河北省正定县2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .答题时请按要求用笔。3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.将 函 数/。）=6$皿2%-2 ）5 2%图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再

2、向右平移工个单位长8度，则所得函数图象的一个对称中心为（）2.在正方体A 5 C O -A4G。中，E,尸分别为CG，的中点，则异面直线A/,DE所成角的余弦值为（）A 1 口 屈 2#n 1A.-B.-C.-D.一4 4 5 53 .过圆V +y 2=4外一点M（4,-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）.A.4 x-y-4 =0 B.4 x+y-4 =0 c.4 x+y +4 =0 D.4 x-y +4 =04 .在A A B C中，“c o s A v c o s 5”是“s i n A s i n 5”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既

3、不充分也不必要条件2x+y-2024A.1 B.2 C.D.一456.集合 A =x|x-2 0,。0）的左、右顶点分别为A、4,点P是双曲线c上与4、4不重合的动点,a若 kp%kpA?=3,则双曲线的离心率为（）A.V2B.7 3 C.4 D.28 .已知函数/(x+1)是偶函数，当X W。,”)时，函数/(x)单调递减，设4 =/(一 小，b =3),c=f(o),则a、b、c的大小关系为OA.b a c B.c b d C.b c a D.a b 0)上任意一点，M是线段P尸上的点，且=2|/耳,则直线0M的斜率的最大值为()A.3 B.-C.D.13 3 21 1.己知集合 M=y|

4、-l y O,5 o;r 的图像如图所示，则 该 函 数 的 最 小 正 周 期 为.1 6.定义mi n a,/?=02 0).(I )当 a =Z?=l时，解不等式“4 8-2；(ED 若/(x)的最小值为1,求 一1+1 的最小值.1 8.(1 2 分)如 图，三棱柱ABC-A4G的所有棱长均相等，B 1 在底面ABC上的投影。在棱BC上，且 48平面A Z)GH(I)证明：平面Ao q，平面8CG4；(I I)求直线A3与平面A O C；所成角的余弦值.1 9.(1 2 分)已知数列%,其前项和为S,满足=2,S,=吟+,其中.2,eN*，2,R.若2 =0,=4,bn=an+i-2a

5、n(eN*)，求证：数列 是等比数列；若数列仅“是等比数列，求/I,的值；3若4=3,且 2 +=,求证：数列仅“是等差数列.x =2 +-22 0.(1 2 分)在直角坐标系x O y 中，直线/的参数方程为 厂(，为参数).以原点。为极点，x轴正半轴为极I y=2t轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p2=6 p(c os。+si n。)-1 4.(1)写出圆C的直角坐标方程；(2)设直线，与 圆 C交于A,8两点，尸(2,0),求|P A+|PB的值.21.(12 分)已 知 函 数/(x)=lnx+0-a,g(x)=-+(l+1 a1-,(ae R)x x I e(1)讨论/(x)的单调

6、性；(2)若/(X)在定义域内有且仅有一个零点，且此时/(x)g(x)+，77恒成立，求实数机的取值范围.22.(10分)在 G gcosC-a)=csin8；27+c=2Z?cosC；()AsinA=!?!as i n 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,。=2 8，a+c=4,求AABC的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】先化简函数解析式，再根据函数V =Asm(ox+(p)的图象变换规律，可得所求函数的解

7、析式为y=2sin(+1,再由正弦函数的对称性得解.【详解】,/y=/3sin2x-2cos2 x=G sin 2x-(1+cos 2x)2sin|2x-I 6T,将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为y=2sin 2 7 TX-(3 6TT再向右平移7个单位长度,所得函数的解析式为Oy=2sin2兀x-7162 sin2 兀-x-3 4T,2 万 7 3 7 37r-X-=K7T X=-k,7l H-,k&Z,3 428Z=0可得函数图象的一个对称中心为 卷二故选D.【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、

8、最值等,其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解.2.D【解析】连接BE,B D,因为BE/AF,所以ZBEZ）为异面直线AE与OE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2,取BD的中点为G,连接E G,在等腰M ED中，求出cosN8EG=C =*，在利用BE 75二倍角公式，求出cos/B E O,即可得出答案

9、.【详解】连接BE,B D,因为BE/AF,所以N3ED为异面直线AF与OE所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2,则=BD=2 0，在等腰ABED中，取BO的中点为G,连接EG,则 EG=J5 2=J L cos ZBEGEG 也BE45所以 cos ABED=cos 2NBEG=2 cos2 NBEG-1,3 1即：cosNBED=2义一一1 =-,5 5所以异面直线AF,DE所成角的余弦值为g.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.3.A【解析】过圆 x2+y2=r2 外一点（m,ri）,引圆的两条切线，则经过两

