求AC的值；(2)求s i n(A-B)的值.【答案】(1)V 2(2)-8【解析】【分析】由三角形A B C为锐角三角形，根据诱导公式化简s i n(4-8)

19、=乎，即可求出s加8的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出c o s B的值，由A B.B C及c o s B的值，利用余弦定理即可求出AC的长；(2)由BC,A C及sinB的值，利用正弦定理求出s i n A的值，利用同角三角函数间的基本关系求出c o s A的值，然后利用两角差的正弦函数公式化简s i n(4-8)后，把各自的值代入即可求出值.【详解】解：(1)A B C为锐角三角形，s i n(乃 8)=乎.D_ V1 4.s i n D-4c o sB=J l-s i nB=.1 1-=V 1 6 4在 八48。中，由余弦定理得：A C2=A B2+B C2-2 A B-B Cc

20、o s B=(V2)2+l2-2 x V2 x l x =24：.A C=y/2(2)在S C中，由正弦定理得s m A s i n B1 V1 4得.B C x s i n B x 4s i n A =-=逐一A C V2c o s A =A/1-s i n2 A =.1 -=V 1 6 4s i n(i 4-B)=s i n A c o s c o s A s i n B=2x-=-4 4 4 4 8【点睛】此题考查了三角函数的恒等变形,正弦定理及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.1 8.如图，在四棱锥P-A3C D中，平面A8C D,底面A B C O是菱形，Q 4=A B =

21、2,ZB AI)=60.(I )求证：直线R D _ L平面P AC；(ID求 直 线 与 平 面B4 O所成角的正切值；(H D设点M在线段P C上，且二面角C M BA的余弦值为之,求点A f到底面A 8 C。的距离.7【答案】(I)证明见解析；(H)史；(n i)L.5 2【解析】【分析】(I)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(H)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可;(I I I)设PM=2P C，由题意结合空间直角坐标系求得4的值即可确定点M到底面A B C O的距离.【详解】(1)由菱形的性质可知B O _ L A C

22、,由线面垂直的定义可知：B O _ L A P，且AP cAC=4,由线面垂直的判定定理可得：直线B D _ L平面P 4 C；(H)以点A为坐标原点，A R A P方向为y轴,Z轴正方向，如图所示，在平面4 B C D内与A。垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则：P（0,0,2）,B（V3,l,0）,A（0,0,0）,D（0,2,0）,则直线P B的方向向量P B=（V3,l,-2）,很明显平面P A D的法向量为m=（1,0,0）,设直线P B与平面P A D所成角为。，nmsin-P B m-也$亩9 G 厉四 忖 “J8 x l cos。石 5（HI）设 M

23、（”z）,且 PM=4PC（OK/141）,由于尸（0,0,2）,C（省,3,0）,3（0,1,0）,4（0,0,0）,x=V32故:（”Z-2）=2（63,-2）,据此可得：.y=3A,z=2A,+2即点M的坐标为M（岳M 32,-22+2）,设平面CMB的法向量为：=（x1,y1,z1）,则：-CB=（xl,yl,zl）-（O,-2,O）=-2yl=0,nl-MB=（xl,yl,z1）.（V 3-V 3A,l-3/l,2/l-2）=0，据此可得平面CM8的一个法向量为：4=（2,0,、6），设平面MBA的法向量为：&=（,%，22），贝I：A B =(肛 月，Z 2)(6，1,0)=+%=

24、0n,M B=(x2,y2,z2)-V 3 /3 2,l 3 2,2 2-2 j =0(向、据此可得平面M B A的一个法向量为：n2=1,-73,1 /I2 +吕_ 5V 7xJ l +3 +(1 4)2二面角CM BA的余弦值为之，故7整理得 1 4 2-1 94+6=0，解得：4 或2=9.2 72由点M的坐标易知点M到底面AB C D的距离为1或者余【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2 21 9.设椭圆C:：+也=1 （。匕0）的左、右焦点分别为、F2,过居的直线交椭圆于4 B两点，若椭

25、圆C的离心率为g,ABG的周长为8.（I ）求椭圆C的方程；（I I）已知直线/：丁 =区+2与椭圆C交于M、N两点，是否存在实数Z使得以M N为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.2 2o【答案】（I）上+汇=1 （I I）存在，=64 3 3【解析】【分析】（I）根据椭圆离心率、椭圆的定义列方程组，解方程组求得a*,c的值，进而求得椭圆的标准方程.（I I）设出M,N两点的坐标，联立直线/的方程和椭圆方程，计算判别式求得上的取值范围，并写出根与系数关系，根据圆的几何性质得到O M.Q N=0，由此得到西+乂%=0，由此列方程，解方程求得A的值.【详解】c 1

