2017年数学真题及解析_2017年天津市高考数学试卷（文科）.pdf

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1、2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）设集合 A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4 ,贝 I（AUB）A C=（）A.2 B.1,2,4 C.1,2,4,6 D.1,2,3,4,62.（5 分）设 x d R,则“2-x20是-1 W l”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.（5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率 为（）A.1 B.g C.Z

2、 D.15 5 5 54.（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为1 9,则输出N 的值为（）2 25.（5 分）已知双曲线工_-1_=1（a0,b 0）的右焦点为F,点 A 在双曲线2,2a b的渐近线上，4 0 A F是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为)2 2 2 2 2 2AxyiRxyif x 21r l 2 y 14 12 12 4 3 y 36.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(o g L),b=f(log24.1),25c=f(20 8),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.cba D.ca 0,|4

3、)I n.若 f(且L)8=2,f(11兀)=0,且f(x)的最小正周期大于2 n,则()8A.3=2,4)=L B.u)=,4)=-11兀3 12 3 12C.u)=,巾=-I1兀-D.co=,4)=-J3 24 3 24 I x 1+2,xl8.(5分)已知函数f(x)=1.I X2|区+a|在R上恒成立，则a的取值范围是()2A.-2,2 B.-2V3 2 C.-2,2技 D.-2后 入 门 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共3 0分.9.（5分）已知adR,i为虚数单位，若总ZL为实数，则a的值为2+i10.（5分）已知a G R,设函数f（x）=ax-Inx的图象在点（1,f

4、（1）处的切线为I,则I在y轴 上 的 截 距 为.11.（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为1 8,则 这 个 球 的 体 积 为.12.（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为I.已知点C在I上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若NFAC=120。，则 圆 的 方 程 为.13.（5分）若a,bGR,a b 0,则 土 也 里 的 最 小 值 为.ab14.（5 分）在4ABC 中，ZA=60,AB=3,AC=2.若丽=2无，AE=XAC-AB（入G R）,且瓦 蕊=-4,则入的值为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过

5、程或演算步骤.15.（13分）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=-fs（a2-b2-c2）（I）求cosA的值；（I I）求 sin（2B-A）的值.16.（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收 视 人 次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于3 0分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分

6、别 用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17.（13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，A D,平面 PDC,ADBC,PD_1_PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（I I）求证：PD L平 面PBC；（III）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.318.(13分)已知 a j为等差数列，前n项和为S n(nCN*),b j是首项为2的等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=

7、a4-2an Sn=llb4.(I)求 an和 bn的通项公式；(I I)求数歹I a2nbn的前n项 和(nGN*).19.(14 分)设 a,bdR,a|W l.已知函数 f(x)=x 3-6 x 2-3 a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(I)求f(x)的单调区间；(I I)已知函数y=g(x)和丫=*的图象在公共点(xo,y0)处有相同的切线，(i)求证：f(x)在x=x0处的导数等于0；(i i)若关于x的不等式g(x)We*在区间 xo-1,Xo+l上恒成立，求b的取值范围.2 220.(14分)已知椭圆(a b 0)的左焦点为F (-c,0),右顶点为2,2a bA,点

8、E的坐标为(0,c),AEFA的面积为2(I)求椭圆的离心率；(I I)设点Q在线段AE上，|F Q|=lx:,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N2在x轴上，PMQ N,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率；(i i)求椭圆的方程.2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）设集合 A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4 ,则（AUB）DC=（）A.2 B.1,2,4 C.1,2,4,6 D.1,2,3,4,6【分析】由并集定义先求出A U B,再由

9、交集定义能求出（AUB）AC.【解答】解：.集合 A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,（AUB）n c=l,2,4,6 C l 1,2,3,4=1,2,4.故选：B.【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用.2.（5 分）设 x d R,则“2-x20是 x-1 W1”的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由 2-x，0 得 x0,b 0)的右焦点为F,点 A 在双曲线2,2a b的渐近线

10、上，O AF是边长为2 的等边三角形(。为原点)，则双曲线的方程为()2 2 2 2 2 2AxyiRxyiCx 2ID 2yl4 12 12 4 3 y 3【分析】利用三角形是正三角形，推 出 a,b 关系，通 过 c=2,求 解 a,b,然后等到双曲线的方程.2 2【解答】解：双曲线二-“1(a0,b 0)的右焦点为F,点 A 在双曲线的2,2a b渐近线上，AOAF是边长为2 的等边三角形(0 为原点)，Lk2 2 2可得c=2,且用即=3,工*=3，a a a2解 得 a=l,b=E，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：X2 J=1.3故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质