10、切点的直线方程为如+r=0,故选人.4.C【解析】由余弦函数的单调性找出cosAvcosB的等价条件为A 3,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出cos A sin 8”的充分必要条件.【详解】.余弦函数y=cosx在区间（0,）上单调递减，且0A（万，0BB,.由正弦定理可得sinAsinB.因此，“cos A sin 8”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力,属于中等题.5.C【解析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：y0(0,-g)，C(0,2),怛

11、。|=等，忸C|=石 所 以 阴 影 部 分 面 积%6=3怛0|忸C|=g x，x J?=：故选：C.【点 睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.6.D【解 析】利用交集的定义直接计算即可.【详 解】A =x x c 2。t即 e=2,故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题.8.A【解析】根据/(%+1)图象关于y轴对称可知/(X)关于X=1对称，从而得到“X)在(一8,1)上 单 调 递 增 且/=/(-1)再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】Q/(x+l)为偶函数./

12、(x+1)图象关于)轴对称/(x)图象关于=1对称,.xe(l,+8)时，/(x)单调递减.xe(-oo,l)时，/(x)单调递增又/=/(T)且T ；。即。a c本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.9.C【解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，直角三角形的斜边长为，82+62=10,利用等面积法，可得其内切圆的半径为r=2,6+8+107T-22 _ 71所以向次三角

13、形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为丁丁二=7.x6x82故选：C【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.C【解析】2试题分析：设 火 ,为)，由题意F(称,0),显然为 0,则O M O F +F M O F +-F P O F +-(,O P-O F -O P +-O F (-+-,-),可得：3 3 3 3 6P 3 3AL,3 2 2 V2 L2P 而F，当且仅当为2=2 2,%=逝时取等号 故选C.6P 3%考点：1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.【方法点晴】

14、本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档2题.解题时一定要注意分析条件，根据条件1 P M i =2|可，利用向量的运算可知加(察+4,空)，写出直线的斜率,6 P 3 3注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题.1 1.C【解析】先化简 N=x|x(2 x 7)融 =x|0 A?再求 A/u N.【详解】因为N=x|x(2 x 7)效0 =卜|0 短 共，又因为“=y|-l y 3 ,所以=,故选：C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.1 2.C【解析】3_ _ _ _

15、 _ _设 A(x”y),8。2，)2)，。(七，为)，由 苏+而+定=。可 得%+当=7 7,利用定义将|b A|+M|+|F C|用玉,工 2，工表示即可.【详解】设 A(x”),B(x2,y2),C(x3,y3),由 丽+丽 +/=。及尸(3,0),1 6得(为 一7 7，%)+(-J，%)+(七 一7 7，%)=(，)，故%+%+%3 =77，1 6 1 6 1 6 1 6所以|B 4|+b8|+|尸C|=F+1 1 1 377+X 2+7 7 +X 3+7 7 =/l C)l o l o o故选：C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.

16、二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。1 3.V 2-1【解 析】运用等比数列的通项公式，即 可 解 得4.【详 解】/6+5=4 J%(i+q)=4aA+ai-a2-ax=a3(l +)-l(l +)=14 4x x =1,；.%=4(%-4),q4-4g 2 +4=0,(q2-2)2=0 ,A q2=2,:.q=l,c/4=4,atq5+aq4=4,(V 2 +l)a,=1,q -尸 5/2 -1,V 2 +1故答案为：V 2-1.【点 睛】本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题.1 4.-8【解 析】计 算 出 反=出+62=一匕+出，两个复数相

17、等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详 解】iz ai+hi1-b +ai,所以 a=l,0 =-9,所以 a+b=8.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.1 5.8【解 析】根 据 图 象 利 用/(o)=当，先 求 出。的值，结 合/(i)=o求 出 ，然后利用周期公式进行求解即可.【详 解】解：由/(O)=J 5 s i n e=迈，得 s i n 0=2 2T t 3 7,/(pT l,：.(p=,贝II/(X)=6 S i n(+=7i,即 a=一,4 42=2 =则 函 数 的 最 小 正 周 期 FF,4故答案为：8