26、厂5 卜=22 2(I)由题意知，4a =8.=百，所以所求椭圆的标准方程是+上 =1.a2+b2=c2 c =l 4(I I)假设存在这样的实数鼠 使得以M N为直径的圆恰好经过原点.设 例(X 1，x)、N(z，%)，联立方程组彳4 3 ，y=kx+2消去 y 得(3 +4左 2)/+1 6 A x+4 =0,由题意知，用,是此方程的两个实数解，所以 A=(1 6 A)2 -1 6(3 +4尸)0,解得&g 或 /3 .3故存在这样的直线使得以M N为直径的圆过原点.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查圆的儿何性质，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学

27、思想方法，属于中档题.2 0.设函数/(%)=-a(l n x+l).(1)当。=1时，求y =/(x)在点(1,/)处的切线方程;a(2)当。2时:判 断 函 数/(x)在 区 间 是 否 存 在 零 点？并证明.2e【答案】(1)y =x l；(2)函 数/(x)在 m 上存在零点，证明见解析.【解 析】【分 析】(1)求 导，求 出/,/，即可求解;(2)根 据/(x)的正负判断的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.【详 解】函 数/(x)的定义域为(0,+8),/(x)=2 x =交口X X1 Oy2 1(1)当 a =l 时，/(x)=x2-l n x-l,f(x)=2 x-=-X

28、 X又 了=0,切 点 坐 标 为(1,0),切 线 斜 率为2 =1,所 以 切 线 方 程 为y =x 1；所 以/(X)在上单调递减,2(2)当2a.I n a+1 n0,又0 e *e =e2 x2-a时、fx)=-0,所 以 函 数/(x)在上存在零点.【点 睛】本题考查导数的儿何意义，考查导数在函数中的应用，用导数判断函数的单调性，考查函数零点的存在性的判断，属于中档题21.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9:20 10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共

29、有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9:209：40记作区间 20,40）,9:4010:00记作 40,60）,10:0010:20记作 60,80）,10:2010:40记作 80,100.比方：10点 04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4 辆，记 X 为 9:2010:00之间通过的车辆数，求 X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知

30、，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻丁服从正态分布N a。?），其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若 T N（,q2）,则。（儿b T W 4+b）=0.6826,P（2 b T M+2 b）=0.9544,P（4-3 b 4P(X=4)=宣=512101所以X的分布列为X01234p1148212743512H)所以E（X）=0 x plx F2X+3x-i-4x-1

31、4 21 7 35 21085(3)由(1)可得 =64,o-2=(30-64)2*o.I+(50 _ 6 4y 乂 0 3 +(70-6 4)2x 0.4+(90-64)2x0.2=324,所以cr=18.估计在9:4610:40这一时间段内通过的车辆数，也就是46T 100通过的车辆数,由 T N(,c r2),得 P(64-18TW64+2X18)P(-b T 4 +b)P(-2 b T 1 _ X|+X2 2百 百 出R d 旬得：.=7-7 =Z=-，即e二-=t a n a 一%3(y+%)3x 2 3 3又 a (0,%),，直线/的倾斜角为营；解法二：中点极坐标(2,看)化成直

32、角坐标为(6,1),叱震二分别代入9a得包a+丁”/.(c o s2a +3s i n2 a)/+(6s i n a +26c o s a)，-6 二 0,*+2=6s i n a +2g c o s ac o s2 a +3s i n2 a二0，即-6s i n a-26c o s a =0.s i n a v 3 R n v 3-=-,即 t a n a =-.c o s a 3 35 7 7又a e(0,m，.直线/的倾斜角为【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题.23.选修4-5：不等

33、式选讲已知函数f(x)=|2x-3|+|2x-l|的最小值为力.(1)若 加，ne-M,M .求证：2 m+n A +mn-2 1(2)若 a,OG(0,+OO).a+2 b=M ,求一+一 的最小值.a b【答案】(1)证明见解析(2)4【解 析】【分 析】(1)运用绝对值不等式的性质，可 得/,(X)的最小值M，再由分析法证明不等式，注意平方法和因式分解法;(2)由条件运用基本不等式可得“儿 工，再由基本不等式和不等式的性质：传递性，即可得到所求2最小值.【详 解】解：(1)证 明:函 数/(x)=|2x 3|+|2 x-l|.(2x 3)(2x 1)|=2,1 3当;期k;时，取得等号，

34、2 2即/(x)的 最 小 值 为2,即=2,可 得 加，ne-2,2 j,即有机 4,*4,21 加+隐!j 4+mn|4(，+n)2(4+mn)2o (2m+2+4+mn)(2m+2n 4 mn)0o (2+/n)(2+)(2-2)0=-4)(4-2),0,由而？,4,2 4,上式显然成立,故+|4+加 川；(2)a,b e(0,+00),a+2b 2 由 a+2b.22ab,可得当且仅当a=2Z?=l时，取得等号，2当且仅当a=1,b=-,取 得 最 小 值4.2【点睛】本题考查绝对值函数的最值，以及不等式的证明，注意运用分析法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题.