11、的应用，考查计算能力.6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(o g L),b=f(Iog24.1),25c=f(20 8),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.cba D.cab【分析】根据奇函数f(x)在R上是增函数，化简a、b、c,即可得出a,b,c的大小.【解答】解：奇函数f(x)在R上是增函数，a=-f(10 g)=f(log25),b=f(log24.1),c=f(20-8),又 lV282Vlog24.1Vlog25,A f(20 8)f(log24.1)f(log25),即 cb 0,|巾V n.若 f(且L)8=2,f(A12L)=0,且

12、f(x)的最小正周期大于2 n,则()8A.3=2,4)=2L B.3=2,4)=-.11 兀,3 12 3 12c.3=1，4)=-A12L D.3，6=1213 24 3 24【分析】由题意求得工，再由周期公式求得3,最后由若f(且L)=2求得巾值.48【解答】解：由f(x)的最小正周期大于2 n,得工工，4 2又f(12L)=2,f(11 兀)=0,得工=11 兀 -5兀=3兀，8 8 4-8 8-4/.T=3 n,则三2=3兀，即 3上.(03*.f(x)=2sin(u)x+(t)=2sin(三x+巾)，3由 f=2sin(|X 5:+Q)=2,得 sin(巾+节_)=1.2k兀，k

13、e乙取 k=0,得 4)=-2I_n.12.2 人冗 3 4,)型函数的性质，是中档题.|x|+2,xl8.(5分)已知函数f(x)=9、，设a G R,若关于x的不等式f(x)x+A X1.X2|三+a|在R上恒成立，则a的取值范围是()2A.-2,2 B.-273,2 c.-2,273 D.-2技 2731【分析】根据题意，作出函数f(x)的图象，令g(x)=|三+a|,分析g(x)的2图象特点，将不等式f(x)区+a在R上恒成立转化为函数f(x)的图象在g2(x)上的上方或相交的问题，分析可得f(0)2g(0),即2 2|a|,解可得a的取值范围，即可得答案.I x|+2,x l.X令g

14、(x)=A+a 1,其图象与x轴相交与点(-2a,0),2在区间(-8,-2 a)上为减函数，在(-2a,+)为增函数，若不等式f(x)2|W+a|在R上恒成立，则函数f(x)的图象在2g(x)上的上方或相交，则必有 f(0)2g(0),即 2 2|a|,解可得-2WaW2,故选：A.【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f(X)的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.(5分)已 知aWR,i为虚数单位，若生生为实数，则a的 值 为-2 .2+i【分析】运用复数的除法法则，结合共粗复数，化简立士，再由复数为实数的条2+i

15、件：虚部为0,解方程即可得到所求值.【解答】解：aWR,i为虚数单位，a-i =(a T)(2-i)=2 a-l -(2+a)i =2 a _ l _ 2+a j2+i (2+i)(2-i)4+1 5 5由 总zL为实数，2+i可 得-2+a=0,5解得a=-2.故答案为：-2.【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共扼复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0,考查运算能力，属于基础题.10.(5分)已 知a G R,设函数f(x)=ax-Inx的图象在点(1,f(1)处的切线为I,则I在v轴上的截距为1.【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出I在y轴

16、上的截距.【解答】解：函数f (x)=a x -I n x,可 得 f，(x)=a -1切线的斜率为:k=f (1)-a -1,切 点 坐 标(1,a),切线方程I 为：y-a=(a -1)(x-1),I 在 y轴上的截距为：a+(a-1)(-1)=1.故答案为：L【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.1 1.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1 8,则 这 个 球 的 体 积 为 空.2【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可.【解答】解：设正方体的棱长为a,.这个正方体的表面积为1

17、 8,，6 a 2=1 8,贝 U a2=3,即 a=J ,一个正方体的所有顶点在一个球面上，.正方体的体对角线等于球的直径，即 心=2 R,即 R=W,2则球的体积V=AR*(3)3=*_；3 2 2故答案为：1 2 L.2【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.1 2.(5 分)设 抛 物 线 y 2=4 x 的焦点为F,准线为I.已知点C在 I 上，以 C为圆心的 圆 与v轴 的 正 半 轴 相 切 于 点 A.若 N F A C=1 2 0。，则圆的方程为(x+l)岂 75)2心.【分析】根 据 题 意 可 得 F(-1

18、,0),ZFAO=30,OA=曳=1,由此求得tanZFAOOA的值，可得圆心C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆C 方程.【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准 线 I：x=-l,.点C 在 I上,以 C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切与点A,VZFAC=120,/.ZFAO=30,，OA=-QL_：,O/X=Js，AA(0,J3),tanZFAO 返3如图所示：/.C(-1,V3),圆 的 半 径 为 CA=1,故 要 求 的 圆 的 标 准 方 程 为(x+1)2+(y-V 3)2=l,故答案为：(x+l)2+0 飞行)2=L【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线