18、【点 睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.【解 析】根据题意，分类讨论求解，当 机()时，根据指数函数的图象和性质/(x)=e*-L无零 点，不合题意；当 相0时,m令/(尤)=。一,=0，得x =-l n z,令 g(x)=(x-l)(z n x 4-2 m2-m-l)=0,得=1 或x=-2 m 2ml=-+l-2 m9再 分 当 工+1-2 m 1,工+1-2 m1两种情况讨论求解.m m m m【详 解】由题意得：当 加0时，fx=ex-一 在1轴 上方，且为增函数，无零点,mg(x)=(x l)(a+2 ，一加一 1)至多有两个零 点，不合题

19、 意；当 相 0时，f(x)=exm0,得x =-l n m，令 g(x)=(x-l)n v c+l m2-m-l)=0,得x =l 或2 m2-m-1 t.x-=F l-2 m,m m如图所示:SLLO 丫当 工+1-2机1时，即0 根 立 时，要 有3个零点,m2则一解得工 m e 2i/y当 一+1-2加1时，即 加 注 时，要 有3个零点，则一I n m vm2f(Hl)F 1 21T l+I n 7 7 2 fm 7z m -)c，(、1 1 2m2-m+I 4J 8f(m)=-2 +=-=-/-0m m m m所 以/(?)在(等,+8是减函数，又/。)=0,要使/(根)0,则须加

20、1，所 以 的 m 1.综上：实 数 机 的 取 值 范 围 是:，与故答案为：f一l,-u fV-2 )2)12 J【点睛】本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，+1-2 m,m还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用【解析】导数判断函数单调性，属于中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、1 7.(I )-2,2 1 ；(I I )。+也.4 2证明过程或演算步骤。(I )当 Q=%=1 时,2 x(x 1),/(x)=|x-l|+|x+l|=-2(-1 4无41),令g(x)=8-V,-2 x(x|(x +/J)-(x-a)|=|(z +Z?|a+b=,

21、再由“1”的妙用可拼凑为2+力+削，结合基本不等式即可求解;【详解】2 x(%1),(I )/(x)=|x-l|+|x+l|=2(-1 X1),2 x(x *=2或x =4(舍)，得点3横坐标为2,由对称性知,点A横坐标为-2,因此不等式f(x)|(x +6)-(X-6 T)|=|(-+V2)=-+a+2b 2 a+2bl 2 a+2b 2 2 2 4 2取 等 号 的 条 件 为 左 二 驾，即联立。+八厝a=3-2五,b=2四2.因 此 六+5的 最 小 值 吟+孝【点睛】本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题1 8.(I )见 解 析(I I)1 4【解析】(I)连接A。交4G于点

22、。，连接8,由于4 8|平面4。0,得出4 8 II。，根据线线位置关系得出AOL8C,利用线面垂直的判定和性质得出A O _LB|O,结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面AOC|_L平面BCGBI；(E D根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出丽=0,6,0)和平面AOC；的法向量3=(-6,0,2),利用空间向量线面角公式，即 可 求 出 直 线 与 平 面AOG所成角的余弦值.【详解】解：(I)证明：连接4 c交AG于点。，连接Q D,则平面A,B C D平面AOG=O D,4 6 平面 A D C,4 B/0D,0为4 c的中点，/)为BC的中点，.A_LBC.4。，

23、平面ABC,;B CCBQ=D,；,A D上平面 BCCB,Q 4)u平面A D C,平面ADC,1平面BCC,4(U)建立如图所示空间直角坐标系。一孙z,设AB=2则 8（1,（）,0）,A（0,A/3,0）,B,（0,0,73）,C,（2,0,73）,-.BX =（1,73,0）,ZM=（0,A o）,DC）=（2,0,73）设平面AOG的法向量为7=(x,y,z),则/3y=02x+s/3z 0取x=G得5=卜6,0,2卜【点睛】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.19.(1)见 解 析(2)2=1，=0(3)见解析【解析】试题分析：S,

24、=4 a,i(？2),所以a=2%,故 数 列 也 是等比数列；利 用 特 殊 值 法，得q=1,4=1,故 几=1,=0；(3)得/l=g,=1,所以S,=a.+a“T，得(1)。,用一(“2)4 2 a,i=0,可证数列 ,是等差数列.试题解析：(1)证明：若4=0,=4,则当S,=4%i(？2),所以%=Em S,=4(q,an_,),即%一2%=2(4-2的)，所以2=24_,又由4=2,4+出=4囚，得 的=3q=6,%2at=2 0,即 w 0,所以3=2，%故数列 2是等比数列.(2)若 4是等比数列，设其公比为4 (q2+f.i q ,当 =4 时，S 4 =4 2%+，即。|