19、的简单几何性质，属于中档题.13.(5 分)若 a,beR,a b 0,则包+4b_+l的最小值为 4.ab【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么.【方法二】将a 拆成利用柯西不等式求出最小值.ab 2ab 2ab【解答】解：【解法一】a,bER,ab0,.a4+4b，l n 2da4-4b+labab 4 a2b2+la b=4加 蚩 2 斤三%fa4=4 b4当且仅当 i，I*瓦fa2=2 b2即，2 2 1,a 2 b=4-4g J a=b=A a=-L,b=-上 时 取=；V2 V8 V2 V8.上式的最小值为4.【解法二】a,bG R

20、,a b 0,二 a，4 b，l=a?*4 b3 +1 +1 为4/a 3 .4 b?.丁=4,a b b a 2 a b 2 a b V b*a *2 a b 2 a b(a/当且仅当 1，4 a b=rI a bfa2=2 b2.上式的最小值为4.故答案为：4.【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题.1 4.（5 分）在4 A B C 中，NA=6 0。，A B=3,A C=2.若 苗2庆，A E=A A C-AB（ACR）,且屈位=-4,则入的值为工.一红一【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用标、正表示出血，再根据平面向量的数量积其标列出方程求出入的值.【解答】解：如图所示

21、，ABC 中，ZA=60,AB=3,AC=2,B D=2 D C-A A D=A B+B D=Q+2 前3=7 5+2 (A C-A B)31*o*A B+A C，3 3XA E=X A C-(入WR),A D A E=(1AB+2A C)(X A C-A B)3 3=(1 A-2)X 3 X 2 XCOS60-32+-2A X22=-4,3 3 3 33解得人=.1 1故答案为：J_.1 1【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,

22、b,c.已知asinA=4bsinB,ac=Vs(a2-b2-c2)(I)求cosA的值；(II)求 sin(2 B-A)的值.【分析】(I)由正弦定理得asinB=bsinA,结 合asinA=4bsinB,得a=2 b.再由ac=V5(a2-b2-c2)J得b 2+c 2-a 2=1 a c，代入余弦定理的推论可求cosA的值；(I I)由(I)可得sinA=代入 asinA=4bsinB,得 sinB,进一步求得 cosB.利5用倍角公式求sin2B,cos2B,展开两角差的正弦可得sin(2 B-A)的值.【解答】(I)解：由=b,得asinB=bsinA,sinA sinB又 asi

23、nA=4bsinB,得 4bsinB=asinA,两式作比得：，a=2b.4b a由 ac=V5(a2-b2-c2)J 得b2+c2-a2=-a c,娓由余弦定理，得c0sA=b+c _ a=5 _=旦旦2bc ac 5(I I)解：由(I),可得$1必=2，代入 asinA=4bsinB,得 sinB二&sinA=恒5 4b 5由(I)知，A为钝角，则B为锐角，co sB=V l-sin2B于是sin2B=2sinBcosB，cos2B=l_2sin2B=_,s in(2 B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA：4-x J X 2 g =/5.5 5 5 5 5【点评】本题考查三角

24、形的解法,考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题.16.(1 3分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于6 0 0分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（I I）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才

25、能使总收视人次最多？【分析】（I ）直接由题意结合图表列关于x,y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（I I）写出总收视人次z=6 0 x+2 5 y.化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.7 0 x+6 0 y 3 0【解答】（I ）解：由已知，x,y满足的数学关系式为x 2 y,即x07 x+6 y6 0 x+y6 x-2 y 0,解得q=2.所以，匕=2以由 b3=a4-2ai，可得 3d-ai=8.由S u=llb 4,可得a1+5d=1 6,联立，解得a1=l,d=3,由此可得an=3n-2.所

26、以，的通项公式为an=3n-2,b j的通项公式为(II)解：设 数 列 a2nbn)的 前n项 和 为 ,由a2n=6n-2,有Tn=4X2+10X 22+16X 23+-+(6n-2)X 2n，2Tn=4X 22+10X 23+16X 24+-+(6n-8)X 2n+(6n-2)X 2n+1上 述 两 式 相 减，得-Tn=4X2+6X 22+6X 23+6X 2n-(6n-2)X 2n H=12Xjl-2)_4_(6 n_2)*2n H=-(3n-4)211+2-16-得 T/(3n-4)2k2+i6所以，数列枢 的前n项和为(3 n-4)2n+2+16.【点评】本题考查等差数列以及等比

27、数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力.19.(14 分)设 a,beR,a|得 b=2a3-6a2+l,-lW a W l.构造函数 t(x)=2x?-6x2+1,x e -i,i ,利用导数求其值域可得b的范围.【解答】(I)解：由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得 f (x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a),令 f(x)=0,解得 x=a,或 x=4-a.由|a W l,得 a4-a.当x变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：X(-8,a)(a,4-a)(4-a,+8)f (x)+-+f(x)7171A f(x)的单

28、调递增区间为(-8,a),(4-a,+),单调递减区间为(a,4-a)；g(x0)=eX(ID (i)证明：*(x)=ex(f(x)+f(x),由题意知 口 ，g(x0)=eXf(X o)eX=eX，解得.eX(f(X o)+fy(X o)=eX%(XQ)=1fz(x0)=0,.,.f(x)在x=Xo处的导数等于0；(i i)解：(x)We、，xe x0-1,x0+l,由 e*。，可得 f(x)W l.又f(Xo)=1,f(Xo)=0,故X。为f(x)的极大值点，由(I)知x0=a.另一方面，由于|a Wl,故a+l4-a,由(I)知f(x)在(a-1,a)内单调递增，在(a,a+1)内单调递

29、减,故当 xo=a 时,f(x)Wf(a)=1 在 a-1,a+1上恒成立,从而 g(x)We*在 x。-1,Xo+1上恒成立.由 f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=l,得 b=2a3-6a2+l,-lW aW l.令 t(x)=2x3-6X2+1,xe -1,1,At(x)=6x2-12x,令t(x)=0,解得x=2(舍去)，或x=0.V t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,故 t(x)的值域为-7,1.，b的取值范围是-7,1.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴

30、题.2 220.(14分)已知椭圆工次+二产1(a b 0)的左焦点为F (-c,0),右顶点为2,2a bA,点E的坐标为(0,c),AEFA的面积为2(I)求椭圆的离心率；(I I)设点Q在线段AE上，|F Q|=N,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N2在x轴上，PMQ N,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率；（i i）求椭圆的方程.【分析】（I ）设椭圆的离心率为e.通过,（c+a）c=-转化求解椭圆的离心率.（I I）（i ）依题意，设直线FP的方程为x=m y-c （m0）,则直线FP的斜率为1.通 过a=2 c,可 得 直 线AE

31、的方程为工+工口，求 解 点Q的坐标为I D 2 c c（2 m-2）c 利用|F Q|=，求出m,然后求解直线FP的斜率.（i i）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3 x -4 y+3 c=0,与椭圆方程联立通过|FP|=J（c+c）2+（与）匚与，结合直线PM和QN都垂直于直线FP.结合四边形PQNM的面积为3 c,求解c,然后求椭圆的方程.2【解答】解：（I ）设椭圆的离心率为e.由已知，可得,卜+&几=5-.又由b 2=a 2-c2,可得 2 c 2+a c-a 2=0,即 2 e?+e -1=0.又因为 OVeVl,解得日卫.2所以，椭圆的离心率为工；2（H ）（i ）依题

32、意，设直线FP的方程为x=m y-c （m0）,则直线FP的斜率为LI D由（I ）知a=2 c,可得直线AE的方程为声q=1，即x+2 y-2 c=0,与直线F P的方程联立，可解得X=（2M2）C,三 匹，即点Q的坐标为（2 m-2）c,在/2 i n+2 i n+2 /2由已知|F Q|=，有 鱼!Z近+c 2+（小J）2=（呢）2,整理得3 m 2-4 m=0,所2 i r r f-2 2 2以1r pa，即直线F P的斜率为2.3 42 2（i i）解：由a=2 c,可得bW c,故椭圆方程可以表示为+-=i.4c2 3c23x 4y+3c=0由（i）得直线F P的方程为3x-4y+

33、3c=0,与椭圆方程联立x2 y2 _消去y,TT+7-F=114c 3c整理得7 x 2+6cx-l 3c2=0,解得（舍去），或x=c.因此可得点p（c,竽），进而可得|F P|=J(c+c)2+有=竽，所以 IP Q|=IF P|-1F Q|若今=c.由已知,线 段P Q的长即为PM与Q N这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线F P.因为 Q N _ L F P,所以|QN|=|F Q|t an N Q F N e 所以 i+F Q N 的面积为2 4 82 2L|F Q|Q N|=J，同理i+F P M的 面 积 等 于 由 四 边 形P Q N M的面积为2 32 322 23c,得&红J=3 c，整理得 C2=2C,又由 C 0,得 C=2.32 322 2所以，椭圆的方程为+匚=1.16 12【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.