25、+。2+。3+。4=4 4%+%，得 +q+q2+q3=4 2 3+/.iq2,(3)-x4,得1=回2 ,-x 得 S“+|=2 an+an +1 n两式相减得：4+|=an+an+an-an-即(T)4用一(2)%-2 a,I =0所以电,+2 一(-1)4+1 -2 q,=0相减得：加“+2 _2(九 _ 1)a“+i+(2)4 _ 勿+%_ =0所以几(q+2 2%+凡)+2(%4 +%)=02 22所以(4+2 -2 4+I +4)=一-(a+l-2 a+_!)=-.(4,一2 q _ +/_ 2)n nyn-)(-2)1=/；+2-2%+i+。“=。，即数列%是等差数列.2 0.(

26、1)(x-3)2+(y 3)2 =4；(2)2 0【解析】(1)利用=2 0 5仇=外 皿。即可得到答案；(2)利用直线参数方程的几何意义，|尸呢+|尸耳2=彳+1=&+幻2-2%.【详解】解：(1)由0?=6p(c o s(9 +s in 6)-1 4,得 圆C的直角坐标方程为%2 +2 =6x+6y 1 4,即(尤一3 +(y-3)2 =4.(2)将直线I的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得净 1)2+(争 3)2 =4,即 产-4+6=()，设两交点A，8所对应的参数分别为乙，t2,从而4+/2=4 0,42 =6贝！+pB f=t；+g =&+L J _ 2 能=3 2 1 2 =2

27、0.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.2 1.(1)a 0时，/。)在(0,。)上递减，在 3,”)上递增.(2)(-o o,-l .【解析】(D求出导函数/(x),分类讨论，由/(x)0确定增区间，由/(幻 0,/(单调递增；a0时，令/(x)=0 得 x =。，0 xa时，f(x)a时，/(x)0,f(x)递增，综上所述，时，八幻在(),+/)上单调递增，。0 时，/(x)在(0,a)上递减，在(a,Ko)上递增.(2)易知/(1)=0,由函数单调性，若/(幻有唯一零点，贝 i Ja WO或“=1.a-1 1当时，

28、g(x)=-,/(x)-g(x)=l n x +a,x x从而只需。=0 时，/(x)-g(x)N 加恒成立，即机 l n x+,，x令/z(x)=l n x +,，“(X)=,=n，(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，X X X工(X)m i n =(1)=1，从而?1.X 1a =l 时，g(x)=,f(x)=nx+一一1,e x1 Y x 1 Ix 1 1令/(%)=f(x)一 g(x)=In x+-T ,由 x)=-=(x-l)(+),知 f(x)在(0,1)递减,在(1,+o o)x e x e x e上递增，f(X)m i n=l)=T，区-L综上所述，”的取值范围是(

29、F,-1.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.2 2.横线处任填一个都可以，面积为【解析】无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式s i n A =s i n(B +C),展开后，可求得B角，再由余弦定理b1=a2+c、2-2accos8求得“c，从而易求得三角形面积.【详解】在横线上填写“V3(/?cosC-a)=csin解：由正弦定理，得 石(sin 3 co sc-sin A)=sin Csin B.由 sin A=sin(B+C)=sin BcosC+cos

30、Bsin C,得 一6 cos BsinC=sin Csin 5.由O v C v；r,得sinCwO.所以 一6 cos B=sin B-又cosBwO(若8 s 3 =0,贝！|sin8=0,sin?5+cos2 3=0这与sir?3+cos?3=1 矛盾),所以tan B-一6.又UB =2 6,得（2 6）2 =a2+c2-2 cco sg即 12=（a+c）2 -ac.将 a+c=4代入，解得ac=4.所以 S XRr=acsin B=x4 x-=/3.sc 2 2 2在横线上填写“hsinA=J3a sin J上”2解：由正弦定理，W sin B sin A=V3 sin A si

31、n .2由 0A，得 sin Aw。，所以 sin B=V3 cos 2由二倍角公式，得2singcos0=G cosO.2 2 2由0天 37，得cosw O,所以s i n=.2 2 2 2 2所以0 =工，即8=乏.2 3 3由余弦定理及=2 6，得（2后=/+/-2QCCOS 汉3即 12=（a+c）2 -ac.将 a+c=4代入，解得ac=4.所以 S&Bc=；acsin8=g x 4 x#=百.【点睛】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，若三角形中已知一个角（角的大小或该角的正、余弦值），结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.